Esercizi di Analisi Numerica. Errori, Cambi di base, Numeri macchina, Aritmetica finita

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Aurelia Fabbri
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1 Esercizi di Analisi Numerica Errori, Cambi di base, Numeri macchina, Aritmetica finita

2 ERRORI - es. 1 Calcolare il numero di decimali esatti e di cifre significative nei seguenti numeri scritti in base 10: numero decimali corretti cifre significative ± ± ± ±

3 CAMBI DI BASE - es. 1 Determinare x in modo che sia verificata l uguaglianza: (419) 10 = (643) x Sappiamo che 419 = 6x 2 + 4x + 3 6x 2 + 4x 416 = 0 3x 2 + 2x 208 = 0 Per trovare x basta risolvere l equazione di II grado. 2

4 3x 2 + 2x 208 = 0 Utilizziamo la formula risolutiva ridotta: x 1,2 = 1± = 1± = 1±25 3 = 24 3 = Non accettabile Quindi la base cercata è x = 8. 3

5 CAMBI DI BASE - es. 1 bis Determinare x in modo che sia verificata l uguaglianza: (35) 6 = (212) x Sappiamo che = 2x 2 + 1x = 2x 2 + x + 2 2x 2 + x 21 = 0 Risolviamo l equazione di II grado in x. 4

6 2x 2 + x 21 = 0 Utilizziamo la formula risolutiva delle equazioni di II grado: x 1,2 = 1± = 1± = 1±13 4 = 12 4 = Non accettabile Quindi la base cercata è x = 3. 5

7 CAMBI DI BASE - es. 2 Determinare x in modo che sia verificata l uguaglianza: ( ) 6 = ( ) x Uguagliando la parte intera = x 3 + 9x 2 + 7x = x 3 + 9x 2 + 7x + 3 x 3 + 9x 2 + 7x 3108 = 0 abbiamo ottenuto un equazione di III grado. 6

8 Proviamo allora ad uguagliare la parte frazionaria: = 3 x + 1 x = 3x+1 x 2 37x 2 432x 144 = 0 Uguagliando la parte frazionaria abbiamo un equazione di II grado. Per trovare x basta risolverla. 7

9 37x 2 432x 144 = 0 Utilizziamo la formula risolutiva ridotta: x 1,2 = 216± = 216± = 216± = = Non accettabile Quindi la base cercata è x = 12. 8

10 Facciamo una verifica, sostituendo x = 12 nell uguaglianza fra le parti intere x 3 + 9x 2 + 7x 3108 = 0: = = = = = 0 9

11 CAMBI DI BASE - es. 2 bis Determinare x in modo che sia verificata l uguaglianza: ( ) 6 = ( ) x Uguagliando la parte intera = x 3 + x 68 = x 3 + x x 3 + x 68 = 0 abbiamo ottenuto un equazione di III grado. 10

12 Proviamo allora ad uguagliare la parte frazionaria: = 1 x + 3 x = x+3 x 2 7x 2 16x 48 = 0 Uguagliando la parte frazionaria abbiamo un equazione di II grado. Per trovare x basta risolverla. 11

13 7x 2 16x 48 = 0 Utilizziamo la formula risolutiva ridotta: x 1,2 = 8± = 8± = 8±20 7 = Quindi la base cercata è x = = Non accettabile Facciamo una verifica, sostituendo x = 4 nell uguaglianza fra le parti intere x 3 + x 68 = 0: = = 0 12

14 CAMBI DI BASE - es. 3 Determinare x e y in modo che sia verificata l uguaglianza: ( ) 12 = (x) 10 = (y) 6 Per ottenere la rappresentazione in base 10, basta sommare i prodotti di ciascuna cifra per la potenza della base 12 corrispondente alla posizione: x = = = Ora passiamo dalla base 10 alla base 6. per la parte intera e quella frazionaria. Si procede separatamente 13

15 Dividiamo la parte intera per 6 e prendiamo nota dei resti, finché il quoziente sarà : 6 = 971 r : 6 = 161 r : 6 = 26 r.5 26 : 6 = 4 r.2 4 : 6 = 0 r.4 Moltiplichiamo la parte decimale per 6 e prendiamo nota delle parti intere, finché la parte frazionaria sarà 0 o si ripeterà: = = 5.0 Quindi y =

16 CAMBI DI BASE - es. 3 bis Determinare x in modo che sia verificata l uguaglianza: (123.65) 8 ( ) 3 = (x) 6 Per prima cosa dobbiamo trovare la rappresentazione in base 10 di ciascun fattore: (123.65) 8 = = ( ) 10 ( ) 3 = = ( ) 10 Ora eseguiamo semplicemente il calcolo in base 10: =

17 Ora portiamo il risultato ( ) 10 nella base 6. Dividiamo la parte intera per 6 e prendiamo nota dei resti, finché il quoziente sarà : 6 = 4657 r : 6 = 776 r : 6 = 129 r : 6 = 21 r.3 21 : 6 = 3 r.3 3 : 6 = 0 r.3 La parte intera di x sarà

18 Moltiplichiamo la parte decimale per 6 e prendiamo nota delle parti intere, finché la parte frazionaria sarà 0 o si ripeterà: = = = 3.0 Allora x =

19 CAMBI DI BASE - es. 4 Determinare la frazione generatrice in base 10 del seguente numero periodico: ( 0.7A ) 16 ( 0.7A ) 16 = 7A 7 F 0 = = =

20 CAMBI DI BASE - es. 4 bis Determinare la frazione generatrice in base 10 del seguente numero periodico: ( 0.3B ) 16 ( 0.3B ) 16 = 3B F F = = = =

21 CAMBI DI BASE - es. 4 ter Determinare la frazione generatrice in base 10 del seguente numero periodico: ( 1.7A ) 16 ( 1.7A ) 16 = 17A 17 F 0 = = (16+7) =

22 ARITMETICA FINITA - es. 1 Usando l aritmetica finita e con mantissa normalizzata di 5 cifre, sommare i seguenti numeri e calcolare l errore da cui è affetto il risultato. Cambiando l ordine in cui è eseguita la somma cambia il risultato? a = Si scrivono tutti gli addendi in mantissa moltiplicata per 10 all esponente più alto, cioè 10 3 : 21

23 a = a = a = Sommiamo dapprima i due primi addendi, poi aggiungeremo l ultimo: =

24 Ora invece sommiamo prima gli ultimi due, che sono di grandezze più vicine, poi aggiungeremo il primo: = Poiché i due risultati sono diversi, l ordine cambia. Il secondo procedimento è più corretto, perché vanno prima sommati i termini dello stesso ordine di grandezza. L errore è ɛ = =

25 ARITMETICA FINITA - es. 1 bis Usando l aritmetica finita e con mantissa normalizzata di 5 cifre, sommare i seguenti numeri e calcolare l errore da cui è affetto il risultato. Cambiando l ordine in cui è eseguita la somma cambia il risultato? a = Si scrivono tutti gli addendi in mantissa moltiplicata per 10 all esponente più alto, cioè 10 3 : 24

26 a = a = a = Sommiamo dapprima i due primi addendi, poi aggiungeremo l ultimo: =

27 Ora invece sommiamo prima gli ultimi due, che sono di grandezze più vicine, poi aggiungeremo il primo: = = L ordine non cambia il risultato, perché gli addendi sono tutti di ordine di grandezza molto diverso, pari alle cifre della mantissa normalizzata. L errore è ɛ =

28 NUMERI MACCHINA - es. 1 Scrivere in forma esponenziale in base 10 il numero rappresentato in virgola mobile su 32 bit, con mantissa normalizzata ed esponente ad eccesso = dalle seguenti 8 cifre esadecimali: 5B Consideriamo le prime due cifre e scriviamole in notazione binaria, con l aiuto della tabella a pag. 15: 5B = segno: 0 quindi segno positivo; esponente ad eccesso 64: ( ) 2 = (5B) 16 = = quindi l esponente è: = 27 mantissa: ( ) 16 =

29 Quindi il numero in forma esponenziale è N =

30 NUMERI MACCHINA - es. 1 bis Scrivere in forma esponenziale in base 10 il numero rappresentato in virgola mobile su 32 bit, con mantissa normalizzata ed esponente ad eccesso = dalle seguenti 8 cifre esadecimali: ABCD1234 Consideriamo le prime due cifre e scriviamole in notazione binaria, con l aiuto della tabella a pag. 15: AB = segno: 1 quindi segno negativo; esponente ad eccesso 64: ( ) 2 = (2B) 16 = = quindi l esponente è: = 21 mantissa: (0.CD1234) 16 =

31 Quindi il numero in forma esponenziale è N =

32 PRECISIONE DI MACCHINA Programma per il calcolo della precisione di macchina nel linguaggio della calcolatrice TI-89 o TI-92, traducibile in qualunque altro linguaggio di programmazione: :macheps() :Prgm :ClrIO :setmode("exact/approx","approximate") :0 k :1. x :While 1.+ x > 1. : x/2 x : k+1 k :EndWhile :Disp 2x, k-1 :DelVar x,k :EndPrgm La TI-89 fornisce i valori 44 e =

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