Esempio: Il formato floating point standard IEEE P754 (precisione semplice)

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1 Esempio: Il formato floating point standard IEEE P754 (precisione semplice) Mantissa: 23 bit, prima cifra sign. alla sx, hidden bit Esponente: 8 bit, eccesso 127 Formato: (8 bit) (23 bit) S E M

2 Mantissa normalizzata: ± (s) bit di rappresentazione per la mantissa (M) 0: segno + 1: segno - Esponente: HIDDEN BIT Rappresentazione in 8 bit a eccesso 127 (127 = 2 n-1-1), con le configurazioni e non ammesse! E = esp esp = E (-126 esp 127) E

3 NB : data la rappresentazione IEEE (8 bit) (23 bit) S E M si ha N = (-1) S * 2 (E 127) * 1.M

4 Ricavare il valore decimale del seguente numero in virgola mobile rappresentato secondo lo standard IEEE 754 a 32 bit: [3] Soluzione Segno: + Esponente: E = 2 7 = 128 esp = = 1 Mantissa: mant = 1.1 N = * 2 1 = 11 2 = 3 10

5 Utilizzando la rappresentazione standard IEEE per numeri floating point su 32 bit, si determini il valore decimale della sequenza di bit corrispondente a 3F in base 16. [2] Soluzione Notazione binaria: segno: + esponente: E = = 126 esp = = - 1 N = 1.1 * 2-1 = = = = 0.75

6 Esercizio Rappresentare il numero decimale 4.5 secondo lo standard in virgola mobile IEEE 754 a 32 bit. Soluzione Segno: 1 Rapp. binaria: = Forma normalizzata: N = * 2 2 Esponente: esp = 2 E = = = IEEE754:

7 PASSAGGIO IMPORTANTE: normalizzazione ES. 1 Rappresentazione binaria: = * 2 3 (forma normalizzata) ES. 2 Rappresentazione binaria: = * 2-3 (forma normalizzata)

8 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 4 bit per l esponente codificato in complemento a due 19 bit per mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a dx del punto di radice senza l uso di hidden bit Rappresentare Soluzione Formato: s yyyy xxxxxxxxxx con mantissa 0.1 Rappresentazione binaria: = =

9 =

10 = Forma norm: = * 2 5 Esponente: 5 10 = 0101 già espressa in compl. a due Segno: - Rappresentazione Floating Point:

11 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 5 bit per l esponente codificato in complemento a due 15 bit per mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a sx del punto di radice con hidden bit Rappresentare Soluzione Formato: s yyyyy xxxxxxxxxxxxxxx con mantissa 1.xxx xxx Rappresentazione binaria del valore assoluto:

12 351 = bit quanto dobbiamo andare avanti? La forma normalizzata sarà altri 7 bit per arrivare a 15

13 Rappresentazione normalizzata: = = * 2 8 Esponente: 8 10 = (già in compl. a 2 con 5 bit) Segno: - Rappresentazione Floating Point:

14 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 5 bit per l esponente in complemento a due 16 bit per la mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a sx del punto di radice senza hidden bit Rappresentare (in base 8) Soluzione Forma normalizzata del tipo 1.xxxxxxxxxxxxxxx Rappresentazione binaria: (mi bastano 16 bit)

15 Forma normalizzata: = * 2 9 Esponente: 9 10 = già in complemento a due con 5 bit Segno: + Rappresentazione floating point:

16 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 4 bit per l esponente in eccesso 2 n-1 7 bit per la mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a dx del punto di radice con hidden bit Trovare il numero decimale corrispondente alla rappresentazione

17 Soluzione Segno: - Esponente: = 12 in eccesso = 8 E = esp + P esp = E - P = 12-8 = 4 mantissa : Numero rappresentato : N = * 2 4 = = -13.5

18 Intervallo di rappresentazione e granularità Intervallo dei valori rappresentabili MAX = Numero massimo rappresentabile = + MaxMant * 2 MaxExp MIN = Numero minimo rappresentabile = - MaxMant * 2 MaxExp Zero+ = +MinMant * 2 MinExp Zero- = -MinMant * 2 MinExp MIN MAX Granularità Se la forma normalizzata è 0.1xxxxxxx * 2 esp (caso dx, no hidden bit) granularità: *2 esp ovvero: 2 -Nm *2 esp [Nm: numero di bit per la mantissa]

19 Esempio/Esercizio: IEEE 754 con singola precisione MinExp = -126 MaxExp = +127 [estremi per scopi speciali] Numero più grande normalizzato: ± * *2 127 = Numero più piccolo normalizzato: ± * = OVERFLOW - NORMALIZZATI - DENORM.- UNDERF. DENORM.+ NORMALIZZATI + OVERFLOW NB: nel caso della virgola fissa, l intervallo dei valori rappresentabili sarebbe molto più limitato. Es: - anche se dedicassimo tutti i 32 bit alla parte intera, max anche se dedicassimo tutti i 32 bit alla parte fraz, min 2-32

20 Granularità nella rappresentazione IEEE754 Granularità = * 2 esp = 2-23 * 2 esp Granularità massima (minima precisione): con max esponente esp max = = 127 [estremo non usato] granularità massima: 2-23 * = Granularità minima (massima precisione): con min esponente esp min = = 126 [estremo non usato] granularità minima: 2-23 * = NB: non si considerano i numeri denormalizzati i numeri "si infittiscono" per valori prossimi allo 0