Equazioni goniometriche elementari

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1 Equazioni goniometriche elementari In questa dispensa vengono esaminate le equazioni goniometriche elementari; ad esse si riconducono molti tipi di equazioni goniometriche. A partire da esempi, viene illustrato un metodo grafico di risoluzione per le equazioni elementari con seno, coseno e tangente. Vengono infine trattati dei casi particolari e le equazioni impossibili. Copyright 2010 Paolo Caramanica Questo documento è rilasciato sotto la licenza Creative Commons 2.5 Italia by-nc-sa

2 Equazioni goniometriche elementari pag. 2 Introduzione Le equazioni goniometriche elementari sono importanti poiché ad esse si riconducono molti altri tipi di equazioni goniometriche. In questa dispensa presenteremo un metodo di risoluzione grafico, che a differenza di altri metodi, permette, una volta trovata una soluzione, di individuare rapidamente le eventuali altre, relative agli angoli associati, come avremo modo di vedere dettagliatamente. Risoluzione delle equazioni goniometriche elementari Illustreremo il procedimento di risoluzione per via grafica direttamente su degli esempi. Sappiamo che, dopo aver rappresentato un angolo su un piano con una circonferenza goniometrica, il seno si può leggere sull asse delle ordinate. Tracciando, quindi, la retta perpendicolare all asse y e passante per il punto, le intersezioni di questa con la circonferenza ci forniscono immediatamente gli angoli il cui seno è (indicati in figura con delle frecce).

3 Equazioni goniometriche elementari pag. 3 Questi angoli sono e. Bisogna però ricordare che il seno è periodico di periodo, quindi, oltre a questi due angoli, sono soluzioni dell equazione anche quelli che differiscono da essi di un multiplo intero di. In definitiva, le soluzioni dell equazione data sono: Il coseno viene individuato sull asse delle ascisse (al solito, su un piano dotato di circonferenza goniometrica), pertanto, tracciando la retta perpendicolare all asse x e passante per, le intersezioni di questa con la circonferenza goniometrica permettono di individuare gli angoli il cui coseno è in figura con le frecce). (indicati Questi angoli sono e. Poiché il coseno è periodico di periodo, oltre q questi, vanno considerati anche gli angoli che differiscono da essi di un multiplo intero di. In definitiva, le soluzioni dell equazione sono:

4 Equazioni goniometriche elementari pag. 4 Riportato, al solito, l angolo sulla circonferenza goniometrica, la tangente si ottiene dall intersezione del secondo lato dell angolo con la retta perpendicolare all asse x e passante per il punto (1,0). Individuato, quindi, il valore 1 su tale retta, possiamo agevolmente individuare gli angoli che hanno 1 per tangente, come mostrato nella figura. Questi angoli sono e i, quali, come potevamo aspettarci, differiscono di, essendo tale il periodo della funzione tangente. Tutte le soluzioni dell equazione sono date da Casi particolari Le equazioni con seno e coseno che abbiamo visto ammettono due soluzioni, più tutte quelle che si ottengono da queste sommandovi un multiplo intero di. Esistono però dei casi particolari in cui si ha una sola soluzione nell intervallo da 0 a. Nel caso del seno, l equazione, ammette una sola soluzione nell intervallo da 0 a, che è : graficamente, la retta parallela all asse x e passante per il punto 1 sull asse y risulta tangente alla circonferenza goniometrica, non secante, come nell esempio visto precedentemente, quindi ha con essa in comune un solo punto. Le soluzioni dell equazione sono quindi. Situazioni perfettamente analoghe si hanno anche nei seguenti tre casi, di cui riportiamo accanto le soluzioni.

5 Equazioni goniometriche elementari pag. 5 Sempre nel caso delle equazioni elementari con seno e coseno viste, osserviamo esplicitamente che se il secondo membro (termine noto) è maggiore di 1 o minore di -1, l equazione non ammette soluzioni (ovvero è impossibile): infatti il seno e il coseno di qualunque angolo è sempre compreso tra -1 e +1.