Rappresentazione binaria
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- Raffaela Massaro
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1 Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 Rappresentazione binaria Stefano Ferrari UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI TECNOLOGIE DELL INFORMAZIONE Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 1/35 Citazione Cisono10tipidipersone, chi capisce il binario echino. [Anonimo] Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 2/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 1
2 Numeri naturali È il tipo più naturale da rappresentare: rappresentazione in notazione posizionale in base due. Esempio: (13) 10 = (1101) ,usandoun byte. Il primo bit viene chiamato bit più significativo(most Significant Bit, MSB). L ultimo bit viene chiamato bit meno significativo (Least Significant Bit, LSB). MSB LSB Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 3/35 Numeri interi con segno Con bit di segno(rappresentazione segno e modulo): il bit più significativo rappresenta il segno, gli altri bit rappresentano il modulo; lo stesso numero(lo zero) viene rappresentato con due numerali differenti; le operazioni aritmetiche sono macchinose. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 4/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 2
3 Complemento a 2(1) Perrappresentareincomplementoa2ilnumero x usando una sequenza di n bit, si rappresenta in binario (usando n + 1bit)ilnumero 2 n + x,escartandopoiil bit più significativo. Esempio Usando4bit(n = 4): = (22) 10 = (10110) 2 compl.a = (10) 10 = (01010) 2 compl.a Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 5/35 Complemento a 2(2) Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 6/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 3
4 Complemento a 2(3) Questa codifica equivale ad una rappresentazione posizionale modificata: a n 1 2 n 1 + a n 2 2 n a a Esempio 1010 = = 6 Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 7/35 Complemento a 2(4) Con questa rappresentazione: lo zero ha rappresentazione unica; con n bit, si rappresentano i numeri interi dell intervallo [ 2 n 1, 2 n 1 1]; inumerinegativihannoilmsbchevale1,glialtri0 (difatto,ilmsbèilbitdisegno); la somma si realizza considerando le sequenze di bit come numeri binari; la sottrazione si realizza invertendo il valore del sottraendo e poi sommandolo al minuendo in notazione binaria. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 8/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 4
![7/35 Complemento a 2(4) Con questa rappresentazione: lo zero ha rappresentazione unica; con n bit, si rappresentano i numeri interi dell intervallo [ 2 n 1, 2 n 1 1];](/docs-images/44/2837398/images/page_4.jpg "inumerinegativihannoilmsbchevale1,glialtri0 (difatto,ilmsbèilbitdisegno); la somma si realizza considerando le sequenze di bit come numeri binari; la sottrazione si realizza invertendo il valore del")
5 Decodifica in complemento a due Decodifica: seilprimosimboloè0 si considera semplicemente come un numero binario; seilprimosimboloè1 lo si decodifica in binarioeadessosi sottraeilnumero 2 n. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 9/35 Inversione in complemento a Inversione: si invertono tutte le singole cifre binarie; sisomma L inversionedi 2 n 1 dà un errore(overflow). Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 10/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 5
6 Codifica in complemento a Codifica: codifica del valore assoluto in notazione posizionale binaria; seènegativo,losi inverte Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 11/35 Operazioni algebriche in complemento a Somma: normale somma binaria Sottrazione: si inverte il sottraendo; losisommaal minuendo. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 12/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 6
7 Overflow L overflow si manifesta quando si cerca di rappresentare un numero troppo grande. Esempio Usiamo una rappresentazione in complemento a 2 a 4 bitperinumerida-8a7. Il risultato della somma 6+5 non è rappresentabile. Analoghe considerazioni per il risultato di-7-4. Con la notazione in complemento a 2, l overflow si rileva facilmente. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 13/35 Individuazione dell overflow overflow Overflow: somma di valori con segno opposto e sottrazione di valori con segni concordi non dà mai overflow; negli altri casi, c è stato overflowseilsegnodel risultato è discorde con ilsegnodelprimo operando. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 14/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 7
8 Overflow in complemento a 2 Si verifica un overflow se: C=A+B A B C C=A-B A B C L overflownell inversionedi 2 n 1 nondeveessere considerato nel calcolo di una sottrazione(quando 2 n 1 èilsottraendo). Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 15/35 Codifica(1) DCodificareilnumero 2incomplementoa2a4bit, specificando se si verifica un overflow. RPoiché ,noncisaràoverflow. Numerodacodificare: = 18. Codifica binaria troncata a 4 bit: Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 16/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 8
9 Codifica(2) DCodificareilnumero 10incomplementoa2a3 bit, specificando se si verifica un overflow. RPoiché 10 > ,cisaràoverflow. Numerodacodificare: = 18 Codifica binaria troncata a 3 bit: 010 Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 17/35 Codifica(3) DCodificareilnumero 13incomplementoa2a3 bit, specificando se si verifica un overflow. RPoiché 13 < 2 3 1,cisaràoverflow. Numerodacodificare: = 5. Codifica binaria troncata a 3 bit del valore assoluto (5):101. Inversione in complemento a 2: 011. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 18/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 9
10 Decodifica(1) D Quale numero è rappresentato dalla stringa binaria 10111, codificata in complemento a due? R (10111) 2 = (23) 10. Poichélaprimacifrabinariaè1,10111viene decodificatocome: = 9. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 19/35 Decodifica(2) D Quale numero è rappresentato dalla stringa binaria 01101, codificata in complemento a due? R (01101) 2 = (13) 10. Poichélaprimacifrabinariaè0, 01101viene decodificato come 13. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 20/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 10
11 Inversione(1) D Quale stringa binaria è l inverso in complemento a due della stringa binaria 01101? RInvertendoibitdi 01101,siottiene Sommando 1 a 10010, si ottiene Troncandoa5bit 10011,siottiene Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 21/35 Inversione(2) D Quale stringa binaria è l inverso in complemento a due della stringa binaria 00? RInvertendoibitdi 00,siottiene 11. Sommando 1a11,siottiene 100. Troncandoa2bit 100,siottiene 00. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 22/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 11
12 Somma(1) DDatelestringhebinarieA=0000eB=0011, calcolare in complemento a due la loro somma, specificando se si verifica un overflow. RLasommabinariadi 0000e0011,troncataa4bit è Poichéleduestringhedatehannoilprimobit uguale, e uguale anche al primo bit del risultato, non si è verificato un overflow. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 23/35 Somma(2) DDatelestringhebinarieA=111101eB=100001, calcolare in complemento a due la loro somma, specificando se si verifica un overflow. RLasommabinariadi e100001,troncataa6 bit è Poichéleduestringhedatehannoilprimobit uguale,madiversodalprimobitdelrisultato,siè verificato un overflow. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 24/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 12
13 Sottrazione(1) DDatelestringhebinarieA= eB= , calcolare in complemento a due la loro differenza, specificando se si verifica un overflow. RIlcomplementoa2di è La somma binaria di e , troncata a 7bitè Poichéleduestringhedatehannoilprimobit diverso,eilprimobitdelrisultatoèugualeal primo bit della seconda stringa, si è verificato un overflow. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 25/35 Sottrazione(2) DDatelestringhebinarieA=100011eB=110000, calcolare in complemento a due la loro differenza, specificando se si verifica un overflow. RIlcomplementoa2di è Lasommabinariadi e010000,troncataa6 bit è Poichéleduestringhedatehannoilprimobit uguale, non si è verificato un overflow. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 26/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 13
14 Numeri con la virgola Per la rappresentazione dei numeri razionali e reali ci sono due impedimenti: per via della notazione posizionale, alcuni numeri non possono essere rappresentati con un numero limitatodicifre(e.g., 1 3 inbase10); alcuni numeri reali(gli irrazionali) non possono proprio essere rappresentati in nessuna base(e.g., π). Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 27/35 Numeri razionali Per gli usi pratici, i numeri irrazionali possono essere approssimati da un numero razionale: per esempio, 3.14 π. Per rappresentare numeri razionali ci sono due notazioni, dette: virgola fissa; virgola mobile. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 28/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 14
15 Virgola fissa(1) Data una sequenza di n bit, viene stabilito a priori quanti di questi, m rappresenteranno la parte intera, e quanti, k, la parte frazionaria. mbit Equivaleadividereper 2 k. kbit a n 1 a k. a k 1 a 0 nbit Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 29/35 Virgola fissa(2) Esempio: (10.101) 2 = = = (10101) 2 /2 3 = ( = )/8 = 21/8 = Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 30/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 15
16 Virgola fissa(3) In virgola fissa, la precisione assoluta è fissata: e hanno la stessa precisione: 1/100. Perilprimonumero,laprecisionerelativaè1/10 6, mentre per il secondo numero, la precisione relativa è 1/ e sono indistinguibili: vengono rappresentati con Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 31/35 Virgola fissa(4) Problema di underflow: può non essere possibile rappresentare un numero piccolo. Come si rappresenta 0.001? ! Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 32/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 16
17 Virgola mobile(1) Un numero razionale può essere rappresentato nella forma: m b e, bèunabaseintera. Esempio 32.1puòesserescrittocome m è detto mantissa, e è detto esponente. In virgola mobile, un numero viene rappresentato tramite la coppia mantissa-esponente. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 33/35 Virgola mobile(2) In virgola mobile, la precisione relativa è fissata. Ilnumerodibitdedicatia: m fissano la precisione relativa con cui il numero può essere rappresentato; efissanol estensionedell intervallorappresentabile. IEEE Standard 754 Floating Point Numbers: singolaprecisione:32bit(1perilsegno,8per l esponente e 23 per la mantissa); doppiaprecisione:64bit(1perilsegno,11per l esponente e 52 per la mantissa). Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 34/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 17
18 Fissa o mobile? Con lo stesso budget di bit, possiamo rappresentare lo stesso numero di valori. Virgola fissa e mobile si differenziano per: distribuzione dei valori rappresentabili sulla retta dei reali; proprietà aritmetiche(e.g., l ordine con cui si eseguono le operazioni è importante in virgola mobile); precisione(e.g., l uso della virgola mobile per calcoli finanziari è pericoloso); costo computazionale. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Rappresentazione binaria a.a. 2008/09- p. 35/35 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 18
2.12 Esercizi risolti
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