Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

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1 a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.

2 Continuità in un punto e in un intervallo Sia A R un intervallo e sia f : A R. Sia x A. Diciamo che f è (sequenzialmente) continua in x se per ogni successione {x n } di elementi di A che converge a x la successione {f (x n )} converge a f ( x). Se f non è continua in x, diciamo che è discontinua in x, oppure che x è un punto di discontinuità per f. Diciamo che f è continua in A se è continua in tutti i punti di A.

3 Esempi da ricordare Le funzioni costanti, la funzione identica, la funzione valore assoluto, le funzioni affini, la funzione reciproco sono continue nei rispettivi domini. La funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa sono discontinue nei punti di Z. La funzione segno e la funzione di Heaviside sono discontinue in x = 0. Verifica... Osservazione Supponiamo che due funzioni assumano i medesimi valori in un intervallo. Se una delle due è continua in un punto interno all intervallo, anche l altra lo è.

4 Proposizione Continuità e operazioni algebriche La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare, il reciproco, il rapporto di funzioni continue sono funzioni continue nei rispettivi domini. Continuità e composizione funzionale La funzione composta di funzioni, ciascuna continua nel rispettivo dominio, è continua nel proprio dominio. Verifica...

5 Esempi da ricordare Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini: funzione potenza a esponente in Z; funzione polinomiale: P(x) = c n x n + c n x n c x + c 0, con c 0, c,..., c n R; funzione razionale: R(x) = P(x) Q(x), con P e Q funzioni polinomiali.

6 Proprietà globali delle funzioni continue Teorema di Weierstrass Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora: f ammette minimo e massimo globale in [a, b], cioè : esistono x, x [a, b] tali che f (x ) f (x) f (x ) per ogni x [a, b]. Illustriamo il ruolo delle ipotesi mediante qualche esempio: f (x) = x x (0, ] f (x) = x x [, + ) f (x) = x x x [, 5] f (x) = { x 2 se x [ 2, 0) (0, 3] se x = 0

7 Teorema degli zeri Sia f una funzione continua nell intervallo A. Se f assume valori discordi in A, allora f si annulla in almeno un punto di A. Più precisamente: se esistono due punti distinti a, b A tali che f (a) f (b) < 0, allora esiste x compreso tra a e b tale che f ( x) = 0. Dimostrazione... Corollario Sia f una funzione continua nell intervallo A. Per ogni ȳ (inf f, sup f ) esiste x A tale che f ( x) = ȳ. (Teorema dei valori intermedi) L immagine di f è l intervallo di estremi inf f e sup f. Verifica... Interpretazione grafica della continuità...

8 Proposizione (continuità e inversione funzionale) Se la funzione f è definita in un intervallo, strettamente monotona e continua, allora anche la funzione inversa di f lo è. Dimostrazione... Osservazione Si può dimostrare che per una funzione definita e continua in un intervallo la stretta monotonia è condizione necessaria e sufficiente per l invertibilità. Esempi da ricordare Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini: la funzione radice n-esima; la funzione potenza a esponente razionale.

9 Funzioni esponenziali e loro inverse Sia a R +, a. La funzione definita come x R a x R si chiama funzione esponenziale in base a. Osservazione Per a <, la funzione esponenziale è strettamente decrescente in R. Per a >, la funzione esponenziale è strettamente crescente in R. Verifica... 0 < a < a > 0 0

10 Richiami dal capitolo sui numeri reali: Per x R +, il simbolo log a (x) indica l unico numero reale la cui esponenziale con base a sia uguale a x. L uguaglianza a log a (x) = x vale per ogni x R +. L uguaglianza log a (a x ) = x vale per ogni x R. Dalle uguaglianze segue che la funzione logaritmo in base a, definita come x R + log a (x) R, è la funzione inversa della funzione esponenziale in base a. 0 < a < a > 0

11 Proposizione La funzione esponenziale e la funzione logaritmo sono continue nei rispettivi domini. Verifica... Corollario La funzione potenza con esponente qualsiasi è continua.

12 Funzioni goniometriche e loro inverse Preliminari: distanza tra due punti la circonferenza come luogo geometrico l equazione della circonferenza corrispondenza tra R e la circonferenza unitaria misura in radianti di un angolo orientato Definiamo le funzioni sin: R R (seno) e cos: R R (coseno) come segue: per ogni x R, sin(x) è l ordinata dell unico punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria; per ogni x R, cos(x) è l ascissa dell unico punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria. Identità fondamentale della trigonometria Per ogni x R si ha sin(x) 2 + cos(x) 2 =. Perché?

13 Proprietà immediate (o quasi) delle funzioni seno e coseno Periodicità Per ogni x R: sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x) Limitatezza Per ogni x R: sin(x), cos(x) Simmetria Per ogni x R: sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x) Monotonia... Zeri e segno...

14 Seno 0 Coseno 0 Osservazione I grafici di seno e coseno coincidono a meno di una traslazione ( orizzontale; ciò è dovuto all uguaglianza sin(x) = cos x π ), 2 vera per ogni x R.

15 La funzione { π } x R \ 2 + kπ k Z si chiama funzione tangente. Interpretazione geometrica... sin(x) =: tan(x) R cos(x) Proprietà immediate (o quasi) della funzione tangente Periodicità Per ogni x dom(tan): tan(x + π) = tan(x) Simmetria Per ogni x R: tan( x) = tan(x) Monotonia... Zeri e segno... 0

16 Alcuni valori notevoli delle funzioni seno, coseno e tangente x sin(x) cos(x) tan(x) π 2 0 π 0 0 π π π Altri valori si calcolano tenendo conto delle simmetrie

17 Proposizione Le funzioni seno, coseno, tangente sono continue nei rispettivi domini. Verifica... Corollario L immagine delle funzioni seno e coseno è l intervallo [, ]. L immagine della funzione tangente è R. Verifica...

18 Le seguenti funzioni sono strettamente monotone e pertanto invertibili: la restrizione della funzione seno all intervallo [ π 2, π 2 ] ; la restrizione della funzione coseno all intervallo [0, π]; la restrizione della funzione tangente all intervallo ( π 2, π 2 ). Le rispettive funzioni inverse si chiamano arcoseno, arcocoseno, arcotangente (simboli: arcsin, arccos, arctan).

19 Proprietà immediate (o quasi) arcoseno arcocoseno arcotangente dominio [, ] [, ] R [ immagine π 2, π ] ( [0, π] π 2 2, π ) 2 monotonia strett. crescente strett. decrescente strett. crescente simmetria dispari nessuna dispari continuità si si si 0 0

20 Osservazione I valori notevoli di arcoseno, arcocoseno e arcotangente si ricavano da quelli di seno, coseno e tangente, tenendo conto che arcsin(x) = y sin(y) = x, arctan(x) = y tan(y) = x arccos(x) = y cos(y) = x Osservazione Le funzioni inverse delle funzioni seno, coseno e tangente non vanno confuse con le funzioni reciproche, che sono chiamate cosecante, secante e cotangente, rispettivamente. Esercizio Determinare gli insiemi di definizione di cosecante, secante e cotangente. Tracciarne i grafici a partire da quelli delle funzioni seno, coseno e tangente, rispettivamente.