Elementi di topografia parte II

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1 Corso di Topografia Istituto Agrario S. Michele Elementi di topografia parte II prof. Maines Fernando Giugno 2010

2 Elementi di meccanica agraria pag. 164 Maines Fernando Sommario 1 Gli errori e il loro trattamento Esercizi proposti Elementi di trigonometria Risoluzione di un triangolo Risoluzione di un triangolo rettangolo Risoluzione quadrilateri Coordinate cartesiane e coordinate polari Coordinate cartesiane Coordinate polari Formule di conversione Coordinate relative Esempio applicativo: perimetro e angoli interni di un poligono Risoluzione poligonali aperte Metodo risolutivo Risoluzione con foglio elettronico Esercizi Risoluzione poligonali chiuse Esercizi Calcolo delle aree Poligoni di cui si è in possesso solo di rappresentazione cartografica Poligoni dei quali sono noti tutti gli elementi ad esclusione di un lato e dei due angoli adiacenti Poligoni dei quali sono note le coordinate di tutti i vertici Esercizi Restituzione grafica Restituzione planimetrica Restituzione altimetrica Esercizio Suddivisione dei terreni, rettifica e spostamento dei confini Suddivisione dei terreni Rettifica e spostamento confini Metodologia operativa Esercizi Tipo di frazionamento Spianamenti Progetto per uno spianamento Spianamenti a compenso Esercizi...268

3 Elementi di meccanica agraria pag. 165 Maines Fernando 1 Gli errori e il loro trattamento

4 Elementi di meccanica agraria pag. 166 Maines Fernando

5 Elementi di meccanica agraria pag. 167 Maines Fernando

6 Elementi di meccanica agraria pag. 168 Maines Fernando

7 Elementi di meccanica agraria pag. 169 Maines Fernando In topografia si parla di errori prima di tutto in riferimento alle misure che si eseguono nel corso dei rilievi. Le misure operate in campo topografico si possono classificare in: misure dirette: ottenute per confronto diretto con l unità campione. misure indirette: ottenute attraverso relazioni analitiche (formule) applicate ad altre grandezze di cui si conosce la misura; misure condizionate: per grandezze che devono soddisfare determinate condizioni come ad esempio la somma degli angoli di un triangolo deve essere pari a π. Inoltre si definisce peso di una misura il livello di precisione di una misura; pertanto le misure della stessa grandezza possono essere dello stesso peso se eseguite dallo stesso operatore, con lo stesso strumento, nelle medesime condizioni operative,. In caso contrario si dicono misure di peso diverso. Per quanto riguarda gli errori due sono le definizioni fondamentali: errore assoluto: differenza fra la misura ed il valore reale (E a =x-x); errore relativo: entità dell errore in rapporto al valore vero (E r =E a /X). Da un punto di vista operativo esistono tre tipi di errori: errori materiali (o grossolani); errori strumentali (o sistematici); errori accidentali (o casuali). Gli errori grossolani sono legati a disattenzione di chi compie la misura; possono essere sia positivi e che negativi e sono facilmente individuabili (ed eliminabili) ripetendo la misura. Se, ad esempio, si effettuano due misure che risultano molto diverse significa che c è un errore grossolano e quindi si effettuerà una terza misura. Gli errori sistematici sono invece legati all imperfezione dello strumento. Sono costanti (proporzionalmente alla misura), sempre in eccesso o in difetto. Si possono ridurre (ma non eliminare) utilizzando strumenti più precisi o rettificando lo strumento. Gli errori accidentali sono dovuti a vari fattori come temperatura, fattori climatici, stanchezza,, e pertanto difficilmente standardizzabili. Si possono ridurre applicando metodologie matematiche di tipo statistico che costituiscono la teoria degli errori. Si tratta di una branca della matematica che può essere utilizzata per gestire e analizzare gli errori casuali e per ridurne l effetto. In particolare ci limiteremo, in questa sede al trattamento statistico delle misure dirette. Descriveremo una metodica da applicare a una popolazione di misure dirette (campione), ottenuto nel corso di un rilievo e rappresentabili efficacemente mediante apposito grafico delle misure. Lo scopo è quello di aumentare la precisione in quanto all aumentare del numero di misure (indicato con n) trattate aumenta l attendibilità del risultato. La metodologia risulta invece inefficace per campioni di numerosità inferiore a 12. Dato che ogni misura umana è affetta da errore e che non è possibile determinare il valore vero di una grandezza, ne consegue che non è possibile determinare l errore.

8 Elementi di meccanica agraria pag. 170 Maines Fernando La statistica ci viene in soccorso poiché consente di definire il valore più probabile (stima del valore vero) e di calcolare con quale probabilità il valore vero è compreso in una determinato intervallo costruito attorno al valore più probabile. Si può dimostrare che il valore più probabile è il valore medio, derivante dalla media aritmetica nel caso di misure dello stesso peso o dalla media pesata nel caso di misure di diverso peso. Queste le formule: x m n xi ( xi pi ) i= = 1 i= 1 xm = n n pi n i= 1 dove: x m = valore medio; x i = misura; n = numero ripetizioni misura; p i = peso della misura. Il valor medio è un ottimo parametro per rappresentare una popolazione di dati relativi alle misure di una grandezza, ma non è sufficiente in quanto, ad esempio, non fornisce informazioni su l entità di errori che ho commesso. Una prima stima dell errore assoluto E a = x- X commesso sulla singola misura può essere fatta mediante il calcolo dello scarto s i dato dall espressione: s i = x i - x m dove: x i è il valore misurato; x m è il valore medio. La stima dell errore medio commesso, invece, non può essere fatta attraverso la media (aritmetica o pesata degli scarti dato che, come è facilmente intuibile, la sommatoria degli scarti dà come valore 0.

9 Elementi di meccanica agraria pag. 171 Maines Fernando Per superare questo limite si possono prendere in considerazione gli scarti al quadrato al fine di ottenere valori tutti positivi la cui somma pertanto non si annulla. Si giunge così alla definisce di due grandezze statistiche particolarmente important1: la varianza ν definita come la media 1 degli scarti al quadrato: 2 si i= 1 ν = ; n 1 lo scarto quadratico medio σ dato dalla radice quadrata 2 della varianza: 2 si i= 1 σ = ν = n 1 Quest ultimo parametro consente di valutare la dispersione della popolazione attorno al valor medio: minore è il valore dello scarto quadratico medio, minore sarà la dispersione (campione più rappresentativo). n n 1 Si divide per n-1 invece che per n, in quanto lo scarto s non rappresenta l errore ma una sua stima. 2 Questo passaggio è motivato dalla convenienza di avere un parametro esprimibile con la stessa unità di misura della grandezza misurata.

10 Elementi di meccanica agraria pag. 172 Maines Fernando Le sperimentazioni relative agli eventi casuali evidenziano che la frequenza (e quindi la probabilità) con la quale di si manifesta un determinato errore casuale ha le seguenti proprietà: gli errori minori hanno più probabilità di verificarsi degli errori maggiori; gli errori positivi si verificano con la stessa probabilità degli errori negativi; anche gli errori molto grandi possono presentarsi, ma con una probabilità molto piccola, tendenze a zero (andamento asintotico). Partendo da queste osservazioni il grande matematico tedesco Gauss ha determinato la funzione di distribuzione della probabilità (campana di Gauss) con la quale si presentano gli errori casuali: y = 1 0,5x e 2π σ dove: y = probabilità; x= errore; σ = scarto quadratico medio (vedi diapositiva specifica). 2 Gauss calcolò inoltre la probabilità di commettere un errore compreso nei seguenti intervalli: 68,26% per l intervallo -1σ e +1σ; 95,45% per l intervallo -2σ e +2σ; 99,73% per l intervallo -3σ e +3σ; E evidente che un errore con valore assoluto maggiore di 3σ è assai poco probabile; pertanto tale valore (3σ) viene assunto come come massimo errore ammissibile detto tolleranza (o errore temibile). Si può dimostrare che, se le misure sono meno di 11, lo scarto è comunque sempre inferiore alla tolleranza. Per questo motivo, per campioni di numerosità inferiore a 11 si deve utilizzare come tolleranza la semidispersione: x max x d = min 2 In entrambi i casi se uno o più valori degli scarti sono superiori alla tolleranza, devo eliminarlo in quanto, probabilmente, sono affetti da errori grossolani. E necessario, pertanto rieseguire tutti i calcoli (anche della tolleranza).

11 Elementi di meccanica agraria pag. 173 Maines Fernando Si tratta, perciò, di un metodo che deve essere reiterato fino a quando tutti i valori degli scarti sono inferiori alla tolleranza. Per completare il processo si calcola un ultimo parametro chiamato valor medio della media, allo scopo di definire la precisione della media: σ σ n = n Siamo giunti alla conclusione in quanto possiamo ora definire il grado di incertezza del valor medio cioè l intervallo nel quale è molto probabile (attenzione non stiamo parlando di certezza) trovare il valore vero (x * ) della grandezza: * x σ < x < x + σ nel caso di n 11 m n m * xm d < x < xm + d nel caso di n < 11. L esecuzione dei calcoli può essere facilmente automatizzata mediante foglio elettronico. La seguente figura ne mostra un esempio: n

12 Elementi di meccanica agraria pag. 174 Maines Fernando Nelle prima colonna della tabella 1 sono riportati i valori delle misure effettuate. Nella cella in alto viene calcolato il valor medio. Nelle successive due colonne vengono calcolati gli scarti e il quadrato degli scarti. Nelle celle di testa vengono inserite le formule per il calcolo delle rispettive sommatorie: la prima deve risultare (approssimativamente) zero, mentre la seconda serve per il calcolo della varianza, dello scarto quadratico e della tolleranza. Quest ultimo valore sarà utilizzato per la verifica degli scarti. Il calcolo viene ripetuto nelle colonne della tabella 2 dove sono stati tolti le eventuali misure affette da scarti superiori alla tolleranza. Di seguito viene riportato un esempio di foglio di calcolo più evoluto nel quale è possibile anche impostare il numero di misure trattate e il numero di cifre decimali richieste. Numero valori (almeno 12, max. 25): Numero di cifre decimali: 15 valore più probabile 3 12,561 ± 0,1019 valori X scarti S scarti al quadrato S , , , , , , , , , , , ,5607 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Valori 194, , , ,8500 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,4811 1,8891 1,8891 1,8891 accettato 1 12, , , , ,4500 0, , , , , , , , accettato 2 12, , , , ,3300 0, , , , , , , , accettato 3 12, , , , ,6500 0, , , , , , , , accettato 4 12, , , , ,0000 0, , , , , , , , accettato 5 12, , , , ,7600 0, , , , , , , , accettato 6 12, , , , ,4400 0, , , , , , , , accettato 7 12, , , , ,8800 0, , , , , , , , accettato 8 12, , , , ,3700 0, , , , , , , , accettato 9 12, , , , ,5600 0, , , , , , , , accettato 10 12, , , , ,3400 0, , , , , , , , accettato 11 13, , , , ,6700-0, , , , , , , , non accettato 12 18, ,5600-5, , accettato 13 12, , , , ,4400 0, , , , , , , , accettato 14 12, , , , ,5100 0, , , , , , , , accettato 15 12, , , , ,4500 0, , , , , , , , Esercizi proposti vertici esercizio 1 esercizio 2 esercizio 3 esercizio 4 1 5, ,45 38, , , ,33 38, , , ,65 38, , , ,00 38, , , ,76 38, , , ,44 38, , , ,88 38, , , ,37 38, , , ,56 38, , , ,34 38, , , ,67 38, ,491

13 Elementi di meccanica agraria pag. 175 Maines Fernando 12 5, ,54 38, , , ,44 38, , , ,51 38, , , ,45 38, , , ,38 38, , , ,44 38, , , ,87 38, , , ,54 38, , , ,69 38, , , ,22 38, , , ,39 38, , , ,99 38, , , ,44 38, , , ,61 38, ,454 valor 5, ,512 38, ,4766 medio σ m 0, ,0448 0, ,00284

14 Elementi di meccanica agraria pag. 176 Maines Fernando 2 Elementi di trigonometria

15 Elementi di meccanica agraria pag. 177 Maines Fernando

16 Elementi di meccanica agraria pag. 178 Maines Fernando

17 Elementi di meccanica agraria pag. 179 Maines Fernando

18 Elementi di meccanica agraria pag. 180 Maines Fernando Nella maggior parte delle applicazioni topografiche le linee curve vengono approssimate con delle spezzate in modo da ottenere elementi rappresentati mediante figure poligonali. Dato che qualsiasi poligono può essere suddiviso comunque in triangoli, è essenziale saper risolvere 3 tale figura per poter eseguire la maggior parte delle procedure utilizzate in topografia. In particolare utilizzeremo gli strumenti analitici forniti dalla trigonometria che consente di definire ogni elemento di un triangolo (perimetro, area, coordinate dei vertici, ) a partire dalla misurazioni di distanze, angoli e dislivelli eseguite nel corso del rilievo topografico. 3 Ricordiamo che per poter risolvere un triangolo è necessario conoscere le dimensioni di almeno tre elementi di cui almeno un lato. Questa regola può essere generalizzata: un poligono di n vertici (n lati e n angoli) può essere risolto trigonometricamente sono se sono noti almeno (2n-3) elementi (lati o angoli).

19 Elementi di meccanica agraria pag. 181 Maines Fernando In questa sede ci limiteremo all utilizzo delle tre funzioni goniometriche principali (seno, coseno, tangente) e della cotangente, il cui significato geometrico e riasuunto nella figura seguente. Si ricorda che quelle goniometriche sono funzione che ricevono un valore angolare e restituiscono un valore numerico. Inoltre valgono le seguenti relazioni fondamentali: tan α = sin α / cos α; cotan α = 1 / tan α. 4 Molto utilizzate nei calcolo trigonometrici sono anche le funzioni goniometriche inverse, e in particolare l arcoseno (arcsen x o sen -1 x), l arcocoseno (arccos x o cos -1 x), l arcotangente (arctan x o tan -1 x) e l arcocotangente (arccotan x o cotan -1 x). Queste funzioni, essendo le inverse delle precedenti, elaborano un valore numerico e restituiscono un valore angolare. E fondamentale ricordare l importanza di non confondere la funzione inversa (arcsen x) dall inverso (1/sen x o sen -1 x o cosec x), errore dovuto anche dal fatto che molte calcolatrici, per motivi di spazio, usano la scritta sen -1 x per indicare arcsen x. A tal proposito ricordiamo anche che per poter utilizzare correttamente le calcolatrici si devono rispettare alcune regole di base: verificare il metodo di immissione dei dati. Le calcolatrici, infatti, possono adottare due protocolli diversi: 4 Questa relazione viene espressa dicendo che la cotangente è l inverso della tangente.

20 Elementi di meccanica agraria pag. 182 Maines Fernando metodo tradizionale o inverso (sempre meno adottato): per inserire l espressione 2 arcsen( a ) si digita la seguente successione di tasti a, x 2, arcsen x, radice. metodo progressivo (ora il più adottato): per inserire l espressione 2 arcsen( a )» si digita la seguente successione di tasti radice, arcsen x, a x 2. se si utilizzano le funzioni goniometriche e le relative funzioni inverse ricordarsi di impostare la calcolatrice sul sistema angolare corretto: DEG per gli angoli sessadecimali; GRAD per gli angoli centesimali; RAD per gli angoli radianti. il risultato fornito dalla calcolatrice talvolta non tiene conto del quadrante in cui si opera. E il caso del teorema dei seni qualora si utilizza la funzione arcoseno: dato un valore del seno compreso fra 0 e 1 esistono due angoli che assumono lo stesso valore di sen x: angolo α 1 compreso fra 0 e π/2 (1 quadrante); angolo α 2 compreso fra π/2 e π (2 quadrante). notare che α 2= π- α Risoluzione di un triangolo Per risolvere un triangolo qualsiasi (avendo almeno tre elementi di cui un lato), è sufficiente utilizzare i seguenti teoremi o formule: teorema dei seni; teorema del coseno (o di Carnot); formule per il calcolo dell area. Nella figura seguente è riportata la convenzione più diffusa per le lettere utilizzate per indicare vertici (A, B, C), lati (a, b, c) e angoli (α, β, γ).

21 Elementi di meccanica agraria pag. 183 Maines Fernando Teorema dei seni Questo primo teorema afferma: in un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato e il seno dell angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. L enunciato può essere espresso con le seguenti formule: Osservando le espressioni si comprende che il teorema dei seni è applicabile qualora fossero noti gli elementi di una coppia lato e angolo opposto (a, α; b, β; c, γ). In tal caso, conoscendo un elemento di un altra coppia è possibile calcolarne l omologo. Due sono i possibili casi di cui proponiamo un esempio ciascuno: 1. noti a, b, β posso trovare α: 2. noti α, b, β posso trovare a: Teorema del coseno o di Carnot L enunciato del teorema è il seguente: In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell angolo compreso. In forma analitica si esprime con le formule seguenti:

22 Elementi di meccanica agraria pag. 184 Maines Fernando Due sono pertanto i casi nei quali è applicabile il teorema del coseno: noti due lati e l angolo compreso (b, c, α; a,c, β; a,b, γ) è possibile calcolare il terzo lato attraverso le espressioni: noti tutti e tre il lati, è possibile ricavare i tre angoli mediante: Formule per il calcolo delle aree Le principali formule per il calcolo dell area di un triangolo qualsiasi sono: formule base da usarsi quando sono noti due lati e l angolo compreso: formula di Erone qualora siano noti tutti i lati: dove p=(a+b+c)/2. ***** A completamento riportiamo le metodiche risolutive dei possibili casi che si possono incontrare 1. tre lati (N.B.: nelle figure successive gli elementi noti sono riportati in rosso): angolo 1 (teorema del coseno inverso); angolo 2 (teorema del coseno inverso); angolo 3 (teorema del coseno inverso); verifico la somma degli angoli; area con formula di Erone. 2. due lati e l angolo compreso: lato 3 (teorema del coseno);

23 Elementi di meccanica agraria pag. 185 Maines Fernando angolo 2 (teorema del coseno inverso); angolo 3 (teorema del coseno inverso); verifico la somma degli angoli; area con formula standard. 3. Due lati e un angolo adiacente: angolo 2 (teorema dei seni): due possibili soluzioni. angolo 3 (differenza a π); lato 3 (teorema del coseno); area con formula standard o con Erone. 4. Un lato e due angoli adiacenti: angolo 3 (differenza a π); lato 2 (teorema dei seni); lato 3 (teorema del coseno); area con formula standard. 5. un lato, l angolo opposto ed un angolo adiacente: lato 2 (teorema dei seni); angolo 3 (differenza a π);

24 Elementi di meccanica agraria pag. 186 Maines Fernando lato 3 (teorema del coseno); area con formula standard. Nel corso della risoluzione di un triangolo si deve prestare particolare attenzione in due particolari situazioni: quando sono noti due angoli è possibile determinare il terzo sottraendo la loro somma a π. E bene, però, utilizzare questa possibilità solo qualora non fosse possibile applicare nessuna altra formula. In tal modo, infatti, sarà possibile la verifica, al termine dei calcoli, dei valori angolari ottenuti (la somma deve essere, con buona approssimazione, pari a π). quando si utilizza il teorema dei seni per calcolare un angolo bisogna ricordarsi che la calcolatrice opera sempre nel primo quadrante (angolo compreso fra 0 e π/2). Non sempre il valore ottenuto è quello giusto in quanto, nel caso di un triangolo ottusangolo, uno degli angoli è maggiore di π/2. Tale situazione può essere riconosciuta in quanto un lato (quello opposto all angolo ottuso) ha una lunghezza decisamente maggiore degli altri due lati. Pertanto se la somma degli angoli interni del triangolo non risultasse pari a π, al posto del valore dato dalla calcolatrice (ottenuto con la funzione arcsen) va sostituito con il suo supplementare (ottenuto sottraendo l angolo della calcolatrice a π). A questo punto è necessario effettuare nuovamente la verifica; un esito positivo è la prova che si tratta proprio di un triangolo ottusangolo. Come sempre accade in ambito matematico è fondamentale esercitarsi; per questo vengono proposti 30 esercizi relativi a triangoli di cui sono dati tre elementi (valori in rosso). Calcolare gli elementi mancanti (valori in nero) e l area. Nell ultima colonna è riportato il sistema angolare in cui è necessario operare. Buon divertimento. a (BC) b (CA) c (AB) α β γ angoli 1 103,753 55,898 62, ,5 27 0, ,9 DEG 2 25,343 26,854 44, , , ,9 DEG 3 103,33 213,48 146, DEG 4 2,438 1,324 1,938 1,6557 0,5718 0,9142 RAD 5 12,6 15,4 19,9 43,65 56,34 100,01 GRAD 6 17,20 15,80 34,55 impos. impos. impos. GRAD 7 24,43 35,63 47,45 33,48 52,30 114,22 GRAD 8 65,29 88,46 76, DEG 9 impos. 188,24 impos impos. DEG 10 63,34 41,21 88,46 45,432 28, ,558 GRAD , , ,456 28, , ,8946 GRAD , , ,0542 GRAD

25 Elementi di meccanica agraria pag. 187 Maines Fernando ,34 244,11 407, DEG ,21 239,44 impos. impos impos. DEG 15 2,364 2,115 3,087 49,876 43,166 86,958 DEG 16 22,345 26,158 23,489 53, , ,2855 DEG 17 81,303 81,303 65,042 73, , ,3956 GRAD ,758 49,876 51,366 RAD 19 80,00 1, ,634 DEG ,30 29, ,34 63,810 8, ,524 GRAD 21 37, , , , , ,0646 DEG 22 15,757 22,345 15,534 44,832 91,137 44,031 DEG 23 4,752 5,453 6,094 53,232 65,475 81,293 GRAD ,33 194,23 455,68 105,987 20,138 53,875 DEG ,4 341,5 49,876 GRAD ,3 355,8 33,55 GRAD 27 24,38 13,24 18,38 GRAD 28 15,80 33,48 114,22 GRAD 29 23,64 21, GRAD 30 88,46 45,58 76,55 GRAD 2.2 Risoluzione di un triangolo rettangolo. Per completezza riportiamo anche le formule specifiche per i triangoli rettangoli sebbene si possano facilmente ricavare dalle formule viste per i triangoli qualsiasi, ponendo semplicemente l angolo γ pari a π/2. Per i triangoli rettangoli valgono le seguenti formule, utilizzabili qualora sono noti, oltre all angolo retto, due elementi di cui almeno uno deve essere un lato: un cateto è uguale all ipotenusa per il seno dell angolo opposto (al cateto) o per il coseno dell angolo adiacente: a = ip senα; a = ip cosβ; b = ip senβ; b = ip cosα. Dalle precedenti formule si possono ricavare le relazioni per il calcolo degli angoli quando sono noti un cateto e l ipotenusa. un cateto è uguale all altro cateto per la tangente dell angolo opposto (al primo cateto) o per la cotangente dell angolo adiacente: a = b tanα; a = b cotanβ; b = a tanβ; b = a cotanα. Dalle precedenti formule si possono ricavare le relazioni per il calcolo degli angoli quando sono noti i due cateti.

26 Elementi di meccanica agraria pag. 188 Maines Fernando 2.3 Risoluzione quadrilateri Per risolvere un quadrilatero qualsiasi devono essere noti almeno 5 degli 8 elementi, di cui almeno due lati. La risoluzione prevede i seguenti passaggi: la divisione del quadrilatero in due triangoli mediante una diagonale; la risoluzione del triangolo con più elementi noti (almeno tre); la risoluzione del secondo triangolo. Per il calcolo dell area si possono sommare le aree dei due triangoli ottenute con le formule viste nel paragrafo precedente, cercando di utilizzare quella che richiede il minor numero possibile di elementi calcolati al fine di ridurre il più possibile la propagazione degli errori (di approssimazione, ). In alternativa è possibile utilizzare la formula del camminamento qualora siano noti tre lati successivi e i due angoli compresi (ad esempio a, b, c, β, γ): Questa metodologia può essere applicato nei seguenti casi: noti quattro lati ed un angolo (nelle figure gli elementi noti sono in rosso); noti tre lati e i due angoli compresi;

27 Elementi di meccanica agraria pag. 189 Maines Fernando noti tre lati e due angoli, di cui uno compreso; noti due lati adiacenti e tre angoli. Vi sono due casi che richiedono una metodica risolutiva diversa: noti tre lati e i due angli non compresi;

28 Elementi di meccanica agraria pag. 190 Maines Fernando noti due lati con contigui e tre angoli: In questi casi la metodica risolutiva prevede i seguenti passaggi: risolvo i triangoli rettangoli 1 e 2; risolvo il triangolo rettangolo 3; ricavo gli elementi mancanti; per la determinazione dell area posso calcolare le quattro aree (3 triangoli rettangoli ed 1 rettangolo) oppure, dopo aver divido il quadrilatero con una diagonale, sommo le aree dei due triangoli ottenuti. Anche per i quadrilateri proponiamo alcuni esercizi. Ancora buon divertimento.

29 Elementi di meccanica agraria pag. 191 Maines Fernando 3 Coordinate cartesiane e coordinate polari

30 Elementi di meccanica agraria pag. 192 Maines Fernando

31 Elementi di meccanica agraria pag. 193 Maines Fernando

32 Elementi di meccanica agraria pag. 194 Maines Fernando

33 Elementi di meccanica agraria pag. 195 Maines Fernando 3.1 Coordinate cartesiane Dobbiamo a René Descartes (Cartesio), filosofo e matematico francese (1596, 1650), la definizione di un sistema di coordinate per descrivere in modo rigoroso la posizione di un punto nel piano (e nello spazio), passaggio essenziale per la costruzione della geometria analitica, branca della matematica che ha rappresentato la sintesi fra la geometria (sviluppata dai Greci) e l algebra (sviluppata dagli Arabi). Le figure geometriche diventano luoghi dei punti ognuno individuato in modo univoco attraverso le coordinate cartesiane, la cui definizione si basa su alcune convenzioni: adozione di due assi perpendicolari tra di loro, di cui uno orizzontale (asse x o asse delle ascisse) e uno verticale (asse y o delle ordinate); il punto di intersezione viene detto origine; l asse delle x è fissato con il verso positivo verso destra mentre l asse y ha verso positivo verso l alto; un punto del piano viene individuato da una coppi di numeri: coordinata x data dalla distanza dall origine della proiezione del punto sull asse x; coordinata y data dalla distanza dall origine della proiezione del punto sull asse y. I due assi cartesiani suddividono il piano in 4 quadranti: 1 quadrante: x > 0; y > 0; 2 quadrante: x > 0; y < 0; 3 quadrante: x < 0; y < 0; 4 quadrante: x < 0; y > 0. Quanto è stato visto per il piano può essere esteso allo spazio. Ai due assi x e y si associa un terzo azze (asse z) anch esso passante per l origine e perpendicolare ad entrambi. Il verso positivo è diretto verso l alto. Pertanto la posizione di un punto nello spazio viene identificata da tre coordinate: nell ordine x, y, z.

34 Elementi di meccanica agraria pag. 196 Maines Fernando 3.2 Coordinate polari Vengono definite utilizzando un solo asse (detto asse polare o asse azimutale), indicato con y o N. Ha direzione e verso predefiniti che, molto frequentemente, coincidono con il Nord. Su tale asse, inoltre, viene fissato un punto (detto polo O), che assume il ruolo di origine. Anche nel caso delle coordinate polari la posizione di un punto P è definita da due coordinate: d P : è un numero che rappresenta la distanza del punto P dall origine O; pertanto varia da 0 a + ; θ P : è un angolo (detta anomalia o angolo di direzione), misurato a partire dall asse Y, ruotando in senso orario. Qualora l asse polare corrispondesse con il Nord, l anomalia coincide con l azimut. In ogni caso θ P varia da 0 a 2π. Y N P(d P, θ P) θ P d P 0 Per definire la posizione di un punto nello spazio, di deve aggiungere una terza coordinata alle due coordinate per il piano. Per la sua determinazione è necessario introdurre un ulteriore asse (asse Z) disposto verticalmente e diretto verso l alto. Si tratta, infatti, dell angolo φ P (angolo verticale o zenitale) misurato a partire dall asse verticale fino alla congiungente P con origine.

35 Elementi di meccanica agraria pag. 197 Maines Fernando 3.3 Formule di conversione Incominciamo con le formule per passare da coordinate polari a cartesiane. Si tratta di formule molto semplici: date le coordinate polari d z e θ P si ottengono x p e y p con le seguenti espressioni: x z = d z senθ P ; y z = d z cosθ P. Per quanto riguarda il passaggio da coordinate cartesiane a polari, le espressioni per ottenere d P e θ P dati x P e y P sono: d P 2 = x P 2 + y P 2 (teorema di Pitagora); θ P = arctan(x P /y P ). Anche in questo caso si tratta di formule molto semplici, ma una precisazione deve essere fatta per l espressione relativa a θ P : la calcolatrice, quando utilizza la funzione arcotangente, esegue i calcoli riferendosi sempre al primo quadrante e pertanto il risultato deve essere interpretato a seconda del quadrante nel quale stiamo operando (riconoscibile dal segno delle due coordinate cartesiane). Nella seguente tabella sono riassunte le correzioni da apportare nei 4 diversi casi. quadrante x P y P θ Pcal θ Pcal 1 > 0 > 0 + θ Pcal 2 > 0 < 0 - θ Pcal + π 3 < 0 < 0 + θ Pcal + π 4 < 0 > 0 - θ Pcal + 2π Vediamone un esempio: quadrante x P y P θ Pcal θ Pcal ,0334 gon 59,0334 gon ,0334 gon 140,9666 gon ,0334 gon 359,0334 gon

36 Elementi di meccanica agraria pag. 198 Maines Fernando ,0334 gon 340,9666 gon 3.4 Coordinate relative Y y X A Y A A(X A,Y A ) x (y B ) A ((x B ) A,(y B ) A ) (x B ) B(X B, Y B ) A Y B 0 X B X Iniziamo analizzando il caso delle coordinate cartesiane. Fissato un sistema di riferimento assoluto XY con origine in O, è possibile definire la posizione di qualsiasi punto del piano. In figura sono indicati il punto A e il punto B dei quali sono visualizzate le coordinate cartesiane assolute X A, Y A, X B, Y B. Se ora si considera un ulteriore sistema di riferimento con origine in un punto di coordinate assolute note (ad esempio A), è possibile definire la posizione di una altro punto (ad esempio B) rispetto a tale riferimento. Si parla in tal caso di coordinate cartesiane parziali (rispetto ad A) e si indicano con (x B ) A, (y B ) A. Nel caso, come riportato in figura, che il sistema di riferimento assoluto e quello relativo siano disposti in modo che gli assi corrispondenti sono paralleli, le formule per il passaggio 5 da coordinate assolute a coordinate relative sono le seguenti: X B = X A + (x B ) A ; Y B = Y A + (y B ) A. Nel caso, invece, delle coordinate polari, riportiamo le formule per ottenere le coordinate relative (fare riferimento alla figura successiva): coordinate polari assolute: d A 2 = X A 2 + Y A2 ; θ A = arctan(x A /y A ); 5 A tale trasformazione corrisponde un movimento di semplice traslazione. In caso di assi corrispondenti non paralleli, è necessario sommare alla traslazione anche una rotazione. In tale caso le formule di passaggio diventano: X B = X A + (x B ) A cosα + (y B ) A senα; Y B = Y A - (x B ) A senα + (y B ) A cosα. dove α è l angolo formato fra le direzioni di due assi corrispondenti misurato a partire dall asse del sistema assoluto e ruotando in senso orario fino a sovrapporsi all asse del sistema relativo.

37 Elementi di meccanica agraria pag. 199 Maines Fernando d B2 = X B 2 + Y B2 ; θ B = arctan(x B /y B ). coordinate polari relative: d d 2 AB 2 AB = (x = (X 2 B) A B - X + (y A ) 2 2 B) A + (Y X B - XA ϑ AB = arctan YB - YA dove con θ AB e d AB si intendono l angolo orizzontale riferito all asse y e la distanza qualora stando in A collimo a B 6. B - Y A ) 2 Y y θ AB θ A θ B X A d A d B Y A A(X A,Y A ) d x AB (y B ) A ((x B ) A,(y B ) A ) (x B ) B(X B, Y B ) A Y B 0 X B X Per eliminare possibili elementi di confusione riportiamo alcune note: con θ BA si intende l angolo, sempre riferito alla parallela all asse y, qualora stando in B collimo ad A; d BA, invece, rappresenta la medesima distanze di d AB eseguita in direzione opposta. secondo la convenzione presentata precedentemente si dovrebbero indicare le coordinate assolute di B con θ OB e con d OB. La prassi di non riportare il centro O aiuta proprio a ricordare che si tratta di coordinate assolute. 3.5 Esempio applicativo: perimetro e angoli interni di un poligono Prendiamo in considerazione un poligono con vertici ordinati in senso antiorario e di cui sono note le coordinate cartesiane. Ciascun lato può essere facilmente calcolato con la formula (derivante dal teorema di Pitagora) d ij = (x j) i + (y j) i oppure dij = (X j - X i) + (Yj - Yi ) 6 Pertanto con θ BA si intende l angolo, sempre riferito alla parallela all asse y, qualora stando in B collimo ad A, così come d BA rappresenta la medesima distanze di d AB eseguita in direzione opposta. Osserviamo che, seguendo tale convenzione, si dovrebbe indicare le coordinate assolute di B con θ OB e con d OB. La prassi di non segnare il centro O aiuta proprio a ricordare che si tratta di coordinate riferite al sistema di riferimento assoluto.

38 Elementi di meccanica agraria pag. 200 Maines Fernando Gli angoli di direzione rispetto al riferimento prefissato (, θ DE, θ EF, θ FG,, θ DC, θ ED, θ FE, ), invece, si possono calcolare con la formula : X j - Xi ϑ ij = arctan Yj - Yi N D θ DC θ DE N C θ EF E N θ ED θ FE F θ FG Si fa notare che si possono ridurre i calcoli per la determinazione degli angoli di direzione in quanto esiste una relazione che lega gli angoli di direzione due a due. Infatti, facendo riferimento all esempio in figura si può osservare che θ DE = θ ED + π; θ ED = θ DE π. queste espressioni si possono generalizzare con le seguenti formule: θ ij = θ ji π se θ ij > π; θ ij = θ ji + π se θ ij < π. Come ultimo passaggio è ora possibile determinare gli angoli interni (α i ). Si devono considerare due diversi casi (vedere figure successiva): direzione di riferimento esterno all angolo interno: α i = θ i,i-1 θ i,i+1 ; direzione di riferimento interno all angolo interno: α i = 2π + θ i,i-1 θ i,i+1.

39 Elementi di meccanica agraria pag. 201 Maines Fernando N D θ DC θ DE N C α D θ EF E N θ ED α F Calcolati tutti gli angoli interni non rimane che verificarne la correttezza confrontando la somma con il valore teorico dato dalla seguente formula: n i= 1 α = π ( n 2) i dove n rappresenta il numero di vertici. ***** Proponiamo ora una serie di esercizi di riepilogo. Nella tabella sono riportate le coordinate cartesiane di 5 poligoni di 11 vertici. Per ciascun poligono si devono calcolare i seguenti elementi: coordinate polari dei vertici (ricalcolare le coordinate cartesiane per verifica); il perimetro e gli angoli interni. F θ FG θ FE Per concludere riportiamo un esempio di foglio elettronico per la risoluzione degli esercizi proposti.

40 Elementi di meccanica agraria pag. 202 Maines Fernando Numero vertici (max. 25): Numero di cifre decimali per distanze: Numero di cifre decimali per angoli: NB: i vertici devono essere numerati in verso antiorario! perimetro area tot. α i Sist. angolare (inserire deg o grad o rad): grad 518, , n x i y i d i (θ i ) M θ i d i,i+1 (θ i,i+1 ) M θ i,i+1 θ i+1,i α i Area 1 82,28 41,25 92,041 70,42 70,42 42,985-91,7 308,3 108,3 91, , ,66 46,84 61,375 44,73 44,73 65,494 15,06 15,06 215,06 306, , ,01 110,51 123,445 29,4 29,4 134,512 65,84 265,84 65,84 50, , ,6 41,75 73,59-61,59 338,41 62,591-11,05 188,95 388,95 123, , ,79-19,9 53,62 75,79 275,79 112,009-79,25 120,75 320,75 131,8 3897, ,32-55,77 79,261-50,31 149,69 100,433 16,64 16,64 216,64 95, ,

41 Elementi di meccanica agraria pag. 203 Maines Fernando 4 Risoluzione poligonali aperte

42 Elementi di meccanica agraria pag. 204 Maines Fernando

43 Elementi di meccanica agraria pag. 205 Maines Fernando

44 Elementi di meccanica agraria pag. 206 Maines Fernando Prima di descrivere il metodo di risoluzione ricordiamo che la poligonazione è una metodologia di rilievo utilizzata in particolare per i rilievi d appoggio, con l obiettivo di determinare le coordinate cartesiane (o polari) di tutte le stazioni. Queste devono essere scelte in modo che da ciascuna siano visibili la stazione precedente e quella successiva; inoltre la distanza fra due stazioni adiacenti deve essere compatibile con la gittata dello strumento. Infine il numero dei punti di appoggio e la loro distribuzione devono assicurare una completa copertura dell intera area di rilievo. 4.1 Metodo risolutivo Nel corso del rilievo vengono misurati gli n-1 lati e gli n-2 angoli compresi fra questi; si ottengono in modo (2n-3) elementi, ossia il numero minimo che bisogna conoscere per poter risolvere trigonometricamente un poligono. A questi dati si devono aggiungere i alcuni elementi necessari per inquadrare il rilievo: l angolo θ 12 di direzione rispetto all asse y del sistema di riferimento (la cui origine viene generalmente fatta coincidere con la prima stazione); le coordinate assolute della prima stazione. Il metodo risolutivo si compone di tre passaggi: 1. determinazione degli angoli di direzione (θ i,i+1 ): si calcolano a cascata partendo dal valore dati di θ 12, utilizzando le seguenti formule: θ i,i+1 = θ i-1,i + α i + π se θ i-1,i + α i < π; θ i,i+1 = θ i-1,i + α i - π se θ i-1,i + α i > π;

45 Elementi di meccanica agraria pag. 207 Maines Fernando θ i,i+1 = θ i-1,i + α i + 3π se θ i-1,i + α i > 3π. 2. calcolo delle coordinate relative (x i+1 ) i e (y i+1 ) i utilizzando le seguenti formule: (x i+1 ) i = d i,i+1 sen θ i,i+1 (y i+1 ) i = d i,i+1 cos θ i,i+1 3. determinazione delle coordinate assolute X i e Y i : si calcolano a cascata partendo dalle coordinate note X 1 e Y 1, utilizzando le formule: X i=x i-1 + (x i ) i-1 Y i =Y i-1 + (y i ) i-1

46 Elementi di meccanica agraria pag. 208 Maines Fernando 4.2 Risoluzione con foglio elettronico Anche il metodo risolutivo ora descritto si presta molto bene per essere applicato mediante il foglio elettronico. Per rendere il risultato facilmente riutilizzabile e flessibile, è necessario predisporre una serie di celle in modo da poter inserire, variando caso per caso, il numero di vertici che compongono la poligonale aperta da risolvere, il sistema angolare da adottare (DEG, GRAD, RAD), il numero di cifre decimali per le distanze e quello per gli angoli. Per ottenere questi risultati si devono utilizzare le funzioni messe a disposizione dal foglio elettronico. In particolare si devono conoscere: =SE(condizione;allora;altrimenti); =SE(E(condizione1;condizione 2; );allora;altrimenti); =SE(O(condizione1;condizione 2; );allora;altrimenti); =CERCA.VERT(valore;matrice;numero colonna); =ARROTONDA(numero;numero cifre decimali); =PI.GRECO();. Ricordiamo che il foglio elettronico tratta le funzioni goniometriche (dirette e inverse) in RAD e che, pertanto, risulta spesso necessario (nelle applicazioni topografiche) inserire nelle formule le trasformazioni (basate su semplici proporzioni). 4.3 Esercizi

47 Elementi di meccanica agraria pag. 209 Maines Fernando 5 Risoluzione poligonali chiuse

48 Elementi di meccanica agraria pag. 210 Maines Fernando

49 Elementi di meccanica agraria pag. 211 Maines Fernando

50 Elementi di meccanica agraria pag. 212 Maines Fernando Nel corso del rilievo di una poligonale chiusa (il primo e l ultimo punto coincidono) vengono misurati n lati ed n angoli (se la numerazione dei vertici viene eseguita in senso antiorario si tratta degli angoli interni). y 7 8 α 8 α α 9 α 6 10 α 10 α 4 α 5 5 α 11 4 α 2 11 α 3 1 O α 1 θ x Pertanto sono noti 2n elementi; i tre elementi noti in più rispetto ad una poligonale aperta consentono di effettuare compensazioni 7 degli errori. Sono inoltre noti l angolo θ 12 di direzione rispetto all asse y del sistema di riferimento e le coordinate della prima stazione (generalmente corrispondente con l origine). La procedura risolutiva ricalca quella già vista per le poligonali aperte, a cui si devono aggiungere alcuni passaggi relativi alle compensazioni. 7 Si ricorda che compensare non significa annullare.

51 Elementi di meccanica agraria pag. 213 Maines Fernando Compensazione degli errori angolari L errore angolare e α viene determinato dalla differenza fra la sommatoria degli angoli misurati (Σα i* ) e il valore teorico della somma degli angoli interni di un poligono ((n-2) π), come espresso nella seguente espressione: e α = Σα i * [(n-2) π] (con l asterisco vengono indicate le grandezza affette da errore). La compensazione può essere effettuata solo se e α risulta minore di un valore (detto tolleranza o massimo errore ammissibile) dato dalla seguente espressione: =e Γ α dove: n è il numero di vertici; e è un valore angolare variabile in base al campo di applicazione (generalmente ammonta a 2,5). All errore angolare complessivo corrisponde un errore angolare unitario e u espresso dall espressione e u = e α /n. Poiché l errore commesso nella misura di un angolo è indipendente dalla dimensione dalla sua ampiezza, è possibile apportare la correzione agli angoli misurati sottraendo a ciascuno l errore unitario. α i = α i * e u Una volta apportata la correzione è consigliabile ripetere la somma degli angoli per verificare la corrispondenza (a meno dell approssimazione dovuto alla calcolatrice) con la somma teorica (n-2) π. n Calcolo degli angoli di direzione Viene eseguito a cascata partendo dal valore di θ 12, utilizzando le formule già viste per le poligonali aperte: θ i,i+1 = θ i-1,i + α i + π se θ i-1,i + α i < π; θ i,i+1 = θ i-1,i + α i - π se θ i-1,i + α i > π;

52 Elementi di meccanica agraria pag. 214 Maines Fernando θ i,i+1 = θ i-1,i + α i + 3π se θ i-1,i + α i > 3π. Al termine, se si applica ancora una volta la formula all ultimo angolo ottenuto (θ n-1,n ) usando α 1 si deve ottenere θ 12 ; si verifica, in tal modo, la correttezza dei calcoli fin a questo punto effettuati Calcolo coordinate relative (x i+1 ) i* e (y i+1 ) i * Per il calcolo delle coordinate relative (da compensare) si utilizzando le seguenti formule: (x i+1 ) i * = d i,i+1 sen θ i,i+1 (y i+1 ) i* = d i,i+1 cos θ i,i Compensazione delle coordinate relative Per definizione la somma delle coordinate relative (x i+1 ) i e (y i+1 ) i deve essere nulla; diversamente le somme delle coordinate relative non compensate (x i+1 ) i * e (y i+1 ) i * restituiscono due valore diversi da 0, valori che definiscono gli errori lineari espressi, pertanto, dalle seguenti espressioni: e x =Σ(x i+1 ) i * 0; e y =Σ(y i+1 ) i * 0. Il passaggio successivo prevede il calcolo degli errori lineari unitari u x e u y ottenuti dividendo ciascun errore lineare per la sommatoria delle coordinate relative in valore assoluto. Infatti l errore commesso nella misura di una distanza (e pertanto l errore contenuto nelle corrispondenti componenti lungo l asse x e l asse y) sono proporzionali, diversamente da quanto visto per gli angoli, alla lunghezza della distanza. Queste le relazioni che definisco gli errori lineari unitari: u x = e x /Σ (x i+1 ) i* ; u y = e y /Σ (y i+1 ) i*.

53 Elementi di meccanica agraria pag. 215 Maines Fernando La compensazione degli errori lineari è applicabile solo se l errore lineare totale (termine a sinistra dell uguale nella seguente espressione) risulta inferiore alla tolleranza Γ l (termine di destra). e 2 x + e 2 y dove: e è un parametro che dipende dal campo di applicazione della poligonazione (generalmente si assume e=0,025). Diversamente, se invece l errore lineare totale risulta superiore alla tolleranza gli errori commessi sono eccessivi (non tollerabili) e pertanto sarà necessario ripetere (totalmente o in parte) le operazioni di rilievo. < e n i= 1 d i E possibile ora ottenere le coordinare relative compensate mediante due passaggi: calcolo del fattore di correzione: essendo proporzionale alla lunghezza di ciascuna coordinata relativa si ottiene nel seguente modo: ε x = u x (x i+1 ) i* ε y = u y (y i+1 ) i* compensazione delle coordinate relative: (x i+1 ) i = (x i+1 ) i * - ε x (y i+1 ) i = (y i+1 ) i * - ε y Verificare che le somme delle coordinate relative compensate restituiscano 0, a meno di piccoli scostamenti dovuti alle approssimazioni di calcolo, consente di accertare la correttezza dei calcoli fin qui eseguiti.

54 Elementi di meccanica agraria pag. 216 Maines Fernando Calcolo delle coordinate assolute X i e Y i Viene eseguito a cascata partendo dalle coordinate note X 1 e Y 1, utilizzando le seguenti formule: X i=x i-1 + (x i ) i-1 Y i =Y i-1 + (y i ) i Esercizi

55 Elementi di meccanica agraria pag. 217 Maines Fernando 6 Calcolo delle aree

56 Elementi di meccanica agraria pag. 218 Maines Fernando

57 Elementi di meccanica agraria pag. 219 Maines Fernando Una branca della topografia, detta agrimensura, si occupa di sviluppare metodiche da applicare alla suddivisione delle superfici, alla rettifica e allo spostamento dei confini, operazioni che trovano la loro principale applicazione nella procedura catastale del tipo di frazionamento (argomenti che verranno sviluppati nei prossimi capitoli). Premessa essenziale per poter sviluppare tali metodiche è la conoscenza dell area dell appezzamento in esame. Per questo l agrimensura si apre con la definizione dei metodi per la determinazione delle superfici. Alcune premesse: l unità di misura utilizzata è il metro quadro (m 2 ); nel caso di superfici agricole è ancora utilizzato l ettaro (indicato con ed equivalente a m 2 ) e i suoi sottomultipli (l ara corrispondente a 10 m 2 e la centiara corrispondente a 1 m 2 ); l area presa in considerazione dall agrimensura non è quella reale ma quella topografica ottenuta proiettando l area reale sulla superficie di riferimento;

58 Elementi di meccanica agraria pag. 220 Maines Fernando pertanto nel caso di terreni in pendenza il valore ottenuto nelle applicazioni topografiche risultano sempre minori di quelle reali e la differenza sarà maggiore al crescere della pendenza. Ciò è giustificato dal fatto che l effettivo valore e la utilizzabilità di un appezzamento risulta proporzionale non all estensione reale ma alla sua proiezione orizzontale. Molte sono le metodologie che si possono adottare per il calcolo delle aree, che si differenziano per le condizioni operative e per i livelli di precisione richiesta. Sono, inoltre, classificabili nel seguente modo: metodi analitici: si basano su formule matematiche che utilizzano direttamente i dati del rilievo; pertanto si caratterizzano per la elevata precisione (che dipende solo dalla approssimazione delle misure e da quella indotta dai calcoli) e per tempi esecutivi significativi, soprattutto qualora i calcoli venissero eseguiti senza il supporto di calcolatrice o computer; metodi grafici: utilizzano metodiche grafiche in grado di trasformare la forma poligonale di un appezzamento in figure più semplici, per le quali il calcolo dell area si riduce alla misura di pochi elementi e alla risoluzioni di formule molto semplici. Sono metodi che si possono applicare direttamente a rappresentazioni cartografiche degli appezzamenti e che non richiedono tempi di esecuzione lunghi ma che non garantiscono la precisione dei metodi analitici. Le principali metodiche sono: il metodo del triangolo; il metodo del rettangolo; il metodo dell integrazione. metodi grafo-numerici: si applicano qualora si debba determinare l area di figure che presentano il contorno (o parte di esso) curvilineo. Uniscono una parte a sviluppo grafico all applicazione di formule analitiche tratte dalle metodiche dell integrazione numerica. Sono metodi piuttosto veloci ma anche affetti da una significativa approssimazione; metodi meccanici: comprendono sistemi basati sull uso di strumenti (il reticolo di Bamberg, il planimetro meccanico o, più recentemente, il planimetro elettronico) che assicurano una elevata velocità esecutiva (si opera su rappresentazioni cartografiche), controbilanciata da una elevata approssimazione (intrinseca al metodo ma che aumenta esponenzialmente in caso di esecuzione poco accurata). Le cose si sono molto evolute con l arrivo delle tecnologie informatiche che hanno messo a disposizione sia strumenti hardware (tavolette digitizer, ) che software (CAD, applicativi specifici per la topografia, ) in grado di assicurare grandi precisioni (utilizzano metodi di tipo analitico) associate a elevate velocità esecutive. In questa sede ci limiteremo alla descrizione solamente dei principali metodi analitici. 6.1 Poligoni di cui si è in possesso solo di rappresentazione cartografica

59 Elementi di meccanica agraria pag. 221 Maines Fernando Questo metodo si basa sul fatto che qualsiasi poligono (di n lati) è divisibile in almeno n-2 triangoli; pertanto l area del poligono è dato dalla sommatoria delle aree dei singoli triangoli ottenuti. = S S itr i= 1 Le singole aree si possono ottenere con le seguenti formule: formula fondamentale della geometria; b h S = 2 formula fondamentale della trigonometria: n 2 formula di Erone: dove p = (a+b+c)/2. Il metodo richiede la misura di lati e angoli (mediante righello e/o goniometro) e la conversione mediante il fattore di scala con il quale l appezzamento è stato rappresentato. Ne risulta una metodologia veloce e un risultato piuttosto approssimato. 6.2 Poligoni dei quali sono noti tutti gli elementi ad esclusione di un lato e dei due angoli adiacenti Si utilizza una particolare formula (detta del camminamento) che consente di calcolare l area di una qualsiasi poligono di n vertici, di cui siano noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli a parte quelli adiacenti al lato incognito.

60 Elementi di meccanica agraria pag. 222 Maines Fernando E una formula piuttosto complessa è laboriosa; nel caso, però, di una figura avente un numero elevato di lati, si riducono i tempi di calcolo rispetto a quelli richiesti della metodica della triangolazione. Nel caso del poligono in figura la formula ha la seguente forma: nel caso più generale di un poligono di n lati, la formula diventa: per un totale di n-2 righe. 6.3 Poligoni dei quali sono note le coordinate di tutti i vertici Nel caso di coordinate cartesiane vale la formula di Gauss: Gli indici di sommatoria delle due precedenti formule dipendono dal senso con il quale è stata assegnata la numerazione dei vertici. Non si tratta di un grosso inconveniente in quanto, in caso di formula non corretta, il risultato presenterà semplicemente il segno negativo, ma valore assoluto corretto. Per semplificare il lavoro conviene inserire i dati delle coordinate nella formula, nel seguente modo: Se invece sono disponibili le coordinate cartesiane (d i e θ i ), la formula diventa: più facilmente applicabile con lo schema:

61 Elementi di meccanica agraria pag. 223 Maines Fernando ***** In conclusione presentiamo un esempio di calcolo di area mediante foglio elettronico. 6.4 Esercizi Nella seguente tabella sono elencate le coordinate cartesiane dei vertici di 5 poligoni. Per ciascuno di essi: calcolare l area mediante la formula di Gauss; trasformare le coordinate cartesiane in coordinate polari; calcolare l area con la formula delle coordinate polari.

62 Elementi di meccanica agraria pag. 224 Maines Fernando 7 Restituzione grafica

63 Elementi di meccanica agraria pag. 225 Maines Fernando

64 Elementi di meccanica agraria pag. 226 Maines Fernando

65 Elementi di meccanica agraria pag. 227 Maines Fernando

66 Elementi di meccanica agraria pag. 228 Maines Fernando La restituzione grafica è, generalmente, uno degli obiettivi finali dell intero processo topografico: i dati di rilievo, elaborati opportunamente (a partire da distanze, dislivelli e angoli) si ottengono coordinate cartesiane o polari), che vengono riportati graficamente su un supporto cartaceo o su monitor. In questo secondo caso si parla di interazione fra data base che raccoglie i dati elaborati e specifici programmi CAD. La precisione del risultato finale dipende soprattutto dalla metodologia di rilievo e dagli strumenti utilizzati (per il rilievo, per l elaborazione, per la restituzione). Si distinguono due tipologie di restituzione: o restituzione planimetrica; o restituzione altimetrica. 7.1 Restituzione planimetrica La prima operazione da eseguire è la scelta della scala di rappresentazione. Per fare questo si fissano in primo luogo le dimensioni del foglio (21x29,7 cm per un foglio A4, 29,7x42 cm per l A3, 42x59,4 cm per l A2, ) e il relativo orientamento. Ciò consente di fissare le dimensioni utili (che indicheremo con Δx e Δy) per la presenza di un margine lungo il bordo del foglio (di almeno 1-2 cm) nel quale si evita di disegnare (nel caso di un A3 le dimensioni utili sono di circa 40x27 cm). Si possono ora calcolare i fattori di scala minimi (fs x e fs y ) lungo i due assi cartesiani: fs x = Δx /(x max + x min ) dove: x max è la coordinata x positiva massima; x min è la coordinata x negativa minima. fs y = Δy /(y max + y min ) dove: y max è la coordinata y positiva massima; y min è la coordinata y negativa minima. Come è facile immaginare, si tratta di due fattori di scala diversi, a valore decimale, che, se utilizzati, darebbero origine ad una restituzione deformata. Pertanto fra fs x e fs y si sceglie il minore e lo si arrotonda ad un valore intero (100, 200, 300, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 4000, 5000, ). Generalmente la restituzione grafica richiede la presenza di un sistema di assi cartesiani che deve essere posizionato in modo tale da utilizzare al meglio lo spazio grafico utile. Considerato l orientamento del foglio e le conseguenti dimensioni utili per il disegno, l asse y, rispetto al bordo verticale di sinistra, viene posto a circa Δx* ( x min /(x max + x min )) cm; allo stesso modo l asse x, rispetto al bordo orizzontale in basso, viene posto a circa Δy* ( y min /(y max + y min )) cm. Il foglio deve presentare una specifica tabella contenente una serie di informazioni particolarmente importanti: titolo del disegno, logo studio, numero della tavola, scala e data, spazio per timbro del professionista,. La tabella, la cui posizione non deve Δy* Δy Δx* Δx

67 Elementi di meccanica agraria pag. 229 Maines Fernando disturbare il disegno, viene possibilmente posta in basso a destra, in modo da risultare centrata in un formato A4. Le scritte devono rispettare una notevole serie di regole tecniche. In particolare devono: essere di diversa dimensione in base all importanza; risultare centrate (orizzontalmente e verticalmente) nello spazio a loro destinato; risultare regolari, precise ed eleganti; non essere racchiuse fra due linee. Studio di progettazione Altering RILIEVO DEL GIARDINO DI VILLA S. MARCO Tav. 1 Si può ora riportare (dopo aver curato particolarmente la pulizia del tavolo, degli strumenti grafici e delle mani), gli elementi del disegno seguendo, possibilmente, questo ordine: struttura di base (ossatura del disegno alla quale agganciare tutti gli altri elementi) costituita da: punti di cui si conoscono le coordinate cartesiane o polari; triangoli ottenuti per triangolazione o trilaterazione: i triangoli vengono riportati a cascata, appoggiando un nuovo triangolo all ultimo riportato, mediante l uso di compasso e/o goniometro. punti individuabili mediante intersezione in avanti: mediante almeno due distanze note da punti già rappresentati. procedendo dal generale al particolare si riportano: tutti gli elementi grafici ottenibili per condizioni di parallelismo o perpendicolarità; tutti gli elementi grafici oggetto di rappresentazione o che comunque consentono una maggiore comprensione dell area rappresentata;

68 Elementi di meccanica agraria pag. 230 Maines Fernando tutti gli elementi che aumentano la leggibilità della rappresentazione (didascalie, simboli, tratteggi, legenda, ): con caratteri e simboli precisi, proporzionati al disegno e alla loro importanza, eleganti. tratteggi, retini e colori. Inizialmente gli elementi del disegno devono essere riportati con tratto leggero utilizzando, con attenzione, una matita H2 o H1. In particolare le linee di costruzione devono essere leggere (si devono intravedere) e si devono incontrare con incroci di alcuni millimetri ( baffi ). Inoltre come già indicato, non si devono fare squadrature al foglio, stando però attenti a lasciare sempre un bordo di circa 1 cm libero dal disegno. Ricordiamo infine che si deve dare rappresentazione della fisicità degli elementi: ad esempio il cordolo di una aiuola ha uno spessore che deve essere indicato pertanto con una doppia linea. Completata la rappresentazione di tutti gli elementi grafici, si ripassano quelli più significativi (non le linee di costruzione) con una matita più tenera (HB, B1), ponendo particolare cura nei punti di incrocio. Per sporcare il disegno il meno possibile si ripassano prima le linee in una direzione dall alto al basso e successivamente le linee nella direzione perpendicolare alla precedente sempre dall alto verso il basso. Inoltre ricordarsi di rifare frequentemente la punta alla matita o alla mina, di pulire frequentemente le mani, la riga e gli squadretti, di eliminare gli accumuli di polvere di mina e dei residui di cancellazione e di usare gomme pulite e con uno spigolo riservato per le sole cancellazioni di precisione. Una volta terminato completamente il disegno, il foglio viene piegato tenendo il disegno rivolto verso l esterno, in modo da ottenere un formato A4, contenente la tabella. 7.2 Restituzione altimetrica Con questa metodologia grafica si intende rappresentare la terza dimensione della zona di rilievo; si tratta però di una rappresentazione fittizia in quanto la profondità lungo l asse z non può essere riportata realmente su un foglio o su un monitor in quanto entità a sole due dimensioni. Per superare tale limite vengono utilizzate due diverse metodologie: piano quotato; curve di livello. La tecnica del piano quotato prevede semplicemente l inserimento in planimetria una serie di punti significativi dal punto di vista altimetrico (con una densità proporzionale alla scala e alla complessità dell andamento plano-altimentrico), affiancati da un valore numerico rappresentante la quota (generalmente quella assoluta). Pertanto nel piano quotato, l identificazione di un punto è data dalla sua posizione planimetrica (coordinate x e y rispetto all origine della rappresentazione, nella scala prefissata) e dalla quota z indicata numericamente, generalmente tra parentesi, accanto al punto. Si tratta di un metodo semplice ma di non immediata interpretazione. Infatti richiede un lettura d insieme di una serie di punti adiacenti interpretando la posizione reciproca e i relativi dislivelli (differenze fra le quote).

69 Elementi di meccanica agraria pag. 231 Maines Fernando La retta è rappresentata attraverso la sua proiezione graduata. La graduazione consiste nella rappresentazione, sulla proiezione della retta, di una serie di punti equidistanti accanto ai quali viene segnato il valore di equidistanza: Più complessa risulta la rappresentazione tridimensionale di una retta o di un segmento. Infatti se per l andamento planimetrico è sufficiente la sua proiezione ortogonale sulla superficie di riferimento, l andamento altimetrico richiede il tracciamento di una graduazione mediante una serie di punti equidistanti sulla proiezione della retta a quota intera (segnata accanto al punto in direzione ortogonale alla retta. Il dislivello fra un punto ed il successivo, detto equidistanza, viene generalmente fissato pari ad 1/1000 del fattore di scala. E evidente che per eseguire la graduazione è necessaria conoscere posizione e quota di almeno due punti appartenenti alla retta stessa. Infine si fa notare che la densità di graduazione è proporzionale alla pendenza della retta. Per rappresentare altimetricamente un piano è necessario limitarsi a visualizzare una delle sue infinite rette di massima pendenza. Per fare ciò è necessario conoscere la posizione e la quota di almeno tre suoi punti A, B e C. Grazie ad essi è possibile definire la rappresentazione (con relativa graduazione) di tre rette, passanti per le tre diverse coppie di punti noti (A e B, B e C, C e A). Unendo i punti a uguale quota si determinano le tracce di un fascio di rette appartenenti al piano caratterizzate da avere quota costante. Tali rette orizzontali vengono dette isoipse.

70 Elementi di meccanica agraria pag. 232 Maines Fernando A questo punto è sufficiente tracciare e graduare una delle infinite rette perpendicolari al fascio delle isoipse, corrispondente ad una retta di massima pendenza appartenete al piano. Per indicare che tale retta è la rappresentazione di un piano, si utilizza una doppia riga. Un ulteriore esempio viene mostrato nella figura successiva nel quale è rappresentato il procedimento per la determinazione della rappresentazione del piano passante per il punto A e per il segmento CB (retta s): si gradua la retta s; si traccia la isoipsa passante per A e per il punto della retta s posto alla stessa quota (15,4); si traccia e si gradua una qualsiasi perpendicolare alla isoipsa. ***** Il metodo delle curve di livello risulta molto più efficace ma richiede un processo di elaborazione piuttosto complesso (in realtà ora viene eseguito in automatico da specifici software) a partire dalla rappresentazione mediante piano quotato. Tale processo consente di tracciate delle curve, dette anche isoipse, che indicano le linea lungo le quali la pendenza è nulla (la quota assoluta si mantiene costante). Dopo aver individuato tutti i punti significativi dal punto di vista altimetrico di cui siano note le coordinate cartesiane (x;y;z), si collegano mediante segmenti in modo da formare una serie di falde triangolari. Queste devono essere scelte in modo da

71 Elementi di meccanica agraria pag. 233 Maines Fernando approssimare nel miglior modo l andamento reale del terreno. Per questo si fissano preventivamente eventuali vincoli (bordi di strada, muretti, scarpate, ) che non possono essere tagliati dalla congiungente due punti. in tal modo tali vincoli non possono trovarsi all interno di una falda ma solo sul confine. Si esegue ora la graduazione su ognuno dei lati dei triangoli costituenti le falde, adottando una equidistanza pari ad un millesimo del fattore di scala. A questo punto si possono unire, con una spezzata, i punti della graduazione con la stessa quota. L ultimo passaggio prevede il tracciamento delle curve di livello (isoipse) approssimando le spezzate con delle curve. Per fare ciò si possono adottare due tecniche: si rettificano gli spigoli con tratti curvi uscenti in modo tangente ai due segmenti; si rettificano i due segmenti imponendo comunque il passaggio della isoipsa per il vertice. E evidente che in entrambi i casi si opera una approssimazione. Per facilitare la lettura della carta a intervalli regolari (di solito ogni 5 linee), una curva di livello è tracciata con tratto più marcato. Inoltre si riportano i valori delle quote di ciascuna curva lungo il bordo dell area o all interno. Se le linee risultano particolarmente fitte, possono essere indicate solo relative a quote a intervalli multipli dell equidistanza.

72 Elementi di meccanica agraria pag. 234 Maines Fernando Per concludere riportiamo il procedimento per determinare la quota di un punto P non appartenete ad una curva di livello in una rappresentazione con equidistanza e. In primo luogo si traccia la linea passante per P perpendicolare alla curva di livello adiacente alla quota inferiore (z o ). Per aumentare la precisione nel tracciare la perpendicolare si utilizza il compasso operando per tentativi fino a tracciare una circonferenza tangente alla curva di livello. Misurati i due segmenti parziali d e D (vedi figura) si può determinare la quota di P mediante la seguente formula: z P = z o +e d/d 7.3 Esercizio Vengono fornite le coordinate cartesiane di 15 punti; dopo aver riportato su un foglio nella scala opportuna si determini: le curve di livello posta la presenza di un vincolo lungo la spezzata MNODF; la quota dei punti R e S di coordinate: R(111,62;93,41); S(100,4;120,37).

73 Elementi di meccanica agraria pag. 235 Maines Fernando

74 Elementi di meccanica agraria pag. 236 Maines Fernando 8 Suddivisione dei terreni, rettifica e spostamento dei confini

75 Elementi di meccanica agraria pag. 237 Maines Fernando

76 Elementi di meccanica agraria pag. 238 Maines Fernando

77 Elementi di meccanica agraria pag. 239 Maines Fernando 8.1 Suddivisione dei terreni In diversi casi di pratica professionale (disposizioni in caso di eredità, compravendita o esproprio parziale, frazionamento di una particella per lottizzazione,.) occorre effettuare la divisione di appezzamenti di terreno in aree più piccole. Si vengono a costituire, in tal modo, una o più particelle in base a dei criteri stabiliti precedentemente: il numero di parti, la superficie destinata a ciascuna porzione (in termini assoluti o in termini di percentuale) ed eventuali altre particolari condizioni (direzione confini, passaggio dei confini per specifici punti, ). La specifica procedura catastale (tipo di frazionamento) darà origine a nuove particelle contraddistinte da una nuova numerazione:

78 Elementi di meccanica agraria pag. 240 Maines Fernando nel Catasto italiano una particella mantiene il numero di quella iniziale, mente le altre verranno numerate a partire dal numero successivo a quello più alto attualmente in uso nello specifico Comune Catastale; nel Catasto ex austroungarico invece le particelle assumono un numero frazionario progressivo (n/1, n/2, n/3, ). Da un punto di vista estimativo possiamo avere due casi fondamentali: l appezzamento si caratterizza per la presenza di aree con diverso valore e pertanto la suddivisione non può essere effettuata solo in funzione di criteri geometrici; si caratterizza per un valore costante (situazione che prenderemo in considerazione in questa sede): la suddivisione può essere eseguita solo in base ai valori di superficie (m 2 ): Molti sono i criteri di suddivisione che si possono adottare per un appezzamento poligonale (del quale devono essere tutti gli angoli e tutti i lati): con dividenti tutte parallele ad una data direzione (un lato, quella dei filari, ). Nella pratica professionale è questa la situazione più frequente. con dividenti tutte perpendicolari ad una data direzione; con dividenti uscenti da un determinato punto (un pozzo, un traliccio, ) posto sul confine o all interno dell appezzamento. una delle innumerevoli combinazioni dei precedenti casi. In tutti i casi, comunque, l obiettivo fondamentale è quello di individuare la posizione dei nuovi confini (cippi) rispetto ai punti di confini esistenti. La procedura risolutiva prevede come primo passaggio il calcolo delle aree parziali la cui entità, generalmente viene definita mediante specifici coefficienti di suddivisione (uno per ciascuna parte). Questi vengono indicati con le lettere p, q, r, s,, mentre con n si indicala loro somma. Pertanto i valori delle aree parziali diventano (in riferimento alle precedente figura: I manuali riportano estese casistiche di suddivisione con le relative formule. In realtà tutti i casi possono essere risolti applicando in modo ragionato le formule viste per i

79 Elementi di meccanica agraria pag. 241 Maines Fernando triangoli e due metodiche relative al distacco da un poligono di un triangolo e di un trapezio. Si opera il distacco di un area triangolare qualora l area da distaccare (S 3 ) risulta inferiore all area del triangolo CDH (vedi figura). Poiché nei triangoli simili esiste una proporzionalità al quadrato fra lati corrispondenti e aree, il nuovo confine si trova mediante le seguenti formule: S3 S3 CP = CD CQ= CH S S CDH CDH Consideriamo ora il caso del distacco di una superficie trapezia di area S 1, a partire da un lato (base) dell appezzamento di cui sono note la lunghezza (AB nel disegno) e i due angoli adiacenti (α e β). La risoluzione richiede tre passaggi: 1. è possibile dimostrare che il valore dell altezza h del trapezio è data da una delle due soluzioni della seguente equazione di 2 grado: tan x S α tanβ ( 2AB) x + 2 = 0 1 dove: x 1/2 = AB ± AB 2S1 + tanα tan β tanα tan β

80 Elementi di meccanica agraria pag. 242 Maines Fernando 2. fra le due soluzioni si prende quella (x * ) che, in valore assoluto, più si avvicina al rapporto S 1 /h; 3. è possibile ora calcolare la posizione del nuovo confine con le seguenti formule: * * x x AM = BN = sen α sen β Per meglio comprendere questo argomento proponiamo alcuni esercizi. 1. si divida il quadrilatero ABCD in tre parti (proporzionali ai coefficienti 3,5; 4,5; 3,2), con dividenti parallele al lato CD (l area S 1 a partire da CD). Del quadrilatero sono noti i seguenti elementi: o AB = 98,388; CD = 65,323; AD = 66,153; BC = 115,444 o α = 135,456 gon; β = 54,393 gon; δ = 95,923 gon; γ = 114,228 gon. 2. si divida il quadrilatero ABCD in tre parti (proporzionali ai coefficienti 4, 5, 3), con dividenti parallele al lato AB (l area S 1 a partire da AB). Del quadrilatero sono noti i seguenti elementi: o BC = 34,61; CD = 42,45; AD = 52,63; o γ = 100,6847 gon; δ = 75,9147 gon. 8.2 Rettifica e spostamento confini L operazione di rettifica di un confine consiste nella semplificazione della relativa geometria quando si dimostra non più funzionale ad un razionale uso dei due appezzamenti confinanti. In tal caso la spezzata viene sostituita da una semplice retta (linea rossa in figura). Proprietario I Proprietario I A C D A B B Proprietario II Proprietario II L operazione di spostamento di un confine, invece, si limita alla modificazione della geometria del confine. In entrambi i casi la nuova configurazione del confine dipende dagli accordi fra i proprietari, che fissano particolari condizioni da rispettare: perpendicolarità ad un confine,

81 Elementi di meccanica agraria pag. 243 Maines Fernando parallelismo ad una determinata direzione (capezzagna, andamento filari, ), passaggio per un determinato punto (pozzo, traliccio, ). Proprietario I A C D B Proprietario II Se l accordo non prevede una condizione diversa, il nuovo confine deve mantenere inalterata la superficie dei due appezzamenti confinanti (compenso). 8.3 Metodologia operativa Le operazioni di spostamento o di rettifica di un confine richiede lo svolgimento di alcuni passaggi operativi. In primo luogo si deve definire un confine provvisorio (confine di prova), scelto in modo da soddisfare le condizioni prefissate (in figura la perpendicolarità al confine r) e per consentire una semplice determinazione delle aree che si formano fra il vecchio confine e quello nuovo. Generalmente si opera su aree triangolari, come nell esempio in figura dove si deve operare il calcolo relativo ad ABE, CEF, DFP. Tale calcolo è consentito dalla conoscenza di tutti gli elementi (lati e angoli) relativi al vecchio confine (in figura AB, BC, CD, α, β, γ, δ). Calcolate le aree individuate (in figura S 1, S 2, S 3 ), si determina il torto prodotto dalla scelta del confine di prova. Nell esempio il proprietario I subisce una perdita pari a S 1 + S 3 - S 2. E possibile ora compensare tale torto restituendo un area, pari al torto, di forma triangolare o trapezia in funzione delle caratteristiche che deve avere il confine. In particolare sarà un area triangolare nel caso di confine uscente da un punto fisso, mentre si dovrà adottare un ara trapezia in caso di confine parallelo ad una data direzione (come nel caso in figura).

82 Elementi di meccanica agraria pag. 244 Maines Fernando L ultimo passaggio prevede la determinazione della distanza dei termini del nuovo (P in figura) confine rispetto ai termini del vecchio confine (D). Consideriamo il caso di una rettifica di un confine trilaterale con un nuovo confine uscente da un determinato punto (A). Calcolato il torto T = S 1 + S 2 determinato dalla scelta del confine di prova AP, è possibile operare il compenso restituendo al proprietario I un area triangolare pari a T dove: 2T PQ = APsenε E ora possibile calcolare DQ = PQ DP, cioè la distanza del termine del nuovo confine rispetto al termine di quello vecchio, elemento che rappresenta l obiettivo finale dell intero processo. Nel caso, invece, il confine debba essere parallelo ad una data direzione (predefinita e pertanto nota) si deve operare una compensazione con un area trapezia. Anche in questo caso, per calcolare il torto T = S 1 + S 3 - S 2 è stato necessario risolvere tutti i triangoli in gioco e pertanto ora sono noti tutti i loro elementi fra i quali AP (confine di prova) e l angolo ε. Si può pertanto applicare la regola del trapezio (vista per la suddivisione delle aree), ottenendo AQ e PR. Si termina con il calcolo di DR = DP - PR che, assieme ad AQ rappresentano le distanze dei termini del nuovo confine rispetto ai termini di quello vecchio. 8.4 Esercizi 1. Due proprietà confinanti (I e II) sono separati da un confine rettilineo AB. Le stesse proprietà sono separate da altre proprietà contigue dagli allineamenti AA e BB, con A e B situati sul confine laterale della proprietà I. Sono state effettuate le seguenti misure: AB = 109,14 A AB = 123,1731 gon ABB = 97,8536 si determini la posizione di un nuovo confine rettilineo di compenso, uscente dal punto P del confine laterale posto a 55,24 m da A; si determini la posizione di un nuovo confine rettilineo di compenso, che forma con l allineamento AA un angolo ω pari a 84,3412 gon. 2. Due appezzamenti di terreno contigui, appartenenti a due distinti proprietari, hanno la parte di confine in comune rappresentata dal segmento AB. L appezzamento superiore ha forma triangolare ABC. In fase di rilievo sono state rilevate le seguenti misure: AB = 255,48 CAB = gon CAB = 68,844 gon

83 Elementi di meccanica agraria pag. 245 Maines Fernando si determini la posizione di un nuovo confine rettilineo di compenso, uscente dal punto S situato a 64,35 m da A verso C; si determini la posizione di un nuovo confine rettilineo di compenso, perpendicolare all allineamento CB. ***** 3. Un appezzamento pentalatero ABCDE, i cui vertici si susseguono in senso antiorario, ha in comune con una proprietà contigua il confine bilatero ABC. I confini laterale delle suddette proprietà sono costituiti dai prolungamenti dei lati AE e CD. Sono state effettuate le seguenti misure: AB = 103,46 m; BC = 81,24 m; EAB = 131,4521 gon; ABC =166,1293; BCD = 95,2722. si sostituisca al confine ABC un nuovo confine rettilineo di compenso, uscente dal punto P distante 21,29 m dal vertice A, sul lato AE; si sostituisca al confine ABC un nuovo confine rettilineo di compenso, che formi con il confine laterale AE un angolo ω pari a 86,2932 gon. 4. Due proprietà confinanti I e II sono separate da un confine poligonale ABCDE e, attraverso gli allineamenti AA e EE, da altre proprietà contigue. Sono stati misurati i seguenti elementi del confine comune: AB = 81,12m; BC = 75,73m; CD = 100,69m; DE = 51,33m; A = 129,8862 gon; B = 101,4407; C = 255,1430; D = 167,1916; E = 114,1209; si sostituisca al confine attuale un nuovo confine rettilineo di compenso, uscente dal punto P del confine AA ad una distanza di 44,25 m; si sostituisca al confine attuale un nuovo confine rettilineo di compenso, che formi con il confine laterale AA un angolo ω pari a 80,2325 gon.

84 Elementi di meccanica agraria pag. 246 Maines Fernando 9 Tipo di frazionamento

85 Elementi di meccanica agraria pag. 247 Maines Fernando

86 Elementi di meccanica agraria pag. 248 Maines Fernando

87 Elementi di meccanica agraria pag. 249 Maines Fernando La fase di aggiornamento del catasto prevede la possibilità di effettuare specifici interventi (atti geometrici di aggiornamento) che comportano modifiche nella mappa particellare. Tali interventi, in funzione dell ambito di applicazione si classificano in: tipo di frazionamento se riguarda la divisione di una particella in due o più parti; si rende necessario quando si ha il trasferimento di proprietà o di altro diritto reale che riguarda una porzione di particella; tipo mappale qualora si interviene su nuovi fabbricati o nel caso di modifica di fabbricati esistenti; tipo particellare, in caso di accorpamenti e verifiche. Nel catasto ex-austroungarico tale distinzione non esiste e si parla solo di tipo di frazionamento. La richiesta di effettuare tali modifiche deve essere presentato all ufficio competente per territorio e possono essere redatte da 6 categorie di tecnici liberi professionisti: architetti, ingegneri, dottori agronomi, geometri, periti agrari e periti edili. L iter prevede diverse fasi: