Derivata materiale (Lagrangiana) e locale (Euleriana)

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1 ispense di Meccanica dei Fluidi 0 0 det 0 = [ (0 ) + ( ( ) ) + (0 0 ) ] = 0. Pertanto, v e µ sono indipendenti tra loro e costituiscono una nuova base. Con essi è possibile descrivere altre grandezze, come ad esempio l accelerazione. Per a, la viscosità non si usa perchè la massa M non compare; risulta quindi: a = α v β, a = L T 2, da cui: a = v2. erivata materiale (Lagrangiana) e locale (Euleriana) Consideriamo un campo scalare di temperatura in una stanza riscaldata da un termosifone acceso. É intuitivo che il campo non sia omogeneo e che la temperatura sia maggiore vicino al termosifone rispetto alla temperatura vicino alla porta di ingresso della stanza. Una persona (osservatore) in quiete in un punto della stanza con un termometro in mano misura una temperatura che dipende solo dalla temperatura del termosifone nel tempo: θ = θ(t). Se invece l osservatore si muove allontanandosi o avvicinandosi al termosifone, la temperatura misurata è funzione sia del tempo che della posizione dell osservatore nella stanza: θ = f ( t; x(t); y(t); z(t) ). La derivata temporale della temperatura richiede la specifica del riferimento dell osservatore: se l osservatore è fisso, derivata Euleriana: dθ dt = θ ;

2 ispense di Meccanica dei Fluidi se l osservatore è in movimento, derivata Lagrangiana: θ t = θ + θ dx x dt + θ dy y dt + θ dz z dt = θ + v θ. La derivata temporale nel caso in cui l osservatore sia in movimento viene definita come derivata materiale (o derivata sostanziale o derivata Lagrangiana). Il simbolo della derivata materiale è: t = + (v ), in cui e v sono definiti, rispettivamente, la derivata locale e la componente convettiva. La derivata sostanziale di una qualsiasi quantità può essere vista come somma di due contributi: componente locale: è una componente intrinseca e viene percepita in ogni riferimento, sia fisso che mobile. componente convettiva è una componente legata al moto dell osservatore nel campo, sempre nulla solo se il campo è omogeneo. Nel caso della stanza riscaldata dal termosifone, la persona che si muove percepisce una variazione dovuta alla variazione spaziale della temperatura. Se la temperatura fosse uniforme (campo omogeneo), nonostante il movimento, il contributo sarebbe nullo. Esempio Si consideri una condotta d acqua aentata con portata costante (invariante nel tempo) e che presenti una riduzione della sezione. Nella sezione di area minore, la velocità del fluido è maggiore rispetto alla velocità nella sezione di area maggiore, in quanto la portata volumetrica è invariante (per la conservazione della massa). Un osservatore fisso nel laboratorio (osservatore Euleriano) può facilmente verificare che in tutti i punti del campo la velocità delle particelle non varia nel tempo.

3 ispense di Meccanica dei Fluidi Immaginiamo un osservatore seduto su una particella fluida in moto nella corrente (osservatore Lagrangiano). In un generico istante t la velocità dell osservatore è uguale a quella che assume il campo di velocità del fluido nel punto in cui egli si trova. La variazione di velocità dell osservatore Lagrangiano è pari a: a = v t = v + v v. con il termine v/ nullo poiché la portata non varia nel tempo. Sebbene il campo di velocità sia stazionario, l osservatore Lagrangiano è soggetto ad una variazione di velocità per il solo fatto di occupare in tempi differenti posizioni differenti dello spazio e caratterizzate da un differente valore di velocità. Esempio 2 Si consideri un condotto a U con sezione circolare di diametro costante, alle cui estremità sono applicate due pressioni (p+ e p ), con conseguente dislivello dei due menischi. Pareggiando le pressioni sui menischi, il fluido accelera ed è successivamente caratterizzato da un moto oscillante periodico smorzato, per raggiungere infine la nuova configurazione di equilibrio con i due menischi alla stessa quota. Ad ogni istante la velocità è la stessa per tutte la particelle fluide e il movimento è un movimento in blocco. L osservatore nel laboratorio (Euleriano) osserva che la velocità delle particelle cambia nel tempo. Anche l osservatore seduto sulla particelle (Lagrangiano) osserva la stessa variazione. In questo caso il campo di velocità è omogeneo e la derivata materiale (la derivata vista da un osservatore Lagrangiano, cioè solidale alla particella) coincide con la derivata locale (la derivata vista da un osservatore Euleriano, cioè fisso nel laboratorio).

4 ispense di Meccanica dei Fluidi Figura : Layout per il calcolo della derivata materiale di una grandezza connessa alle particelle presenti nel volume V(t) Teorema del trasporto Il problema della corretta definizione della derivata temporale si presenta non solo per la proprietà di una particella materiale (ad esempio, la velocità, la massa, la temperatura) ma anche per calcolare la derivata temporale di quella proprietà sommata su tutte le particelle di un dominio finito. efiniamo volume materiale un volume che ad ogni istante, pur modificando la sua forma e la sua posizione nello spazio, è sempre costituito dalle stesse particelle materiali. Indichiamo con a una grandezza associata alla singola particella (ad esempio, la velocità o la densità di massa). La somma della grandezza a estesa al volume materiale è espressa come V a dv. Vogliamo stimare come vari nel tempo quella somma, cioè a dv. (22) t V Sia V(t) = volume al tempo t, (23) V(t + dt) = volume al tempo t + dt, (24) V = porzione di volume in comune trav(t) e V(t + dt), (25) (vedi Figura ) con il volume V contenente ad ogni istante le medesime particelle. Calcoliamo la derivata dell integrale secondo la definizione classica di

5 ispense di Meccanica dei Fluidi derivata, cioè come ite del rapporto incrementale: a(t + ) dv V(t+) V(t) t V La linearità dell operatore integrale ci permette di scrivere a(t) dv. (26) Quindi, V(t+) a(t + ) dv = a(t + ) dv + V a(t + ) dv, V (27) V(t) a(t) dv = a(t) dv + V a(t) dv. V (28) [ a(t + ) dv + a(t + ) dv t V V V ] a(t) dv a(t) dv, (29) V V ovvero t V [a(t + ) a(t)] dv V + a(t + ) dv V a(t) dv. (30) V Il volume V è invariante nell intervallo temporale da t a t+. Pertanto possiamo tranquillamente portare il ite e il rapporto incrementale all interno del simbolo integrale, e risulta V [a(t + ) a(t)] dv = V [a(t + ) a(t)] dv dv, (3) dove il volume V per 0 coincide con il volume iniziale V(t). Il contributo del volume V può essere trasformato in un integrale di superficie V

6 ispense di Meccanica dei Fluidi osservando che in un intervallo di tempo lo spostamento della superficie in uscita A u nell intorno di un punto è pari a v n, dove v e n sono la normale alla superficie e la velocità della superficie nel punto, rispettivamente. Lo spostamento è sempre positivo poiché, per definizione di superficie di uscita, la velocità è ivi concorde in verso alla normale uscente. Indicata con da una superficie infinitesima nell intorno del punto, risult v n d A. Analogamente sulla superficie in ingresso risult v n da, dove il segno negativo è dovuto al fatto che sulla superficie di ingresso per definizione i vettori v e n sono in verso contrario. Quindi, risulta: a(t + ) dv V a(t + )v n da = A u A u a(t)v n da, (32) e a(t) dv V [ ] a(t)v n da = A i a(t)v n da. (33) A i Riassumendo t V V dv+ a(t)v n, da + A u a(t)v n da. A i (34) Considerato che A i + A u = A, cioè la somma della superficie in ingresso e in uscita coincide con la superficie totale che deita il volume, risulta: t V V dv + a(t)v n da. (35) A Il teorema del trasporto si può enunciare come segue: la variazione nell unità di tempo di una grandezza a del sistema è uguale alla variazione di tempo di a nel volume di controllo più il flusso di a

7 ispense di Meccanica dei Fluidi attraverso la superficie di controllo. L ultimo integrale nell eq.(36) è infatti il flusso di a attraverso la superficie che deita il volume di controllo. Applicando il teorema della divergenza, l eq.(36) diventa [ ] t V V dv + div(av) dv V V + div(av) dv. (36) L argomento nell ultimo integrale a destra può essere riscritto in termini di derivata sostanziale: In conclusione, risulta anche: + div(av) = a t + adiv(v). (37) [ ] a t V V t + adiv(v) dv. (38) Il teorema del trasporto deve il suo nome al fatto che indica le operazioni da eseguire per trasportare l operatore di derivata sostanziale dall esterno all interno di un integrale esteso a un volume materiale.