Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
|
|
- Patrizia Gatto
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
2 Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1 <. Una funzione f è decrescente (non crescente) in un intervallo I se f ( 1 ) > f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1 <. Crescente Decrescente Crescente
3 Estremi di una funzione Una funzione f definita su un intervallo I ha un massimo in = c in I, chiamato ma f, se f f c per ogni in I. Una funzione f definita su un intervallo I ha un minimo in = d in I, chiamato min f, se ma f f f c per ogni in I. a b c d min f
4 Funzioni monotone Definizione: Una funzione f si dice monotona crescente se è sempre crescente. Una funzione f si dice monotona non decrescente se è sempre non decrescente. Definizione: Una funzione f si dice monotona decrescente se è sempre decrescente. Una funzione f si dice monotona non crescente se è sempre non crescente.
5 Esempio: la funzione lineare e monotona (strettamente) crescente o decrescente y Monotona decrescente y = 5 3 In generale una retta ha equazione: y = m + q dove m è il coefficiente angolare e q è intercetta ( 1, 5) (, 0)
6 Esempio: funzione costante y = c, c R Ad esempio () = 3. Trovare il dominio, l immagine. E invertibile? y Soluzione: Il dominio è (, ). L immagine è { 3}. La funzione costante non è invertibile. Retta orizzontale (, 3)
7 Esempio. Retta verticale = c, c R = 3 (si intende l insieme ( 3, y) con y non vincolato). E una funzione? Trovare il dominio, il codominio. y Il dominio di questa relazione, che non è una funzione, è { 3}. Il codominio è (, ). Retta verticale ( 3, y) 3
8 Funzioni Limitate Una funzione f: A R R si dice superiormente limitata se la sua immagine f(a) è un sottoinsieme di R superiormente limitato. Una funzione f: A R R si dice inferiormente limitata se la sua immagine f(a) è un sottoinsieme di R inferiormente limitato. Una funzione f: A R R si dice limitata se lo è superiormente e inferiormente.
9 Immagine? [0, ) È monotona? No. È decrescente per 0 e crescente per 0. In = 0 c è un minimo È invertibile? No. È limitata? inferiormente Funzione quadratica o parabola: y =, dominio (, )
10 Immagine? (, 0] È monotona? No. E crescente per 0 e decrescente per 0. In = 0 c è un massimo È invertibile? No. È limitata? superiormente Caso simmetrico: y =, dominio (, )
11 Caso generale: Se a, b e c sono numeri reali con a 0 la funzione f = a + b + c è chiamata funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola. Ogni parabola è simmetrica rispetto ad un asse chiamato asse di simmetria. y Il punto di intersezione tra la parabola e l asse di simmetria è chiamato vertice della parabola. f () = a + b + c vertice Asse di simmetria Copyright by Houghton Mifflin Company, Inc. All rights reserved. 11
12 f() = a + b + c a > 0 concavità verso l alto y Il vertice è il minimo Il vertice è il massimo y f() = a + b + c a < 0 concavità verso il basso
13 Funzioni pari e dispari Definizione: Una funzione f: R R si dice pari se f = f, R. Es. f = 4 3 = 4 3 = f( ) Definizione: Una funzione f: R R si dice dispari se f = f, R. Es. f = 3 + = 3 + = f( )
14 Esempio. Funzione potenza y = a n, a > 0 (a < 0), n naturale pari E una funzione pari f = f( ) Cresce per 0 e decresce for 0 f(-) f() -
15 Funzione potenza y = a n, a > 0 (a < 0), con n naturale dispari E una funzione dispari Cresce per ogni f = f( ) - f() f(-)
16 Funzione potenza y = a p, a > 0 (a < 0), p > 0 un numero reale y = 7 y = 5 y = 3 = 3 Dominio: { 0} E invertibile? sì y = 1 = y = 1 3 = 3
17 Iperbole y = 1 Dominio R 0 Il punto è singolare
18 Altri esempi di funzioni potenza
19 Funzioni periodiche Definizione: Una funzione f: A R R si dice periodica se esiste T > 0 tale che, per ogni A, si ha: + T A ed inoltre f + T = f. Il più piccolo T per cui vale la relazione sopra è detto periodo della funzione.
20 Esempio. Funzione seno. Per tracciare il grafico della funzione seno y = sen, R localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle sen Un singolo ciclo è chiamato periodo π
21 Esempio. Funzione coseno. Per tracciare il grafico della funzione coseno y = cos localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle cos In rosso è tracciato il periodo π.
22 Esempio. Funzione tangente. La funzione tangente y = tan è definita tan = sin cos Nei valori in cui cos = 0, la funzione tangente non è definita. Proprietà di y = tan y 1. dominio: tutti i reali π + kπ (k Z). immagine: (, +) 3. periodo: È invertibile? no È monotona? no È limitata? no 3 periodo: 3
23 Esempio. Funzione cotangente. La funzione cotangente y = cot è definita cot = Proprietà di y = cot 1. dominio: tutti i reali kπ (k Z). immagine: (, +) 3. periodo: 3 y 3 cos sin Nei valori in cui sen = 0, la funzione cotangente non è definita.. y cot È invertibile? no È monotona? no È limitata? no 0 periodo:
24 Funzione inversa del seno. Affinchè una funzione ammetta inversa, deve essere una funzione biettiva. f = sin non verifica il test della linea orizzontale sul dominio,. Affinchè esista la funzione inversa dobbiamo considerare una sua restrizione.
25 Restrizione di una funzione Definizione: Dati una funzione f: A R Re un sottoinsieme B A, si dice restrizione di f a B una funzione g B R R tale che g = f, B. Esempio. sin: π, π [ 1,1] è invertibile.
26 La funzione inversa del seno, detta arcoseno, è definita da y = arcsen se e solo se sin y =. Angolo il cui seno è Il dominio di y = arcsen è [ 1, 1]. Il codominio di y = arcsen è [ /, /]. Esempio: a) arcsen = π 4 sen π 4 = b) sen 1 3 = π sen π = Questo è un altro modo di scrivere arcsen.
27 Per ottenere il grafico si riflette il grafico della funzione seno rispetto alla bisettrice del I quadrante. 1,,1 a 3, 3 3, 3 a 4,, 4 a y y = arcsin() y = sin() arcsen o sen 1 in blue
28 Grafici di sen ed arcsen
29 Funzione inversa del coseno. f = cos deve essere ristretta in modo che ammetta funzione inversa. cos: 0, π [ 1,1] è invertibile
30 La funzione inversa del coseno, detta arcocoseno, è definita da y = arccos se e solo se cos y =. Angolo il cui coseno è Il dominio di y = arccos è [ 1, 1]. Il codominio di y = arccos è [0, ]. Esempio: a.) arccos 1 b.) cos cos Questo è un altro modo di scrivere arccos.
31 Funzione inversa del coseno. Scegliamo una restrizione del coseno in modo che ammetta funzione inversa. Ad esempio la zona delimitata dal riquadro rosso sotto. In questo modo il dominio della funzione inversa diventa [-1,1], mentre l immagine [0, π] Grafico di arccos = cos 1 y = arccos() y 5/6 /3 / /3 /6
32 Funzione inversa della tangente. f = tan deve essere ristretta affinchè ammetta inversa. y y = tan 3 3 tan ammette funzione inversa su questo intervallo.
33 La funzione inversa della funzione tangente, detta arcotangente, è definita da y = arctan se e solo se tan y = Angolo la cui tangente è Il dominio di y = arctan è (, ). L immagine di y = arctan è π, π Esempio: 3 a.) arctan 3 1 b.) tan tan 3 3 Questo è un altro modo di scrivere arctan.
34 Funzione inversa della tangente. Come per la funzione seno il dominio che genera la funzione inversa è π, π y=tan() y 4 / y y=arctan() 3 /4 / /4 /4 / /4 D 3 / 4 D, e Cod,, e Cod,
35 arcsen() arcos() arctan() Dominio Codominio 0
36 Altre funzioni speciali: Funzioni esponenziali f = a, a > 0, a 0 È monotona? sì È invertibile? sì È limitata? inferiormente y Immagine: (0, ) (0, 1) Dominio: (, ) Il grafico di f() = a, a > 1
37 Il grafico di f() = a, 0 < a <1 y È monotona? sì È invertibile? sì È limitata? inferiormente (0, 1) Immagine: (0, ) Dominio: (, )
38 Il grafico di f() = e y f() Il numero e =.7188 è il numero di Nepero (anche numero di Euler)
39 Funzione logaritmo Per 0 e 0 a 1, y = log a se e solo se = a y. La funzione definita da f() = log a è chiamata funzione logaritmo con base a. Ogni equazione logaritmica ha una corrispondente equazione esponenziale: y = log a se e solo se = a y Il logaritmo è un esponente! La funzione logaritmo è l inversa della funzione esponenziale.
40 Funzione logaritmo Poichè la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale con la stessa base, il suo grafico è la riflessione del grafico della funzione esponenziale rispetto alla retta y = y y = (1, 0) y = y = log Inters. con È monotona? sì È invertibile? sì È limitata? no
41 Logaritmo naturale Il logaritmo in base e si chiama logaritmo naturale e si scrive ln = log e
42 Grafici della funzione logaritmo a > 1 0 < a < 1 Es. f ( ) log3 f ( ) log 1/ 3 y 3 y y 1 3 y (0, 1) (0, 1) (1,0) (1,0) y log 3 y log 1/ 3
43 Esercizi 1. Trovare il campo di esistenza delle seguenti funzioni: f = sen ; [ kπ, π + kπ, k = 0, ±1, ±, ] f = arcsen 1 4 ; [[ 1, 1]] 3 f = log 4 + ; [ > ] f = log 4 9 f = e 4 ; [ 0] ; [ 3 < < 0 o > 3]
44 Soluzione 1. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione: f = sen sen 0 0, π + kπ, k Z kπ, π + kπ, k Z.
45 Soluzione. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione: f = arcsen , Risolvendo le due disequazione si trova la soluzione.
46 . Trovare l immagine e l inversa della funzione f = arcsen Una trasformazione lineare m + q dilata (0 < m < 1), restringe (m > 1) e traslata una data funzione di q. Per m < 0 c è in più una riflessione rispetto all asse delle y. Per trovare l immagine basta calcolare gli estremi f 1, f 1. L immagine è data da π, π. L inversa si trova così y = arcsen 1 3seny sen y = =, quindi f 1 y = 1 3seny 4.
47 3. Stabilire se le seguenti funzioni sono pari o dispari: f = + 1 [pari] f = + ; [pari] 4 f = 3 ; [dispari ] f = + ; [dispari] f = + ; [né pari né dispari] cosh() = e +e ; senh() = e e le ultime due funzioni si chiamano coseno iperbolico e seno iperbolico.
48 Soluzione 1 4 ) f = log 4 9 Il dominio è dato dalla condizione 9 > 0. Visto che 9 = = 0, i punti critici del numeratore sono = 3, = 3. Il denominatore ha solo = 0 come punto critico Num Den Frazione n.d Il dominio della funzione è dato da 3,0 3,.
Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1
DettagliProprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni
DettagliUNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI
UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
DettagliFunzioni e grafici. prof. Andres Manzini
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)
DettagliCoordinate cartesiane nel piano
Coordinate cartesiane nel piano O = (0, 0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi
DettagliFUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE
FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce
Dettagli1. Funzioni reali di una variabile reale
Di cosa parleremo In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo di esistenza delle varie tipologie
DettagliDefinizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.
Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti
DettagliVerso il concetto di funzione
Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche
Dettaglix dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di
7. Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse Definizione: Una funzione f: A Bsi dice limitata superiormente od inferiormente se il suo condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente.
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
DettagliIntroduzione. Test d ingresso
Indice Introduzione Test d ingresso v vii 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5 Intervalli... 12 1.6 Valoreassolutoedistanza...
DettagliProgetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B
FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche
DettagliIntroduzione alla II edizione. Introduzione. Test d ingresso
Indice Introduzione alla II edizione Introduzione Test d ingresso v vii ix 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5
DettagliFunzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo
Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico
Dettagli1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE
1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di
Dettagli1.4 Geometria analitica
1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le
DettagliESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione
DettagliFunzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))
Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al
DettagliLe Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni
Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x
DettagliOttavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili
Ottavio Serra Esercizi di calcolo Funzioni invertibili Una funzione f: A B iniettiva e suriettiva è biunivoca e perciò invertibile. Ricordo che f è iniettiva se per tutti gli, y di A, f() = f(y) implica
DettagliFunzioni (parte II).
Funzioni (parte II). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 21 ottobre 214 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 1/ 55 Funzioni trigonometriche.
DettagliGli intervalli di R. (a, b R, a b)
Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione:
DettagliEsercizi su: insiemi, intervalli, intorni. 4. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di Z determinare A B, A B, a) A C d) C (A B)
Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di N determinare A B, A B, A c e B c. a) A = { N + = 0}, B = { N = 6}, b) A = { N < 5}, B = { N < },
DettagliFunzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari
Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni
DettagliGRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE. Il grafico della funzione. Appunti di Matematica xoomer.virgilio.
GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE Funzione opposta y = Il grafico della funzione funzione f( x ). f( x ) si ottiene simmetrizzando rispetto all asse x, il grafico della f( x ) Appunti di
DettagliFunzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni
Funzioni: definizioni e tipi Definizione di funzione Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione o applicazione da A a B una relazione che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo
DettagliCorso di Analisi Matematica. Funzioni continue
a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
DettagliFunzioni e loro invertibilità
Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A
DettagliEsercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni
Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Ottobre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti
DettagliStudio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2
Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta
1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra
DettagliEsercizi sulle Funzioni
AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Funzioni Esercizio svolto. Trovare i domini di definizione delle seguenti funzioni: a) f) sin + cos ; b) g) log ) ; c) h) sin + e sin. Soluzione. a) La
DettagliOsservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B
FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme
DettagliProf. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1
Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 CAPITOLO 8. LE FUNZIONI. 1. Generalità sulle funzioni.. Le rappresentazioni di una funzione.. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.. Le funzioni
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
DettagliFunzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source
Funzioni elementari Proporzionalità diretta e inversa Retta, funzione identità e funzione costante Parabola, funzione quadratica e cubica Funzione omografica Funzione esponenziale e logaritmica Funzioni
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte):
MATEMATICA a.a. 014/15 1a. Funzioni (II parte): Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari Funzione iniettiva y=f() 1 3 X 4 y 6 Y y y 1 y 3 y
DettagliUniversità degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *
Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *. Distanza tra due punti A ; ) e B ; ) del piano cartesiano: AB = ) + ) +. Punto medio M del segmento AB
DettagliUnità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1
Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione
Dettagliy = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:
Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx, la funzione
DettagliSoluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13
Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in
DettagliISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio.
Materia: Matematica. Docente : Varano Franco Antonio. Classe : 3 C Liceo Scientifico, opzione Scienze Applicate. ATTIVITA CONTENUTI PERIODO / DURATA LE ISOMETRIE. LE FUNZIONI. LA RETTA. Le isometrie, la
DettagliCorso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale
a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità
DettagliDiario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta
Diario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta 1. (1/10 Lu.) Generalità sugli insiemi, operazioni di unione, intersezione e prodotto cartesiano. Insiemi numerici: naturali,
DettagliEsercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni
Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i
DettagliAnno 5 Funzioni inverse e funzioni composte
Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:
DettagliProgramma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G
Liceo Scientifico Statale G. BATTAGLINI Corso Umberto I 74100 Taranto Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G Prof. Paolo Pantano Richiami di Algebra Equazioni e disequazioni Definizioni.
DettagliMatematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com
Matematica di base Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Calendario 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare 28 Ottobre Geometria elementare 4 Novembre Insiemi
DettagliFUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G.
FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f.1.2.3.4
DettagliG5. Studio di funzione - Esercizi
G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le
DettagliBreve formulario di matematica
Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliDispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi
Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi
DettagliSTUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO 2 di 35 Indice 1 SCHEMA PER LO STUDIO DEL GRAFICO DI FUNZIONE... 4 2 ESEMPI... 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 FUNZIONE ESPONENZIALE... 11 FUNZIONE
DettagliUnità Didattica N 2 Le funzioni
Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.
DettagliFunzioni Pari e Dispari
Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA
ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a
DettagliFunzioni elementari. per ogni x R. 1 se n =0
Funzioni elementari 1 Funzioni elementari...pag. 1 1.1. Potenze ad esponente naturale...pag. 1 1.2. Potenze ad esponente intero negativo...pag. 2 1.3. Potenze ad esponente razionale positivo non intero...pag.
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
Dettaglix log(x) + 3. f(x) =
Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d
DettagliESERCIZI PRECORSO DI MATEMATICA
ESERCIZI PRECORSO DI MATEMATICA EQUAZIONI 1. cot( 10 ) 3. tan 3 3. cos( 45 ) +1 0 4. sin sin 5. tan( 180 ) tan( 3) 6. 5 cos 4sin cos 7. 3sin 3 cos 0 8. 3 cos + sin 3 0 9. sin3 sin( 45 + ) 10. 6sin 13sin
Dettagli, per cui le due curve f( x)
DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica http://spazioinwind.libero.it/adolscim DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione
DettagliDiario del Corso Analisi Matematica I
Diario del Corso Analisi Matematica I 1. Martedì 1 ottobre 2013 Presentazione del corso. Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, rappresentazione geometrica, sommatoria, principio
Dettagli.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1
Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. A x 1. x. x 3..y 1.y.y 3 B C.y 5 x 4..y
Dettagli3. Segni della funzione (positività e negatività)
. Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagli4. Funzioni elementari
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante
DettagliAnalisi Matematica 1
Analisi Matematica 1 Schema provvisorio delle lezioni A. A. 2015/16 1 Distribuzione degli argomenti delle lezioni Argomento ore tot Numeri reali 11 11 Numeri complessi 1 12 Spazio euclideo 2 14 Topologia
DettagliDiario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17)
Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) 16 settembre 2016 (2 ore) Presentazione del corso. Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Come si risolve 2 + 1 = 0? 19 settembre
DettagliLe funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.
Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto
DettagliAnalisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A
Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE
DettagliAnno Scolastico:
LICEO SCIENTIFICO DI STATO "G. BATTAGLINI" TARANTO PROGRAMMA DI MATEMATICA svolto nella Classe III Sezione A. Anno Scolastico: 2012-2013. Docente: Francesco Pantano. 1. Disequazioni. Richiami sulle disequazioni
DettagliRDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2
CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più
Dettagli12/10/05 (2 ore): Esercizi vari sull ellisse, iperbole, parabola. Disequazioni in due variabili. Equazione dell iperbole equilatera. Esempi.
Università degli Studi di Trento Facolta di Scienze Cognitive Corso di Laurea in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Applicata Corso di Analisi Matematica - a.a. 2005/06 Docente: Prof. Anneliese
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione
DettagliESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI
ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI 0 novembre 206 Esercizi Esercizio n. Si consideri la funzione f(x) = 7 x 2 + 3 Dominio: R Intersezioni con gli assi: Intersezioni con l asse x: { y = 0 y = 7 x 2 + 3.
DettagliFunzioni. Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi
Funzioni Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi Materia: Matematica Autore: Mario De Leo Definizioni Una quantità il cui valore può essere cambiato
DettagliGeometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa
Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione
DettagliDERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia
DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti
Dettagli2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica.
2ALS Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. Si consiglia il libro: Matematica-recupero dei debiti formativi e ripasso estivo 2 ISBN 978-88-24741279
DettagliESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE
ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 4 Dicembre 2012 L espressione
DettagliFUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE INTERVALLI Per definire il campo di esistenza (o dominio) di una funzione reale di variabile reale y=f()si devono indicare talvolta insiemi di numeri reali che su
DettagliESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INFORMATICA. Tutor: Dottoressa Simona DI GIROLAMO
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INFORMATICA Tutor: Dottoressa Simona DI GIROLAMO ANNO ACCADEMICO 015-016 1 Funzioni Definizione 1.1 Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione
DettagliLe funzioni reali di una variabile reale
Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B
DettagliSULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI
SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un
Dettagli--- Domande a Risposta Multipla --- Numeri, Frazioni e Potenze
Corso Zero di Matematica per FARMACIA A.A. 009/0 Prof. Massimo Panzica Università degli Studi di Palermo FARMACIA CORSO ZERO DI MATEMATICA 009/0 --- Domande a Risposta Multipla --- Numeri, Frazioni e Potenze
DettagliNote di trigonometria
Note di trigonometria Daniel Gessuti indice Elementi di Trigonometria Seno, coseno e tangente Relazione fondamentale Secante, cosecante e cotangente 3 Le funzioni seno, coseno e tangente e le loro inverse
DettagliIndice. Prefazione. Fattorizzazione di A + B Fattorizzazione di trinomi particolari 22 2
Prefazione XI Test di ingresso 1 Capitolo 1 Insiemi numerici, intervalli e intorni 5 1.1 Introduzione 5 1.2 Insiemi generici 5 1.2.1 Relazioni e operazioni tra insiemi 7 1.3 Insiemi numerici 8 1.3.1 Rappresentazione
DettagliMatematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica
Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi
Dettagli1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche
. Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi
DettagliRICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1
RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI Angela Donatiello 1 Una funzione del tipo f() = m + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE,
DettagliLO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI
Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa
Dettagli1. Funzioni e grafici elementari
1. Funzioni e grafici elementari Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 1 A.A. 2016/17 Funzioni e grafici Grafici deducibili Funzioni periodiche Funzioni simmetriche
DettagliFunzioni elementari: logaritmi 1 / 11
Funzioni elementari: logaritmi 1 / 11 Logaritmi La funzione logaritmica é definita come g: (0,+ ) R x log a x con a > 0 e a 1. 2 / 11 Logaritmi La funzione logaritmica é definita come g: (0,+ ) R x log
DettagliISTITUTO TECNICO DEI TRASPORTI E LOGISTICA
ISTITUTO TECNICO DEI TRASPORTI E LOGISTICA NAUTICO SAN GIORGIO NAUTICO C.COLOMBO PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE IAA MATERIA : MATEMATICA INSEGNANTE : PROF. Simona TRESCA Programma di Algebra: U.D. 1 : I
Dettagli