LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
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- Lucio Rossi
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1 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
2 1. LE FUNZIONI LE FUNZIONI SENO, E COSENO COSENO E TANGENTE 2 /15 DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato, e sia B il punto della circonferenza associato ad. Definiamo coseno e seno di, e indichiamo con cos e sen : cos = x B, sen = y B.
3 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 3 /15 Circonferenza di raggio unitario Indichiamo con (x; y) le coordinate di B. x' r ' =OA' OB' =OA OB =cos α y ' = B ' A ' = BA r ' OB' OB =sen α x = cos y = sen Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. Scopriamo che: e e quindi sen e cos non dipendono dalla particolare circonferenza considerata, ma solo dall angolo.
4 1. LE FUNZIONI LE FUNZIONI SENO, E COSENO COSENO E TANGENTE 4 /15 Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo. Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli. Triangoli rettangoli sen = rapporto tra il cateto opposto all angolo e l ipotenusa. cos = rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa.
5 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15 5 LE FUNZIONI SENO E COSENO: GRAFICI
6 3. SINUSOIDE E COSINUSIDE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 6 /15 sen (x + 2 ) = sen x = sen (x + 4 ) =..., cos (x + 2 ) = cos x = cos (x + 4 ) =, cioè sen (x + 2k ) = sen x, cos (x + 2k ) = cos x. Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2. Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. I due grafici differiscono per una traslazione di /2. 2
7 4. LA PRIMA RELAZIONE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 7 /15 FONDAMENTALE Prima relazione fondamentale della goniometria cos 2 + sen 2 = 1 Da cui, se è noto cos,, mentre, se è noto sen,.
8 5. LA FUNZIONE LE FUNZIONI TANGENTE SENO, COSENO E TANGENTE 8 /15 DEFINIZIONE Tangente Consideriamo un angolo orientato, e sia B il punto della circonferenza associato ad. Definiamo tangente di il rapporto, quando esiste, tra l ordinata e l ascissa di B:.
9 5. LA FUNZIONE LE FUNZIONI TANGENTE SENO, COSENO E TANGENTE 9 /15 Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. Triangolo rettangolo Un altro significato geometrico tg = rapporto tra il Consideriamo il cerchio cateto opposto goniometrico e la sua all angolo e il cateto tangente t. adiacente. tg = ordinata di T.
10 6. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 10 /15 DELLA FUNZIONE TANGENTE PROPRIETÀ In particolare si verifica che: tg x tende a + o quando x si avvicina a /2, tg x = tg ( x). Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0; ] riportando sull asse x i valori degli angoli e sull asse y l ordinata del punto T.
11 7. LA TANGENTOIDE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 11 /15 tg ( + ) = tg = tg ( + 2 ) =... cioè tg ( + k ) = tg. Il grafico completo della funzione tangente si chiama tangentoide. La funzione tangente è periodica di periodo.
12 8. LA SECONDA RELAZIONE LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 12 /15 FONDAMENTALE Seconda relazione fondamentale della goniometria, y B = sen, x B = cos,.
13 9. ESERCIZI: SENO LE FUNZIONI E COSENO SENO, E TANGENTE 13 /15 Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori.
14 9. ESERCIZI: SENO LE FUNZIONI E COSENO SENO, E TANGENTE 14 /15 Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite.
15 10. ESERCIZI: LA LE TANGENTE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 15 /15 Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli. Per ogni angolo a in figura, individua tg, quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza.
16 10. ESERCIZI: LA LE TANGENTE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE 16 /15 Calcola il valore di tg, usando le informazioni fornite.
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