Equazioni esponenziali e logaritmi

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1 Copyright c 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. Equazioni esponenziali e logaritmi 2 equazioni esponenziali casi particolari i logaritmi risoluzione grafica eq. in forma canonica

2 Equazioni esponenziali Un equazione si dice esponenziale quando l incognita x compare ad esponente di una potenza. Per esempio 2 x = 8 In questo caso è anche semplice ricavare la soluzione. Infatti, essendo il termine noto 8 proprio una potenza di 2, si ha: 2 x = 2 3 Da cui x = 3, poichè due potenze uguali aventi la stessa base devono avere anche lo stesso esponente. Equazioni esponenziali In generale il caso più semplice di equazione esponenziale, detta equazione esponenziale elementare è della forma: a x = b Per quanto precedentemente detto questa equazione ammette soluzione solo se a > 0 e b > 0. Infatti a x ha significato nell insieme dei numeri reali solo se a > 0, ed in questa ipotesi dovendo essere la potenza a x positiva lo dovrà essere anche b. Casi particolari: a = 0 Osserviamo che nel caso a = 0, l equazione diventa 0 x = b. Allora nell ipotesi x > 0 se b = 0 si avrà 0 x = 0 verificata per qualunque valore reale attribuito alla x > 0. Se, invece, b 0 l equazione sarà impossibile. 2

3 Casi particolari: a = 0 Nell ipotesi forma indeterminata. 0 x = b. a = 0 x = forma impossibile. a = 0 x < 0 0 x 0 0 numero negativo e 0 risultano non definiti e quindi privi di significato. Casi particolari: a = 1 Osserviamo che nel caso a = 1, l equazione diventa 1 x = b. Se b = 1 si avrà verificata x R. 1 x = 1 Se, invece, b 1 l equazione sarà impossibile. 3

4 Equazioni esponenziali A parte questi casi particolari si dimostra che dati due numeri reali positivi a e b, con a 1 l equazione a x = b ammette una ed una sola soluzione. Per esempio: 3 3 x = 9 ha soluzione x = 2 poichè 9 = 3 2 ) x 1 1 = ha soluzione x = 4 poichè = ) x 1 ) 1 = 9 ha sol. x = 2 poichè 9 = 9 1 = 1 ) 2 = = 3 Equazioni esponenziali e logaritmi Nell ipotesi in cui a 0, non abbiamo problemi a calcolare b tale che b = a x con x R Sappiamo anche che il risultato di questa elevazione è positivo, cioè b 0. Ora poniamo l attenzione sull esponente x, supponiamo che esso non sia noto. In altre parole noti a e b mi chiedo quanto vale x affinché a x = b? Per conoscere il valore di x bisogna risolvere quella che abbiamo definito un equazione esponenziale elementare. 4

5 Abbiamo risolto quest equazione nel caso in cui b possa essere scritta come potenza di a (b = a x ). Esempio: 2 x = 16 poiché 16 = 2 4 x = 4 Ma come risolvere l equazione 2 x = 3? In altre parole è possibile scrivere 3 come una potenza di base 2? In generale, dunque, ci chiediamo dato un numero qualunque è possibile esprimerlo come potenza di base un altro numero arbitrario da me scelto? E possibile se ricorriamo al concetto di logaritmo. Il logaritmo Si definisce logaritmo in base a positiva e diversa da 1 (a 0,a 1) di un numero b positivo l esponente da dare ad a per ottenere b e lo si indica con la scrittura log a b. - a e b sono detti rispettivamente base e argomento del logaritmo. Dunque la scrittura log a b è equivalente alla scrittura a log a b = b. In altre parole, per definizione, soddisfatte le ipotesi menzionate il log a b è la soluzione dell equazione a x = b. Cioè x = log a b a x = b 5

6 a x = b x = log a b Per esempio, il log 2 8 si trova risolvendo l equazione esponenziale 2 x = 8, quindi essendo x = 3 si ha log 2 8 = 3 Infatti l esponente da dare a 2 per ottenere 8 è proprio 3. Quindi in questi caso posso immaginare 8 scritto come potenza di 2: 8 = 2 log 2 8, relazione immediata da verificare. Allo stesso modo potrei scrivere 8 come potenza di 5, per esempio, 8 = 5 log 5 8 e così via per un qualunque numero reale positivo. Scrivere 3 come potenza di 7 e di... Il problema è equivalente alla seguente equazione esponenziale: 7 x = 3 la cui soluzione è x = log 7 3 per definizione di logaritmo. Quindi 3 può essere scritto come potenza in base 7 nel seguente modo: 3 = 7 log 7 3 Analogamente valgono le seguenti uguaglianze che potrete verificare con una calcolatrice scientifica : 3 = 10 log = 10 log = e log e 3 5 = e ln 5 3 = π log π 3 5 = 43 ln

7 Relazione Equazioni Data la relazione c = a b si possono avere tre differenti tipologie di equazioni a seconda se l incognita sia a, b o c. a = x equazione irrazionale b = x equazione esponenziale c = x caso banale Equazione esponenziale elementare Equazioni esponenziali elementari: risoluzione grafica y = a x y = b a R + 0 {1} Equazioni esponenziali in forma canonica a f(x) = b f(x) f(x) = g(x) 4 x = 8 3 x = 3 2x 1 10) 4x = x 5 x2 x = 25 Equazioni esponenziali a f(x) = a g(x) f(x) = 0 per a > 0,b > 0,a b 2 x+3 = 64 3 x 3 7