Problemi di Fisica I Vettori

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1 Problemi di isica I Vettori PROBLEMA N. Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze: (; 6) (-; ) 3 (-6; -3) (0; -) Metodo grafico Rappresentiamo graficamente queste forze e con l aiuto dell algebra vettoriale (regola del parallelogramma) determiniamo la forza risultante:

2 Metodo analitico Tenendo presente il verso delle componenti delle quattro forze, le componenti della forza totale sono date da: N N (-8; ) XT X 8 YT Y per cui il modulo della forza totale è dato da: mentre l argomento è: ( 8) + ( ) 65 8.N T XT + YT yt tg 0,5 7, 7, 9 8 xt

3 PROBLEMA N. Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze: 30 N 70 N N N 50 Metodo grafico Rappresentiamo graficamente queste forze, riportandole in scala sul sistema di assi cartesiani, e con l aiuto dell algebra vettoriale (regola del parallelogramma) determiniamo la forza risultante:

4 Metodo analitico Le componenti delle singole forze sono: X Y cos sen 30 cos 30 6N 30 sen30 5N X Y cos sen 0 cos 35 99N 0 sen35 99N 3X 3Y 0 3 cos 3 70 cos 80 70N X Y cos sen 80 cos 50 7N 80 sen50 75N Le componenti della forza totale sono date da: XT X N N (-70; 39) YT Y 39 Pertanto l intensità della forza risultante è data da: ( 70) + ( 39) N T XT + YT 7 mentre l argomento è: YT 39 tg 0, XT

5 PROBLEMA N. 3 Un automobile si sposta di 0 km verso est spostamento risultante. e di 30 km verso nord. Determinare lo Rappresentiamo graficamente il problema: dove il vettore risultante è stato trovato applicando la regola della poligonale, detta anche punta coda. Il modulo e l argomento dello spostamento risultante sono dati da: S km 30 tg 0, 75 36, 9 0

6 PROBLEMA N. Considera i due vettori spostamento AB e BC della seguente figura. Calcolare il vettore somma AC, sapendo che il modulo di AB e quello di BC sono 00 m. Graficamente il vettore somma è dato dalla regola della poligonale. Dal punto di vista analitico si procede nel seguente modo: Calcoliamo le componenti di S e S : 0 00m S x S x S cos S y 00 cos(90 60 ) S 86,6m y S sen 00 sen(90 60 ) 50m Il vettore somma avrà come componenti: S S + S ,6 86,6m S S + S m S T (86,6; 50) Tx x x Ty y y Pertanto, l intensità e l argomento sono dati da: ST STx + STy 86, m STY 50 tg, S 86, 6 TX

7 PROBLEMA N. 5 Un ragazzo attraversa a nuoto un fiume con una velocità V 5 km/h. Se la velocità della corrente è V C 3 km/h, quale sarà la velocità effettiva del ragazzo e la sua direzione di nuoto? Rappresentiamo il problema dal punto di vista vettoriale: Il ragazzo si muoverà con una velocità effettiva V che è la risultante tra le velocità V e V C, il cui modulo e argomento è dato da: V tg V V V C + V C , ,83km / h PROBLEMA N. 6 Il vettore a è rivolto verso Nord ed ha intensità a,0. Il vettore b è rivolto verso Nord Est, formando un angolo di 30 con il primo, ed ha intensità b 6,5. Determinare il loro prodotto scalare e vettoriale: Prodotto scalare r r c a b a b cos, 0 6, 5 cos 30, 5 c scalare Prodotto vettoriale r r r c a b c a b sen, 0 6, 5 sen30 3 c è un vettore di modulo 3, diretto perpendicolarmente al piano contenente i vettori a e b e orientato verso il basso (regola del cavatappi o regola della mano destra).

8 PROBLEMA N. 7 Siano dati il vettore a (; -) ed il vettore b (3; ). Calcolare il prodotto scalare e vettoriale. Rappresentiamo i due vettori su un sistema di assi cartesiani: Calcoliamo modulo ed argomento di ogni singolo vettore: a + ( ), 5 tg 0, 5 6, 6 b 3 + 3, tg 0,3 3 8, Pertanto l angolo tra i due vettori sarà: In definitiva: + 5 r r c a b a b cos, 5 3, cos 5 0, r r r c a b c a b sen, 5 3, sen5 0, Prodotto scalare c scalare Prodotto vettoriale c è un vettore di modulo 0, e diretto perpendicolarmente al piano contenente i vettori a e b e con verso uscente dal piano, cioè verso l osservatore (regola del cavatappi o regola della mano destra).

9 PROBLEMA N. 8 Un protone (p,6 0-9 C; m, kg) entra in un campo magnetico uniforme B0,30 T, con una velocità V,0 0 m/s perpendicolare al campo magnetico. Calcolare la forza magnetica sul protone. Gli esperimenti dimostrano che una carica elettrica immersa in un campo magnetico subisce una forza magnetica data da: r r r q V B Poiché è una grandezza vettoriale, avrà un intensità pari a: 9 6 q V B sen,6 0,0 0 0,30,8 0 N dove: 90 sen90 Un verso e una direzione dati dalla regola della mano destra: ponendo il pollice della mano destra nel verso della velocità e le altre dita nel verso del campo magnetico, la forza magnetica avrà direzione perpendicolare al palmo della mano e verso uscente.

10 PROBLEMA N. 9 Dati i vettori a (; 6) e b (-3; ), calcolare il loro prodotto scalare e vettoriale. Poiché sono note le coordinate cartesiane dei vettori, calcoliamo il prodotto scalare e vettoriale nel seguente modo: r r c a b a x b x + a y b y ( 3) punto di applicazione: lo stesso dei vettori a e b direzione: perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b verso: entrante intensità: c a x b y a y b x 6 (-3) 6 Esprimendo i vettori a e b attraverso le coordinate polari (modulo ed argomento): 6 a + 6 7, tg,5 56, 3 b ( 3) + 3,6 tg 0,67 33, 7 3 il prodotto scalare e vettoriale si calcolano come: r v c a b ab cos 7, 3,6 cos 90 0 punto di applicazione: lo stesso dei vettori a e b direzione: perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b verso: entrante intensità: c ab sen 7, 3,6 sen90 6 dove: 80 (56,3 + 33,7 ) 90