Rappresentazione dei numeri reali

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Simona Santini
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1 Rappresentazione dei numeri reali La rappresentazione dei numeri reali in base 2 è completamente analoga a quella in base : Parte intera + parte frazionaria, separate da un punto La parte frazionaria è formata da cifre che pesano le potenze di 2 a esponente negativo. Esempio: = Conversione: si convertono separatamente la parte intera e quella frazionaria. Esempio: =.325 x 2 =.625 con parte intera.625 x 2 =.25 con parte intera.25 x 2 =.5 con parte intera.5 x 2 =. con parte intera

2 Rappresentazione in virgola fissa Si assume prefissata la posizione del punto all interno del registro (fixed point) Con questa convenzione, il valore X rappresentato nel registro è K*2 -p, dove K è il valore che otterremmo se interpretassimo come un intero il contenuto del registro. Qual è l insieme dei valori rappresentabili su un registro a N bit? K:,,2,,2 N - X:, 2 -p, 2*2 -p,, (2 N -)*2 -p

3 Rappresentazione in virgola fissa Esempio: N=8, p=4 X=,.625,.25,.875,, I numeri sono rappresentati con una certa approssimazione Esempio: tutti i valori compresi tra.325 e.9375 sono rappresentati da.625 Tutti i valori compresi tra e.325 sono rappresentati da. underflow

4 Esempio di numero in virgola fissa Supponiamo di voler rappresentare il numero in virgola fissa in un registro ad 8 bit con p=3. Separiamo parte intera e parte frazionaria: Posizione del punto p=3

5 Virgola fissa con segno La codifica dei numeri relativi in complementi alla base si applica in maniera immediata ai numeri reali rappresentati in virgola fissa. La rappresentazione di un numero reale con segno (N bit, punto in posizione p) si ottiene tramite la regola: R(x) se x b N-p -R( x ) se x < dove R(x) è la rappresentazione in virgola fissa di x

6 Virgola fissa con segno Esempio (N=8, p=3): R(-3.7) = 2 5 -R(3.7) - R(-3.7)

7 Virgola fissa con segno Possiamo comunque applicare il criterio già visto per ottenere velocemente la rappresentazione in complementi alla base: Per ottenere R(-3.7) si considera R(3.7) e si complementa cifra per cifra aggiungendo al bit meno significativo: R(3.7) +

8 Precisione della virgola fissa Quantifichiamo l errore assoluto: Err max = 2 -p /2 per p=4 Err max =.325 5% 45% Come fare per diminuire l errore? basta aumentare p, ma qual è l effetto sul range dei numeri rappresentabili? compromesso tra range e precisione Errore relativo 4% 35% 3% 25% 2% 5% % 5% Il problema vero è legato all errore relativo: E rel =Err max /x % Rappresentazione

9 Vantaggi e svantaggi della virgola fissa La rappresentazione in virgola fissa ha innegabili vantaggi: Semplicità Piena compatibilità con la rappresentazione degli interi e possibilità di usare circuiti aritmetici comuni. Ma ha anche grossi problemi: Errore relativo elevato per x Compromesso range/precisione Entrambi legati al fatto che il fattore di scala è fisso.

10 Rappresentazione in virgola mobile Si potrebbero mitigare i problemi andando a rappresentare esplicitamente il fattore di scala. In questo modo la virgola non è più fissa, ma diventa mobile. Fissata la base b, il valore viene considerato nella forma M*b E (notazione scientifica) ed è rappresentato tramite la coppia (M,E) Esempio: 22.35=.2235* 2 (.2235,2).=.*2 3 (.,) Nel registro saranno quindi prefissate zone diverse per la mantissa e per l esponente.

11 Rappresentazione in virgola mobile Solitamente M viene rappresentato come numero reale in virgola fissa o in segno e modulo mentre E si rappresenta come numero intero con segno o per eccessi. M è rappresentato su m bit con p cifre frazionarie M:, 2 -p, 2*2 -p,, (2 m -)*2 -p mentre E è rappresentato su e bit E: -2 e-,,+2 e- -. Si ha quindi come estremi dell intervallo: N min =M min *2 E min = 2 -p *2-2^(e-) N max =M max *2 E max = (2 m -)* 2 -p *2 +2^(e-)-

12 Esempio sulla virgola mobile Rappresentazione in FP di 2.6: 2.6 =. 2 =. * 2 4 Segno: Mantissa:. Esponente: 4+28 = 32 = 2

13 Rappresentazione normalizzata Con la virgola mobile non c è unicità di rappresentazione: N = M*2 E = (M*2)*2 E- = (M*4)*2 E-2 = (M/2)*2 E+ Quale scegliere? Quella che massimizza la precisione: prima cifra della mantissa diversa da rappresentazione normalizzata L intervallo di rappresentazione si modifica in: N min = 2 m- *2 -p *2-2^(e-)

14 Rappresentazione normalizzata Esempio: N = mantissa a 5 cifre decimali Diverse rappresentazioni possibili:.32*.324* -.324* * -3 normalizzata

15 Rappresentazione normalizzata Valutiamo l errore di approssimazione: 5% 45% Errore assoluto massimo: Err max = (2 -p /2)*2 E 4% 35% Pro Errore relativo: E rel = Err max /x Maggiore precisione Contro Errore relativo 3% 25% 2% 5% % 5% Mantissa normalizzata Underflow più frequente % Rappresentazione

16 Operazioni in floating point Molto più complicate rispetto agli interi e alla virgola fissa Diverse operazioni necessarie: Denormalizzazione per allineare i valori all esponente più alto Sommare le mantisse Normalizzare il risultato e verificare se si è in under/overflow Arrotondare se necessario (può richiedere un ulteriore normalizzazione) Se i segni sono diversi, bisogna calcolare la differenza tra le mantisse e determinare il segno del risultato Operazioni troppo complesse per poter essere effettuate con l unità aritmetica per gli interri.

17 Lo standard IEEE754 Tre formati: Singola precisione (32 bit: 23 bit mantissa + 8 bit esp. + bit segno) Doppia precisione (64 bit: 52 bit mantissa + bit esp. + bit segno) Quadrupla precisione (28 bit: 2 bit mantissa + 5 bit esp. + bit segno)

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