1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE

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1 1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE Esempio 1 Risolvere senx = Soluzione. La misura dei due angoli positivi, minori di un angolo giro, che soddisfano l equazione data sono: 4 Tutte le soluzioni sono quindi date da: e 4 = 4 x = 4 + k e x = 4 + k k Z Figure 1: esempio 1 Esempio Risolvere cosx = 1 Soluzione. Poichè cos = 1, l equazione è soddisfatta per 1 Esercizi di trigonometria

2 x = = x = + = 4 indicando quest ultimo angolo come, tutte le soluzioni sono date da: x = ± + k k Z Figure : esempio Esempio Risolvere Soluzione. Essendo tgx = tg 6 = sen 6 cos 6 = 1 = allora il più piccolo angolo positivo che soddisfa l equazione data è: 6 = 5 6 Esercizi di trigonometria

3 Tutte le soluzioni sono quindi date da: x = k k Z Figure : esempio Esempio 4 Assegnato senα = 5 1 con < α < calcolare i rimanenti valori trigonometrici di α. Soluzione. Dall identità fondamentale sen α + cos α = 1 Segue che: Da cui cosα = cos α = 1 sen α = cosα = 1 1 cosα = 1 1 ( ) 5 = se cosα 0 se cosα < 0 Esercizi di trigonometria

4 Nel nostro caso quindi cosα < 0. Ne segue Di conseguenza < α < cosα = 1 1. tgα = senα cosα = 1 1 cotgα = 1 tgα = 1 5 secα = 1 cosα = 1 1 cosecα = 1 senα = 1 5 Esempio 5 Risolvere l equazione sen5x = senx Soluzione. Poichè 1) x = y oppure x = y + k senx = seny ) x = y oppure x = y + k si ottiene 1) 5x = x + k ) 5x = x + k 1) x = k ) 7x = (k + 1) 1) x = k ) x = (k + 1) 7 Esempio 6 Risolvere l equazione sen x = cosx Soluzione. Dall identità trigonometrica segue che sen x = 1 cos x 4 Esercizi di trigonometria

5 da cui (1 cos x) = cosx cos + cosx = 0 e ponendo cosx = t si ha t + t = 0 t = ± t 1 = t = 1 e per la posizione fatta t 1 = cosx = impossibile Esempio 7 Risolvere l equazione t = 1 cosx = 1 x = ± + k senx cosx = 0 Soluzione. Dividiamo ambo i membri di questa equazione per cosx. Questa divisione è lecita perchè se fosse cosx = 0 dall equazione risulterebbe anche senx = 0, e ciò è impossibile poichè per nessun angolo vale senx = cosx = 0. Si ottiene dunque l equazione equivalente tgx = 0 tgx = x = + k, k Z Esempio 8 Risolvere l equazione sen x + cosx = 1 + cosx(cosx + 1) 5 Esercizi di trigonometria

6 Soluzione. Semplificando si ha sen x = 1 + cos x e da cos x = 1 sen x segue sen x = sen x sen x = senx = 1 senx = 1 se senx 0 senx = 1 se senx < 0 x = + k x = + k x = + k, k Z Esempio 9 Risolvere l equazione cosx senx = 0 Soluzione. Ricordando che l equazione si può riscrivere cosx = cox x sen x cos x sen x senx = 0 1 sen x sen x senx = 0 sen x + senx 1 = 0 e ponendo t = senx t + t 1 = 0 t = 1 ± t 1 = 1 t = 1 6 Esercizi di trigonometria

7 e per la posizione fatta t 1 = 1 senx = 1 x 1 = 6 + k x = 6 + k = k t = 1 senx = 1 x = + k Esempio 10 Risolvere l equazione senx + cosx = 1 Soluzione. Si può utilizzare il metodo della risoluzione grafica.esso consiste nell associare all equazione data la relazione fondamentale sen x + sen x = 1. Si ottiene così il sistema senx + cosx = 1 sen x + sen x = 1 Se X = cosx il sistema si riscrive X + Y = 1 X + Y = 1 Y = senx Y = 1 X X X X = 1 X 1 = 0 X(X 1) = 0 X = 1 I punti di intersezione tra la circonferenza X + Y = 1 e la retta Y + X = 1 7 Esercizi di trigonometria

8 sono pertanto i punti { { X1 = 0 Y 1 = 1 cosx = 0 senx = 1 X = 1 Y = 0 cosx = 1 senx = 0 x = + k, x = k, k Z k Z Figure 4: esempio 10 DISEQUAZIONE GONIOMETRICHE Esempio 11 Risolvere la disequazione senx > Soluzione. Sapendo che senx = per x = + k x = = + k 8 Esercizi di trigonometria

9 considerando la circonferenza trigonometrica o il grafico della funzione seno, la disequazione è verificata per + k < x < + k Figure 5: esempio 11 Esempio 1 Risolvere la disequazione senx > 1 Soluzione. La disequazione è sempre verificata tranne per x = + k. Esempio 1 Risolvere la disequazione senx < 1 Soluzione. Ricordiamo che senx = 1 9 Esercizi di trigonometria

10 per x = + 6 = 7 6 x = 6 = 11 6 La disequazione è quindi soddisfatta per k < x < k Figure 6: esempio 1 Esempio 14 Risolvere la disequazione senx < Soluzione. Ricordiamo che per x = senx = x = = Indicando il secondo angolo come = 4 la disequazione è soddisfatta per 4 + k < x < + k 10 Esercizi di trigonometria

11 Esempio 15 Risolvere la disequazione sen x > 1 Soluzione. La disequazione si trasforma nelle due disequazioni senx > senx < Con opportune considerazioni sulla circonferenza trigonometrica si trova che la disequazione è soddisfatta per 4 + k < x < 4 + k k < x < k Esempio 16 Risolvere la disequazione tgx < ( Soluzione. Consideriamo la disequazione nell intervallo, ) e costruiamo i grafici delle funzioni y = tgx e y =. Il periodo dlla funzione y = tgx è. Dal grafico (fig.7) è evidente che la soluzione della disequazione è data da tutti gli x dell intervallo ( α, α), dove α è l ascissa del punto di intersezione dei due grafici per 0 < x < cioè la soluzione dell equazione tgx = in (0, ). Essendo dunque α =, la soluzione della disequazione è + k < x < + k Esempio 17 Risolvere la disequazione senx + cosx < 0 Soluzione. Si utilizzano le formule parametriche senα = t 1 + t cosα = 1 t 1 + t con t = tg α e α (1 + k) 11 Esercizi di trigonometria

12 Figure 7: esempio 16 Poichè sen( + k) + cos( + k) = 0 < 0, allora gli angoli + k sono soluzioni della disequazione. Per tutti gli altri angoli si ha: t 1 + t + 1 t 1 + t < 0 t t > 0 t( t 1) > 0 t < 0, t > Ma t = tg x quindi 1 Esercizi di trigonometria

13 t = tg x < 0 + k < x < + k + k < x < + k t = tg x > da cui (tg x = x = 6 + k) 6 + k < x < + k + k < x < + k Esempio 18 Risolvere la disequazione senx cosx > 0 Soluzione. Supposto cosx 0, cioè x + k, dividiamo i due membri per cosx. Poichè cosx non ha segno costante, bisogna distinguere i due casi: cosx > 0 e cosx < 0. Si ottengono i due sistemi: tgx 1 > 0 tgx 1 < 0 cosx > 0 cosx < 0 tgx > 1 tgx < 1 cosx > 0 = 0 cosx < 0 La prima disequazione del primo sistema è soddisfatta per 6 < x < La seconda disequazione è soddisfatta per 7 6 < x < 0 < x < < x < Da cui segue che il primo sistema è soddisfatto per 6 + k < x < + k mentre il secondo sistema è soddisfatto per + k < x < k 1 Esercizi di trigonometria

14 Tenendo presente che anche x = in definitiva questa è soddisfatta per + k verifica la disequazione data, 6 + k < x < k k Z Volendo risolvere la stessa disequazione con il metodo grafico si pone X = cosx, Y = senx e si ottiene il sistema Y X > 0 X + Y = 1 Y > X X + Y = 1 Figure 8: esempio 18 La retta Y = X forma con la direzione positiva dell asse x un angolo di radianti, e incontra la circonferenza nei punti A e B cui corrispondono 6 rispettivamente un angolo di 6 radianti e un angolo di 7 radianti. Come 6 soluzione troviamo ancora 6 + k < x < k k Z 14 Esercizi di trigonometria

15 Esempio 19 Risolvere con il metodo grafico la disequazione senx + cosx 1 0 Soluzione.Ponendo si ottiene il sistema X = cosx, Y = senx Y + X 1 0 X + Y = 1 da cui Y + X 1 0 X + Y = 1 Y 1 X X + Y = 1 Y 1 X X X X = 1 Dalla seconda equazione si ricava X = 0 Y = 1 X(X 1) = 0 X = 1 Y = 0 La retta X + Y 1 = 0 incontra la circonferenza di raggio unitario nei punti A(0, 1) e B(1, 0) e il semipiano soluzione è quello in alto rispetto alla retta. La soluzione della disequazione data è quindi k x + k 15 Esercizi di trigonometria