CALCOLO NUMERICO. Rappresentazione virgola mobile (Floating Point)

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1 ASA Marzo Docente Salvatore Mosaico Introduzione al Calcolo Numerico (parte ) CALCOLO NUMERICO Obiettivo del calcolo numerico è quello di fornire algoritmi numerici che, con un numero finito di operazioni elementari, consentano di individuare la soluzione di un problema, eventualmente in forma approssimata. In genere gli algoritmi sono iterativi sequenziali, ovvero: cominciano da valori iniziali per calcolare nuovi valori, a cui viene applicata la medesima formula, e così via. L algoritmo è valido se la successione di valori calcolata arriva alla soluzione voluta. La procedura deve individuare, a partire da una valutazione non corretta della soluzione, approssimazioni via via migliori. Attraverso questa procedura l errore insito nella previsione iniziale viene ridotto a un limite accettabile, fino all ultimo valore, che viene assunto come soluzione del problema in esame. Importante quanto la buona valutazione della soluzione è la messa a punto di algoritmi efficienti. Si dice algoritmo efficiente la serie di procedure che permette di risolvere un problema nel modo migliore. Occorre ricorrere al calcolo numerico quando: - non esistono algoritmi esatti di risoluzione - gli algoritmi esatti non sono efficienti o producono un alto costo computazionale - L utilizzo di un calcolatore permette di effettuare operazioni elementari fra numeri in tempi molto brevi. - Gli algoritmi complessi sono comunque costituiti da operazioni elementari. - Occorre comunque tener presente che il calcolatore opera con numeri rappresentati da un numero finito di cifre (numero di macchina). Rappresentazione virgola mobile (Floating Point) La rappresentazione in virgola fissa non si presta a rappresentare numeri molto grandi (es. ) o molto piccoli (es.,) Per ovviare a ciò si utilizza la rappresentazione in virgola mobile (floating point), detta anche a mantissa e

2 ASA Marzo Docente Salvatore Mosaico Introduzione al Calcolo Numerico (parte ) caratteristica. Questo tipo di notazione si basa sulla rappresentazione esponenziale dei numeri, detta anche notazione scientifica. Secondo tale notazione un numero reale N può essere espresso nella seguente forma: N = (-) s * m * esp Dove s = segno => + => - m = mantissa esp = esponente o caratteristica Formato floating point standard IEEE lo standard internazionale più diffuso e quello stabilito dall'ieee (Institute for Electrical and Electronics Engineering) identificato dalla sigla IEEE. Questo standard prevede tre formati principali di rappresentazione l esponente deve essere polarizzato ossia Al valore dell esponente originario occore sommare un certo valore fisso detto bias n- - Formato N bit Segno Esponente Mantissa bias Singola precisione bytes Doppia precisione bytes Quadrupla precisione bytes Facciamo esempio Singola precisione bit per il segno

3 ASA Marzo Docente Salvatore Mosaico Introduzione al Calcolo Numerico (parte ) bit per l esponente polarizzato biased (si dice anche eccesso ) bit per la mantissa normalizzata con la prima cifra significativa alla sinistra del punto con hidden bit ovvero nella forma.xxxxxxxxx X prima della virgola viene omesso Rappresentare in singola precisione ( bit) il numero reale, IL NUMERO È POSITIVO BIT = Covertiamo la parte intera DIVIDENDO DIVISORE QUOZIENTE RESTO (bit + significativo) () o =() Covertiamo la parte frazionaria (,) o fattore fattore prodotto parte frazionaria parte intera,,, (bit + significativo),,,,,,, (,) o =(,) Dunque (,) = (,) Normaliziamo il numero binario ottenuto In modo che la forma sia.xxxxxx (.) =, *

4 ASA Marzo Docente Salvatore Mosaico Introduzione al Calcolo Numerico (parte ) La parte intera non la considero (hidden bit o bit nascosto, o bit implicito) MANTISSA COMPLETO a bit (aggiungo tanti a destra ) Infine ESPONTENTE = in binario Devo polarizzarlo aggiungendo bias => + = () = () Risultato Dunque il computer utilizzando un numero finite di cifre ( bit o bit) Rappresenta spesso una approssimazione del valore teorico

5 ASA Marzo Docente Salvatore Mosaico Introduzione al Calcolo Numerico (parte ) Arrotondamento e troncamento I numeri reali hanno, in generale, infinite cifre dopo la virgola: i calcolatori ne possono rappresentare solo un numero finito, anche se molto grande. Ci sono due modi per memorizzare un numero reale con più cifre decimali di quelle rappresentabili sul computer: arrotondamento e troncamento. Troncamento. Le cifre che non rientrano nel numero di quelle rappresentabili vengono ignorate. Arrotondamento. Se la prima cifra non rappresentabile è maggiore o uguale di, l ultima cifra rappresentabile viene aumentata di una unità, e le altre vengono ignorate; se invece è minore di il numero viene troncato Esempio: supponiamo di poter memorizzare solo quattro cifre. Vogliamo rappresentare il numero, ( cifre) Troncando si ottiene:, Arrotondando:, In generale l arrotondamento è più preciso, ma richiede di fare un controllo in più. Operazioni macchina. Le operazioni con i numeri reali si effettuano riportando in virgola mobile il risultato di ogni operazione. Questo procedimento, che è necessario per poter memorizzare i risultati delle operazioni, ha però degli inconvenienti: ad esempio, non vale l associatività della somma. Esempio: a=, * ^- b=,*^ c=-,*^ (a+b)+c diverso da a+(b+c) (verificare) Questo perché nel primo caso stiamo sommando numeri di dimensione molto diversa tra loro (a e b)

6 ASA Marzo Docente Salvatore Mosaico Introduzione al Calcolo Numerico (parte ) Vediamo esempio in excel Un algoritmo Numerico tiene conto di come calcolare per limitare errori