Esercitazioni di Fisica Corso di Laurea in Biotecnologie e Geologia

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1 Esercitazioni di Corso di Laurea in Biotecnologie e Geologia Ninfa Radicella Università del Sannio 6 Aprile 2016

2 Moto in due dimensioni Cinematica delle particelle in moto su un piano Cosa ci serve: Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione

3 Moto in due dimensioni Cinematica delle particelle in moto su un piano Cosa ci serve: Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione Decomposizione dei vettori

4 Moto in due dimensioni Cinematica delle particelle in moto su un piano Cosa ci serve: Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione Decomposizione dei vettori Equazioni della cinematica viste nel moto unidimensionale

5 Moto in due dimensioni Cinematica delle particelle in moto su un piano Cosa ci serve: Vettore posizione, spostamento, velocità, accelerazione Decomposizione dei vettori Equazioni della cinematica viste nel moto unidimensionale Ricomporre i risultati con la traiettoria

6 Quando il moto è bidimensionale Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del moto?

7 Quando il moto è bidimensionale Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del moto? Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un moto unidimensionale? Se il moto è a velocità costante?

8 Quando il moto è bidimensionale Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del moto? Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un moto unidimensionale? Se il moto è a velocità costante?se c è accelerazione? (pensiamo alla caduta dei gravi, per esempio)

9 Quando il moto è bidimensionale Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del moto? Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un moto unidimensionale? Se il moto è a velocità costante?se c è accelerazione? (pensiamo alla caduta dei gravi, per esempio) Cosa succede se la velocità e l accelerazione non agiscono nella stessa direzione?

10 Quando il moto è bidimensionale Quando non mi basta più la descrizione unidimensionale del moto? Come scegliamo un sistema di riferimento per adattarlo ad un moto unidimensionale? Se il moto è a velocità costante?se c è accelerazione? (pensiamo alla caduta dei gravi, per esempio) Cosa succede se la velocità e l accelerazione non agiscono nella stessa direzione? Il moto avviene su un piano, in due dimensioni

11 Esempi moti bidimensionali Esempi: Moto del proiettile Particella in moto circolare uniforme Riusciamo a riconoscere le caratteristiche principali di questi due moti?

12 Esempi moti bidimensionali Esempi: Moto del proiettile Particella in moto circolare uniforme Riusciamo a riconoscere le caratteristiche principali di questi due moti? moto dei satelliti attorno alla Terra moto delle particelle cariche in campo elettrico uniforme

13 Come affrontare il problema Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.

14 Come affrontare il problema Scegliere un (non IL) sistema di riferimento. Scomporre i vettori nelle componenti x e y.

15 Come affrontare il problema Scegliere un (non IL) sistema di riferimento. Scomporre i vettori nelle componenti x e y. a = a x + a y a = (a x, a y ) Il vettore a è univocamente e completamente determinato dalle sue componenti nel senso che, date le componenti, è possibile ricostruire a in modo univoco.

16 Funzioni goniometriche Il vettore forma, con le sue componenti, un triangolo rettangolo

17 Funzioni goniometriche Il vettore forma, con le sue componenti, un triangolo rettangolo È possibile quindi esprimere la sue componenti in termini delle funzioni goniometriche

18 Funzioni goniometriche sin α = a c cos α = b c tan α = a b

19 Funzioni goniometriche sin α = a c cos α = b c tan α = a b Applichiamo formule ai moduli delle componenti del vettore a

20 Componenti in coordinate polari a x = a cos θ. a y = a sin θ.

21 Componenti in coordinate polari a x = a cos θ. a y = a sin θ. a = a 2 x + a 2 y tan θ = a y a x

22 Versori Per meglio esprimere un vettore tramite le sue componenti e caratterizzare una data direzione è utile definire un vettore di lunghezza unitaria, il versore. Per un sistema di coordinate cartesiane ortogonali:

23 Versori Per meglio esprimere un vettore tramite le sue componenti e caratterizzare una data direzione è utile definire un vettore di lunghezza unitaria, il versore. Per un sistema di coordinate cartesiane ortogonali: I vettori unitari delle direzioni x, y e z sono solitamente indicati con i j k oppure î ĵ ˆk

24 Versori Per meglio esprimere un vettore tramite le sue componenti e caratterizzare una data direzione è utile definire un vettore di lunghezza unitaria, il versore. Per un sistema di coordinate cartesiane ortogonali: I vettori unitari delle direzioni x, y e z sono solitamente indicati con i j k oppure î ĵ ˆk r = r x î + r y ĵ + r z ˆk

25 Come affrontare il problema Scegliere un (non IL) sistema di riferimento.

26 Come affrontare il problema Scegliere un (non IL) sistema di riferimento. Scomporre i vettori nelle componenti x e y.

27 Come affrontare il problema Scegliere un (non IL) sistema di riferimento. Scomporre i vettori nelle componenti x e y. Considerare il moto orizzontale ed il moto verticale separatamente Per ciascun asse utilizzare le tecniche delle cinematica unidimensionale

28 Domande aperte Quale delle due palline raggiunge prima il suolo?

29 Domande aperte Se una particella si muove su una traiettoria circolare di moto uniforme, è soggetta ad accelerazione? Qual è la traiettoria del moto di un proiettile? Se conosco la traiettoria di un punto materiale, posso stabilire istante per istante la sua velocità? E la sua accelerazione? In quale moto la velocità e l accelerazione sono in ogni istante perpendicolari?

30 Problema

31 Problema Analizziamo il testo Cosa ci chiede? Che informazioni ci dà? Quali sono le informazioni nascoste?

32 Dati e analisi Vettore spostamento (NON la distanza percorsa), la rapidità media (velocità scalare media) e il VETTORE velocità media.

33 Dati e analisi Vettore spostamento (NON la distanza percorsa), la rapidità media (velocità scalare media) e il VETTORE velocità media. Le direzioni di spostamento, i tempi e le velocità di ciascuna porzione di traiettoria. Ci dà un indicazione sul sistema di riferimento. Lo determina univocamente? Abbiamo i dati in unità SI? Che assunzioni stiamo implicitamente facendo?

34 Rappresentazione del problema e soluzione Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto.

35 Rappresentazione del problema e soluzione Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano (x,y). Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per ottenere lo spostamento totale.

36 Rappresentazione del problema e soluzione Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano (x,y). Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per ottenere lo spostamento totale. Quali sono le difficoltà? Per sommare gli spostamenti dobbiamo scriverli in componenti nel nostro sistema di riferimento

37 Rappresentazione del problema e soluzione Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano (x,y). Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per ottenere lo spostamento totale. Quali sono le difficoltà? Per sommare gli spostamenti dobbiamo scriverli in componenti nel nostro sistema di riferimento Come rappresentare la direzione nord-ovest?

38 Rappresentazione del problema e soluzione Calcoliamo lo spostamento per ogni singolo tratto. Una volta ottenuto il vettore, lo rappresentiamo su un piano (x,y). Sommiamo gli spostamenti VETTORIALMENTE per ottenere lo spostamento totale. Quali sono le difficoltà? Per sommare gli spostamenti dobbiamo scriverli in componenti nel nostro sistema di riferimento Come rappresentare la direzione nord-ovest? Come sommare tutti gli spostamenti? (Ci serve un risultato analitico)

39 Soluzione r = r 1 + r 2 + r 3 r 1 = v 1 t 1 sud

40 Soluzione r = r 1 + r 2 + r 3 r 1 = v 1 t 1 sud = 20.0 m s 3 min sud

41 Soluzione r = r 1 + r 2 + r 3 r 1 = v 1 t 1 sud = 20.0 m s 3 min sud = 20.0 m s 180 s sud

42 Soluzione r = r 1 + r 2 + r 3 r 1 = v 1 t 1 sud = 20.0 m s 3 min sud = 20.0 m s 180 s sud = 3600 m sud

43 Soluzione r = r 1 + r 2 + r 3 r 1 = v 1 t 1 sud = 20.0 m s 3 min sud = 20.0 m s 180 s sud = 3600 m sud = 3.6km sud

44 Soluzione r = r 1 + r 2 + r 3 r 1 = v 1 t 1 sud = 20.0 m s 3 min sud = 20.0 m s 180 s sud = 3600 m sud = 3.6km sud Nel testo, ci indica di orientare l asse x verso Est Direzione est corrisponde al versore i r 1 = 3.6Km( j) = 3.6j

45 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest.

46 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest. r 2 = v 2 t 2 ovest

47 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest. r 2 = v 2 t 2 ovest = 25.0 m s 2 min ovest

48 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest. r 2 = v 2 t 2 ovest = 25.0 m s 2 min ovest = 25.0 m s 120 s ovest

49 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest. r 2 = v 2 t 2 ovest = 25.0 m s 2 min ovest = 25.0 m s 120 s ovest = 3000 m ovest

50 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest. r 2 = v 2 t 2 ovest = 25.0 m s 2 min ovest = 25.0 m s 120 s ovest = 3000 m ovest = 3.0km ovest

51 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest. r 2 = v 2 t 2 ovest = 25.0 m s 2 min ovest = 25.0 m 120 s ovest = 3000 m ovest = 3.0km ovest s = 3.0km ( i) = 3.0km i

52 Soluzione Provate voi a calcolare il secondo contributo, verso Ovest. r 2 = v 2 t 2 ovest = 25.0 m s 2 min ovest = 25.0 m 120 s ovest = 3000 m ovest = 3.0km ovest s = 3.0km ( i) = 3.0km i Come calcolare il contributo nella direzione nord-ovest? Come tradurre matematicamente questa direzione?

53 Soluzione Stesso sistema di riferimento, due sistemi di coordinate: cartesiane e polari

54 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno?

55 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno? v m = Distanza totale Tempo impiegato a percorrerla

56 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno? v m = Distanza totale Tempo impiegato a percorrerla = r 1 + r 2 + r 3 t 1 + t 2 + t 3

57 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno? v m = Distanza totale Tempo impiegato a percorrerla = r 1 + r 2 + r 3 t 1 + t 2 + t km = 6 min = 8.4 km 6 min

58 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno? v m = Distanza totale Tempo impiegato a percorrerla = r 1 + r 2 + r 3 t 1 + t 2 + t km = 6 min = 8.4 km 6 min 1000 m 1 km

59 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno? v m = Distanza totale Tempo impiegato a percorrerla = r 1 + r 2 + r 3 t 1 + t 2 + t km = 6 min = 8.4 km 6 min 1000 m 1 min 1 km 60 s

60 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno? v m = Distanza totale Tempo impiegato a percorrerla = r 1 + r 2 + r 3 t 1 + t 2 + t km = 6 min = 8.4 km 6 min = 23.3m/s 1000 m 1 min 1 km 60 s

61 Soluzione Il testo ci chiede poi la rapidità media in tutto il percorso. Di cosa abbiamo bisogno? v m = Distanza totale Tempo impiegato a percorrerla = r 1 + r 2 + r 3 t 1 + t 2 + t km = 6 min = 8.4 km 6 min = 23.3m/s 1000 m 1 min 1 km 60 s Che differenza c è tra il r segnato qui e quello utilizzato al punto precedente?

62 Soluzione L ultimo punto ci chiede il vettore velocità media! v = r t Che direzione ha il vettore velocità media?

63 Soluzione L ultimo punto ci chiede il vettore velocità media! v = r t Che direzione ha il vettore velocità media? v = r t = 4.27 i 2.33 j 360 s = (11.9 Ovest Sud)m/s

64 Problema

65 Problema Secondo lo schema utilizzato finora, si provi ad impostare il problema

66 Soluzione Il moto è bidimensionale I dati iniziali ci sono forniti secondo le loro componenti cartesiane Il moto è uniformemente accelerato a x (t) = a x v x (t) = v xi + a x t s x (t) = s xi + v xi t a x t 2 a y (t) = a y v y (t) = v yi + a y t s y (t) = s yi + v yi t a y t 2

67 Soluzione Inseriamo i nostri dati iniziali: a x (t) = a x v x (t) = 4.00 m/s + a x t s x (t) = 10 m m/s t a x t 2 a y (t) = a y v y (t) = 1 m/s + a y t s y (t) = 4 m + 1 m/s t a y t 2 Cosa altro conosciamo?

68 Soluzione Conosciamo la velocità relativa all istante t = 20 s : v(20 s) = (20.0 i 5.00 j)m/s. Valutiamo le equazioni all isante t : a x (t) = a x 20 m/s = 4.00 m/s + a x 20s s x (20s) = 10 m m/s t a x (20 s) 2 a y (t) = a y 5 m/s = 1 m/s + a y 20 s y (t) = 4 m + 1 m/s t a y (20 s) 2 Possiamo direttamente calcolare a x e a y

69 Soluzione a x = 20 4 m = 0.8 m/s2 20 s2 a y = 5 1 m = 0.3 m/s2 20 s2

70 Soluzione a x = 20 4 m = 0.8 m/s2 20 s2 a y = 5 1 m = 0.3 m/s2 20 s2 Come stabilire la direzione rispetto al semiasse positivo delle x?

71 Soluzione a x = 20 4 m = 0.8 m/s2 20 s2 a y = 5 1 m = 0.3 m/s2 20 s2 Come stabilire la direzione rispetto al semiasse positivo delle x? tan θ = a y a x θ = arctan a y a x = 20.6

72 Soluzione Infine possiamo valutare lo spostamento del pesce all istante t = 25 s: a x (t) = 0.8 m/s 2 v x (t) = 4.00 m/s + a x t s x (t) = 10 m m/s t m/s2 t 2 a y (t) = 0.3 m/s 2 v y (t) = 1 m/s + a y t s y (t) = 4 m + 1 m/s t m/s2 t 2 s x = 360 m, s y = 72.8 m 15.2 tan θ = sy s x θ = arctan sy s x =

73 Problema Cosa ci chiede? Quali dati ci dà? Quali sono le informazioni nascoste?

74 Problema Cosa ci chiede? Quali dati ci dà? Quali sono le informazioni nascoste? Che tipo di moto è?

75 Moto di un proiettile Quali sono i moti che compongono il moto di un proiettile? Che differenza c è dalla caduta di un grave? Il segno dell accelerazione cambia a seconda del verso dell asse verticale

76 Soluzione Utilizziamo il sistema di riferimento suggerito ed inseriamo le informazioni all interno delle equazioni della cinematica a x (t) = 0 v x (t) = v xi + a x t s x (t) = s xi + v xi t a x t 2 a y (t) v y (t) s y (t) = g = v yi g t = s yi + v yi t 1 2 g t2

77 Soluzione Lo stuntman si lancia orizzontalmente, e le condizioni all atteraggio (t f ) sono x f = 90 m e y f = 50 m a x (t f ) = 0 a y (t f ) = g v x (t f ) = v xi v y (t f ) = g t f x(t f ) = 0 + v xi t f y(t f ) = t 1 2 g t2 f

78 Soluzione Lo stuntman si lancia orizzontalmente, e le condizioni all atteraggio (t f ) sono x f = 90 m e y f = 50 m a x (t f ) = 0 a y (t f ) = g v x (t f ) = v xi v y (t f ) = g t f x(t f ) = 0 + v xi t f y(t f ) = t 1 2 g t2 f La velocità con cui lascia lo strapiombo è v xi. Per ottenerla posso utilizzare x(t f ) = v xi t f, ma non conosco il tempo t f. Lo ricavo da y(t f ) = g t2 f v xi = x f t f, t f = 2 yf g. Controllare sempre le equazioni, a livello dimensionale e matematico;

79 Soluzione Lo stuntman si lancia orizzontalmente, e le condizioni all atteraggio (t f ) sono x f = 90 m e y f = 50 m a x (t f ) = 0 a y (t f ) = g v x (t f ) = v xi v y (t f ) = g t f x(t f ) = 0 + v xi t f y(t f ) = t 1 2 g t2 f La velocità con cui lascia lo strapiombo è v xi. Per ottenerla posso utilizzare x(t f ) = v xi t f, ma non conosco il tempo t f. Lo ricavo da y(t f ) = g t2 f v xi = x f t f, t f = 2 yf g. Controllare sempre le equazioni, a livello dimensionale e matematico; es. il radicando dev essere non negativo, lo è?

80 Problema Cosa ci chiede? Quali dati ci dà? Quali sono le informazioni nascoste? Moto del proiettile

81 Problema

82 Soluzione Quali sono le differenze dal problema precedente? Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti! a x (t) = 0 v x (t) = v xi + a x t s x (t) = s xi + v xi t a x t 2 a y (t) v y (t) s y (t) = g = v yi g t = s yi + v yi t 1 2 g t2

83 Soluzione Quali sono le differenze dal problema precedente? Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti! a x (t) = 0 v x (t) = v xi + a x t s x (t) = s xi + v xi t a x t 2 Come le calcolo? a y (t) v y (t) s y (t) = g = v yi g t = s yi + v yi t 1 2 g t2

84 Soluzione Quali sono le differenze dal problema precedente? Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti! a x (t) = 0 v x (t) = v xi + a x t s x (t) = s xi + v xi t a x t 2 Come le calcolo? a y (t) v y (t) s y (t) = g = v yi g t = s yi + v yi t 1 2 g t2 v xi = v cos θ = 16 m/s v yi = v sin θ = 12 m/s

85 Soluzione Quali sono le differenze dal problema precedente? Velocità iniziale non orizzontale, ha entrambe le componenti! a x (t) = 0 v x (t) = v xi + a x t s x (t) = s xi + v xi t a x t 2 Come le calcolo? a y (t) v y (t) s y (t) = g = v yi g t = s yi + v yi t 1 2 g t2 v xi = v cos θ = 16 m/s v yi = v sin θ = 12 m/s Ricorda di utilizzare i radianti, o di impostare la calcolatrice in maniera opportuna

86 Soluzione (a) Determinare l altezza massima raggiunta dal pallone.

87 Soluzione (a) Determinare l altezza massima raggiunta dal pallone. Cosa accade al punto di altezza massima?

88 Soluzione (a) Determinare l altezza massima raggiunta dal pallone. Cosa accade al punto di altezza massima? La componente verticale della velocità si annulla. Quali equazioni devo utilizzare? a y (t) = g v y (t) = v yi g t s y (t) = 0 + v yi t 1 2 g t2 Le valuto al tempo t in cui v y (t ) = 0: t = v yi g s y (t ) = v yi t 1 2 g (t ) 2 = v2 yi 2g = 7.35 m

89 Soluzione (b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi terra

90 Soluzione (b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi terra Cosa accade in quel punto?

91 Soluzione (b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi terra Cosa accade in quel punto? La componente verticale della posizione si annulla. Quali equazioni devo utilizzare? a y (t) = g v y (t) = v yi g t s y (t) = 0 + v yi t 1 2 g t2

92 Soluzione (b) Determinare il tempo trascorso prima che la palla tocchi terra Cosa accade in quel punto? La componente verticale della posizione si annulla. Quali equazioni devo utilizzare? a y (t) = g v y (t) = v yi g t s y (t) = 0 + v yi t 1 2 g t2 Le valuto al tempo t in cui s y (t ) = 0.

93 Soluzione t ( v yi 1 2 g t ) = 0 L equazione ha due soluzioni: t = 0 s Quale scelgo, perché? t = 2 v yi g = 2.45 s

94 Soluzione (c) A che distanza tocca terra Cosa accade in quel punto?

95 Soluzione (c) A che distanza tocca terra Cosa accade in quel punto? La componente verticale della posizione si annulla. Quali equazioni devo utilizzare? s y (t) = 0 + v yi t 1 2 g t2 valutata al tempo t = 2.45 s calcolato al punto precedente

96 Soluzione (d) Il vettore velocità al punto più alto

97 Soluzione (d) Il vettore velocità al punto più alto Cosa accade in quel punto?

98 Soluzione (d) Il vettore velocità al punto più alto Cosa accade in quel punto? La componente verticale della velocità si annulla. v x = v xi = v cos θ = 16 m/s

99 Soluzione (d) Il vettore velocità al punto più alto Cosa accade in quel punto? La componente verticale della velocità si annulla. v x = v xi = v cos θ = 16 m/s (e) Il vettore accelerazione al punto più alto a = g j

100 Problema

101 Problema Moto di un proiettile Uniformemente accelerato verticalmente Moto rettilineo uniforme orizzontalmente Come deduco l angolo con l orizzontale?

102 Problema Moto di un proiettile Uniformemente accelerato verticalmente Moto rettilineo uniforme orizzontalmente Come deduco l angolo con l orizzontale? tan θ = v y v x oppure tan θ = v x v y?

103 Problema Che tipo di moto è?

104 Problema Che tipo di moto è?circolare È uniforme?

105 Problema Che tipo di moto è?circolare È uniforme?cosa implica? A cosa è legata l accelerazione centripeta? E quella tangenziale? Come deduco la massima accelerazione radiale del disco? a r = v2 R = (20.0 m/s) m = 377 m/s 2

106 Problema Cosa ci chiede? L accelerazione Quali dati ci fornisce? Velocità in due istanti successivi

107 Impostazione e soluzione Che tipo di moto è?

108 Impostazione e soluzione Che tipo di moto è? La velocità cambia di modulo e direzione

109 Impostazione e soluzione Che tipo di moto è? La velocità cambia di modulo e direzione L accelerazione ha sia componente tangenziale che radiale a r = v2 verso il centro R a t = v t Per calcolare l accelerazione dobbiamo stabilirne modulo e direzione.

110 Impostazione e soluzione Per procedere ai calcoli innanzitutto convertiamo le velocità in unità del SI

111 Impostazione e soluzione L accelerazione tangenziale è legata alla variazione della direzione della velocità