LOGARITMI ED ESPONENZIALI

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2 LOGARITMI ED ESPONENZIALI 1. (Da Veterinaria 2013) Riscrivendo 9 3x+2 nel formato 3 y, quale sarà il valore di y? a) 3x b) 3x + 4 c) 6x + 2 d) 6x + 4 e) 9x (Da Odontoiatria 2009) Qual è la soluzione dell equazione log((2x + 1)/x) = 0? a) - 1 b) - 1/2 c) 1/2 d) 1 e) 2 3. (Da Veterinaria 2009) Sia x un numero reale tale che x logx < 0. Ciò equivale a: a) x < -1 b) -1 < x < 0 c) x < 0 d) 0 < x < 1 e) x > 1 4. (Da Veterinaria 2007) L insieme di tutte le soluzioni dell equazione 2logx = log16 è: a) {log8} b) {log14} c) {-log14, +log14} d) {4} e) {-4, +4} 5. (Da Medicina 2005) È data l equazione a) {2} b) {4} c) {-2 ; +2}. L insieme di tutte le sue soluzioni reali è: 2

3 d) e) 6. (Da Medicina 2005) L espressione significa che: a) x è l esponente da dare a b per ottenere y b) x è l esponente da dare a y per ottenere b c) y è l esponente di una potenza di base b e di valore x d) x è il valore di una potenza di base y ed esponente b e) x è la base di una potenza che vale y 7. (Da Veterinaria 2005) Una radice dell equazione a) 0 b) -2 c) 2 d) 1/2 e) 1/3 è: 8. (Da Veterinaria 2005) L insieme di tutte le soluzioni dell equazione 2logx = log5 è: a) {3} b) {-3, +3} c) {log(5/2)} d) { 5} e) {- 5, + 5} 9. (Da Medicina 2004) Siano a e b due numeri maggiori di zero. Quale delle affermazioni seguenti è CORRETTA? a) loga b + loga b = loga b 2 b) loga b + loga b = loga 2b c) loga b + loga b = (loga b) 2 d) loga b + loga b = - 2logb a e) loga b - logb a = 0 3

4 SOLUZIONI 1. d) Vogliamo riscrivere 9 3x+2 come una potenza in base 3. Allora: 2. a) Ricordiamo la definizione di logaritmo: il risultato del logaritmo rappresenta l esponente da dare alla base del logaritmo per ottenere l argomento. Allora, da si ottiene: dove abbiamo identificato con a la generica base del logaritmo. Qualunque sia il valore di a, vale: Allora: (con la condizione di esistenza per il denominatore C.E. x 0) 4

5 3. d) Nella disequazione proposta il prodotto di due termini deve essere minore di zero. Risolviamo il quesito ponendo maggiore di zero ciascuno dei due termini, separatamente. - - Ricordando il grafico del logaritmo, logx è maggiore di zero quando (Per x > 1 il grafico del logaritmo sta sopra l asse x) Allora, per determinare la soluzione della disequazione di partenza disegniamo un grafico dei segni: 0 1 Le linee continue rappresentano un segno +, mentre quelle tratteggiate un segno -. Allora: - a sinistra dello 0 abbiamo il prodotto di due termini negativi (due linee tratteggiate), che complessivamente dà un risultato positivo - nella regione compresa tra 0 e 1 abbiamo il prodotto di un termine positivo e uno negativo (una linea continua e una tratteggiata), che complessivamente dà un risultato negativo - a destra di 1 abbiamo il prodotto di due termini positivi (due linee continue), che 5

6 complessivamente dà un risultato positivo Tornando alla disequazione di partenza: osserviamo che siamo interessati alla regione negativa (disequazione minore di zero). Allora le soluzioni della disequazione sono: 4. d) Come prima cosa, imponiamo le condizioni di esistenza del logaritmo che compare nell equazione. Affinché il termine logx sia ben definito, il suo argomento deve essere maggiore di zero. Allora: Le soluzioni dell equazione dovranno rispettare tale condizione di esistenza. Risolviamo l equazione. Applicando la proprietà dei logaritmi secondo cui: si ottiene: Allora, uguagliando gli argomenti dei due logaritmi, si ha: Confrontando le soluzioni ottenute con le condizioni di esistenza, osserviamo che è necessario scartare la soluzione x = -4, perché minore di zero. Perciò, la soluzione finale dell equazione proposta è x = +4. 6

7 5. c) Risolviamo l equazione esprimendo il numero 16 come una potenza in base 2: e uguagliando gli esponenti: 6. c) Dalla definizione di logaritmo, il risultato del logaritmo rappresenta l esponente da dare alla base del logaritmo per ottenere l argomento. Allora, nel caso di si ha che y è l esponente da dare alla base b per ottenere l argomento x, cioè: 7. b) Il metodo più veloce per individuare la soluzione dell equazione è il metodo della verifica: sostituendo a x ciascuno dei valori proposti nelle cinque opzioni si può determinare quale tra di essi fornisce un uguaglianza verificata. Per esempio, sostituendo il valore x = 0 proposto nella prima opzione si ottiene: che non è un uguaglianza verificata. Allora possiamo scartare la risposta a). Sostituendo il valore x= - 2 proposto nella seconda opzione si ottiene: che è un uguaglianza verificata. Allora x = -2 è la soluzione dell equazione. In alternativa, possiamo risolvere l equazione esponenziale utilizzando le proprietà delle potenze. 7

8 Ricordando che: si ha: 8. d) Come prima cosa, imponiamo le condizioni di esistenza del logaritmo che compare nell equazione. Affinché il termine logx sia ben definito, il suo argomento deve essere maggiore di zero. Allora: Le soluzioni dell equazione dovranno rispettare tale condizione di esistenza. Risolviamo l equazione. Applicando la proprietà dei logaritmi secondo cui: si ottiene: Allora, uguagliando gli argomenti dei due logaritmi, si ha: 8

9 Confrontando le soluzioni ottenute con le condizioni di esistenza, osserviamo che è necessario scartare la soluzione x = - 5, perché minore di zero. Perciò, la soluzione finale dell equazione proposta è x = a) Applichiamo la proprietà dei logaritmi, secondo cui la somma di due o più logaritmi con la stessa base è pari a un logaritmo avente la medesima base e argomento pari al prodotto degli argomenti dei logaritmi di partenza. Allora: 9