Elementi di trigonometria

Transcript

1 Prof. Raffaele SANTORO Elementi di trigonometria y = cosx y = sinx Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 99-9

2 99 - Tutti i diritti riservati Riproduzione vietata con ogni mezzo R. SANTORO:Elementi di trigonometria

3 Indice Introduzione... 4 Misura degli angoli... 5 Esercizi... 5 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze... 8 Esercizi Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante... 0 Esercizio... 5 Calcolo di funzioni goniometriche per angoli particolari... Esercizi... 6 Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche... 7 Formule di addizione e sottrazione... 4 Esercizi Formule di duplicazione, di bisezione e formule parametriche... 6 Esercizi Equazioni goniometriche fondamentali... 0 a) Equazione sinx = m... 0 b) Equazione cosx = m... c) Equazione tanx = m... Esercizi... 0 Equazioni goniometriche di tipo particolare... a) Equazioni del tipo acos x bsin x c b) Equazioni del tipo asin x bcos x c c) Equazioni del tipo asin x bcos x d) Equazioni del tipo asin x bcos x c... 5 e) Equazioni del tipo asin x bsin xcos x ccos x d... 5 Esercizi... 5 Risoluzione dei triangoli rettangoli... 6 Esercizi... 7 Risoluzione di un triangolo qualunque... 8 Area di un triangolo... 8 Area di un parallelogramma... 8 Teorema dei seni... 9 Teorema delle proiezioni... 9 Teorema del coseno... 9 Esercizi... Studio delle funzioni y k sin( axb) y k cos( axb) e... Esercizi Disequazioni goniometriche... 5 Esercizi Appendice: Valori numerici delle funzioni goniometriche... 4 R. SANTORO:Elementi di trigonometria

4 Introduzione Queste note di Trigonometria, se da una parte sono state scritte esplicitamente per gli studenti delle Scuole Europee, dall'altra hanno anche l'ambizione di servire ad un triplice scopo: come corso di base per studenti di scuola media superiore come materiale di riferimento per una ripetizione per gli esami di maturità o per dei corsi universitari come corso rapido per qualunque persona dotata di cultura media che voglia cimentarsi per la prima volta nello studio di tale disciplina. Un'occhiata all'indice mostra chiaramente i contenuti essenziali ed anche i limiti del lavoro proposto. Infatti, se è possibile trovare chiaramente le definizioni delle funzioni goniometriche, le loro proprietà, la loro rappresentazione grafica e quasi tutto il formulario indispensabile, manca la discussione su come risolvere alcuni tipi particolari di equazioni goniometriche, mancano le formule di Briggs (!), o altre applicazioni particolari alla geometria. Ho preferito non dedicare neanche una parola all'uso della calcolatrice elettronica, per il calcolo delle funzioni goniometriche e delle loro inverse, in quanto esistono sul mercato diversi tipi di calcolatrici, ciascuna delle quali munita del manuale d'uso. Per contro ho preferito mettere alla fine delle note un'appendice con una tavola numerica dei valori delle funzioni goniometriche per angoli che vanno da 0 a 45. Luxembourg, febbraio 99 Nella speranza di non incorrere, in tal modo, nelle invettive del Prof. Giulio CORTINI, che molti anni fa scrisse sulla terza pagina dell'unità un articolo il cui titolo suonava vagamente: Trigonometria e patriottismo nazionale. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 4

5 Misura degli angoli Gli angoli si possono misurare in gradi sessagesimali, oppure in radianti. Un grado sessagesimale () è la 60-ma parte dell'angolo giro. In questo modo: - un angolo giro misura 60 - un angolo piatto misura 80 - un angolo retto misura 90. Esistono dei sottomultipli del grado, il primo ('), uguale a /60 di grado, ed il secondo ("), uguale ad /60 di primo. Un radiante è quell'angolo al centro di una circonferenza che si oppone ad un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza. In questo modo: - un angolo giro misura lunghezza circonferenza r radianti radianti radianti raggio r - un angolo piatto misura radianti - un angolo retto misura radianti. In generale, per convertire i gradi sessagesimali in radianti e viceversa, basta tener conto della seguente proporzione (dove indica la misura di un angolo in gradi sessagesimali e la misura dello stesso angolo in radianti): () () La relazione () consente di esprimere la misura di un angolo in radianti conoscendo la sua misura in gradi. La relazione () consente di esprimere la misura di un angolo in gradi conoscendo la sua misura in radianti. Esempi Dalla relazione () si ha subito, ponendo in essa =, che un radiante corrisponde a circa 577'44". Dalla relazione (), ponendo = 0, si ha per lo stesso angolo una misura in radianti = /6. Esercizi Convertire in radianti i seguenti angoli: 5, 45, 00'8". Convertire in gradi i seguenti angoli espressi in radianti: 0.,.45, /8. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 5

6 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot. y O P x Si definisce, nel piano cartesiano, circonferenza goniometrica quella circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio uguale ad. Il punto P si chiama punto goniometrico corrispondente all'angolo goniometrico (misurato sempre a partire dalla direzione positiva dell'asse x, in senso antiorario se positivo, in senso orario se negativo). La rappresentazione geometrica dell'angolo è definita a meno di un multiplo intero di 60. Si definisce seno dell'angolo il numero reale indicato sin e dato da: PM PM sin PM () OP Si definisce coseno dell'angolo il numero reale indicato cos e dato da: OM OM cos OM (4) OP La definizione () consente di affermare che: il seno di un angolo goniometrico è uguale all'ordinata del punto goniometrico corrispondente. La definizione (4) consente di affermare che: il coseno di un angolo goniometrico è uguale all'ascissa del punto goniometrico corrispondente. Si definisce tangente dell'angolo il numero reale indicato tan e dato da: sin tan (5). cos Si definisce cotangente dell'angolo il numero reale indicato cot e dato da: cos cot sin tan (6). y B Q Per trovare il significato geometrico di tan, basta fare riferimento alla figura a lato e scrivere che (tenendo P T presente la similitudine dei due triangoli rettangoli OMP e OAT): sin tan cos PM OM AT OA AT x O AT. A Analogamente, dalla stessa figura (tenendo presente la similitudine dei triangoli rettangoli OMP e OBQ), si ha il significato geometrico di cot: cos cot. sin OM BQ PM BQ OB BQ R. SANTORO:Elementi di trigonometria 6

7 Dalle definizioni precedenti delle funzioni goniometriche è possibile stabilire la seguente tabella sul segno di dette funzioni al variare dell'angolo : funzione angolo 0<<90 90<<80 0<<70 0<<60 Periodicità sin cos tan cot La figura seguente illustra graficammente le variazioni nel segno delle funzioni goniometriche quando il punto goniometrico corrispondente si trova in uno dei quattro quadranti: s i n co s ta n co t L'ultima colonna della tabella precedente ('Periodicità') fa riferimento ad una proprietà importante delle funzioni goniometriche: i valori di dette funzioni si ripetono periodicamente come segue: sin sin( 60) sin( 70)... sin( k 60) cos cos( 60) cos( 70)... cos( k 60) tan tan( 80) tan( 60)... tan( k 80 ) cot cot( 80 ) cot( 60)... cot( k 80) dove k è un numero intero (positivo o negativo) qualsiasi. La periodicità delle funzioni goniometriche è importante in quanto consente di limitare lo studio di tali funzioni su un sottoinsieme opportuno dell'insieme dei numeri reali R. Infine tale aspetto (la periodicità) delle funzioni goniometriche fa sì che queste funzioni siano molto utilizzate nella descrizione matematica di fenomeni naturali che hanno una periodicità temporale: moti periodici in generale, oscillazioni, moti rotatori, moti ondulatori, e così via. Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OMP della figura precedente si ha: PM OM OP (sin ) (cos ) R. SANTORO:Elementi di trigonometria 7

8 La relazione precedente si scrive anche: sin cos (7). La (7) è detta anche relazione fondamentale della gonometria. Da questa è possibile dedurre alcune conseguenze immediate: a) Le funzioni seno e coseno sono funzioni limitate: - sin + - cos + b) sin cos cos sin (8) (9) c) Dividendo entrambi i membri della (7) per cos (supposto diverso da 0) si ha successivamente: sin tan cos cos cos cos tan cos tan (0) sin sin cos tan cos tan cos sin tan tan tan () Le indeterminazioni nel segno delle relazioni (8), (9), (0) e () vengono risolte conoscendo la misura dell'angolo. Le formule (8)-() sono molto importanti in quanto consentono di determinare i valori delle funzioni goniometriche di un angolo a partire dalla conoscenza di uno solo di questi valori. La relazione (8) consente di calcolare sin conoscendo il valore di cos. La relazione (9) consente di calcolare cos conoscendo il valore di sin. La relazione (0) consente di calcolare cos conoscendo il valore di tan. La relazione () consente di calcolare sin conoscendo il valore di tan. Per tutte le formule, bisogna fare attenzione al valore dell angolo per attribuire il giusto segno al valore della funzione goniometrica calcolata! R. SANTORO:Elementi di trigonometria 8

9 Esempi Sia sin=/ ed compreso tra 90 e 80. Si ha: 5 cos tan cot tan 5. Sia tan=- ed compreso tra 70 e 60. Si ha: sin ( ) 0 cos 0 cot.. 5 Esercizi Sapendo che sin e che è compreso tra 80 e 70, calcolare cos,tan,cot. Sapendo che cot = e che è compreso tra 80 e 70, calcolare sin, cos,tan. Sapendo che cos, calcolare sin,tan,cot, distinguendo le varie soluzioni possibili. 4 Il numero reale m rappresenta il seno di un angolo e viene dato come soluzione dell'equazione di secondo grado: m + 0m + = 0. a) Discutere le soluzioni dell'equazione. b) Determinare, per i valori accettabili di m, i valori delle corrispondenti funzioni goniometriche coseno, tangente, cotangente. 5 Un angolo acuto è tale che tan 4. Determinare i valori di sin, di cos e di cot. 6 Se m rappresenta la tangente di un angolo, trovare i valori possibili di m dati dall'equazione: m m. (Attenzione: per un'equazione di secondo grado, il cui coefficiente del m m termine di secondo grado si annulla, una radice è infinita...) R. SANTORO:Elementi di trigonometria 9

10 4 Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante Con l'espressione 'riduzione al primo quadrante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica di un angolo compreso tra 0 e 90. La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti: sin(80 ) sin cos(80 ) cos tan(80 ) tan sin(80 ) sin cos(80 ) cos tan(80 ) tan sin(60 ) sin cos(60 ) cos tan(60 ) tan () () (4). P ' ' y 80- O P x La figura a lato illustra le relazioni (). In effetti i triangoli OMP e OM'P' sono uguali ed allora si ha: P'M'=PM sin( 80) sin OM'=-OM cos( 80) cos e dunque anche: sin( 80) tan( 80) cos( 80) sin tan cos Considerazioni analoghe, con le opportune modifiche, consentono di dimostrare anche le () e le (4). Con l'espressione 'riduzione al primo ottante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica di un angolo compreso tra 0 e 45. La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti: sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot (5) R. SANTORO:Elementi di trigonometria 0

11 Le due operazioni combinate di riduzione al primo quadrante e di riduzione al primo ottante consentono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo qualunque conoscendo una opportuna funzione goniometrica di un angolo compreso tra 0 e 45. In questo modo è stato possibile costruire delle tavole numeriche con i valori delle funzioni goniometriche solo per angoli compresi tra 0 e 45 (vedi Appendice a pag. 4). Esempi sin45 = sin( ) = -sin65 = -sin(90-5) = -cos5. tan0 = tan(60-0) = -tan0. In ogni caso oggi, con la larga diffusione delle calcolatrici elettroniche, questo aspetto pratico ha perduto importanza. Resta comunque l'interesse teorico di queste trasformazioni, che possono ritornare utili per semplificare, ad esempio, espressioni contenenti funzioni goniometriche. Esercizio Calcolare le funzioni goniometriche degli angoli seguenti: 70, 0, 0, 45, mediante opportune funzioni goniometriche di angoli minori o uguali a Calcolo di funzioni goniometriche per angoli particolari Utilizzando la definizione delle funzioni goniometriche ed alcune proprietà geometriche elementari dei triangoli rettangoli, è possibile determinare il valore esatto di queste funzioni per angoli particolari per cui tale calcolo risulta particolarmente semplice. Ad esempio, volendo determinare i valori delle funzioni goniometriche di 60, basta fare riferimento alla figura seguente ed applicare ad essa il teorema di Pitagora: O 60 / P M sin 60 PM cos 60 OM ; tan60. ; E' possibile anche avere subito i valori delle funzioni goniometriche di 0. Infatti si ha: sin 0 sin( 9060) cos 60 ; cos 0 cos( 9060) sin 60 ; tan0 tan( 9060) cot 60. R. SANTORO:Elementi di trigonometria

12 La tabella seguente fornisce i valori delle funzioni goniometriche per angoli particolari (espressi in gradi sessagesimali e in radianti): in gradi in radianti sin cos tan cot Esercizi Determinare le espressioni esatte di sin45 e cos45. Tenendo presente che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza, dimostrare (nell'ordine) che: sin8 4 5, cos tan [Suggerimento: prendendo uguale a il raggio della circonferenza, il lato del decagono è uguale sin8; inoltre se x è il lato del decagono, per la proprietà enunciata deve valere la proporzione: : x x: x, da cui l'equazione: x x...]. Determinare le espressioni esatte di: sin 7, cos 7, tan 7. 4 Calcolare: a) sin 0sin 60, sin 90 b) cos 0sin 60 sin8 sin 0 cos 0 c) sin 60 cos 60 sin 45 cos 45 d) tan 0 e) tan8 tan 7, tan 90 f) sin8 sin 7, sin 90 6 Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche Siccome le funzioni goniometriche sono definite per qualunque angolo, è possibile determinarne il valore con l'ausilio di opportune tavole numeriche o, meglio, con l'ausilio di una calcolatrice elettronica scientifica. R. SANTORO:Elementi di trigonometria

13 In questo modo, per una data funzione goniometrica, si stabilisce una corrispondenza tra un dato angolo ed il valore della funzione goniometrica per tale angolo, come nello schema che segue: sin: R R: x sin x, R cos: R R: x cos x, R tan: R R: x tan x R E' possibile rappresentare graficamente queste funzioni, in un sistema di coordinate ortonormali xoy, in cui x rappresenta l'angolo (ad esempio in radianti) e y rappresenta il valore della funzione goniometrica considerata. Si ottengono, allora i grafici seguenti: y=sinx y=cosx y=tanx R. SANTORO:Elementi di trigonometria

14 Dai grafici precedenti è anche evidente la periodicità delle funzioni disegnate. Infine, è da notare che la funzione tangente non è definita per angoli che sono multipli interi dispari (positivi o negativi) di un angolo retto. 7 Formule di addizione e sottrazione Con le funzioni goniometriche bisogna fare attenzione a non fare alcuni errori che deriverebbero dall'applicazione di certe proprietà che si suppongono vere, quando vere non sono. Ad esempio, risulta che: sin(0 60) sin 90 sin 0 sin 60 sin(0 60) sin 0 sin 60. In questo paragrafo verranno dedotte delle formule corrette per calcolare le funzioni goniometriche della somma o della differenza di due angoli, senza incorrere in errori ingenui. P R Q E' possibile considerare i punti goniometrici P, corrispondente all'angolo, Q corrispondente all'angolo, R corrispondente all'angolo - e A corrispondente all'angolo 0. Allora i suddetti punti, nel piano cartesiano, hanno coordinate: O A A(0,) P(cos,sin) Q(cos, sin) R(cos(- ), sin(-)) AR=PQ AR = PQ Le corde AR e PQ della circonferenza goniometrica hanno la stessa lunghezza, il che comporta: L'ultima relazione si puo riscrivere (tenendo conto delle coordinate dei punti implicati): cos( ) sin( ) 0 (cos cos ) (sin sin ) cos ( ) cos( ) sin ( ) cos cos cos cos sin sin sin sin Tenendo conto della relazione fondamentale della goniometria e dividendo successivamente primo e secondo membro della relazione precedente per -, si ha: cos( ) cos cos sin sin (6) La relazione (6) è la prima delle formule di addizione e sottrazione. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 4

15 A partire dalla (6), cambiando in - e tenendo presente che cos(-) = cos e che sin(-) = -sin, si ha: cos( ) cos cos sin sin (7) Se, invece, sempre nella (6), si cambia in 90-, si ha: cos( 90 ) cos 90( ) cos( 90)cos sin( 90)sin Se, infine, nella (8), si cambia in -, si ha: sin( ) sin cos sincos (8) sin( ) sin cos sincos (9) Dalle relazioni (6)-(9) è possibile ottenere le formule di addizione e sottrazione per la tangente. Omettendo la facile dimostrazione, si può scrivere: tan tan tan( ) tan tan tan tan tan( ) tan tan (0) () Esempi Calcolare sin75. Si ha: sin75 = sin(0 + 45) = sin0cos45 + sin45cos0 = 4. Calcolare tan5. Si ha: tan45 tan0 tan5 tan( 450) tan45 tan0. 9 Esercizi Calcolare: sin5, cos5, tan75, sin05. Dimostrare le formule (0) e (). e sono angoli acuti tali che sin e cos. Determinare le espressioni esatte di sin,cos, tan. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 5

16 4 è un angolo acuto e un angolo ottuso tali che sin e cos. Determinare le sin,cos, tan. espressioni esatte di 5 e sono angoli acuti tali che sin e cos. Determinare le espressioni esatte di sin,cos, cot. 6 e sono angoli acuti tali che cos e 90. Determinare le espressioni esatte di sin,cos, tan. 8 Formule di duplicazione, di bisezione e formule parametriche A partire dalle formule di addizione è possibile stabilire le formule di duplicazione, formule che consentono il calcolo delle funzioni goniometriche di un angolo a partire dalle funzioni goniometriche dell'angolo. In effetti si ha: sin sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos sin tan tan tan tan tan( ). tan tan tan Riassumendo, si sono ottenuti i seguenti risultati: sin sin cos cos sin cos cos sin tan tan tan () Le tre relazioni () si chiamano formule di duplicazione. Riscrivendo la terza espressione di cos nelle () e ponendo in essa al posto di, si ha: cos sin sin cos Riscrivendo la seconda espressione di cos nelle () e ponendo in essa al posto di, si ha: R. SANTORO:Elementi di trigonometria 6

17 cos cos cos cos Infine, facendo il rapporto membro a membro delle ultime due relazioni, si ha: sin cos tan cos cos Da questa espressione 'irrazionale' di tan è possibile ottenere ancora due espressioni 'razionali', moltiplicando sotto radice, numeratore e denoperatore per esspressioni opportune come segue: tan ( cos )( cos ) ( cos )( cos ) ( cos )( cos ) ( cos )( cos ) ( cos ) cos cos ( cos ) cos sin sin cos Riassumendo, si sono ottenuti i risultati seguenti: cos cos cos cos cos sin ; cos ; tan sin sin cos () Le tre relazioni () si chiamano formule di bisezione e consentono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo in funzione di opportune funzioni goniometriche di un angolo doppio. In queste formule, un certo interesse rivestono specialmente le due espressioni razionali di tan. Infine, riscrivendo la terza delle (), ponendo in essa tan tan tan al posto di, si ha: tan sin sin cos tan tan tan tan R. SANTORO:Elementi di trigonometria 7

18 cos cos sin tan tan tan tan tan Ponendo t tan, le tre formule precedenti si riscrovono così: t sin t t cos t t tan t (4) e si chiamano formule parametriche, in quanto consentono di determinare (in funzione del parametro t tan ) sin, cos e tan, con delle espressioni razionali, in cui non compaiono radici quadrate. Esercizi Applicando opportunamente le formule di addizione e quelle di duplicazione, dimostrare le seguenti formule di triplicazione: sin sin 4sin cos 4cos cos tan tan tan tan Combinando opportunamente le formule di addizione, dimostrare le seguenti formule di Werner: sin sin cos( ) cos( ) cos cos cos( ) cos( ) sin cos sin( ) sin( ) Combinando opportunamente le formule di addizione, dimostrare le seguenti formule di prostaferesi: p q p q sin p sin q sin cos p q p q sin p sin q sin cos p q p q cos p cos q cos cos p q p q cos p cos q sin sin R. SANTORO:Elementi di trigonometria 8

19 4 Gli angoli acuti e sono tali che sin 4 5 e sin. Calcolare esattamente: a) sin,cos, tan,cos( 45 ) b) sin,cos, tan,sin ( ) c) cos,sin, tan, tan ( ) d) cot,cot. 5 Gli angoli acuti e sono tali che sin e cos. Calcolare le espressioni esatte di: tan( ), tan( ). 6 Calcolare le esppressioni esatte di: sin6,cos 6,tan6, sin54,cos 54,tan54. 7 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio precedente), fattorizzare le seguenti somme: a) sin4x - sinx b) cos4x + sinx c) sinx + sinx d) cosx - cosx. e) sin 4x sin 6x f) cos 4x cos 6x 8 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio precedente), semplificare le seguenti frazioni: sin sin a) 4x 6x cos4x - cos6x cos 6x cos 4x b) sin x cos 4x cos x c) sin x 9 Equazioni goniometriche fondamentali A volte è necessario trovare tutti gli angoli, se esistono, che soddisfano una determinata relazione fra espressioni goniometriche. Relazioni di tal genere, che risultano soddisfatte solo per particolari valori degli angoli, si chiamano equazioni goniometriche. Per risolvere le equazioni goniometriche bisogna sempre fare riferimento ad equazioni goniometriche fondamentali, che sono anche le piú semplici possibili. Queste equazioni sono del tipo: sinx = m, cosx = m, tanx = m, dove x è l'angolo incognito che bisogna determinare in modo che l'equazione sia verificata. a) Equazione sinx = m Per questa equazione deve essere - m +, altrimenti non ha significato e non ammette, quindi, soluzioni. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 9

20 Se m =, l'equazione sin x = ammette la soluzione x = 90, se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,60[, e la soluzione x = 90 + k60 (con k intero, positivo o negativo), se si considerano le soluzioni comprese nel domionio D = R. Se m = -, l'equazione sin x = - ammette la soluzione x = 70, se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,60[, e la soluzione x = 70 + k60 (con k intero, positivo o negativo, se si considerano le soluzioni comprese nel domionio D = R. Se - < m < +, l'equazione sinx = m, ammette le due soluzioni x = x = = 80 -, se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,60[, e le soluzioni: x k 60 k 80 x 80 k 60 ( k ) 80 se si considerano le soluzioni comprese nel domionio D = R. Le due soluzioni precedenti possono riassumersi nell'unica soluzione: h x ( ) h80, dove è il piú piccolo angolo positivo tale che sin = m. Esempio Risolvere l'equazione sin x. Essendo 0 il piú piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono date da: h x ( ) 0h80. In particolare, cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [-80, 80], queste sono: x 0 (ottenuta con h = ) e x 50 (ottenuta con h = -); cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [0, 60 ], queste sono x 0 (ottenuta con h = 0) e x 0 (ottenuta con h = ). Sul grafico di sopra si vedono chiaramente le soluzioni nell intervallo [-480, +480 ], soluzioni ottenute come punti d intersezione della funzione y sin x con la retta y. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 0

21 b) Equazione cosx = m Per questa equazione deve essere - m +, altrimenti non ha significato e non ammette, quindi, soluzioni. Se m =, l'equazione cos x = ammette la soluzione x = 0, se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,60[, e la soluzione x = k60 (con k intero, positivo o negativo), se si considerano le soluzioni comprese nel domionio D = R. Se m = -, l'equazione cos x = - ammette la soluzione x = 80, se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,60[, e la soluzione x = 80 + k60 (con k intero, positivo o negativo, se si considerano le soluzioni comprese nel domionio D = R. Se - < m < +, l'equazione cosx = m, ammette le due soluzioni x = x = = 60 -, se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,60[, e le soluzioni: x k 60 x 60 k 60 ( k ) 60 se si considerano le soluzioni comprese nel domionio D = R. Le due soluzioni precedenti possono riassumersi nell'unica soluzione: x h60, dove è il piú piccolo angolo positivo tale che cos = m. Esempio Risolvere l'equazione cos x. Essendo 60 il piú piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono date da: x 60h60. In particolare, cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [-80, 80], queste sono: x 60 (ottenuta con h = 0 e prendendo il segno '+') e x 60 (ottenuta con h = 0 e prendendo il segno '-'); cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [0, 60], queste sono x 60 (ottenuta con h = 0 e prendendo il segno '+') e x 00 (ottenuta con h = e prendendo il segno '-'). R. SANTORO:Elementi di trigonometria

22 c) Equazione tanx = m Per questa equazione m R. Sia è il piú piccolo angolo positivo tale che tan = m; allora, per la periodicità della funzione tangente, tutte le soluzioni dell'equazione sono date da: dove, al solito, h Z. x h80, Esempio Risolvere l'equazione tanx. Essendo 0 il piú piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono date da: x 0h80. In particolare, cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [-80, 80], queste sono: x 0 (ottenuta con h = 0) e x 60 (ottenuta con h = -); cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [0, 60], queste sono x 0 (ottenuta con h = 0) e x 00 (ottenuta con h = ). Dal grafico di sopra si vedono chiaramente 6 soluzioni dell equazione data nell intervallo [-480, +480 ]. Il riquadro che segue riassume le soluzioni associate a ciascuna equazione goniometrica fondamentale: sin x mx h h cos x m x h tan x m x h dove è il piú piccolo angolo positivo che soddisfa l'equazione e h Z. R. SANTORO:Elementi di trigonometria

23 Esercizi Risolvere le seguenti equazioni: a) sin x, nell'intervallo [0, 60] b) sin x, nell'intervallo [0, 60] c) cos x 5, nell'intervallo [-60, 60] d) cos x, nell'intervallo [0, 60] e) tanx 5, nell'intervallo [0, 60] f) tan x, nell'intervallo [-80, 80] g) sin( x 0 ), nell'intervallo [0, 60] h) tan( x 5 ), nell'intervallo [0, 80]. 0 Equazioni goniometriche di tipo particolare In questo paragrafo si vedrà rapidamente come risolvere delle equazioni goniometriche di tipo particolare, facendo ricorso alle formule goniometriche conosciute ed alla risoluzione delle equazioni goniometriche fondamentali viste nel paragrafo precedente. In linea generale, non esistono delle regole precise per risolvere una qualunque equazione goniometrica, ma bisogna cercare di rispettare le regole seguenti: evitare di avere a che fare con equazioni goniometriche irrazionali (con le funzioni goniometriche dell'incognita che compaiono sotto il segno di radice); far comparire nell'equazione un'unica funzione goniometrica; risolvere l'equazione ottenuta usando la funzione goniometrica come incognita. 4 ove possibile, anche se una o piú delle regole precedenti non sono applicabili, cercare di fattorizzare il primo membro dell'equazione ed annullare il secondo. Si considerano, qui, solo le equazioni seguenti: a) Equazioni del tipo acos x bsin x c 0 (con a, b e c R) Queste equazioni si risolvono trasformando innanzitutto l'equazione in una equazione di secondo grado rispetto a sin x, con la trasformazione cos x sin e poi risolvendo l'equazione di secondo grado rispetto a sin x. x R. SANTORO:Elementi di trigonometria

24 Esempio Risolvere l'equazione cos x sin x 0. Con la trasformazione cos x sin x, l'equazione data diventa: sin x sin x 0 sin x sin x 0, che, risolta rispetto a sinx, fornisce le soluzioni: sin x 0 x h80 (con h Z) e sin x x h60 (con h Z). b) Equazioni del tipo asin x bcos x c 0 (con a, b e c R) Queste equazioni si risolvono trasformando innanzitutto l'equazione in una equazione di secondo grado rispetto a cosx, con la trasformazione sin x cos x e poi risolvendo l'equazione di secondo grado rispetto a cosx. Esempio Risolvere l'equazione: sin x cos x 0. Con la trasformazione sin x cos x, l'equazione data diventa: cos x cos x 0cos x cos x 0, che, risolta rispetto a cosx, fornisce le soluzioni: x R cos x. 4 4 x 0 h 60 c) Equazioni del tipo asin x bcos x 0 (con a e b R) Queste equazioni si risolvono dividendo primo e secondo membro per cosx (diverso da zero). Si b ottiene l'equazione fondamentale tan x. a Esempio Risolvere l'equazione sin x cos x 0. Dividendo primo e secondo membro per cosx, si ha subito: tan x x 50h 80. d) Equazioni del tipo asin x bcos x c (con a, b e c R) Queste equazioni si risolvono trasformando sin x e cosx in t parametriche: sin x t t cos x t t x Si ottiene una equazione di secondo grado in t tan. x tan, con le formule R. SANTORO:Elementi di trigonometria 4

25 Esempio Risolvere l'equazione sin x cos x Trasformando con le formule parametriche, l'equazione data diventa: t t t t 0 t 0t t t Dunque: tan x x 0h 80 x 60h 60. e) Equazioni del tipo asin x bsin xcos x ccos x d (con a, b, c e d R) Queste equazioni si risolvono trasformando sin x e cos x in tanx con le formule: tan x sin x cos x tan x tan x Si ottiene una equazione di secondo grado in tanx. Esempio Risolvere l'equazione sin x sin xcos x cos x. Trasformando sinx e cosx in funzione di tanx, l'equazione data diventa: tan x tan x tan x tan x tan x x 0 h 80 tan x, x 90 h 80 dove la soluzione infinita per tanx viene fuori in quanto si annulla, nell'equazione risolvente, il coefficiente di tan x. Esercizi Risolvere le equazioni: a) cos x sin x 0 b) sin x cos x 0 c) sin x cos x 0 d) sin x cos x e) sin x sin xcos x cos x f) sin x sin xcos x cos x g) sin x cos x 0 h) sin x cos x i) sin x cos x j) sin 4x sin x sin x k) sin 4x sin x sin x l) cos x cos x cos x m) cos 4x cos 8x cos x n) cos( x ) sin( x ) R. SANTORO:Elementi di trigonometria 5

26 Risoluzione dei triangoli rettangoli Con questo paragrafo inizia lo studio della trigonometria vera e propria, in quanto finora si è solo studiato la goniometria. Con la trigonometria si studia la misura degli angoli e dei lati di un triangolo. In questo paragrafo si vedrà la risoluzione di un triangolo rettangolo, che consiste nella determinazione della misura di tutti i lati e di tutti gli angoli del triangolo, a partire da alcuni elementi noti. Nel prossimo paragrafo si vedrà la risoluzione di un triangolo qualunque. B Si considera il triangolo ABC, rettangolo in A. Sulla semiretta [CB) si considera il punto P tale che CP = (il punto P può P essere interno o esterno al segmento [CB]). Allora, in base alla definizione della funzione goniometrica seno, deve essere: C M A Analogamente si può scrivere: PM AB sin AB BC sin CP BC MC AC cos AC BCc os CP BC PM AB tan AB AC tan CM AC Siccome il triangolo ABC è rettangolo in A, deve essere = 90 -, le tre relazioni precedenti diventano: AB BCsin BCsin( 90 ) BCcos AC BCcos BCcos( 90 ) BCsin AB ACtan ACtan( 90 ) ACcot Le relazioni precedenti possono riassumersi nelle regole: In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo acuto opposto. In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo acuto adiacente. In triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto. 4 In triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la cotangente dell'angolo adiacente al primo cateto. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 6

27 B c a A b C In genere, per un triangolo rettangolo, si usano le notazioni della figura a lato. Allora le regole precedenti danno le formule: : b a sin c a sin : b a cos c a cos : b c tan c b tan 4: b ccot c bcot Dalle relazioni precedenti sono deducibili tuttte le formule inverse possibili. Esempi Risolvere il triangolo rettangolo che ha a = cm e b = cm. b Si ha: sin 4 48' 7 ". a Inoltre ' 7" 48' ". Infine: c cm 5cm. Risolvere il triangolo rettangolo che ha b = cm e c = 5 cm. b Si ha: tan 057' 50 ". c 5 Inoltre ' 50" 590' 0". Infine: a 5 cm 4 cm. Esercizi Risolvere i seguenti triangoli rettangoli, a partire dagli elementi forniti: a) a = 5 cm, b =.5 cm. b) a = cm, = 40. c) b = cm, c = 4 cm. d) b = cm, = 0. e) b = 5 cm, = 50. Di un triangolo rettangolo si conosce a = 5 cm e = 40. Calcolare: a) b, c, ; b) l'altezza relativa all'ipotenusa c) la mediana relativa all'ipotenusa ed i due angoli che questa mediana forma con l'ipotenusa stessa. Di un triangolo rettangolo si conosce b = 4 cm, c= cm. Calcolare: a) a,, b) le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 4 L'altezza relativa ad un lato di un triangolo ABC misura cm. Le proiezioni degli altri due lati sul primo misurano 4 cm e 5 cm. Determinare le misure dei lati e degli angoli del triangolo ABC. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 7

28 Risoluzione di un triangolo qualunque A Per un triangolo qualunque bisogna vedere innanzitutto le notazioni standard, come nella figura a lato. B c a b C La risoluzione di un triangolo qualunque necessita della conoscenza di alcuni teoremi generali che verranno discussi brevemente nel seguito. Area di un triangolo A L'area del triangolo ABC è data da S ah. Ma, dal B c h a H b C triangolo rettangolo AHC del figura a lato si ha che h = bsin; dunque si ha: S ah absin. Analogamente si sarebbe potuto ottenere anche: S bcsin acsin Dunque: l'area di un triangolo qualunque è uguale al semiprodotto di due lati qualunque per il seno dell'angolo compreso fra questi due lati. Area di un parallelogramma L'area del parallelogramma ABCD si può pensare uguale a due volte l'area del triangolo ABD. Dunque l'area del parallelogramma è uguale a: S AB AD sin AB AD sin D C Dunque: l'area di un parallelogram-ma è uguale al prodotto di due lati consecutivi per il seno dell'angolo compreso tra questi due lati. A B R. SANTORO:Elementi di trigonometria 8

29 Teorema dei seni Dalle formule per l'area di un triangolo, viste in precedenza, si può scrivere: bcsin acsin absin Moltiplicando tutti i membri delle uguaglianze precedenti per, si ha: abc sin sin sin a b c Le relazioni precedenti esprimono il teorema dei seni: in un triangolo qualunque, è costante il rapporto tra il seno di un angolo ed il lato opposto a questo angolo. Teorema delle proiezioni Dalla figura precedente risulta: BC = BH + HC = ABcos + ACcos Analogamente, si ha anche: a = ccos + bcos. b = acos + ccos c = acos + bcos Teorema del coseno Si possono distinguere due casi: a) triangolo ABC acutangolo B c A h a H b x C Dal triangolo rettangolo ABH si ha (HC = x): c h ( a x). Dal triangolo rettangolo AHC si ha: h b x, che, sostituito nella relazione precedente, dà: c b x a ax x c a b abcos perchè x bcos. b) triangolo ABC ottusangolo Dal triangolo rettangolo si ha (HC = x): c h ( a x). Dal triangolo rettangolo AHC si ha: h b x, che, sostituito nella relazione precedente, dà: c b x a ax x c a b abcos perchè x bcos( 80 ) bcos. A c h b B a C x H R. SANTORO:Elementi di trigonometria 9

30 La relazione precedente si può ricavare per qualunque altro lato del triangolo, in modo che si possono scrivere le tre relazioni generali: a b c bccos b a c accos c a b abcos che esprimono il teorema de coseno: in un triangolo qualunque, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati della misura degli altri due lati diminuito del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo da essi compreso. Il teorema precedente, detto anche teorema di Pitagora generalizzato o teorema di Carnot, fornisce pure tre formule inverse per il calcolo del coseno di un angolo in funzione delle misure dei tre lati di un triangolo: b c a cos bc a c b cos ac a b c cos ab. Esempi Di un triangolo si sa che a = cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Risolvere il triangolo e calcolarne l'area. Dal teorema del coseno si ha: b c a cos bc = 6'0''. Applicando ancora il teorema del coseno si ha: a c b cos ac = 60'0''. Inoltre si ha: 80( ) 80 64' '' 76' 47''. Infine, l'area del triangolo è: S absin 4sin 76' 47'' cm 5. cm. Di un triangolo si sa che a = 4 cm, b = cm, = 60. Risolvere il triangolo. Applicando il teorema dei seni, si ha: b sin sin 400' 9 ''. a 4 8 Inoltre si ha: 80( ' 9'') 79 9' 4''. R. SANTORO:Elementi di trigonometria 0

31 Applicando ancora il teorema dei seni, si ha: sin c a. sin cm 4 55cm. Esercizi Risolvere i seguenti triangoli qualunque, a partire dagli elementi noti: a) a = cm, b = 4 cm, c = 4 cm. b) a = cm, b = 4 cm, c = cm. c) a = cm, b = cm, = 0. d) a = 5 cm, = 0, = 50. e) = 66, = 40, a = 5 cm. f) a = 5 cm, b = 4 cm, = 4. Calcolare l'area dei seguenti triangoli: a) a = 4 cm, c = 6 cm, = 0. b) a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm. Dimostrare che il diametro di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è uguale al rapporto tra un lato del triangolo ed il seno dell'angolo opposto al lato. 4 Dimostrare il teorema del coseno a partire dalle tre espressioni che esprimono il teorema delle proiezioni. 5 Un parallelogramma ABCD ha AB = 5 cm, AD = 4 cm e = 50. Calcolare: a) l'area del parallelogramma b) la misura dell'altezza relativa al lato AB. c) gli angoli che la diagonale uscente da A forma con i lati AB e BC. 6 Un triangolo rettangolo ABC ha a = 5 e = 0. a) Risolvere il triangolo. b) Determinare sul cateto AB un punto P tale che l'area del triangolo APC sia doppia dell'area del triangolo PCB. c) Se Q è il punto medio del cateto AC, calcolare le misure degli angoli acuti del triangolo BQC. 7 Dimostrare che, in ogni triangolo ABC, risulta: a b c tan tan a b c. 8 Utilizzando la formula di addizione, il teorema dei seni e quello del coseno, dimostrare che in un triangolo qualunque si ha: sin( ) ba b. sin( ) c a c R. SANTORO:Elementi di trigonometria

32 Studio delle funzioni y k sin( axb) e y k cos( axb) Lo studio di queste due funzioni sarà condotto 'in parallelo', cioè considerando contemporaneamente le due funzioni e studiando la dipendenza di dette funzioni dai parametri reali k, a e b. Anche se esistono dei metodi generali di studio delle funzioni, metodi che fanno ricorso, in particolare, al calcolo differenziale, in questa sede interessa per le funzioni date uno studio piú intuitivo, che fa ricorso ad analogie immediate e alla periodicità delle funzioni considerate. Tale studio 'intuitivo' consente di individuare subito zeri, massimi relativi, minimi relativi e flessi di questa categoria di funzioni Per maggiore chiarezza, si considerano prima alcuni casi particolari. Per tutti questi casi particolari, viene rappresentato, nello stesso riferimento cartesiano, anche la 'funzione di riferimento' y = sinx oppure y = cosx. A) k =, a = e b = 0. In questo caso le funzioni diventano: y = sinx e y = cosx. Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni (disegnate nell intervallo [0, ]. y=sinx y=cosx y=sinx y=cosx In questo caso (e negli altri anologhi in cui a = e b = 0), le ascisse degli zeri, dei massimi e minimi relativi e dei flessi della funzione y = sinx (rispettivamente y = cosx) sono uguali a quelle dei corrispondenti punti della funzione y = sinx (rispetti-vamente y = cosx). L'ampiezza massima (o minima) è triplicata rispetto alle funzioni di riferimento. E' facile, allora, intuire che il parametro k contribuisce solo a moltiplicare di un fattore k le ampiezze delle funzioni considerate. B) k =, a =, b = 0. In questo caso le funzioni diventano: y = sinx e y = cosx. Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni. R. SANTORO:Elementi di trigonometria

33 y=sinx y=sinx y=cosx y=cosx In questo caso, le ampiezze sono le stesse, ma il periodo è dimezzato. Il risultato è facilmente generalizzabile, nel senso che le funzioni y = sin(ax) e y = cos(ax) avranno un peridodo uguale 60/a ed ampiezze uguali a quelle delle funzioni di riferimento. C) k =, a =, b = o b = -. In questo caso le funzioni diventano: y = sin(x+) o y = sin(x-) e y = cos(x+) o y = cos(x-). Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni. y=sin(x-) y=sinx y=sin(x+) y=cos(x-) y=cosx y=cos(x+) In questo caso, le ampiezze sono le stesse, il periodo è lo stesso, ma le funzioni sono traslate di un radiante parallelamente all'asse delle ascisse, verso sinistra se b = +, verso destra se b = -. Il risultato è facilmente generalizzabile, nel senso che le funzioni y = sin(x+b) e y = cos(x+b) avranno un peridodo uguale 60, ampiezze uguali a quelle delle funzioni di riferimento, ma saranno traslate rispetto alle funzioni di rifeimento di b radianti, verso sinistra se b > 0 oppure verso destra se b < 0. D) k =, b =, c =. Questo caso è riassuntivo dei tre casi particolari precedenti e le funzioni diventano: y = sin(x+) e y = cos(x+). Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni. y=sin(x+) y=cos(x+ ) y=sinx y=cosx R. SANTORO:Elementi di trigonometria

34 In questo caso, le ampriezze sono triplicate, i periodi dimezzati rispetto alle funzioni di riferimento ed i grafici complessivi sono traslati verso sinistra di / radiante, sempre parallelamente all'asse delle ascisse x. Riassumendo si può dire che le funzioni y = ksin(ax+b) e y = kcos(ax+b) hanno: ampiezza k volte l'ampiezza di y = sinx (o y = cosx) periodo uguale a 60/a rappresentazione grafica traslata parallalamente all'asse delle ascisse di b/a radianti, verso sinistra se b/a è positivo, verso destra se b/a è negativo. Esercizi Rappresentare graficamente le seguenti funzioni (specificando per ognuna anche il periodo), nell'intevallo indicato: a) y sin x, y cos x, su D = [0,60] b) y sin x, y sin x, su D = [0,80] c) y sin( 4x 5), y cos( 4x 5), su D = [0,80] d) y sin x, y cos x, su D = [0,]. 4 4 e) y sin x, y cos x, su D = [0,] Disequazioni goniometriche Una disequazione goniometrica è una disequazione dove compaiono funzioni goniometriche. Data la periodicità delle funzioni goniometriche per lo studio di una disequazione goniometrica viene, in genere, fissato l'intervallo di studio. Esempi di disequazioni goniometriche sono: sin x 0 ( a) x cos ( c) x sin x(cos x ) 0 ( b) 0, x 0, x sin x 0 cos x ( d) 0, x, 5sin x Come si vede dagli esempi di sopra, l'intervallo di studio di ciascuna disequazione goniometrica è dato. Sebbene possano essere considerati metodi diversi, il metodo migliore per studiare le disequazioni goniometriche é quello grafico, come si vedrà dalla soluzione di alcuni esempi. 0 R. SANTORO:Elementi di trigonometria 4

35 Esempi Sia da risolvere la disequazione (a). S i ha: sin x 0 sin x x 0, x 0, A questo punto basta disegnare, in uno stesso sistema di riferimento cartesiano, sia la funzione f ( x) sin x sia la funzione g( x) e leggere dal grafico gli intervalli eventuali per cui risulta: f ( x) g( x). Ecco i grafici delle due funzioni in uno stesso sitema di riferimento cartesiano: L'intervallo per cui risulta f ( x) g( x) è l'intervallo ], [ segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. Per determinare e basta risolvere l'equazione sin x che dà subito = 0 = /6 radianti e = 50 = 5/6 radianti. Dunque l'insieme soluzione della disequazione è 5 l'intervallo aperto,. 6 6 La risoluzione della disequazione (b) conduce alla risoluzione di due sistemi di disequazioni (in quanto il prodotto di due numeri è negativo quando il primo è positivo ed il secondo negativo o viceversa): sin x(cos x ) 0 x 0, sin x 0 sin x 0 () cos x 0, () cos x 0 x 0, x 0, sin x 0 sin x 0 () cos x,() cos x x 0, x 0, S, dove S e S sono le soluzioni del primo e del secondo sistema rispettivamente, S ' e S '' sono le soluzioni della prima e della seconda disequazione del primo sistema, S ' e S '' sono le soluzioni della prima e della seconda disequazione del secondo sistema. ' '' ' Allora, la soluzione S della disequazione data sarà: S S S S S S ' ' R. SANTORO:Elementi di trigonometria 5

36 Passando alla soluzione S del primo sistema, bisogna considerare il grafico sottostante.l'intervallo S ', per cui risulta sinx > 0, è l'intervallo ]0, [ segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S '' per cui risulta, cosx < /, è l'inter-vallo ], [ segnato in grassetto al disotto dell'asse delle x. Per determinare e basta risolvere l'equazione cos x che dà subito = 60 = / radianti e = 00 = 5/ radianti. Dunque: 5 S 0,,,. Passando alla soluzione S del secondo sistema, bisogna considerare il grafico sottostante. L'intervallo S ' per cui risulta sinx < 0 è l'intervallo ], [ segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S '' per cui risulta cosx > / è l'unione degli intervalli ]0, [ e ], [ segnati in grassetto al disotto dell'asse delle x. Come in precedenza, = 60 = / radianti e = 00 = 5/ radianti. Dunque: 5 5 S, 0,,,. Infine, la soluzione S del sistema considerato è data da: 5 S S S,,. Sia da risolvere la disequazione: cos x sin x 0. x 0, La disequazione precedente comporta la risoluzione dei due sistemi di disequazioni: cos x 0 cos x 0 cos x 0 cos x 0 () sin x 0,() sin x 0 () sin x,() sin x x 0, x 0, x 0, x 0, ' '' ' Allora, la soluzione S della disequazione data sarà: S S S S S S ' ', S R. SANTORO:Elementi di trigonometria 6

37 dove S e S sono le soluzioni del primo e del secondo sistema rispettivamente, S ' e S '' sono le soluzioni della prima e della seconda disequazione del primo sistema, S ' e S '' sono le soluzioni della prima e della seconda disequazione del secondo sistema. Passando alla soluzione S del primo sistema, bisogna considerare il grafico seguente: L'intervallo S ' per cui risulta cosx 0 è l'intervallo 0, / 4 / 4, 5 / 4 7 / 4,, segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S '' per cui risulta sinx / è l'intervallo [, ] segnato in grassetto al disotto dell'asse delle x. Per determinare e basta risolvere l'equatione sin x che dà subito = 45 = /4 radianti e = 5 = /4 radianti. Dunque S '' = [/4,/4] e: ' '' S S S,. 4 4 Per la soluzione del secondo sistema bisogna considerare il grafico: R. SANTORO:Elementi di trigonometria 7

38 R. SANTORO:Elementi di trigonometria 8 L'intervallo S ' per cui risulta cosx 0 è l'intervallo 4 7, 4 5 4, 4, segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S '' per cui risulta sinx / è l'intervallo [0, ][, ] segnato in grassetto al disotto dell'asse delle x. Anche qui = 45 = /4 radianti e = 5 = /4 radianti. Allora: S '' = [0, /4][/4, ] e 4 7, 4 5 4, 4 '' ' S S S. Dunque: 4 7, 4 5 4, 4 S S S S. 4 Risolvere la disequazione:, 0 cos sin x x x

39 Rapidamente, dal grafico che segue: si trova subito che l'insieme soluzione della disequazione data è l'intervallo [-,][,], dove e si determinano risolvendo (nell'intervallo considerato) l'equazione: 5 6 sin x cos x tan x. 6 5 Dunque l'insieme soluzione è l'intervallo:,,. 6 6 tan x 5tan x Risolvere la disequazione. x 0, Algebricamente, la disequazione data è equivalente alle due disequazioni: tan x 4. x 0, Dal grafico R. SANTORO:Elementi di trigonometria 9

40 si ha subito che l'insieme soluzione è l'intervallo [, ][, ], dove: = 45 = /4, = 7557'50'' =.6 radianti, = 5 = 5/4, = 5557'50'' = radianti. Esercizi Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche: cos x sin x 0 cos x sin x 0 a) b) x 0, x 0, c) sin x sin x x 0, 0 cos x cos x d) x, 0 e) x cos cos x 0 x, f) tan x tan x x 0, 0 R. SANTORO:Elementi di trigonometria 40

41 Appendice: Valori numerici delle funzioni goniometriche (0 x 45 ) x sinx cosx tanx cotx 0 0,0000,0000 0,0000 0,075 0,9998 0,075 57,900 0,049 0,9994 0,049 8,66 0,05 0,9986 0,054 9,08 4 0,0698 0,9976 0,0699 4, ,087 0,996 0,0875,40 6 0,045 0,9945 0,05 9, ,9 0,995 0,8 8,44 8 0,9 0,990 0,405 7,54 9 0,564 0,9877 0,584 6,8 0 0,76 0,9848 0,76 5,67 0,908 0,986 0,944 5,446 0,079 0,978 0,6 4,7046 0,50 0,9744 0,09 4,5 4 0,49 0,970 0,49 4, ,588 0,9659 0,679,7 6 0,756 0,96 0,867, ,94 0,956 0,057, ,090 0,95 0,49, ,56 0,9455 0,44, ,40 0,997 0,640,7475 0,584 0,96 0,89,605 0,746 0,97 0,4040,475 0,907 0,905 0,445, ,4067 0,95 0,445, ,46 0,906 0,466, ,484 0,8988 0,4877, ,4540 0,890 0,5095, ,4695 0,889 0,57, ,4848 0,8746 0,554, ,5000 0,8660 0,5774,7 0,550 0,857 0,6009,664 0,599 0,8480 0,649,600 0,5446 0,887 0,6494, ,559 0,890 0,6745, ,576 0,89 0,700,48 6 0,5878 0,8090 0,765, ,608 0,7986 0,756,70 8 0,657 0,7880 0,78, ,69 0,777 0,8098, ,648 0,7660 0,89,98 4 0,656 0,7547 0,869, ,669 0,74 0,9004,06 4 0,680 0,74 0,95, ,6947 0,79 0,9657, ,707 0,707,0000,0000 R. SANTORO:Elementi di trigonometria 4