Note di trigonometria

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1 Note di trigonometria Daniel Gessuti indice Elementi di Trigonometria Seno, coseno e tangente Relazione fondamentale Secante, cosecante e cotangente 3 Le funzioni seno, coseno e tangente e le loro inverse 3 Formule 7 Angoli associati 7 Formule trigonometriche 8 elementi di trigonometria. Seno, coseno e tangente Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio unitario ed associamo ad essa un sistema di riferimento cartesiano Oxy, di centro O. Tale circonferenza si chiama circonferenza goniometrica ed è mostrata in figura. Consideriamo su questa circonferenza un punto Q e tracciamo il raggio passante per esso. Proiettiamo poi Q sull asse delle ascisse e chiamiamo P il punto di intersezione con tale asse. Indichiamo con α l angolo il cui primo lato coincide con il semiasse positivo delle ascisse ed il secondo coincide con il raggio OQ. In questo modo abbiamo costruito un triangolo rettangolo la cui ipotenusa OQ ha misura unitaria. A questo punto, facendo riferimento alla figura, possiamo dare le seguenti definizioni: Definizione. Dato un qualsiasi triangolo rettangolo OPQ retto in P si definisce seno il rapporto tra il cateto opposto all angolo e l ipotenusa. In simboli il seno dell angolo α è definito così: sin(α = QP OQ.

2 Q O α P Figura La circonferenza goniometrica. Osserviamo che nel caso particolare di una circonferenza goniometrica sin(α = QP. Definizione. Dato un qualsiasi triangolo rettangolo OPQ retto in P si definisce coseno il rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa. In simboli il coseno dell angolo α è definito così: cos(α = OP OQ. Osserviamo che nel caso particolare di una circonferenza goniometrica cos(α = OP. Definizione 3. Dato un qualsiasi triangolo rettangolo OPQ retto in P si definisce tangente il rapporto (dove è definito tra il seno ed il coseno di uno stesso angolo cioè rapporto tra il cateto opposto all angolo e il cateto adiacente all angolo. In simboli la tangente dell angolo α è definita così: tan(α = sin(α cos(α = QP OP. Osserviamo che nel caso particolare di una circonferenza goniometrica tan(α = QP OP.. Relazione fondamentale Tra seno e coseno di uno stesso angolo sussiste la seguente relazione di fondamentale importanza in molti aspetti settori della Matematica: sin (α + cos (α =.

3 La dimostrazione di questa formula è doverosa e molto facile. ( ( sin (α + cos QP OP (α = + = QP + OP OQ OQ OQ =..3 Secante, cosecante e cotangente Sempre con riferimento alla figura diamo le seguenti: Definizione 4. Dato un qualsiasi triangolo rettangolo OPQ retto in P si definisce (deve ha significato secante il reciproco del coseno cioè sec(α = cos(α. Definizione 5. Dato un qualsiasi triangolo rettangolo OPQ retto in P si definisce (deve ha significato cosecante il reciproco del seno cioè csc(α = sin(α. Definizione 6. Dato un qualsiasi triangolo rettangolo OPQ retto in P si definisce (deve ha significato cotangente il reciproco della tangente cioè cot(α = tan(α..4 Le funzioni seno, coseno e tangente e le loro inverse Le funzioni seno, coseno e tangente sono funzioni periodiche di periodo rispettivamente π, π e π. Per questo motivo quando si studiano tali funzioni non si considera tutto il loro dominio, ma solo un periodo. Seno e arcoseno sin( : R [, ]. La figura mostra il grafico della funzione sin in un periodo centrato nell origine. La funzione seno non è invertibile in R e nemmeno in un periodo, per poter invertire tale funzione bisogna restringere ulteriormente il dominio, cioè considerare come dominio l intervallo [ π/, π/]. L inversa della funzione si chiama arcoseno ed è definita così: arcsin( : [, ] [ π/, π/]. La figura 3 mostra il grafico della funzione arcsin. 3

4 3 4 Figura Funzione sin(. Figura 3 Funzione arcsin(. Coseno e arcocoseno cos( : R [, ]. La figura 4 mostra il grafico della funzione cos in un periodo centrato nell origine. La funzione coseno non è invertibile in R e nemmeno in un periodo, per poter invertire tale funzione bisogna restringere ulteriormente il dominio, cioè considerare come dominio l intervallo [0, π]. L inversa della funzione si chiama arcocoseno ed è definita così: arccos( : [, ] [0, π]. La figura 5 mostra il grafico della funzione arccos. Tangente e arcotangente tan( : R [, ]. La figura 6 mostra il grafico della funzione tan in un periodo centrato nell origine. 3 4 Figura 4 Funzione cos(. 4

5 Figura 5 Funzione arccos(. 3 4 Figura 6 Funzione tan(. La funzione tangente non è invertibile in R ma lo è in un periodo. L inversa della funzione si chiama arcotangente ed è definita così: arctan( : [, ] [ π/, π/]. La figura 7 mostra il grafico della funzione arctan. Le funzioni iperboliche Per completezza ricordiamo le definizioni delle funzioni iperboliche: Seno iperbolico sinh(x = ex e x. 3 4 Figura 7 Funzione arctan(. 5

6 Coseno iperbolico Tangente iperbolica cosh(x = ex + e x. tanh(x = sinh(x cosh(x = ex e x e x + e x. Secante iperbolica Cosecante iperbolica Cotangente iperbolica Arcoseno iperbolico sech(x = csch(x = coth(x = cosh(x = e x + e x. sinh(x = e x e x. tanh(x = ex + e x e x e x. ( arcsinh(x = ln x + x +. Arcocoseno iperbolico ( arccosh(x = ln x + x. Arcotangente iperbolica arctanh(x = ln ( x x = ( + x ln. x Relazione fondamentale (di immediata dimostrazione cosh (x sinh (x =. 6

7 formule Funzioni goniometriche di angoli notevoli 0 π6 π4 π/3 π/ sin( 0 / / 3/ cos( 3/ / / 0 tan( 0 3/3 3 cot( 3 3/3 0 sec( 3/3 csc( 3/3 Tabella Funzioni goniometriche di angoli notevoli (espressi in radianti.. Angoli associati Angoli complementari sin α = cos α cos α = sin α tan α = cot α Angoli anticomplementari sin + α = cos α cos + α = sin α tan + α = cot α Angoli supplementari sin(π α = sin α cos (π α = cos α tan(π α = tan α Angoli antisupplementari sin(π + α = sin α cos (π + α = cos α tan(π + α = tan α 7

8 Angoli esplementari ed opposti sin ( α = sin α cos ( α = cos α tan ( α = tan α. Formule trigonometriche Formule di sottrazione Formule di addizione Formule di duplicazione sin(α β = sin α cos β cos α sin β cos(α β = cos α cos β + sin α sin β tan α tan β tan(α β = + tan α tan β sin(α + β = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β = cos α cos β sin α sin β tan α + tan β tan(α + β = tan α tan β sin(α = sin α cos α cos(α = cos α sin α tan(α = tan α tan α Formule di bisezione ( α sin ( α cos ( α tan = ± cos α = ± + cos α = ± cos α + cos α 8

9 Formule di prostaferesi ( ( α + β α β sin α + sin β = sin cos ( ( α + β α β sin α sin β = cos cos ( ( α + β α β cos α + cos β = cos cos ( ( α + β α β cos α cos β = sin sin Formule di Werner sin α sin β = [ ] cos(α β cos(α + β cos α cos β = [ ] cos(α + β + cos(α β sin α cos β = [ ] sin(α + β + sin(α β 9