EQUAZIONI CON PARAMETRO

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1 Trigonometria parte 4 easy matematica Eliana pagina 8 EQUAZIONI CON PARAMETRO Le equazioni parametriche goniometriche possono essere risolte mediante il metodo grafico. Tali equazioni richiedono che nell intervallo considerato (detto parametro) si determini una corrispondenza biunivoca, tale corrispondenza determinerà le soluzioni dell equazione stessa. Le equazioni parametriche goniometriche possono essere di vario tipo: Equazioni elementari: sin x = < x < 6 associamo all equazione data l identità sin x + cos x = e poniamo sin x = Y e cos x = X avremo per x = sin = cos = A(;) per x = 6 otteniamo quindi sin = cos = ; 6 6 Y = X + Y = x Y < < < < La prima equazione rappresenta un fascio di rette parallele all asse x; la seconda equazione rappresenta l equazione della circonferenza goniometrica; le limitazioni determinano sulla circonferenza stessa l arco di estremi A aventi coordinate A( ; ) e ; rappresentando graficamente avremo: y κ = 4 κ = A x Sostituendo alla prima equazione del sistema le coordinate di A e di otterremo: per A( ; ) = cioè =

2 Trigonometria parte 4 easy matematica Eliana pagina 9 per ; = cioè = 4 Quindi come si vede anche dalla figura l unica soluzione che otterremo sarà per: ; 4 Equazioni lineari in seno e coseno: sen x + cos x + = < x < associamo all equazione data l identità sin x + cos x = e poniamo sin x = Y e cos x = X per trovare i punti A e che determinano un arco sulla circonferenza goniometrica consideriamo i valori assunti da cos x e sen x negli estremi della limitazione < x < per x = sin = cos = A(;) per x = sin = cos = ( ; ) otteniamo quindi Y + X + = X + Y = < X < < Y < La prima equazione rappresenta un fascio di rette, la seconda rappresenta una circonferenza goniometrica, le limitazioni determinano nella circonferenza stessa l arco A avente coordinate A ( ; ) e ( ;). Rappresentato graficamente avremo: Sostituendo all equazione con il parametro le coordinate di A e otterremo: A ; + + = cioè = per per ; + + = cioè = Sapendo che tra le parallele vi è anche la tangente, imponendone lacondizione, mediante la distanza di un punto da una retta avremo:

3 Trigonometria parte 4 easy matematica Eliana pagina 4 d ( P,r) ax + by + c = a + b P ; e la retta Y + X + =, avremo: considerando il punto d P, r = = = = + per vedere dov è verificata la tangente = sostituendo i due valori di κ all equazione iniziale, otterremo: per = + si avrà Y + X + + = Y + X + = Y = X per = si avrà Y + X + = Y + X = Y = X per = non esistono soluzioni per = soluzioni per < < soluzioni per = nessuna soluzione per < nessuna soluzione per cui si hanno soluzioni x ; EQUAZIONI DI GRADO IN CUI COMPARE UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA cos x + cos x + κ = < x < Sostituendo alla funzione goniometrica cosx = X si avrà X + X + = < x < Avremo cos = cos = e quindi

4 Trigonometria parte 4 easy matematica Eliana pagina 4 X + X + = < X < dalla limitazione otteniamo le ascisse dei punti A e che delimitano l arco A di ascissa e di ascissa. Ponendo Y = X avremo il sistema: Y = X Y + X + = < X < la prima equazione rappresenta una parabola con vertice nell origine degli assi, la seconda un fascio di rette proprio. Considerando la seconda equazione, bisogna trovarne le generatrici, raccogliendo otteniamo: Y + X + = = Y = ; Y = = X + = ; X = dunque il centro del fascio avrà coordinate C ( ;) Ricordando che le ascisse dei punti A e sono rispettivamente e. Per trovare le rispettive ordinate consideriamola prima equazione A 4 ; ( ; ) Rappresentando graficamente il sistema e i punti A e dell arco avremo: C y Y = X i punti avranno coordinate A x C ( ; ) A ; 4 ( ; ) Imponendo ora al fascio il passaggio per A e otterremo i valori che assume quando passa per questi punti. Dunque:

5 Trigonometria parte 4 easy matematica Eliana pagina 4 considerando la retta: Y + X + = ed il punto A ; avremo: = = = 7 = 7 = = considerando la retta: Y X ; avremo: + + = = = + + = ed il punto per < l equazione non avrà soluzioni, non passando dentro l arco per = l equazione non avrà soluzione per 7 < < l equazione avrà una sola soluzione 7 per > l equazione non avrà soluzione, non passando dentro l arco 7 per = l equazione non avrà soluzione perché 7 è escluso. EQUAZIONI OMOGENEE O RICONDUCIILI AD OMOGENEE DI GRADO IN sen x E cosx + = < x < 4 Esprimendo sen x sen x cos x sen x in funzione di x mediante le note formule di bisezione, avremo: cos x + cos x sen x = cos x = essendo inoltre sen x cos x = sen x avremo < x < < x < 4 l equazione diviene: cos x sen x + = cos x + sen x 5 + = Si ha il sistema:

6 Trigonometria parte 4 easy matematica Eliana pagina 4 cos x + sen x 5 + = < x < Associando l identità sen x + cos x = e ponendo cos x = Y e senx = Y avremo cos = sin = cos = sin = il sistema assumerà la forma X + Y 5 + = X + Y = < X < ; < Y < la prima equazione rappresenta un fascio proprio di rette, la seconda la circonferenza A ; ; goniometrica, le limitazioni determinano su di essa l arco A, aventi estremi ( ; ) Considerando la seconda equazione, bisogna trovarne le generatrici, raccogliendo otteniamo: X 5 + Y + = per = X 5 = ; X = 5 per = Y + = ; Y = dunque il centro del fascio avrà coordinate: C( 5; ) Rappresentando graficamente il sistema i punti A e dell arco da prendere in considerazione avremo: κ = κ = 5 κ = 7 κ = + 7 A Imponendo ora al fascio il passaggio per A e per otterremo i valori che assume quando passa per questi punti, dunque: considerando la retta: X 5Y A ; si avrà: = = 4 = + = ed il punto

7 Trigonometria parte 4 easy matematica Eliana pagina 44 considerando la retta: x 5y + = ed il punto ( ) ; otteniamo: = 5 = 5 = Imponendo alla medesima retta la condizione di tangenza mediante la distanza di un punto da una retta avremo: ax + by + c d ( P; r) = a + b P ; e la retta x + y 5 + =, otteniamo: considerando il punto ( 5 ) d P; r = = + 5 = = = = 7 = 8 = 7 e quindi: ± 7 = Osservando la figura si deducono le seguenti soluzioni: per 5 < l equazione avrà una sola soluzione per 5 < 7 l equazione avrà due soluzioni 5 per = l equazione non ammette soluzioni