Algebra di Boole e porte logiche

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1 Algebra di Boole e porte logiche Dott.ssa Isabella D'Alba Corso PENTEST MIND PROJECT 2016

2 Algebra di Boole e porte logiche (I parte) Algebra di Boole I Sistemi di Numerazione (Posizionali, Non posizionali) Il Sistema di Numerazione Decimale Il Sistema di Numerazione Binario Il Sistema di Numerazione Ternario Il Sistema di Numerazione Ottale Il Sistema di Numerazione Esadecimale Il Sistema di Numerazione Sessadecimale Rappresentazione dei Numeri nei Sistemi di Numerazione Conversione dei Numeri tra Sistemi di Numerazione Operazioni sui Sistemi di Numerazione

3 Algebra di Boole e porte logiche (II parte) Rappresentazione dei numeri nei sistemi di elaborazione Rappresentazione dei Numeri Naturali Interi (senza segno) Rappresentazione dei Numeri Relativi Rappresentazione in Grandezza e Segno Rappresentazione in Complemento a 1 Rappresentazione in Complemento a 2 Rappresentazione dei Numeri Reali Rappresentazione in Virgola Fissa (Fixed-point) Rappresentazione in Virgola Mobile (Floating-point) Overflow Underflow

4 Algebra di Boole e porte logiche (III parte) Rappresentazione dell'informazione: i Codici Alcune proprietà dei Codici Il codice ASCII Tabella del codice ASCII Il codice BCD Codici a rilevazione di Errore Codice a Parità Pari Codici a correzione di Errore Codice di Hamming

5 Rappresentazione dei Numeri nei Sistemi di elaborazione Obiettivo: Rappresentare in forma compatta ed operazionale le informazioni numeriche. Definizione: CIFRA BINARIA bit (binary digit) Componenti a due stati (0 e 1): Differenze di potenziale elettrico Polarizzazioni elettromagnetiche NUMERO NATURALE Intero senza segno (rappresentazione compatta ed operazionale) Rappresentato da una stringa di bit di lunghezza fissa Limitatezza delle risorse HW Non si possono rappresentare tutti i Numeri Naturali su una macchina

6 Rappresentazione dei Numeri Naturali: Interi senza segno Un Numero Naturale viene rappresentato da 1 o più Byte (8bit). con 1 Byte 2 8 = 256 numeri con 2 Byte 2 16 = numeri con 4 Byte 2 32 = numeri La lunghezza della rappresentazione dipende dal tipo di CPU. Se n numero bit utilizzati si possono rappresentare numeri da 0 a 2 n -1 Il risultato di un'operazione è: Minore di 0 underflow Maggiore di 2n -1 overflow

7 Rappresentazione dei Numeri Relativi Definizione: Numero relativo Intero con Segno Obiettivo: Rappresentare il Segno del numero Rappresentazione Grandezza e Segno Rappresentazione in Complemento a 1 Rappresentazione in Complemento a 2

8 Rappresentazione Grandezza e Segno Dati n bit: 1 bit per il Segno n-1 bit per la Grandezza Vantaggi: - Facile comprensione Svantaggi: - Ambiguità dello zero (+0, -0) - Difficile implementazione di somma e sottrazione Es: Es: (-15) 10 = ( ) 2 +0 = ( ) 2 (+15) 10 = ( ) 2-0 = ( ) 2

9 Rappresentazione in Complemento a 1 Complemento a 1 di Interi Binari differenza del numero dal massimo intero rappresentabile Dato x intero senza segno ed n bit, con x 0 e x 2 n -1 2 n -1 x Intervallo di rappresentabilità: [-(2 n-1-1), 2 n-1-1] Es: x complemento a 1 di x Vantaggi: - Sottrazione come una somma Svantaggi: - Ambiguità dello zero

10 Rappresentazione in Complemento a 2 Complemento a 2 di interi binari differenza del numero dalla potenza di 2 immediatamente superiore al massimo intero rappresentabile Dato x intero binario ed n bit, con x 0 e x < 2 n -1 2 n x Intervallo di rappresentabilità: [-2 n-1, 2 n-1-1] Es: x complemento a 2 di x Vantaggi: - Sottrazione come una somma Svantaggi: - Unica rappresentazione dello zero

11 Rappresentazione dei Numeri Reali I Numeri Reali non sono rappresentabili! Se ne possono rappresentare solo alcuni... Si possono adottare due forme di rappresentazione die Numeri Reali: Rappresentazione in Virgola Fissa Rappresentazione in Virgola Mobile

12 Rappresentazione in Virgola Fissa (Fixed-point). Si assegnano n bit per la parte intera, m bit per la parte decimale e 1 bit per il segno S n m Es.: n=8, m= Si annulla la parte intera Si pone la cifra più significativa a destra Si moltiplica per la potenza della base ( ) 2 =( ) 10 - Il numero più piccolo rappresentabile è 2 -m - Il numero più grande rappresentabile è 2 n

13 Rappresentazione in Virgola Mobile (Floating-point). X = ± M x B E MANTISSA ESPONENTE BASE Si assegnano n bit in valore assoluto, m bit uguale all'esponente e 1 bit per il segno S ESP M ESP = E eccesso, dove eccesso = 2 m - 1 Es: 3,14 = x 10 1 = 3.14x10 0 = 31.4x10-1 Si elimina: Lo zero (mantissa) Punto decimale Simbolo moltiplicazione Il valore della base della potenza

14 Rappresentazione in Virgola Mobile (Floating-point). X = ± M x B E MANTISSA BASE ESPONENTE Si assegnano n bit in valore assoluto, m bit uguale all'esponente e 1 bit per il segno S ESP M ESP = E eccesso, dove eccesso = 2 m - 1 Si fissa la lunghezza della mantissa ad un valore costante Si limita l'esponente a valori compresi in un intervallo Si utilizza un esponente convenzionale ottenuto sommando un eccesso all'esponente effettivo per renderlo sempre positivo Si può dunque eliminare il segno dell'esponente Si stabilisce un ordine per i tre elementi: segno, esponente e mantissa

15 Rappresentazione in Virgola Mobile (Floating-point) Standard IEEE 754 (singola precisione: 32 bit) S ESP+ eccesso Parte frazionaria MANTISSA 1bit 8bit 23bit Standard IEEE 754 (singola precisione: 64 bit) S ESP+ eccesso Parte frazionaria MANTISSA 1bit 11bit 52bit X = (-1) s x (1.parte frazionaria) 2 x 2 ESP

16 Overflow Si verifica quando l'esponente non è più rappresentabile con i bit destinati all'esponente (troppo grande). In singola precisione, il valore più grande possibile sarebbe: ( ) 2 (127) 10 = (2 8 1) (127) 10 = = 128 In realtà l'esponente ( ) 2 indica situazioni anomale Pertanto, il più grande esponente utilizzabile è 127

17 Underflow Si verifica quando l'esponente non è più rappresentabile con i bit destinati all'esponente (troppo piccolo). In singola precisione, il valore più piccolo possibile sarebbe: ( ) 2 (127) 10 = 127 In realtà l'esponente ( ) 2 indica lo zero Pertanto, il più piccolo esponente utilizzabile è -126

18 FINE Grazie per l'attenzione! Dott.ssa Isabella D'Alba - Corso PENTEST MIND PROJECT 2016