Lezione 7 Aritmetica in virgola mobile (1)

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1 Lezione 7 Aritmetica in virgola mobile (1) Vittorio Scarano Architettura Corso di Laurea in Informatica Università degli Studi di Salerno Un ripasso Un quadro della situazione: dove siamo, dove stiamo andando e perché Una rivisitazione: Aritmetica degli interi (in complemento a due) la operazione di addizione la operazione di sottrazione 2 1

2 Un quadro della situazione Input/Output Memoria Principale Dove siamo Codifica della informazione Sistema di Interconnessione Registri Central Processing Unit Interconnessione interna alla CPU Unità di Controllo Unità Aritmetico Logica Rappresentazione degli interi Aritmetica degli interi Dove stiamo andando.. Aritmetica in virgola mobile Perché: per poter comprendere come vengono trattati dati rappresentati da numeri frazionali 3 La operazione di addizione La addizione per interi in complemento a due è identica a quella per interi senza segno si somma dal bit meno significativo portando il riporto ad ogni passo L unica differenza è nella maniera in cui si controlla il cosiddetto overflow quando il risultato non può essere contenuto nella parola di memoria usata per memorizzarlo 4 2

3 La regola di overflow Si verifica un overflow nella addizione di interi con segno con il complemento a due se e solo se: la somma di due interi positivi dà come risultato un intero negativo la somma di due interi negativi dà come risultato un intero positivo 5 Le proprietà del complemento a due Intervallo di rappresentazione da -2 n-1 a 2 n-1-1 Numero di rappresentazioni dello zero Negazione Espansione in lunghezza Overflow per la somma Sottrazione una Si prende il complemento di ogni bit Si somma 1 (come intero senza segno) Aggiungere bit addizionali sulla sinistra assegnando il valore del bit di segno Se vengono addizionati due numeri dello stesso segno, è overflow se il risultato ha il segno opposto Per sottrarre B da A prendere la rappresentazione in complemento a due di -B e sommarlo ad A 6 3

4 La struttura delle componenti per l addizione e la sottrazione Registro B Registro A Switch Add/Sub Unità per la negazione OF Addizionatore Bit di Overflow 7 Organizzazione della lezione Rappresentazione in virgola mobile i principi l intervallo di rappresentazione 8 4

5 Perché la rappresentazione in virgola mobile.. Con la rappresentazione in virgola fissa è possibile rappresentare numeri frazionari fissando la posizione della virgola su un bit prestabilito Le limitazioni: non rappresenta bene numeri molto grandi non rappresenta bene numeri (frazioni) molto piccoli Si può usare la notazione scientifica: si esprime come 7, le 14 posizioni dopo il 7 vengono espresse dall esponente 9 Il principio della rappresentazione in virgola mobile Detto anche floating point Si fa scorrere la virgola decimale fino ad una posizione conveniente: si tiene conto di ogni spostamento con l esponente di , , , , , etc. etc. 7,

6 Perché è utile Permette di rappresentare in maniera compatta numeri molto grandi: = 7, Ma anche numeri molto piccoli 0, = 6, Ma anche numeri negativi molto grandi (in modulo) = -7, e anche numeri negativi molto piccoli -0, = -6, La rappresentazione in virgola mobile per i numeri binari Lo stesso approccio può essere seguito per i numeri binari rappresentati come: ± S B ±E ± indica il segno S indica il significante (detto anche mantissa) E indica l esponente Da notare che di solito, la base B è implicita e quindi basta memorizzare solamente segno, significante, esponente Si usa un certo numero di bit (di solito almeno 32) si riserva spazio per segno, significante, esponente 12 6

7 Rappresentazione in virgola mobile 8 bit 23 bit ± E S Segno Esponente Significante polarizzato Il segno è memorizzato nel primo bit 0 = positivo, 1 = negativo L esponente è memorizzato in 8 bit polarizzato (lo definiamo tra un attimo) Significante (mantissa) su 23 bit normalizzato (lo definiamo tra due attimi) Dove viene memorizzata la base B? non serve! B vale sempre 2 = ± S B ±E 13 La polarizzazione dell esponente Negli 8 bit viene memorizzato un valore positivo quindi in 8 bit vanno interi da 0 a 255 Al valore memorizzato viene sottratto il numero di polarizzazione di solito su k bit, questo vale 2 k-1-1 In questo caso, viene sottratto 127 per ottenere il vero valore: se gli 8 bit dell esponente contengono = 163 allora l esponente vale: = 36 se gli 8 bit dell esponente contengono = 39 allora l esponente vale: =

8 Perché la polarizzazione (1) =8 14-7=7 13-7=6 12-7=5 11-7=4 10-7=3 9-7=2 8-7=1 7-7=0 6-7=-1 5-7=-2 4-7=-3 3-7=-4 2-7=-5 1-7=-6 0-7=-7 Vediamo la rappresentazione polarizzata su 4 bit numero di polarizzazione = =7 Caratteristica importante: il numero più grande è il numero più piccolo è 00 0 Quindi, quando si confrontano due interi polarizzati per trovare il più piccolo basta confrontarli come interi senza segno! A differenza del complemento a 2! 15 Perché la polarizzazione (2) polarizzati complemento a =8 14-7=7 13-7=6 12-7=5 11-7=4 10-7=3 9-7=2 8-7=1 7-7=0 6-7=-1 5-7=-2 4-7=-3 3-7=-4 2-7=-5 1-7=-6 0-7= Per il complemento a 2: per confrontare due interi e trovare il più piccolo non basta trattarli come interi senza segno e confrontarli Per i polarizzati: il confronto tra 1100 e 0101 (visti come interi senza segno) indica che 1100 è maggiore di 0101 il che è vero sia che si consideri il valore polarizzato che il valore come intero senza segno 16 8

9 Confronto tra interi senza segno Operazione particolarmente efficiente: date due stringhe di bit a n-1 a n-2 a 1 a 0 e b n-1 b n-2 b 1 b 0 Per trovare il maggiore tra i due considerati come interi senza segno..basta scorrere i bit (dal più significativo) ed appena si trova che l i-mo bit è diverso: il numero con il bit i-mo a 1 è il maggiore Come si può fare a fare lo stesso con il complemento a due? 17 La normalizzazione Dato un numero binario in virgola mobile (come ) questo può essere rappresentato come: = , = , = 11000, etc. etc. Per semplificare il numero binario viene normalizzato l unico bit intero (posizione 0) è 0 il primo bit dopo la virgola (posizione -1) deve essere 1 Quindi un numero normalizzato (non zero) è: ± 0,1bbbbb 2 ±E dove b è un cifra binaria 18 9

10 I vantaggi della normalizzazione Tutti significanti hanno valore compreso tra 0,5 10 =0,1 2 (compreso) ed 1,0 10 (escluso) facilita le operazioni aritmetiche Poiché il primo bit dopo la virgola è sempre 1 possiamo memorizzare solamente i restanti bit Quindi con 23 bit di rappresentazione possiamo rappresentare il significante di 24 bit! 19 Alcuni esempi (1) Dovendo rappresentare +0, Tenendo presente che: il segno va nel primo bit il primo bit del significante è sempre 1 e quindi non va memorizzato il valore 127 va aggiunto al vero valore dell esponente e memorizzato nel campo dell esponente = Il risultato è

11 Alcuni esempi (2) Dovendo rappresentare -0, Tenendo presente che: il segno va nel primo bit il primo bit del significante è sempre 1 e quindi non va memorizzato il valore 127 va aggiunto al vero valore dell esponente e memorizzato nel campo dell esponente = Il risultato è Alcuni esempi (3) Dovendo rappresentare -0, Tenendo presente che: il segno va nel primo bit il primo bit del significante è sempre 1 e quindi non va memorizzato il valore 127 va aggiunto al vero valore dell esponente e memorizzato nel campo dell esponente = Il risultato è

12 Tra i vantaggi di polarizzazione e normalizzazione (1) Il confronto è facilitato: dovendo verificare quale di due numeri positivi in virgola mobile sia il più piccolo: siano i due numeri a e b rappresentati in virgola mobile da a 31 a 30 a 1 a 0 e da a 31 b 30 b 1 b 0 notare che a 31 =b 31 =0 (entrambi sono positivi) Per verificare quale dei due è il più grande: non serve alcuna conversione: basta confrontarli come se fossero interi senza segno! Quindi basta scorrere i bit, ed al primo bit diverso trovato (sia esso l i-mo) sappiamo chi è il maggiore: quello con bit i-mo a 1! 23 Tra i vantaggi di polarizzazione e normalizzazione (2) Infatti: se l esponente (polarizzato) di uno dei numeri è maggiore di quello dell altro allora (poiché polarizzato) trovo l esponente maggiore A parità di esponente: il numero maggiore ha significante maggiore poiché è normalizzato e hanno esponente uguale allora basta scorrere il significante bit a bit al primo bit diverso al primo bit diverso trovato (sia esso l i-mo) sappiamo chi è il maggiore: quello con bit i-mo a 1! 24 12

13 Esercizi Scrivere la rappresentazione polarizzata su 5 bit Trovare la rappresentazione in virgola mobile (schema a 32 bit come da lezione per segno, esponente e significante) per: 0, , Problemi Nella rappresentazione polarizzata su k bit: Quale è l'intervallo di rappresentazione? Quale è la rappresentazione dello zero? Come si fa a comprendere quale di due interi rappresentati in complemento a due è il maggiore? Perchè si è scelto di memorizzare nella rappresentazione in virgola mobile prima l'esponente e poi il significante? Quale operazione risulterebbe più complessa? Suggerimento: c'entra anche la polarizzazione dell'esponente 26 13