Esercizi: Cinematica

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1 Corso di Chimica-Fisica A.A. 8/9 Prof. Zanrè Roberto Oggetto: corso chimica-fisica Esercizi: Cinematica Appunti di lezione Indice Velocità vettoriale media e istantanea Accelerazione vettoriale media e istantanea 4 Meccanica 5 Cinematica del punto materiale 6 Moto in una dimensione 6 Moti piani in due dimensioni (curvilinei) 11. Avvertenze: il presente documento è da intendersi per uso didattico. E vietato qualsiasi altro uso senza il consenso scritto dell autore. Roberto Zanrè

2 Velocità vettoriale media e istantanea Se una particella subisce uno spostamento r in un intervallo di tempo t, la sua velocità vettoriale media v è: velocità vettoriale media = vettore spostamento intervallo di tempo ossia: v = r t Si deduce immediatamente che la direzione di v deve essere la stessa dello spostamento r. Scrivendo questa equazione in termini di componenti vettoriali: x i + y j + z k x y z v = = i + j + k t t t t Per esempio, se la particella dell Esercizio 9 si sposta dalla posizione iniziale alla posizione finale in, secondi, la sua velocità vettoriale media in questo intervallo è data da: r v = t (1m) i + (3m) k =, s = (6, m/s) i + (1,5 m/s) k Questo significa che la velocità vettoriale media ha una componente di 6, m/s lungo l asse x e una componente di 1,5 m/s lungo l asse z (e nulla lungo l asse y). Quando si parla di velocità solitamente si intende velocità istantanea v in un dato istante. Questa v è il valore limite cui tende v al tendere a zero dell intervallo di tempo centrato su quell istante. Matematicamente si può rappresentare v come una derivata: dr v = Velocità istantanea Particella che si muove nel piano xy. y tangente r 1 r r O x Fig. 1 Per trovare la velocità istantanea della particella all istante, per esempio, t 1, quando la particella si trova nella posizione 1, stringiamo l intervallo di tempo attorno a t 1. Mentre l intervallo t si riduce a zero, si hanno tre effetti: 1) il vettore r si avvicina a r 1 e quindi r si riduce a zero; ) la direzione di r/ t (e così la direzione di v ) si avvicina alla direzione della retta tangente al percorso della particella nella posizione 1; 3) la velocità media v si approssima alla velocità istantanea v Roberto Zanrè Pagina di

3 all istante t 1. Al limite, quando t, v v e, cosa importante, v assume la direzione della tangente, così anche v ha la stessa direzione di quest ultima. La velocità istantanea di una particella ha sempre la direzione della tangente alla curva che rappresenta il percorso della particella. Lo stesso accade se si considerano tre dimensioni: v è sempre tangente alla traiettoria della particella. Utilizzando i versori: dr v = d dx dy dz = (xi + yj + zk) = i + j + k = v x i + v y j + v z k In cui le componenti scalari della velocità sono: dx dy dz v = ; v = ; v =. x y z Velocità istantanea e componenti y Vettore velocità v e le sue componenti scalari su x e y. v y v v x tangente r 1 O x Fig. 13 Si osservi in Fig. 13 che il vettore velocità v è tangente al percorso della particella nella posizione in cui si trova. N.B. la lunghezza del vettore velocità rappresenta il modulo della velocità (e si può tracciare con una scala qualunque). Esercizio 1. Un uomo lascia la sua casa e vi rientra nove ore dopo. Quale è la sua velocità media? r v = t = = 9 h La velocità media è nulla perché è nullo lo spostamento totale, in quanto l uomo ritorna casa sua. Roberto Zanrè Pagina 3 di

4 Accelerazione vettoriale media e istantanea Quando la velocità di una particella cambia da v 1 a v in un intervallo di tempo t, la sua accelerazione media a durante tale intervallo è: Ossia: accelerazi one media = v - v v a = 1 = t t variazione di velocità intervallo di tempo Se riduciamo a zero t (centrato sull istante t), l accelerazione media a al limite tende all accelerazione istantanea a nell istante t: dv a = Se la velocità cambia in intensità o in direzione (o in entrambe) si ha un accelerazione diversa da zero. Esprimendo il vettore v come somma delle sue componenti lungo gli assi cartesiani, si ottiene: dv d dv dv y dv a = = (v i j k x i j z x + v y + v z ) = + + k = a i + a j + a k x y z a = a i + a j + a Nella quale le tre componenti scalari del vettore accelerazione sono date da: x dv dv y a = x ; a = ; a = x y z Ciò significa che si possono ottenere le componenti scalari dell accelerazione derivando le componenti della velocità. y z k dv z Roberto Zanrè Pagina 4 di

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9 Esercizio 11. Un'auto parte da una località A e giunge ad una località B distante da A d AB = 657 km impiegando t = 8.76 h. 1) Supponendo il moto uniforme, calcolare la velocità. ) Se una località C è posta ad una distanza d c = km da A, dopo quanto tempo l auto incontrerà la località C? Soluzione. 1) Si applica la definizione di velocità, da cui v = 657 km / 8.76 h = 75 km/h; ) Si applica l equazione oraria del moto uniforme: d c = vt, per cui t = d c / v = ( km) / (75 km/h) =.67 h Esercizio 1. Un Jumbo Jet per poter decollare deve raggiungere sulla pista una velocità v = 36 km/h. Se la pista è lunga 1.8 km, supponendo una accelerazione costante, quale è la minima accelerazione necessaria se parte da fermo? Se ci ricordiamo questa relazione: e sapendo che v =, r =, si ha: Se non la ricordiamo, si parte da: Esercizio 13. Un protone, emesso in una reazione nucleare, si muove all'interno di un tubo in cui esiste un campo elettrico che produce una accelerazione costante orientata nel medesimo verso della velocità iniziale. Supponendo che il protone entri nel tubo con una velocità iniziale v =1m/sec e ne esca con una velocità v 1 =4.5 m/sec e che il tubo sia lungo L = 5 m, calcolare l'accelerazione. Occorre applicare le leggi cinematiche del moto uniformemente accelerato. La velocità del protone varia secondo la legge: Poiché non conosciamo t 1 conviene applicare : Roberto Zanrè Pagina 9 di

10 Alternativamente si può trovare il valore di t 1 e di a dal sistema di equazioni: t 1 =.9 s a = (4.5 1)ms 1 /.9s = 5 ms Un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato è quello della caduta di un grave: esso cade ortogonalmente al suolo con accelerazione costante pari a g (se si trascura l attrito dell aria) dove g dipende dalla posizione sulla superficie terrestre. Di solito si usa un valore medio di g standardizzato: g = m/s (ai poli: 9,83 m/s, all equatore, 9,789 m/s ) (9.8 OK) L'unità di misura g è principalmente impiegata in campo aerospaziale per esprimere le accelerazioni cui sono sottoposti i veivoli e i veicoli spaziali e gli eventuali passeggeri. Si calcola che un'accelerazione di 5 g provochi perdita di conoscenza e valori superiori possono danneggiare il corpo umano anche mortalmente, se questi non è adeguatamente protetto. Esercizio 14. Per stabilire la profondità di un pozzo si lascia cadere un masso all interno del pozzo. Dopo un tempo t si sente il rumore del sasso che tocca il fondo. Trascurando il tempo necessario al suono per raggiungere il nostro osservatore dal fondo del pozzo stabilire la profondità di questo. Soluzione: Prendiamo un osservatore posto al livello del suolo e consideriamo il verso positivo orientato verso il fondo del pozzo. poiché h = (livello del suolo) e v = Esercizio 15. Una palla è lanciata verticalmente verso l alto dal suolo con una velocità di 4m/s. a) quanto tempo impiega la palla a raggiungere il punto più alto? b) quale è la massima altezza raggiunta dalla palla? c) in quale istante la palla si troverà a 9 m dal suolo? Roberto Zanrè Pagina 1 di

11 a) Nel punto più alto è v = e sappiamo che v = 4 m/s. L accelerazione di gravità g va in verso opposto rispetto allo spostamento; quindi occorre mettere g con il segno negativo. Quindi per ottenere t usiamo: v = v + at con a = g v = v gt = 4ms 1 9.8ms - t t = 4 / 9.8 s =.45s b) si può usare la relazione: dove v =, v = 4 m/s, a = g = 9.8 ms, r = = 4 9.8r r = 4 / 19.6 = 9.38m c) 9m? (a.7 s, la palla sta ritornando giù). Moti piani in due dimensioni (curvilinei) La velocità di un moto vario curvilineo è un vettore tangente in ogni punto alla traiettoria. Il vettore velocità varia sia in modulo che in orientamento. Se abbiamo una equazione matematica che descriva la traiettoria in funzione del tempo, in ognuna delle due dimensioni x e y, possiamo comunque derivare una espressione per velocità ed accelerazione. Questo è possibile per casi particolari. Roberto Zanrè Pagina 11 di

12 MOTO PIANO CON ACCELERAZIONE COSTANTE Il vettore accelerazione non varia né in orientazione né in modulo. Anche le sue componenti a x e a y non variano ed il moto può essere descritto come la sovrapposizione di due moti componenti che avvengono contemporaneamente, con accelerazione costante, in due direzioni perpendicolari. La traiettoria sarà in genere curvilinea. Le equazioni del moto per le due componenti saranno analoghe a quelle del moto rettilineo uniformemente accelerato. MOTO PIANO CON ACCELERAZIONE COSTANTE: il moto di un proiettile Supponendo che la Terra sia un sistema di riferimento inerziale (in cui sono validi il primo ed il secondo principio della dinamica) e che non ci sia resistenza dell'aria, il moto di un proiettile è la combinazione di un moto verticale accelerato dovuto alla gravità e un moto orizzontale uniforme, moti che non interferiscono tra loro. L asse y positivo è rivolto verso l alto. Roberto Zanrè Pagina 1 di

13 Velocità? E un vettore che cambia continuamente direzione, verso e modulo ma sulle sue componenti, verticale v y ed orizzontale v x, siamo in grado di dire: Moto orizzontale: l accelerazione in direzione orizzontale è nulla, per cui la componente orizzontale della velocità rimane invariata e pari a v x durante tutto il moto. Lo spostamento orizzontale x x dalla posizione iniziale x è determinato in ogni istante t dall equazione: 1 x - x = v t + nella quale poniamo a =. x - x = v x t Sostituendo v x con v x v cosθ - x x a t = si ottiene: x = ( v cosθ ) t Moto verticale: questo è il moto di una particella in caduta libera. La caratteristica importante è che l accelerazione è costante. a = g e la variabile spaziale è y. Lo spostamento verticale y y dalla posizione iniziale y è determinato in ogni istante t dall equazione: 1 y - y = v y t g t Sostituendo v y con v y = v sinθ (componente verticale della velocità) 1 si ottiene: y - y = ( v sinθ ) t g t Le altre equazioni diventano: v v y v = sinθ g t ( v sinθ ) g ( y - ) y = y La componente verticale della velocità si comporta esattamente come per una palla lanciata verticalmente verso l alto. E diretta inizialmente verso l alto, e la sua intensità diminuisce gradatamente fino ad annullarsi quando il proiettile raggiunge la posizione più elevata della traiettoria. A questo punto la componente verticale della velocità si inverte e la sua intensità va aumentando sempre più rapidamente. Equazione della traiettoria: possiamo trovare l equazione del percorso del proiettile (la traiettoria) eliminando t fra le due equazioni del moto. = ( v cosθ ) t ; y - y = ( v sinθ ) t g t x - x 1 v x - x cosθ = t ; y - y = ( v sinθ ) v x - x cosθ 1 x - x g v cosθ Ponendo x = e y = si ottiene: 1 x y = ( tgθ ) x g v cosθ ( ) Roberto Zanrè Pagina 13 di

14 Si osservi che questa equazione è della forma: y = a x + b x (con a e b costanti); si tratta dell equazione di una parabola e quindi il percorso è parabolico. Gittata orizzontale: la gittata R del proiettile è la distanza orizzontale coperta dal proiettile all istante in cui ripassa alla quota di partenza (quota di lancio). Per ricavarla poniamo: x x = R e y y =. Per cui: = x - x = ( v cosθ ) t = y - y = ( v sinθ ) t g t R Eliminando t fra queste due equazioni otteniamo: R v = sinθ cosθ R = sinθ g poiché come è noto vale l uguaglianza: sinθ = sinθ cosθ Si osservi che R ha valore massimo per sinθ = 1, cioè per θ = 45. v g Esercizio 16. Un aereo vola ad una quota di 1, km con una velocità orizzontale di 5 km/h verso un punto posto sopra al bersaglio. Il suo bersaglio é un uomo che sta per affogare. A quale angolo di mira φ deve essere sganciato il salvagente per poter raggiungere esattamente il bersaglio? 1 Roberto Zanrè Pagina 14 di

15 Esercizio 17. Un giocatore di pallone colpisce la palla ad un angolo di 37 rispetto all orizzontale, con un velocità iniziale di 15m/s. Tenete presente che un triangolo rettangolo con un angolo di 37 ha i lati che stanno tra loro nel rapporto 3:4:5 o 6:8:1. Si faccia l ipotesi che la palla si muova in un piano verticale e si trascuri la resistenza dell aria. a) Trovare l istante t 1 in cui la palla raggiunge il punto più alto della sua traiettoria. b) Qual è l altezza massima raggiunta dalla palla? c) Quale è lo spostamento orizzontale totale della palla e per quanto tempo la palla rimane in aria? d) Quanto vale la velocità della palla quando raggiunge il suolo? a) Nel punto più alto la componente verticale della velocità è zero. b) L altezza massima y max viene raggiunta dalla palla a t =.9 s. Usando la relazione: c) Lo spostamento totale orizzontale corrisponde alla gittata: Il tempo corrisponde a y=, cioè sia alla partenza che all arrivo: d) Bisogna calcolare le componenti orizzontale e verticale. Roberto Zanrè Pagina 15 di

16 costante v y varia, ed al tempo t =1.84s calcolato al punto c): negativa perché è rivolta verso il basso. Velocità e accelerazioni angolari. Moti periodici Il concetto di velocità angolare (detta anche frequenza angolare o pulsazione) si applica dove vi siano rotazioni, ma il suo impiego maggiore è nello studio dei moti periodici (circolare, armonico ecc.).la velocità angolare media (modulo) è definita dal rapporto fra l'angolo spazzato da un vettore che ruota e il tempo impiegato a compiere questa rotazione: α ω = velocità angolare media t (radianti / secondo) dα ω = velocità angolare istantanea (derivata prima della misura angolare) Ad esempio: in un moto circolare uniforme (vedi oltre) questa sarà l espressione per la velocità angolare: in un certo periodo T viene spazzato l intero angolo giro: π ω = T Moto circolare uniforme Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare con velocità costante in modulo, si dice moto circolare uniforme (vengono percorsi angoli uguali in tempi uguali). Il vettore velocità invece non può rimanere costante in direzione. Per il fatto che la velocità cambia di direzione, anche se non cambia in intensità, il moto circolare uniforme è un moto accelerato. Come vedremo nella parte di dinamica, essendo un moto accelerato sarà anche presente una forza (II principio). Roberto Zanrè Pagina 16 di

17 Se percorro una rotonda a velocità costante sto facendo un moto circolare uniforme. Il tachimetro infatti misura il modulo (intensità) della velocità (si trova anche definita come velocità scalare). Il tempo che occorre per percorrere l intera circonferenza si chiama periodo = T. Ricordando che la lunghezza di un arco di circonferenza è uguale a αr, dove α è l angolo corrispondente all arco (in radianti!). La circonferenza non è altro che l intero arco. R v = π = ωr modulo velocità. T v ω = π = velocità angolare. T R Accelerazione in un moto circolare uniforme La variazione del vettore velocità v r è un vettore rivolto verso il centro (centripeto). Questa sarà anche la direzione dell accelerazione (a). Il modulo è dato da: Roberto Zanrè Pagina 17 di

18 frequenza (in s 1 ) numero di giri compiuti nell unità di tempo. Dimostrare che l accelerazione centripeta, in un moto circolare uniforme, vale in modulo v /R dove v è la velocità tangenziale e R è il raggio della traiettoria. Il triangolo ABC è simile al triangolo CPP : infatti sono entrambi isosceli e l angolo in A è uguale all angolo in C, perché v perpendicolare CP e v perpendicolare CP. Approssimando v t PP (cioè l arco di traiettoria alla corda) si può scrivere: questa relazione diviene più vera tanto più l intervallo di tempo diventa piccolo e diventa esatta al limite per t che tende a : Esercizio 18. La Luna gira intorno alla Terra compiendo un giro completo in 7.3 giorni. Si assuma che l orbita sia circolare, con un raggio di 385 km. Quale è il modulo della accelerazione della Luna verso la Terra? Prima di tutto occorre calcolare il periodo T in secondi: 7.3 giorni = s La velocità della Luna (supposta costante) è: Roberto Zanrè Pagina 18 di

19 L accelerazione centripeta è: Esercizio 19. Una centrifuga di laboratorio gira con una frequenza di rotazione di 6. giri/minuto. Calcolare la velocità e l accelerazione di una particella che si trovi a 1 cm di distanza dal centro di rotazione, assumendo assenza di attriti. Calcoliamo il periodo della particella: T = 6/6 s =.1 s 1 (Il periodo è il tempo necessario per compiere un giro. Poiché in un minuto compie 6 giri, il periodo sarà 1/6 parte del minuto)(si moltiplica per 6, perché lavoriamo con i secondi). la velocità angolare non dipende dalla distanza dal centro di rotazione, mentre quella tangenziale sì. rapportata al valore di g = 9.7 ms è una accelerazione enorme! Esercizio. Calcolare la velocità di un satellite artificiale della Terra che viaggia ad una altezza di h = km sopra la superficie terrestre, dove g = 9. ms. Il raggio medio della Terra è r T = m. Come ogni oggetto libero nelle vicinanze della superficie terrestre, il satellite è soggetto ad una accelerazione g verso il centro della Terra. E questa accelerazione che gli fa seguire una Roberto Zanrè Pagina 19 di

20 traiettoria circolare (il satellite è in orbita ). Quindi g costituisce la nostra accelerazione centripeta (a = v /R): Esercizio 1. La Terra ruota attorno al proprio asse. Calcolare la sua velocità angolare, assumendo che sia costante. La Terra impiega un giorno (4h) per compiere una rotazione completa, corrispondente a π. Roberto Zanrè Pagina di