Informatica Generale 1 - Esercitazioni Flowgraph, algebra di Boole e calcolo binario

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1 Informatica Generale 1 - Esercitazioni Flowgraph, algebra di Boole e calcolo binario Daniele Pighin pighin@fbk.eu FBK Via Sommarive, 18 I Trento, Italy February 27, 2008

2 Outline 1 Algebra di Boole Funzioni booleane 2 Progettazione di algoritmi Diagrammi di flusso 3 Rappresentazione binaria Numeri naturali Numeri interi (con segno) Numeri reali Rappresentazione in virgola mobile

3 Funzioni booleane: riepilogo Scopo Ricavare l espressione di una variabile booleana (output) il cui valore di verità è funzione di altre variabili (input). Procedimento 1 Capire il problema (semantica delle variabili di ingresso e di uscita); 2 Scrittura della tabella di verità. Per Ò variabili di input, le dimensioni della tabella sono ¾ Ò Ò + ½ (possibili combinazioni di input numero di variabili [in + out]); 3 Scrittura della forma canonica (somma di prodotti) delle configurazioni di input che soddisfano l output.

4 Esercizi 1 Siano ¾, ½ e ¾, ½ i bit che rappresentano due numeri interi positivi, rispettivamente e. Sia Ö una variabile booleana che vale 1 se e solo se >. Si scriva la forma canonica di Ö. 2 I signori,,, fanno parte di un consiglio d amministrazione ed hanno, rispettivamente, partecipazioni azionarie del 40%, 25%, 9%, 26%. Descrivere in forma canonica la funzione che decide quando il CdA è in grado di approvare una mozione. 3 Un dispositivo ha quattro sensori di controllo booleani,,,. Scrivere la forma canonica della funzione che attiva il dispositivo se almeno tre dei sensori sono nello stesso stato. 4 Un climatizzatore ha 3 sensori: Ä verifica se è giorno (1) o notte (0); Ì se è caldo (1) o freddo (0); Í se è umido (1) o secco (0). Scrivere la forma canonica della funzione che permette al climatizzatore di attivarsi quando è giorno e fa caldo oppure è notte e c è aria secca.

5 Soluzione Es. 3 ÓÙØ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ÓÙØ =

6 Esercizio 2: osservazione Problema I signori,,, fanno parte di un consiglio d amministrazione ed hanno, rispettivamente, partecipazioni azionarie del 40%, 25%, 9%, 26%. Descrivere in forma canonica la funzione che decide quando il CdA è in grado di approvare una mozione. Domanda Cosa potete osservare? Può essere semplificato il problema?

7 Algoritmo: definizione Un algoritmo si può definire come un procedimento che consente di ottenere un risultato atteso eseguendo, in un determinato ordine, un insieme di passi semplici corrispondenti ad azioni scelte solitamente da un insieme finito. (fonte: Wikipedia)

8 Esercizi 1 Leggi una sequenza di numeri naturali e stampane il minimo. La sequenza si ritiene interrotta se viene introdotto un numero negativo o nullo. 2 Leggi una sequenza di numeri naturali e stampane massimo, minimo e media. 3 Leggi un numero naturale N, quindi accetta in ingresso N numeri interi. Stampa massimo, minimo e media degli N interi letti. 4 Leggi un intero che rappresenta un anno e stampa vero se l anno è bisestile, falso altrimenti. Un anno è bisestile se è divisibile per 4 ma non per 100 oppure è divisibile per Leggi una data (gg mm aaaa) e stampa il numero di giorni trascorsi dall inizio dell anno.

9 Soluzione Es. 3 (con errore) Leggi un numero naturale N, quindi accetta in ingresso N numeri interi. Stampa massimo, minimo e media degli N interi letti.

10 Soluzione Es. 3 (corretta) Leggi un numero naturale N, quindi accetta in ingresso N numeri interi. Stampa massimo, minimo e media degli N interi letti.

11 Rappresentazione dei numeri in base 2 Ci sono 10 tipi di persone nell universo: quelli che capiscono il binario e quelli che no. Notazione posizionale (richiami) Rappresentazione in base del numero naturale Æ: Æ = ( Ñ ½ Ñ ¾... ¼ ) = Ñ ½ =¼ con ¼...( ½) Es: (½½½¼¼½) ¾ = ½ ¾ ¼ +¼ ¾ ½ +¼ ¾ ¾ +½ ¾ +½ ¾ +½ ¾ = ½+ +½ + ¾ = Massimo intero rappresentabile con Ñ cifre binarie Æ Ñ Ü = ¾ Ñ ½ (cioè: ¾ Ñ numeri distinti, tra cui lo zero)

12 Esercizi Convertire: 1 (½¼½¼¼½½¼½½¼½) ¾ in base 10, 8 e 16 2 (½½¼¼½½¼½½½½) ¾ in base 8 3 (½½¼½½¼½½¼½) ¾ in base 16 4 (¾ ) ½¼ in base 2, 8 e 16 5 (½¼¾ ) ½¼ in base 2, 8 e 16 6 ( ) ½ in base 2, 8 e 10

13 Soluzione Es. 1 Convertire (½¼½¼¼½½¼½½¼½) ¾ in base 10, 8 e 16. Soluzione base 10 espansione in sommatoria: (½¼½¼¼½½¼½½¼½) ¾ = (¾ ¼ + ¾ ¾ + ¾ + ¾ + ¾ + ¾ + ¾ ½½ ) ½¼ = ¾ ½¼ base 8 raggruppamenti ( = ¾ ): (½¼½¼¼½½¼½½¼½) ¾ = (½¼½ ¼¼½ ½¼½ ½¼½) ¾ = ( ½ ) verifica: ( ½ ) = ( ¼ + ½ + ½ ¾ + ) ½¼ = ( ½¾) ½¼ = ¾ ½¼ base 16 raggruppamenti (½ = ¾ ): (½¼½¼¼½½¼½½¼½) ¾ = (½¼½¼ ¼½½¼ ½½¼½) ¾ = (½¼ ½ ) ½ = ( ) ½

14 Soluzione Es. 4 Convertire (¾ ) ½¼ in base 2, 8 e 16. Soluzione base 2 divisioni successive: ¾ : ¾ = ½¾ + ¼ bit meno significativo, ¼ ½¾ : ¾ = + ½ : ¾ = ½ + ½ ½ : ¾ = ½ + ½ ½ : ¾ = + ½ : ¾ = + ½ : ¾ = ½ + ½ ½ : ¾ = ¼ + ½ bit più significativo, condizione di uscita (¾ ) ½¼ = (½½½½½½½¼) ¾ 8 e 16 raggruppamenti.

15 Complemento a 2 Riepilogo Permette di rappresentare numeri con segno. Vantaggi rispetto al complemento a 1 e alla notazione in modulo e segno: una sola rappresentazione per lo 0 (compattezza); facilita le operazioni di somma algebrica; non causa problemi di overflow (entro i limiti di rappresentabilità). Con Ñ cifre Avendo a disposizione Ñ cifre e quindi ¾ Ñ diverse combinazioni: ¾ Ñ ½ per gli interi positivi e lo zero Æ Ñ Ü = ¾ Ñ ½ ½; ¾ Ñ ½ per gli interi negativi Æ Ñ Ò = ½ ¾ Ñ ½ ;

16 Attenzione all Overflow! Si hanno problemi di overflow quando il risultato di un operazione non è rappresentabile con i bit a disposizione; Ci può essere overflow quando: si sommano due numeri positivi: riporto sul bit di segno ma non al di fuori (il risultato è negativo!) ¼½½½ + ¼½½½ = (0)½½½¼ Es: + = non è rappresentabile, Æ Ñ Ü = si sommano due numeri negativi: riporto fuori dal bit di segno ma non sul bit di segno (il risultato è positivo!) ½¼¼½ + ½¼½¼ = (1)¼¼½½ Es: + = 3-13 non è rappresentabile, Æ Ñ Ò = Non ci può essere overflow se gli operandi sono rappresentabili e di segno opposto.

17 Complemento a 2 (cont.) Esempio: Ñ =. Rappresentare ½¾ ½¼ in complemento a 2. Limiti di rappresentabilità: Æ Ñ Ü = ¾ ½ = ½ Æ Ñ Ò = ½ ¾ = ¾ Precedimento: 1 ½¾ ½¼ = ¼¼½½¼¼ ¾ 2 calcolo del complemento ad 1 (inversione di tutti i bit): ¼¼½½¼¼ ½½¼¼½½ ½½¼¼½½ + 3 aggiunta di 1: ¼¼¼¼¼½ = ½½¼½¼¼ Verifica: ¼¼½½¼¼ + ½½¼½¼¼ = = ¼ ½¼

18 Complemento a 2 (cont.) Interpretazione decimale di numeri in complemento a 2 Sia Æ ¾ = ( Ñ ½... ¼ ) un numero binario di Ñ cifre in complemento a 2. Per la sua interpretazione decimale Æ ½¼ : Infatti: se Ñ ½ = ¼ il numero è positivo e vale Æ ½¼ = Ñ ¾ =¼ ¾. Es: ¼½¼¼½ = (½ + ) ½¼ = ½¼ se Ñ ½ = ½ il numero è negativo e vale Æ ½¼ = Æ Ñ Ò + Ñ ¾ =¼ ¾. Es: ½½¼¼½ = ( ½ + ½ + ) ½¼ = ½¼ ¼½¼¼½ + ½½¼¼½ = = ¾ ½¼ = ( ) ½¼

19 Esercizi Eseguire, rappresentando addendi e risultato in complemento a 2, le seguenti somme algebriche per Ñ =, Ñ =, Ñ =. Discutere la rappresentabilità degli addendi e dei risultati ottenuti e riportare in forma decimale i risultati

20 Soluzione Es. 1 Eseguire la somma algebrica (¾ ½ ) rappresentando i numeri in complemento a due con Ñ =, Ñ =, Ñ =. Ñ = Æ Ñ Ü = ¾ ½ = ½ ; Æ Ñ Ò = ½ ¾ = ½ ; entrambi gli operandi sono rappresentabili. ¾ ½¼ = (¼¼¼½¼) ¾ ½ ½¼ (½¼¼¼¼) ¾ (½ ½¼ ) ¼½½½½ (complemento ad 1) ½¼¼¼¼ (complemento a 2) N.B.: le rappresentazioni di 16 e -16 sono coincidenti. L interpretazione corretta (-16) è coerente con il fatto che solo i numeri negativi iniziano con 1. ¼¼¼½¼ + Svolgimento della somma: ½¼¼¼¼ = ½¼¼½¼ = ( ½ + ¾) ½¼ = ½ ½¼

21 Soluzione Es. 3 Eseguire la somma algebrica (½¾ + ) rappresentando i numeri in complemento a due con Ñ =, Ñ =, Ñ =. Ñ = Æ Ñ Ü = ¾ ½ = ½ ; Æ Ñ Ò = ½ ¾ = ½ ; entrambi gli operandi sono rappresentabili. ½¾ ½¼ = (¼½½¼¼) ¾ ½¼ = (¼¼½½¼) ¾ ¼½½¼¼ + Svolgimento della somma: ¼¼½½¼ = 1¼¼½¼ = ( ½ + ¾) ½¼ = ½ ½¼ Overflow! Infatti ½¾ + = ½ > Æ Ñ Ü non è rappresentabile con Ñ =. (Riporto sul bit di segno ma non al di fuori di esso.)

22 Numeri decimali Anche le parti decimali dei numeri possono essere rappresentate usando codifica binaria: (¼.)¼¼½¼¼½ ¾ = ½ ¾ + ½ ¾ = ½ + ½ = ¼.½ ¼ ¾ ½¼ La precisione della rappresentazione indica la minima differenza tra due numeri che può essere codificata e dipende dal numero di bit impiegati. Es: se si usano Ñ = bit, la precisione é ½ = ¼.¼ ¾. ¾ Da decimale a binario: moltiplicazioni successive Es: Rappresentare con Ñ = la parte decimale ¼.¾ ¾ = ¼, bit più significativo, ½ ¼. ¾ = ½, ¼ ¼.¼ ¾ = ¼, ½¾ ¼.½¾ ¾ = ¼, ¾ bit meno significativo, ¼.¾ ½¼ (¼.)¼½¼¼ ¾

23 Numeri decimali (cont.) L algoritmo termina: quando la parte decimale del prodotto è nulla (rappresentazione esatta); quando si esauriscono le posizioni decimali disponibili (rappresentazione approssimata). Errore di approssimazione E la misura della differenza tra il numero reale e la sua approssimazione finita. Nel nostro esempio: ¼.¾ ½¼ (¼.)¼½¼¼ ¾ = ½ ¾ ¾ = ½ = ¼.¾ Errore = ¼.¾ ¼.¾ = ¼.¼½.

24 Esercizi Calcolare la rappresentazione binaria delle seguenti estensioni decimali utilizzando 4, 6 e 8 bit e calcolare l errore di approssimazione. 1 0,5 2 0,55 3 0, , , ,99999

25 Numeri in virgola mobile Notazione scientifica: ± ½.(Å) ¾ 1 bit per il segno; Ñ bit per l esponente. L esponente è rappresentato in eccesso rispetto a = ¾ Ñ ½ ½: Ñ Ü = (¾ Ñ ½) = ¾ Ñ ½ ¾ Ñ ½ + ½ = ¾ Ñ ½. Ñ Ò = ¼ = (¾ Ñ ½ ½). Ñ Å bit per la mantissa Å. Il bit non nullo più significativo viene sempre omesso.

26 Virgola mobile: rappresentazione Rappresentare Æ =, ¾ ½¼ con Ñ = e Ñ Å =. Ñ Ü = ¾ ¾ =. Ñ Ò = ¾ ¾ ½ =. = ¾ ¾ ½ =. Base 2: ½¼ = ½¼¼¼ ¾. (¼.)¾ ½¼ = (¼.)¼½ ¾. Normalizzazione: Æ = ½¼¼¼.¼½ ¾ ¾ ¼ = ½ ¾ ¾ 3. Calcolo dell esponente: =. = + = ½¼ = ½½¼ ¾. Quindi: Æ = ½ ½½¼ ¼¼¼¼½¼¼¼ segno esp. mant. Verifica: Esponente: ½½¼ ¾ = ½¼ ; = =. Æ = (½.)¼¼¼¼½ ¾ ¾ = (½¼¼¼.¼½) ¾ = + ¼.¾ =.¾ Il bit di segno è impostato a 1, quindi Æ =.¾.

27 Esercizi Rappresentare in virgola mobile, usando 4 bit per l esponente e 5 per la mantissa, i seguenti numeri reali. Calcolare l errore di approssimazione, se presente , ,650,

28 Soluzione Es. 1 Rappresentare in virgola mobile, usando 4 bit per l esponente e 5 per la mantissa, il numero ¼.¾ e calcolare l eventuale errore. Ñ Ü = ¾ =. Ñ Ò = ¾ ½ =. = ¾ ½ =. Base 2: (¼.)¾ ½¼ = (¼.)¼½¼¼¼¼¼ ¾. Calcolato con moltiplicazioni successive. Mi fermo 5 cifre dopo il primo 1 perché ho 5 bit per la mantissa. Normalizzazione: Æ = ¼.¼½¼¼¼¼¼ ¾ ¾ ¼ = ½ ¾ ¾ -2. Calcolo dell esponente: = ¾. = ¾ + = ½¼ = ¼½¼½ ¾. Quindi: Æ = ¼ ¼½¼½ ¼¼¼¼¼ Verifica: Esponente: ¼½¼½ ¾ = ½¼ ; = = ¾. Æ = ½.¼¼¼¼¼ ¾ ¾ ¾ = (¼.¼½) ¾ = ¼.¾ Errore: ¼.¾ ¼.¾ = ¼.¼¼.