Le grandezze fisiche scalari sono completamente definite da un numero e da una unità di misura.

Transcript

1 UNITÀ 3 LE GRANDEZZE FISICHE VETTORIALI E I VETTORI 1. Grandezze fisiche scalari e vettoriali. 2. I vettori. 3. Le operazioni con i vettori. 4. Addizione e sottrazione di vettori. 5. Prodotto di un numero con un vettore. 6. Scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate. 7. Seno, coseno e tangente di un angolo. 8. I teoremi sui triangoli rettangoli. 9. La risoluzione di un triangolo rettangolo. 10. Le componenti cartesiane di un vettore. 11. Somma di vettori con le componenti cartesiane. 12. Lo spostamento e la somma di spostamenti. 13. La velocità e la somma di velocità. 14. La forza e la somma delle forze. 15. Esercizi vari e problemi di applicazione. 1. Grandezze fisiche scalari e vettoriali. Le grandezze fisiche si dividono in due categorie: grandezze fisiche scalari e grandezze fisiche vettoriali. Le grandezze fisiche scalari sono completamente definite da un numero e da una unità di misura. Per esempio: la massa il tempo m 12,3 t 43,7 s kg la temperatura T 22,5 C sono tutte grandezze fisiche scalari. Le grandezze fisiche vettoriali sono definite non solo da un numero con la sua unità di misura, ma anche da una direzione e da un verso. Per esempio: lo spostamento la velocità la forza AB 2,3 m in direzione orizzontal e verso Est ; v 6,4 m/s in direzione verticale verso l alto; F 4,7 N in direzione Nord, 30 Est. sono tutte grandezze fisiche vettoriali. Mentre per studiare le grandezze fisiche scalari è necessario saper eseguire le operazioni con i numeri reali, per studiare le grandezze fisiche vettoriali è necessario saper eseguire le operazioni con i vettori.

2 2. I vettori. I vettori sono segmenti orientati che si usano per rappresentare graficamente le grandezze fisiche vettoriali e per eseguire le operazioni con queste grandezze fisiche. Ogni vettore possiede tre caratteristiche: il modulo, che rappresenta il valore della grandezza fisica vettoriale; la direzione e il verso, che rappresentano la direzione e il verso della grandezza fisica vettoriale. 3. Le operazioni con i vettori. Le operazioni con i vettori si possono eseguire con due metodi: 1- con il metodo grafico, cioè con un disegno, che richiede poco tempo ma fornisce risultati approssimati. 2- con il metodo analitico, cioè con dei calcoli, che richiedono più tempo ma forniscono risultati più precisi. Analizziamo le operazioni con il metodo grafico. 4. Addizione e sottrazione di vettori. L addizione si esegue col metodo del parallelogramma se i vettori hanno la stessa origine e con il metodo punta-coda se i vettori sono disposti uno dopo l altro. La sottrazione tra due vettori si esegue sommando al primo vettore l opposto del secondo. L opposto di un vettore è un altro vettore avente lo stesso modulo, la stessa direzione ma verso opposto. Cioè A B A ( B)

3 5. Prodotto di un numero con un vettore. Il prodotto di un numero con un vettore è un vettore avente come modulo il prodotto del numero con il modulo del vettore, come direzione la stessa direzione del vettore e come verso lo stesso verso se il numero è positivo e il verso opposto se il numero è negativo. Esercizio. Disegnare un vettore A di sei quadratini, in direzione orizzontale verso destra. 1 1 Poi disegnare i vettori 2A - 2A A A Scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate. Scomporre un vettore V lungo le direzioni di una retta r e di una retta s vuol dire determinare due vettori lungo le direzioni assegnate, tali che la loro somma sia uguale al vettore V di partenza. I vettori così ottenuti sono le componenti del vettore V lungo le direzioni assegnate. Il vettore V r è la componente del vettore V lungo la direzione della retta r mentre il vettore V s è la componente del vettore V lungo la direzione della retta s.

4 7. Il seno, il coseno e la tangente di un angolo. Seno, coseno e tangente di un angolo sono concetti molto utili per eseguire le operazioni con i vettori. Dato un triangolo rettangolo si chiama seno dell angolo il rapporto tra il cateto opposto e l ipotenusa, b cioè sen a Si chiama coseno dell angolo il rapporto tra il cateto adiacente e l ipotenusa, c cioè cos a Si chiama tangente dell angolo il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente. b cioè tg c Per valutare approssimativamente i valori di sen cos e tg si può disegnare una circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di raggio 1 con il centro nell origine degli assi cartesiani. Risulta che: sen QP = ordinata di P cos OQ = ascissa di P tg AT = ordinata di T Casi particolari: sen 0 0 cos 0 1 tg 0 0 sen 90 1 cos 90 0 tg 90 non esiste

5 8. I teoremi fondamentali sui triangoli rettangoli. Primo teorema: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all ipotenusa per il seno dell angolo opposto al cateto oppure all ipotenusa per il coseno dell angolo acuto adiacente al cateto. cateto b: cateto c: b a sen oppure b acos c asen oppure c acos Secondo teorema: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all altro cateto per la tangente dell angolo opposto al primo cateto. cateto b: cateto c: b ctg c btg 9. La risoluzione dei triangoli rettangoli. Risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare tutti gli elementi incogniti conoscendo tre dei suoi elementi, di cui almeno un lato. Trattandosi di triangoli rettangoli, un angolo è sempre retto e gli altri due sono complementari, cioè: Per risolvere un triangolo rettangolo si possono presentare quattro casi diversi poiché, oltre all angolo retto, si possono conoscere: - i due cateti b e c; - l ipotenusa a e un cateto b; - un cateto b e un angolo acuto ; - l ipotenusa a e un angolo acuto. 10. Le componenti cartesiane di un vettore. Se disegniamo un vettore V nell origine di un sistema di assi cartesiani e lo scomponiamo lungo le direzioni dell asse x e dell asse y, i vettori ottenuti V x e cartesiane del vettore V. I loro moduli sono: V cos V x V y V sen V y si chiamano le componenti

6 11. Somma di vettori con le componenti cartesiane. Per eseguire la somma di vettori con le componenti cartesiane bisogna scomporre tutti i vettori lungo gli assi cartesiani, calcolare la somma di tutte le componenti lungo l asse x, la somma di tutte le componenti lungo l asse y e con le componenti totali ottenute calcolare il modulo e la direzione del vettore risultante. 12. Lo spostamento e la somma di spostamenti. 13. La velocità e la somma di velocità. 14. La forza e la somma delle forze. 15. Esercizi vari e problemi di applicazione.