Problema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2)

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1 Problema (tratto dal 7.4 del azzoldi Un disco di massa m D e raggio R ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω. ll istante t 0 viene delicatamente appoggiata sul disco (in corrispondenza di un diametro del disco stesso un asta di massa m e di lunghezza d R, che è inizialmente in quiete. Tra il disco e l asta c è attrito e l asta comincia a ruotare attorno allo stesso asse. Dalla situazione iniziale (istante t 0: disco che ruota e asta ferma si passa dunque gradualmente ad una situazione finale (istante t fin in cui entrambi ruotano insieme con velocità angolare ω. NB: I punti. e. sono preliminari in quanto riguardano nozioni estremamente basilari. Se le risposte ai punti. e. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati.. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (riscrivere la risposta corretta per esteso e solo sul foglio protocollo, non qui sotto: [4 punti] (a l energia cinetica del sistema disco+asta si conserva; (b il momento angolare del sistema disco+asta a t t fin è uguale a quello in t 0; (c l energia meccanica del sistema disco+asta si conserva; (d nell intervallo t [0, t fin ] si conservano sia l energia meccanica che il momento angolare del sistema disco+asta. Calcolare l espressione della velocità angolare finale ω del sistema in funzione di ω, m D e m, e commentare se maggiore o minore di quella iniziale ω ; [4 punti]. Calcolare l energia cinetica K in (all istante t 0 e K fin (all istante t t fin del sistema, in funzione di ω, m D, m e R. Stabilire se K in < K fin, K in > K fin o se K in K fin ; [5 punti] 4. Calcolare l espressione del lavoro compiuto W dalle forze di attrito in funzione di ω, m D, m e R, e commentare il segno di W ; [ punti] 5. Valutare ω nel caso particolare ω 0 s, m D 4.0 Kg, e m. Kg. [ punto] 6. Valutare W nel caso specifico dei dati del punto 5., per un disco di raggio R 6 cm [ punto]. (I momenti d inerzia del disco e dell asta rispetto all asse passante per il loro centro valgono rispettivamente m DR e dell asta I m R

2 SOLUZIONE. Il sistema disco + asta è isolato perché tra disco ed asta si esercitano solo forze interne di attrito. Pertanto la quantità di moto ed il momento angolare del sistema si conservano, ossia rimangono costanti nel tempo. l contrario l energia meccanica del sistema disco + asta (che in questo caso coincide con l energia cinetica non si conserva, dato che le forze interne al sistema sono forze di attrito, che non sono conservative. Pertanto la risposta corretta è: il momento angolare del sistema disco+asta a t t fin è uguale a quello in t 0. Per determinare la velocità angolare finale del sistema sfruttiamo il fatto le leggi di conservazione. La conservazione della quantita di moto non ci serve molto perché è nulla, in quanto il centro di massa del sistema rimane sempre fermo. l contrario la conservazione del momento angolare del sistema è molto utile. Notiamo che il momento angolare del sistema è diretto lungo l asse verticale z, e che esso si esprime, istante per istante, come L z Iω dove I è il momento d inerzia rispetto all asse z e ω la velocità angolare di rotazione. Pertanto abbiamo: da cui otteniamo L z (t 0 L z (t t fin ω ( + I ω ( ω Ricordando ora che i momenti d inerzia per un disco ed un asta valgono m D R otteniamo ω + I ω ( I m d m R ( m D R m D R + m R ω m D m D + m ω (4 Pertanto ω < ω, come ci sia aspettava. Infatti il momento d inerzia totale aumenta in seguito al contributo dell asta, e dunque velocità angolare diminuisce affinché il momento angolare possa conservarsi. NB: Il momento angolare si conserva anche per tutti gli instanti intermedi, ossia L z (t cost t (5 Tuttavia, negli istanti intermedi tra t 0 e t fin il disco e l asta non hanno la stessa velocità angolare. Negli istanti intermedi, infatti, il disco sta passando da ω a ω (la sua velocità angolare ω D (t diminuisce nel tempo, mentre l asta passa gradualmente dallo stato di quiete allo stato con velocità angolare ω (la sua velocità angolare ω (t sta aumentando nel tempo. E solo a t t fin che essi raggiungono la stessa velocità angolare ω. In generale, possiamo scrivere la conservazione del momento angolare come: L z (t 0 L z (0 < t < t fin L z (t fin ω ω D (t + I ω (t ( + I ω (6. Ricordando ora che l energia cinetica di rotazione si scrive come K I ω

3 bbiamo K in ω (a t 0 solo il disco ruota m D R ω 4 m D R ω (7 e K fin ( + I ω (a t t fin disco e asta ruotano insieme [uso ora (] ( (I ID D + I ω + I ( I D ω + I ( ( m DR m DR + m ω R ( 4 m DR ω m D m D + m Confrontando K in e K fin osserviamo che (8 K fin K in m D m D + m < (9 ossia l energia cinetica (che in questo caso coincide con l energia meccanica non si conserva: nel passare da t 0 a t t fin K diminuisce di un fattore m D /(m D + m. 4. Per calcolare il lavoro delle forze d attrito possiamo procedere in due modi Primo modo Possiamo calcolare il lavoro delle forze di attrito applicando il teorema dell energia cinetica, ossia W K fin K in (0 dove W è il lavoro delle forze che agiscono sul sistema disco+asta; in questo caso le uniche forze che agiscono sul sistema sono proprio quelle mutue di attrito. Pertanto il lavoro delle forze di attrito vale: W K fin K in [uso ora (8 e (7] ( 4 m DR ω m D m D + m 4 m DR ω ( 4 m DR ω m D m D + m ( 4 m DR ω m m D + m ( 4 m DR ω m }{{} m 0 ( D + m }{{} K in fattore di perdita Da questa espressione si vede nuovamente che l energia cinetica non si conserva, ossia K fin K in. La differenza in energia cinetica è dovuta alle forze di attrito, che compiono un lavoro negativo. Infatti attraverso l attrito l asta si oppone al moto di rotazione del disco e lo frena, dato che la velocità angolare del disco passa gradualmente da ω (a t 0 a ω < ω (a t t fin. Il lavoro delle forze di attrito ammonta ad una percentuale m m D + m

4 4 dell energia cinetica K in posseduta inizialmente dal disco. Secondo modo Esiste anche un altra maniera per calcolare il lavoro delle forze di attrito. Le forze di attrito che agiscono sul sistema disco+asta sono date dalle forze che l asta esercita sul disco e dalle forze che il disco esercita sull asta. Consideriamo le forze di attrito che l asta esercita sul disco; dato che l asta frena il disco, tali forze sono dirette come in figura (b; trattandosi di attrito dinamico possiamo dire che le forze sono costanti in modulo. Indichiamo con tale modulo, applicato punto per punto lungo la linea di contatto disco-asta. La direzione della forza è lungo il piano del disco, ortogonalmente al vettore posizione che ne identifica il punto di applicazione rispetto al centro del disco. Si noti che, passando da una parte all altra rispetto al centro del disco, il segno delle forze cambia, ma il momento da esse esercitate è sempre diretto nel medesimo verso (in basso lungo la direzione z. Le forze di attrito che il disco esercita sull asta sono ovviamente uguali e contrarie a quelle che l asta esercita sul disco: l asta inizialmente è ferma, ma il disco inizia a farla ruotare trascinandola nel suo moto di rotazione (vedi ig.(c. Il momento delle forze esercitate dal disco è diretto in alto lungo la direzione z. (b (c r r r r igure : (b le forze (e i loro momenti che l asta esercita sul disco; (c le forze (e i loro momenti che il disco esercita sull asta. Prendendo come verso positivo per le rotazioni quello antiorario abbiamo D R ( + R ( dove D momento delle forze che agiscono sul disco (esercitate dall asta momento delle forze che agiscono sull asta (esercitate dal disco (4 e dove abbiamo sfruttato il fatto che è costante e R/ è il braccio medio. D altra parte, dalle equazioni del moto rotatorio di un corpo rigido abbiamo che D dl D,z dt α D (5 dl,z dt I (6 dove α D e sono le accelerazioni angolari del disco e dell asta rispettivamente. Essendo il sistema disco+asta isolato, il momento totale delle forze che agiscono sul sistema è nullo tot D + 0 (7

5 5 da cui segue la già citata conservazione del momento angolare totale 0 tot dl tot,z dt L tot,z cost (8 e anche [usando (5 e (6] la relazione tra le accelerazioni angolari di disco e asta 0 tot D + α D + I [che non è altro che la derivata temporale dell Eq.(6], da cui si ottiene α D I (9 Tenendo conto che a t 0 il disco ruota con velocità angolare ω e l asta è ferma, le velocità angolari di disco e asta variano nel tempo seguendo le leggi orarie ω D (t ω + α D t (moto circolare unif. accelerato (0 ω (t t come mostrato in ig.. Sappiamo che all istante t fin le due velocità angolari sono uguali: ω ω ω D (t ω (t t fin t igure : Le leggi orarie delle velocità angolari del disco e dell asta. Il disco parte da una velocità angolare ω e rallenta, fino a raggiungere il valore ω in un tempo t fin. Nel contempo l asta parte da ferma e accelera angolarmente, fino a raggiungere anch essa il valore ω. Sostituendo le leggi orarie ricaviamo che da cui ricaviamo che ω D (t fin ω (t fin ω ( ω + α D t fin t fin ( t fin ω α D [uso ora (9] ω ω ( I ID I + ( Gli angoli θ D e θ spazzati rispettivamente dal disco e dall asta a partire dall istante t 0 fino all istante t fin sono dati dalle semplici formule del moto circolare uniformemente accelerato θ D ω t fin + α Dt fin (moto circolare unif. accelerato θ t fin (4

6 6 Tali valori non sono altro che le aree sottese dalla legge oraria delle velocità angolari, ossia le aree del trapezio e del triangolo mostrati in ig.. Sostituendo ora l espressione ( trovata per t fin, otteniamo che e che θ D ω ω [uso (9] + ( I + α ω D I ( ω I + ω ω I + I + ( ID I ω I + (I + (5 (I + ω (I + (6 θ ( ω I + Il lavoro totale delle forze si può ora calcolare dalla formula W dθ D dθ D + dθ I D ω (I + (7 [siccome /D sono in questo caso costanti [vedi ( e (]] D θ D + θ [uso (7] ( θ D θ [uso (6] I ( θ D θ [uso (6 e (7] ( (I + ω I (I + (I + ω (I + ( I ID (I + I D (I + (I + ω ( I ID ω I + I ω I + m DR m R m DR + m R ω 4 m DR ω 4 m DR ω m m D + m m che coincide con l espressione ( determinata nel primo modo. m (8 D + m

7 7 5. Sostituendo nell espressione (4 i valori numerici dati, otteniamo ω m D 6. Sostituendo in ( i dati riportati nel testo, otteniamo m D + m ω 4.0 Kg 4.0 Kg +. Kg 0s 8. s (9 W Kg 00 s (0.6m. Kg 4.0 Kg +. Kg.0 00 ( m Kg }{{ s } J 0.47 J (0