Numeri in virgola mobile

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1 Numeri in virgola mobile PH Motivazioni virgola mobile Rappresentazione in virgola fissa per rappresentare numeri frazionari fissando la posizione della virgola su una posizione prestabilita Le limitazioni: non rappresenta bene numeri molto grandi non rappresenta bene numeri (frazioni) molto piccoli Notazione scientifica: si esprime 768 come 7,68 x 1 14 le 14 posizioni dopo il 7 vengono espresse dall esponente Notazione scientifica floating point 2 1

2 Numeri floating point Motivazioni: numeri molto grandi o molto piccoli frazioni reali del tipo e ( ), π ( ) Rappresentazione: ± M B ±E Segno Mantissa Esponente Base è implicita: non viene rappresentata Più bits per mantissa: maggior accuratezza Più bits per esponente: maggior intervallo 3 Numeri floating point Forma Arbitraria Normalizzata Notazione binaria Normalizzata 1.xxx 2 yy Forma standardizzata : IEEE 754 Singola precisione 8 bit esponente, 23 bit mantissa Doppia precisione 11 bit esponente, 52 bit mantissa Entrambi i formati sono supportati da MIPS 4 2

3 Standard IEEE 754 Il bit '1' bit più significativo della mantissa è implicito -> si risparmia 1 bit Esponente è biased (polarizzato), per avere numeri sempre positivi:... esponente minimo esponente massimo Bias 127 per singola precisione, 123 per doppia precisione esempio di esponente biased (semplice precisione) : se gli 8 bit dell esponente biased contengono 1111 = 163 allora l esponente vale: = 36 se gli 8 bit dell esponente biased contengono 1111 = 39 allora l esponente vale: = -88 Valore: (-1) segno (1 + mantissa) 2esponente_biased - bias 5 Esempio Rappresentazione in semplice precisione di: -.75 rappresentazione decimale: -.75 = - 3/4 = - 3 / 2 2 rappresentazione binaria: = -.11 = Floating point: bit segno: = 1 mantissa: = esponente biased: = ( ) = segno 1 1 bit esponente biased bit mantissa 1 23 bit 6 3

4 Standard IEEE 754 Arrotondamento: quattro modi di arrotondamento Arrotonda al numero più vicino (default) Troncamento Arrotonda verso valore superiore (verso + ) Arrotonda verso valore inferiore (verso - ) Numeri speciali: NaN, +, - Numeri non normalizati per risultati più piccoli di 1. 2 Emin Meccanismo per gestire eccezioni Formato: segno ± esponente biased E mantissa M 1 bit 8 bit 23 bit 7 Limitazioni Overflow: il numero è troppo grande per essere rappresentato Underflow: il numero è troppo piccolo per essere rappresentato Underflow graduale: se il numero diventa piccolo, diminuisce il numero di cifre della mantissa. esempio: Emin Emin / 1 = Emin Emin / 1 =.12 1 Emin.12 1 Emin / 1 =.1 1 Emin.1 1 Emin / 1 =. 1 Emin 8 4

5 Numeri speciali biased (= + 127): tra 1 e 254 possibile rappresentare altri numeri speciali esponente mantissa non zero qualsiasi non zero tipo non normalizzato floating point num ±infinito NaN 9 Rappresentazione dello zero Per rappresentare lo zero: si usa la intera parola (di 32 o 64 bit) messa a zero Perché questa rappresentazione è particolare: gli esponenti (polarizzati) vanno da..1 2 = 1 1 (valore corrispondente -126) in poi quindi l esponente non è mai zero In questo caso, la mantissa viene messo tutto a zero Utilità della rappresentazione: zero in complemento a due (interi) = zero in virgola mobile controllo per zero semplice: tutti i bit a zero 1 5

6 Rappresentazione dell infinito e NaN Per rappresentare l infinito: si usa l esponente a tutti uno e mantissa a tutti zero Perché questa rappresentazione è particolare: gli esponenti (polarizzati) arrivano fino a = (valore corrispondente 127) quindi un esponente non è mai (=255 1 ) A seconda del segno: infinito positivo o negativo Per rappresentare il NaN si usa l esponente a tutti uno e mantissa diversa da zero 11 Addizione floating point Allineamento dei due numeri (stesso esponente) Addizione delle mantisse Normalizzazione del risultato e controllo se overflow o underflow Arrotondamento se non normalizzato, va a rinormalizzare 12 6

7 Addizione floating point: esempio P.H. p. 197 Esempio nel sistema decimale con precisione 4 cifre addizione: ? risultato: Allineamento dei due numeri troncamento Addizione delle mantisse Normalizzazione del risultato Arrotondamento Moltiplicazione floating point P.H. p. 22 Addizione degli esponenti bias Moltiplicazione delle mantisse Normalizzazione del prodotto controllo se overflow o underflow Arrotondamento se non normalizzato, va a rinormalizzare Se gli operandi hanno lo stesso segno segno positivo altrimenti segni negativo 14 7