Funzioni (parte II).

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Funzioni (parte II)."

Transcript

1 Funzioni (parte II). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 21 ottobre 214 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 1/ 55

2 Funzioni trigonometriche. Si supponga Ω sia il disco di raggio 1 centrato nell origine (disco unitario); siano A = (1, ), B = (, 1); sia P un punto sulla circonferenza, e si supponga che l angolo AÔP misuri x radianti (orientato antiorario!); sia Q la proiezione di P sull asse delle ascisse; sia T il punto sulla retta r contenente O e P la cui proiezione sull asse dell ascisse sia A. Allora l ascissa di Q si denota cos (x) (coseno di x); l ordinata di P si denota sen(x) (seno di x); l ordinata di T si denota tg(x) (tangente di x); Si noti che talvolta si usa sin(x) e tan(x) invece di sen(x) e tg(x). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 2/ 55

3 Funzioni trigonometriche. Figura : Funzioni trigonometriche sul cerchio unitario. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 3/ 55

4 Funzioni trigonometriche. Poichè i triangoli OPQ e OAT sono simili, sia ha che tg(x) = sen(x) cos(x), Si definisce poi cotangente la funzione Inoltre è facile osservare che cos () = 1, sin () = ; cos (2π) = 1, sin (2π) = ; ctg(x) = cos(x) sen(x). dal teorema di Pitagora, essendo il disco unitario, sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1, x [, 2π) (1) Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 4/ 55

5 Funzioni trigonometriche Figura : La funzione sin (x). La funzione sin (x) è periodica con periodo 2π; è dispari:sin ( x) = sin (x) ha dominio R ma immagine Im(sen(x))=[-1,1], (quindi sin (x) 1); Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 5/ 55

6 Funzioni trigonometriche Figura : La funzione cos(x). La funzione cos(x) è periodica con periodo 2π; è pari: cos ( x) = cos (x); ha dominio R ma immagine Im(cos (x)) = [ 1, 1] (quindi cos (x) 1); vale sin(x) = cos(x π 2 ) Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 6/ 55

7 Funzioni trigonometriche La funzione tan(x) è periodica con periodo π; Figura : La funzione tan(x). è dispari: tan( x) = tan(x) ; non è definita nei punti x k = kπ con k Z; ha dominio R\{x : x = kπ, k Z} e immagine Im(tan (x)) = R. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 7/ 55

8 Funzioni trigonometriche: esercizio. Esercizio Qual è il periodo di f (x) = sin (3x)? Da f (x + T ) = f (x) abbiamo per y = 3x f (x + T ) = sin(3(x + T )) = sin(3x + 3T ) = sin(y + 3T ) (2) f (x) = sin (3x) = sin (y). (3) Il più piccolo ˆT per cui sin(y + ˆT ) = sin(y) è ˆT = 2π, per cui il più piccolo T per cui f (x + T ) = sin(y + 3T ) = sin (y) = f (x) è 3T = ˆT = 2π da cui T = 2π/3. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 8/ 55

9 Funzioni iperboliche. Definizione Si definisce seno iperbolico la quantità Sh(x) = sinh (x) := ex e x. 2 Definizione Si definisce coseno iperbolico la quantità Ch(x) = cosh (x) := ex + e x. 2 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 9/ 55

10 Funzioni iperboliche. Definizione Si definisce tangente iperbolica la quantità Th(x) = tanh (x) := sinh(x) cosh(x) = ex e x e x + e x. A volte sinh (x) si denota senh(x); A volte tanh (x) si denota tgh(x); Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 1/ 55

11 Funzioni iperboliche: sinh Figura : La funzione sinh(x) in [ 4, 4]. La funzione sinh(x) è dispari: sinh( x) = sinh(x) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(sinh (x)) = R; è strettamente crescente. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 11/ 55

12 Funzioni iperboliche: cosh Figura : La funzione cosh(x) in [ 4, 4]. La funzione cosh(x) è pari: cosh( x) = cosh(x) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(cosh (x)) = [1, + ) (cioè cosh(x) 1); è strettamente decrescente per x e strettamente crescente per x ; similmente alla (1) vale cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 12/ 55

13 Funzioni iperboliche: tanh La funzione tanh(x) Figura : La funzione tanh(x) in [ 1, 1]. è pari: tanh( x) = tanh(x) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(tanh (x)) = ( 1, 1) (cioè tanh(x) è limitata); è strettamente crescente. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 13/ 55

14 Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x) + a? Risposta: Si trasla verticalmente di a il grafico di f (x) Figura : Grafico di y = x + 1 (rosso), y = x (nero) e y = x 1 (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 14/ 55

15 Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x + a)? Risposta: Si trasla orizzontalmente di a il grafico di f (x) Figura : Grafico di y = sin (x + 1) (rosso), y = sin (x) (nero) e y = sin (x 1) (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 15/ 55

16 Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x)? Risposta: Si simmetrizza il grafico di f (x) rispetto l asse x Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (x) (rosso). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 16/ 55

17 Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = k f (x)? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore k il grafico di f (x) (rispetto l asse x) Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = 2 sin (x) (rosso) e y =.5 sin (x) (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 17/ 55

18 Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (kx)? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore 1/k il grafico di f (x) (rispetto l asse y) Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (2x) (rosso) e y = sin (.5x) (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 18/ 55

19 Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x)? Risposta: Se f (x) non si fa niente, altrimenti lo si riflette sull asse x Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (x) (rosso). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 19/ 55

20 Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f ( x )? Risposta: Si riflette il grafico della parte in cui x rispetto l asse y Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin ( x ) (rosso). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 2/ 55

21 Funzioni composte. Definizione Sia f : E R, g : F R tale che Im(f ) F. La funzione h = g f tale che si chiama funzione composta. h(x) = (g f )(x) = g(f (x)) Figura : Esempio di funzione composta. In giallo, l insieme Im(f ) F. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 21/ 55

22 Funzioni composte. Nota. Si noti che: E fondamentale che Im(f ) F ; In generale f g g f ; Si possono comporre più funzioni ((f g) τ) (x) = f (g(τ(x))) = f (g τ) (verificarlo!). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 22/ 55

23 Funzioni composte: generalizzazione. La definizione, più generale consiste in Nota. Siano X, Y, V, W insiemi. Siano f : X Y, g : V W tali che Im(f ) V. Sia X := {x X : f (x) V }. Allora per ogni x X si può definire la funzione h = g f tale che h(x) = (g f )(x) = g(f (x)). Tale h si chiama funzione composta. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 23/ 55

24 Funzioni composte: esempio 1. Esempio Siano Si vede che f (x) = x 2 + 1, g(x) = x (g f )(x) = g(f (x)) = x Si osservi che da Im(f ) = [1, + ), Dom(g) = [, + ), la composta è ben definita e da Dom(f ) = R, (g f ) : R R. Si vede che (f g)(x) = f (g(x)) = ( x) = x + 1. Osserviamo che Dom(g) = R + = [, + ) e in R + si ha che x + 1 = x + 1. Inoltre essendo Im(g) = [, + ) e Dom(f ) = R, la composta è ben definita. Quindi (f g) : R + R e f g g f. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 24/ 55

25 Funzioni composte: esempio 2. Esempio Siano Si vede che f (x) = x 2, g(x) = 4 x (g f )(x) = g(f (x)) = 4 x 2 Si osservi che da Im(f ) = (, ], Dom(g) = [, + ), la composta non è ben definita. L unico punto in cui la funzione è ben definita è x = e la composta vale. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 25/ 55

26 Funzioni composte: esempio 2. Si vede che (f g)(x) = f (g(x)) = ( 4 x) 2. Osserviamo che Dom(g) = R + = [, + ), Im(g) = [, ) = R +, Dom(f ) = R + e quindi da Im(g) Dom(f ) la composta è ben definita. Da Im(f ) = (, ] = R abbiamo f g : R + R. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 26/ 55

27 Funzioni composte: esempio 3. Esempio Siano { 1, x f (x) = 3, x < g(x) = { x 2, x > 1 x, x 1 Calcoliamo (f g)(x) = f (g(x)). Supponiamo x 1. Allora g(x) = x ed è g(x) per x altrimenti, per x (, 1], si ha che g(x) <. Se x abbiamo f (g(x)) = 1 mentre per x (, 1] si ha f (g(x)) = 3. Supponiamo x > 1. Allora g(x) = x 2 > 1 > e quindi f (g(x)) = 1. Studiare per casa (g f )(x) = g(f (x)). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 27/ 55

28 Funzioni composte: monotonia. Teorema Sia Im(f ) Dom(g). Se f crescente, g crescente allora g f è crescente. Se f crescente, g decrescente allora g f è decrescente. Se f decrescente, g decrescente allora g f è crescente. Dimostrazione. Dimostriamo il primo asserto. Se x 1 > x 2, essendo f crescente, f (x 1 ) > f (x 2 ). Siano y 1 = f (x 1 ) e y 2 = f (x 2 ). Allora essendo g crescente g f (x 1 ). = g(f (x 1 )) = g(y 1 ) > g(y 2 ) = g(f (x 2 )) = g f (x 2 ). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 28/ 55

29 Funzioni composte: monotonia, esempio 1. Esempio Si consideri F (x) = log(sinh(x 3 )). Posto h(x) = log (x), g(x) = sinh(x), f (x) = x 3, si vede subito che f, g, h sono funzioni crescenti e che F (x) = (h (g f )) = h(g(f (x)). Inoltre G := g f è crescente perchè composizione di funzioni crescenti; F = h (g f ) = h G, dove è definita, è crescente perchè composizione di funzioni crescenti. Essendo x 3 dispari, sinh dispari, G(x) = sinh (x 3 ) è dispari essendo G( x) = sinh (( x) 3 ) = sinh ( (x 3 )) = sinh (x 3 ) = G(x) Essendo G(x) per x ne consegue, dalla disparità che G(x) per x e che quindi log(sinh(x 3 )) è definita esclusivamente per x >. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 29/ 55

30 Funzioni composte: monotonia, esempio 2. Esempio Si consideri F (x) = 1 log (x). Posto g(x) = 1 x, f (x) = log (x), si vede subito che g è una funzione decrescente in (, ) e (, + ) ed f crescente in (, + ), e che F (x) = (g f ) = g(f (x)). Quindi F è una funzione decrescente in (, 1) e (1, + ). Possiamo dire che F è decrescente in R + \{, 1}? Qualche problema tra immagini e domini? Nota. Nell esempio bisogna aver cura dei domini. Infatti Im(f ) = R + che non contenuto in Dom(g) = R\. Ma se restringiamo il dominio di f a R + \1 allora Im(f ) = R\ = Dom(g). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 3/ 55

31 Funzioni composte: monotonia, esempio x Figura : Dall alto in basso: 1/x, log(x), 1/ log(x) e zoom di 1/ log(x). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 31/ 55

32 Funzioni invertibili e inverse. Definizione Una funzione f : D f (D) è invertibile in D se e solo se per ogni y f (D) esiste uno e uno solo x D tale che f (x) = y. Definizione Sia la funzione f : D f (D) invertibile in D. La funzione f 1 : f (D) D che associa ad ogni y f (D) l elemento x D tale che f (x) = y si chiama funzione inversa di f. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 32/ 55

33 Funzioni invertibili e inverse. Figura : Dall alto in basso: una funzione non invertibile e una invertibile. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 33/ 55

34 Funzioni invertibili. Definizione La funzione Id : D D tale che Id(x) = x si chiama funzione identica. Nota. Se la funzione f : D f (D) è invertibile allora e quindi f 1 f = Id. f 1 f (x) = f 1 (f (x)) = x, x D Se la funzione f : D f (D) è invertibile allora f f 1 (y) = f (f 1 (y)) = y, y f (D). Successivamente questa proprietà tornerà utile in varie circostanze. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 34/ 55

35 Funzioni invertibili. Sia D R un dominio simmetrico e f : D R una funzione pari. Allora f non è invertibile. Se è pari infatti f (x) = f ( x) ed essendo il dominio simmetrico x, x D. Sia f : R R una funzione periodica. Allora f non è invertibile. Se è periodica di periodo T infatti f (x + T ) = f (x). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 35/ 55

36 Funzioni iniettive e suriettive. Definizione Una funzione f : D E è iniettiva in D se e solo se per ogni x 1, x 2 D, x 1 x 2 si ha che f (x 1 ) f (x 2 ) Nota. La definizione di funzione iniettiva è equivalente a dire che se x 1, x 2 D, f (x 1 ) = f (x 2 ) allora x 1 = x 2. La definizione di funzione iniettiva è equivalente a dire che per ogni y f (D) esiste un unico x D tale che f (x) = y. Una funzione invertibile deve essere iniettiva. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 36/ 55

37 Funzioni iniettive e suriettive. Nota. Una funzione f : D E è suriettiva se e solo se per ogni y E esiste x D tale che f (x) = y. Una funzione f : D E si dice biettiva se e solo se iniettiva e suriettiva. Nota. Sia E = f (D). Allora f : D E è sicuramente suriettiva perchè, per definizione di immagine, per ogni y f (D) esiste x D tale che y = f (x). Quindi una funzione f : D f (D) è biettiva se e solo se iniettiva. Se E non coincide con f (D) quest ultima affermazione non è vera. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 37/ 55

38 Funzioni iniettive: esempi. Esempio La funzione f (x) = x 2 non è iniettiva in R. Infatti f ( 1) = f (1) = 1. Esempio La funzione f (x) = x 3 è iniettiva in R. Infatti se f (x 1 ) = f (x 2 ) allora x1 3 = x 2 3 e i cubi di due numeri sono uguali se e solo se i numeri coincidono. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 38/ 55

39 Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Teorema Sia f : D R R strettamente monotona. Allora f è invertibile in D. Dimostrazione. Sia f : D R R strettamente crescente e quindi x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ). Dimostriamo che è iniettiva, cioè x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Visto che x 1, x 2 sono arbitrari e distinti, possiamo supporre x 1 < x 2. Ma allora essendo crescente f (x 1 ) < f (x 2 ) e di conseguenza f (x 1 ) f (x 2 ). La dimostrazione del caso in cui f è strettamente decrescente è analoga (per casa). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 39/ 55

40 Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Teorema Sia f : D R R è strettamente monotona allora f 1 è strettamente monotona. Nota. Se f : D R R è invertibile, allora non è detto che f sia strettamente monotona Figura : Una funzione invertibile e non monotona. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 4/ 55

41 Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 1. Esempio Sia a > 1. La funzione f (x) = a x è tale che f : R (, + ). E strettamente monotona e invertibile perchè se a x 1 = a x 2 allora x 1 = x 2. L inversa f 1 : (, + ) R è per definizione f 1 (y) = log a (y) Figura : La funzione f (x) = 2 x. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 41/ 55

42 Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 2. Esempio La funzione f (x) = x 3 è tale che f : R R. E strettamente crescente e invertibile perchè se x 3 1 = x 3 2 allora x 1 = x 2. L inversa f 1 : (, + ) R è per definizione f 1 (y) = 3 y Figura : La funzione f (x) = x 3 in [ 1, 1]. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 42/ 55

43 Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 3. Esempio La funzione f (x) = x 2 è non è invertibile se f : R R (funzione pari!); è invertibile se f : R + R + ed è f 1 (y) = y Figura : La funzione f (x) = x 3 in [ 1, 1]. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 43/ 55

44 Funzioni invertibili: il suo grafico. Nota. Osserviamo che Di conseguenza (x, y ) graf(f ) f (x ) = y. (y, x ) graf(f 1 ) f 1 (y ) = x. Questo comporta che i grafici delle due funzioni sono simmetrici rispetto alle bisettrici del primo e terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 44/ 55

45 Funzioni invertibili: il suo grafico Figura : La funzione f (x) = e x in [.5, 2] (nero), f 1 (y) = log e (y) (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 45/ 55

46 Funzioni invertibili: il suo grafico Figura : La funzione f (x) = x 3 in [ 1, 1] (nero), f 1 (y) = 3 y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 46/ 55

47 Funzioni invertibili: il suo grafico. La funzione f : [, 1] [, 1] con f (x) = x 2 è invertibile e la sua inversa è f 1 (y) = y Figura : La funzione f (x) = x 2 in [, 1] (nero), f 1 (y) = y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 47/ 55

48 Funzioni trigonometriche e le loro inverse. La funzione f (x) = sin (x), se considerata come f : R R non è invertibile (in quanto periodica). Se invece la si restringe all intervallo (di periodicità ) [ π/2, π/2], cioè come f : [ π/2, π/2] [ 1, 1], essendo strettamente crescente e Im(f ) = [ 1, 1], risulta invertibile. La sua inversa si chiama arcoseno ed è denotata con arcsin(x) (talvolta arcsen(x)). Per definizione di inversa, si ha che f 1 : [ 1, 1] [ π/2, π/2]. Per definizione, per x [ π/2, +π/2], arcsin (sin (x)) = x. Per definizione, per y [ 1, 1], sin (arcsin (y)) = y. Si mostra che arcsin( x) = arcsin(x) cioè che arcsin è una funzione dispari. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 48/ 55

49 Funzioni trigonometriche e le loro inverse Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [ π/2, π/2] (nero), f 1 (y) = arcsin y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 49/ 55

50 Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [π/2, 3π/2] (nero), f 1 (y) (rosso). In blue la bisettrice Paola Mannucci del e Alvise primo Sommariva e del terzo Introduzione. quadrante. 5/ 55 Funzioni trigonometriche e le loro inverse. Nota. Cosa succede se invece di prendere quale intervallo di periodicità [ π/2, π/2] considero un altro intervallo in cui sin (x) è monotona? Supponiamo si consideri f (x) = sin (x) come funzione f : [π/2, 3π/2] [ 1, 1]. Sicuramente f è invertibile, ma il valore dell inversa sarà in [π/2, 3π/2] e non in [ π/2, π/2]

51 Funzioni trigonometriche e le loro inverse. La funzione f (x) = cos (x), se considerata come f : R R non è invertibile (in quanto periodica). Se invece la si restringe all intervallo (di periodicità ) [, π], ciè come f : [, π] [ 1, 1], essendo strettamente decrescente e Im(f ) = [ 1, 1], risulta invertibile. La sua inversa si chiama arco coseno ed è denotata con arccos(x) (talvolta acos(x)). Per definizione di inversa, si ha che f 1 : [ 1, 1] [, π]. Per definizione, per x [, π], arccos (cos (x)) = x. Per definizione, per y [ 1, 1], cos (arccos (y)) = y. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 51/ 55

52 Funzioni trigonometriche e le loro inverse Figura : La funzione f (x) = cos (x) in [, π] (nero), f 1 (y) = arccos y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 52/ 55

53 Funzioni trigonometriche e le loro inverse. La funzione f (x) = tan (x), se considerata come f : R R non è invertibile (in quanto periodica). Se invece la si restringe all intervallo (di periodicità ) [ π/2, +π/2], ciè come f : [ π/2, +π/2] R, essendo strettamente decrescente e Im(f ) = R, risulta invertibile. La sua inversa si chiama arco tangente ed è denotata con arctan(x) (talvolta atan(x)). Per definizione di inversa, si ha che f 1 : R [ π/2, +π/2]. Per definizione, per x [ π/2, +π/2], arctan (tan (x)) = x. Per definizione, per y R, tan (arctan (y)) = y. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 53/ 55

54 Funzioni trigonometriche e le loro inverse Figura : La funzione arctan (y) in [ 1, 1] Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 54/ 55

55 Funzioni trigonometriche e le loro inverse: esercizio. Esercizio Dire per quali valori di x è definita f (x) = arccos (x 3 8). La funzione è definita per x x Con facili conti si ottiene che devono valere entrambe le { x 3 9 x 3 7 e quindi dalla monotonicità stretta di x 3, per 3 7 x 3 9. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 55/ 55

56 Esercizio 1 sui domini di una funzione Esercizio Calcolare il dominio di f (x) = cosh(log x 2 1 ). Essendo R il dominio naturale di cosh, basta sia definita log x 2 1 e quindi che sia x 2 1 >. Essendo a = se e solo se a =, basta x 2 1, cioè x ±1. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 56/ 55

57 Esercizio 2 sui domini di una funzione Esercizio Calcolare il dominio di f (x) = arcsin(e x+2 x ). La funzione arcsin è definita per argomenti y tale che y 1. Di conseguenza bisogna richiedere che e x+2 x 1 ed essendo l esponenziale di un numero sempre positivo, basta e x+2 x 1. Essendo il logaritmo una funzione crescente, ciò è vero se e solo se cioè x+2 x log(e x+2 x ) log (1) =. Essendo x + 2, ciò è possibile se x e x + 2 =, cioè x = 2 oppure x <. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 57/ 55

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni: Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx, la funzione

Dettagli

FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE f: R R è detta funzione periodica di periodo T>0 se per ogni x R f(x+t) = f(x) Gli angoli hanno natura periodica: un angolo di 30 o un angolo di 30 +360 =

Dettagli

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di 7. Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse Definizione: Una funzione f: A Bsi dice limitata superiormente od inferiormente se il suo condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente.

Dettagli

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN.

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN. Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica 1. Sia A = n IN ] 1 n + 1, 1 [. n a) Determinare il derivato e l interno di A; b) stabilire

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo (locale

Dettagli

( ) = f ( x ) o. ( ) = f ( x ). Per convenzione, davanti al periodo, utilizzeremo sempre il segno +. Il periodo di una funzione. prof. D.

( ) = f ( x ) o. ( ) = f ( x ). Per convenzione, davanti al periodo, utilizzeremo sempre il segno +. Il periodo di una funzione. prof. D. Il periodo di una funzione prof. D. Benetti Definizione 1: Sia f :D R una funzione, D R e sia T un numero reale positivo. Si dice che f è periodica di periodo T se, per ogni x D e per ogni k Z, si ha (

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme

Dettagli

Anno 4 Funzioni goniometriche: definizioni e grafici

Anno 4 Funzioni goniometriche: definizioni e grafici Anno 4 Funzioni goniometriche: definizioni e grafici 1 Introduzione In questa lezione descriveremo le funzioni goniometriche. Forniremo le definizioni delle principali funzioni goniometriche e ne disegneremo

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Le funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati,

Le funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati, Le funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati, detti periodi, si ripetono con le stesse modalità: il

Dettagli

Funzioni Pari e Dispari

Funzioni Pari e Dispari Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della

Dettagli

Funzioni goniometriche

Funzioni goniometriche Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione

Dettagli

x log(x) + 3. f(x) =

x log(x) + 3. f(x) = Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d

Dettagli

1. Funzioni reali di una variabile reale

1. Funzioni reali di una variabile reale Di cosa parleremo In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo di esistenza delle varie tipologie

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G.

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f.1.2.3.4

Dettagli

Funzioni Esercizi e complementi

Funzioni Esercizi e complementi Funzioni Esercizi e complementi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un

Dettagli

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei triangoli rettangoli In questa dispensa esamineremo il problema della risoluzione dei triangoli rettangoli. Riprendendo la definizione di seno e coseno, mostreremo come questi si possano

Dettagli

Esercizio 1. Sia f(x) = sin x, g(x) = log x. La funzione g(f 2 (x)) è. A log(sin 2 x); B log sin x ; C log(sin x 2 ); D sin log x 2.

Esercizio 1. Sia f(x) = sin x, g(x) = log x. La funzione g(f 2 (x)) è. A log(sin 2 x); B log sin x ; C log(sin x 2 ); D sin log x 2. 1 Esercizio 1. Sia f(x) = sin x, g(x) = log x. La funzione g(f 2 (x)) è A log(sin 2 x); B log sin x ; C log(sin x 2 ); D sin log x 2. Esercizio 2. Sia f(x) = sin(log x ). Questa funzione è Esercizio 3.

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

Funzioni elementari: funzioni potenza

Funzioni elementari: funzioni potenza Funzioni elementari: funzioni potenza Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni elementari: funzioni potenza 1 / 36 Funzioni lineari Come abbiamo già visto,

Dettagli

Esercitazione su grafici di funzioni elementari

Esercitazione su grafici di funzioni elementari Esercitazione su grafici di funzioni elementari Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 8 Novembre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori, invito

Dettagli

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010.

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010. Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI Corso di Analisi Matematica A.A. 009 / 00 Le Funzioni Fabio Memoli indice Il Concetto di Funzione Funzioni Reali Di Variabile

Dettagli

Trigonometria: breve riepilogo.

Trigonometria: breve riepilogo. Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica - Dott.ssa Sandra Lucente Trigonometria: breve riepilogo. Definizioni iniziali Saper misurare un angolo in gradi sessagesimali, saper svolgere

Dettagli

TRIGONOMETRIA E COORDINATE

TRIGONOMETRIA E COORDINATE Y Y () X O (Y Y ) - α X (X X ) 200 c TRIGONOMETRI E OORDINTE ngoli e sistemi di misura angolare Funzioni trigonometriche Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei poligoni Risoluzione dei triangoli

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ).

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ). ESPONENZIALI E LOGARITMI Data una espressione del tipo a b = c, che chiameremo notazione esponenziale (e dove a>0), stabiliamo di scriverla anche in un modo diverso: log a c = b che chiameremo logaritmica

Dettagli

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati.

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati. Si raccolgono qui temi d esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni 3-4 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza. Il materiale è stato reso disponibile dai docenti che hanno

Dettagli

Funzioni e loro invertibilità

Funzioni e loro invertibilità Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Capitolo 9 Esponenziali e logaritmi... Capitolo 0 Funzioni circolari 0. Descrizione di fenomeni periodici Tra le funzioni elementari ne esistono due atte a descrivere fenomeni che si ripetono periodicamente

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) Verificare che x è continua in x 0 per ogni x 0 0 ) Verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità

Dettagli

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego CONVITTO NAZIONALE MARIA LUIGIA di Parma CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12 Disciplina : MATEMATICA Docente Prof.ssa Paola Perego COMPETENZE CONOSCENZE Funzione esponenziale e logaritmica

Dettagli

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue:

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue: Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

I.I.S. "Morea-Vivarelli" -- Fabriano CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

I.I.S. Morea-Vivarelli -- Fabriano CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA I.I.S. "Morea-Vivarelli" -- Fabriano CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Classe II a Agrario Modulo A UNITÀ 1 ANGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE AMODULO PROVE Questionario Vero/Falso

Dettagli

SESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE

SESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE SESSIONE ORDINARIA 007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE PROBLEMA Si consideri la funzione f definita da f ( x) x, il cui grafico è la parabola.. Si trovi il luogo geometrico dei

Dettagli

Esercizi sulle funzioni

Esercizi sulle funzioni Esercizi sulle funzioni Esercizio. Siano f, g : R R definite da x x g ln x. Determinare le funzioni composte f g e g f, specificandone gli insiemi di definizione. Def(f) = [, ], Def(g) = (0, + ). f g :

Dettagli

Scopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che come sappiamo è 3.

Scopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che come sappiamo è 3. MODULO 3 LEZIONE 3 parte 2 Trigonometria: La risoluzione dei triangoli. Scopo della trigonometria è la risoluzione di un triangolo a partire da un numero minimo di informazioni sul triangolo steso che

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Università degli Studi di Salerno - Facoltà di Ingegneria Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006

Università degli Studi di Salerno - Facoltà di Ingegneria Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006 Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006 f(x, y) = (y x)e x2 y 2, 2. Risolvere le seguenti equazioni differenziali: y 2 = 1 1 (2x y) 2, y 2y + y 2y = e x (x 1). 3. Calcolare il seguente integrale curvilineo

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA. PROGRAMMA DI Matematica. Classe IIIB. Anno Scolastico

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA. PROGRAMMA DI Matematica. Classe IIIB. Anno Scolastico LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA PROGRAMMA DI Matematica Classe IIIB Anno Scolastico 2014-2015 Insegnante: Prof.ssa La Salandra Incoronata 1 DISEQUAZIONI Disequazioni razionali intere di secondo

Dettagli

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 7

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 7 Stampa Preventivo A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 7 Insegnante MIANI LUCIO Classe 4LTS Materia matematica preventivo consuntivo 96 0 titolo modulo 1. Funzione esponenziale e logaritmica 2. Le coniche 3. Disequazioni

Dettagli

Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca

Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Istituto d Istruzione Secondaria Superiore di II^ Grado LICEO ARTISTICO A. FRATTINI Via Valverde, 2-21100 Varese tel: 0332820670 fax: 0332820470

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche

Dettagli

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica a.a. 2009/2010

Corso di Laurea in Matematica a.a. 2009/2010 Corso di Laurea in Matematica a.a. 009/010 (1) Il numero ( 5) 4 è uguale a: (a) 5 (b) 8 5 (c) 5 (d) 4 5 () Il numero log 4 16 è uguale a: (a) 4 (b) 8 (c) (d) 1/ (3) È vero che: (a) 5 > 3 4 (b) 5 > 8 5

Dettagli

ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO MATEMATICA 2011

ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO MATEMATICA 2011 ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO MATEMATICA PROBLEMA La funzione f ( ) ( )( ) è una funzione dispari di terzo grado Intercetta l asse nei punti ;, ; e ; Risulta f per e per è invece f per e per f ' risulta

Dettagli

Andamento e periodo delle funzioni goniometriche

Andamento e periodo delle funzioni goniometriche Andamento e periodo delle funzioni goniometriche In questa dispensa ricaviamo gli andamenti delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente tra 0 e 360, detti, rispettivamente, sinusoide,

Dettagli

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora

Dettagli

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006 Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti April 5, 6 ESERCIZI. Studiare la convergenza della serie numerica al variare di γ IR.. Calcolare l integrale π n=

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

Argomento2 Funzionielementariedisequazioni

Argomento2 Funzionielementariedisequazioni Argomento Funzionielementariedisequazioni Parte A - Funzioni elementari In questa lezione richiameremo alcune fra le più comuni funzioni di variabile reale, mettendone in evidenza le principali proprietà.

Dettagli

Trigonometria angoli e misure

Trigonometria angoli e misure Trigonometria angoli e misure ITIS Feltrinelli anno scolastico 27-28 R. Folgieri 27-28 1 Angoli e gradi Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un angolo. Le due semirette (che si

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le funzioni

Unità Didattica N 2 Le funzioni Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.

Dettagli

Dispensa sulle funzioni trigonometriche

Dispensa sulle funzioni trigonometriche Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa

Dettagli

Alcune note sulle serie di potenze 1

Alcune note sulle serie di potenze 1 Alcune note sulle serie di potenze Contents G. Falqui Preliminari 2 Serie di potenze 3 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 7 3. Esempi notevoli........................... 9 3.2 Formula

Dettagli

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO Sessione Ordinaria in America 4 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (Americhe) ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 4 SECONDA PROVA SCRITTA

Dettagli

Verifica di Topografia

Verifica di Topografia ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI " In Memoria dei Morti per la Patria " * CHIAVARI * ANNO SCOLASTICO 2010-2011 Verifica di Topografia classe 3^ Geometri 1) In un appezzamento a forma

Dettagli

Disequazioni goniometriche

Disequazioni goniometriche Disequazioni goniometriche Si definiscono disequazioni goniometriche le disequazioni nelle quali l angolo incognito è espresso mediante funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente etc.). Per le disequazioni

Dettagli

ESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE

ESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE ESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Circonferenza goniometrica La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio unitario centrata nell

Dettagli

GRAFICI DI FUNZIONI E TRASFORMAZIONI DEL PIANO

GRAFICI DI FUNZIONI E TRASFORMAZIONI DEL PIANO Note su GRAFICI DI FUNZINI E TRASFRMAZINI DEL IAN Giulia Fidanza In queste note ci proponiamo di trovare l equazione di una funzione il cui grafico sia ottenuto dal grafico di una funzione nota attraverso

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

5 DERIVATA. 5.1 Continuità

5 DERIVATA. 5.1 Continuità 5 DERIVATA 5. Continuità Definizione 5. Sia < a < b < +, f : (a, b) R e c (a, b). Diciamo che f è continua in c se sono verificate le ue conizioni: (i) c esiste (ii) = f(c) c Si osservi che nella efinizione

Dettagli

CALCOLO DI DERIVATE. Passando al limite per h 0, si ha (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x)

CALCOLO DI DERIVATE. Passando al limite per h 0, si ha (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) La derivata di un prodotto fg di due funzioni derivabili: [(fg)(x+h)-(fg)(x)]/h =[f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)]/h = [f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h)-f(x)g(x)]/h= [(f(x+h)-f(x))/h]g(x+h) + [(g(x+h)-g(x))/h]f(x)

Dettagli

1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE

1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE 1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE Esempio 1 Risolvere senx = Soluzione. La misura dei due angoli positivi, minori di un angolo giro, che soddisfano l equazione data sono: 4 Tutte le soluzioni sono quindi date

Dettagli

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica

Dettagli

The pillars of mathematical analysis. The elementary functions (I pilastri dell analisi matematica. Le funzioni elementari) è presente su

The pillars of mathematical analysis. The elementary functions (I pilastri dell analisi matematica. Le funzioni elementari) è presente su A01 The pillars of mathematical analysis. The elementary functions (I pilastri dell analisi matematica. Le funzioni elementari) è presente su Zentralblatt MATH, il suo codice identificativo è Zbl 06536075

Dettagli

Domenico Candeloro. Introduzione

Domenico Candeloro. Introduzione Dispense di Analisi Matematica I Domenico Candeloro (Seconda Parte) Introduzione La seconda parte di queste dispense tratta i classici sviluppi dei concetti fin qui studiati: derivazione, studio di funzioni,

Dettagli

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni Anno 3 Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni 1 Introduzione In questa lezione impareremo a conoscere le funzioni esponenziali e i logaritmi; ne descriveremo le principali caratteristiche e

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Lezioni sullo studio di funzione.

Lezioni sullo studio di funzione. Lezioni sullo studio di funzione. Schema. 1. Calcolare il dominio della funzione D(f).. Comportamento della funzione agli estremi del dominio. Ad esempio se D(f) = [a, b] si dovrà calcolare f(a) e f(b),

Dettagli

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS EMPOLI PIANO DI LAVORO PROF. BICCI ANDREA CONSIGLIO DI CLASSE 3 SEZ. B Informatica INDIRIZZO INFORMATICO ANNO SCOLASTICO 2015-2016 MATERIE MATEMATICA (tre ore settimanali)

Dettagli

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA di MATEMATICA CLASSI TERZE TECNICO settore TECNOLOGICO

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA di MATEMATICA CLASSI TERZE TECNICO settore TECNOLOGICO Il corso prevede 3 ore settimanali Sono previste 2 verifiche scritte nel trimestre e 3 nel pentamestre PROGRAMMAZIONE DIDATTICA di MATEMATICA CLASSI TERZE TECNICO settore TECNOLOGICO Testo in adozione:

Dettagli

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0.

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0. D0MINIO Determinare il dominio della funzione f ln 4 + Deve essere 4 + > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 + 4 + quindi 0 < < > Se < 0, 4 + 4 4 e, ricordando che < 0, deve essere 4 < 0 dunque 7 < < 0 Il campo di

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli