Teoria dei mezzi continui

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1 Teoria dei mezzi continui Il modello di un sistema continuo è un modello fenomenologico adatto a descrivere sistemi fisici macroscopici nei casi in cui le dimensione dei fenomeni osservati siano sufficientemente grandi da poter trascurare la struttura particellare della materia. Le configurazioni nello spazio di un corpo rigido sono descritte da un numeri finito di parametri (sei: tre coordinate spaziali e tre angolari). Le equazioni che ne descrivono il moto formano un sistema di equazioni differenziali ordinarie del tempo I continui deformabili invece si possono pensare come sistemi con infiniti gradi di libertà e le equazioni del moto assumono in generale la forma di equazioni differenziali alle derivate parziali (spazio e tempo). Quello che accomuna la descrizione dei sistemi continui è l assunzione che esista una funzione di densità ρ (x, t) tale che la massa di una porzione D del sistema sia esprimibile tramite la M ( D) = ρ( x, t) dv D (2.1) dove dv indica l elemento di volume nello spazio. Questa assunzione è evidentemente in contrasto con la struttura atomica della materia. Oggi la trattazione della materia come un sistema continuo è considerata come una assunzione puramente fenomenologica che permette di studiare l equilibrio e il moto di corpi macroscopici su scale molto maggiore di quelle atomiche.

2 Equazioni macroscopiche della dinamica dei fluidi A livello macroscopico è possibile studiare la dinamica dei sistemi continui utilizzando due diversi tipi di descrizione, il metodo euleriano e il metodo lagrangiano. Il metodo euleriano descrive l andamento temporale delle grandezze macroscopiche in un dato punto dello spazio, e utilizza derivate euleriane / t, indipendenti dalle derivate spaziali. Il metodo lagrangiano descrive invece l andamento temporale delle grandezze seguendo le traiettorie degli elementi fluidi, per cui le derivate lagrangiane d/dt tengono anche conto del moto del fluido. La 'velocita lagrangiana, adottata tipicamente nella descrizione del moto di un corpo ben individuato nello spazio (come una particella singola), è una grandezza vettoriale funzione del tempo v(t) che e attribuita ad un corpo, ovunque esso si trovi. Il vettore velocità è dunque solo funzione del tempo e la derivata (totale) rispetto al tempo della velocità lagrangiana a = dv/dt fornisce l'accelerazione a cui e sottoposto quel determinate elemento di fluido ad un istante dato.

3 In meccanica dei fluidi, non è sempre possibile individuare il moto di un elemento di fluido su una traiettoria perché si confonde con quella di altri elementi. E tuttavia possibile misurare in un certo punto dello spazio la velocità degli elementi di fluido che passano per quel punto. Il vettore velocità eurleriana è pertanto una funzione vettoriale v(x,t) dello spazio e del tempo che e rappresenta la velocità con cui gli elementi del fluido transitano all'istante t per il punto di coordinate x (x 1,x 2,x 3 ). :La derivata parziale rispetto al tempo di questa velocità indica come varia la velocità degli elementi di fluido che all istante t transitano per il punto P(x 1,x 2,x 3 ), individuato dal vettore x nel sistema di coordinate, rispetto alla velocità di altri elementi di fluido che in istanti vicini transitano per lo stesso punto x. Questa derivata parziale rispetto al tempo nulla ha a che vedere, in generale, con l accelerazione a cui sono sottoposti gli elementi di fluido che all'istante t si trovano nel punto x. x 3 x O x x 2 1 P(x 1,x 2,x 3 ) Se risulta, per esempio, che la v/ t è identicamente nulla, ciò significa che il moto non varia nel tempo (moto del fluido stazionario) in quel punto, ma non significa necessariamente che gli elementi del fluido in quel punto non sono sottoposti ad accelerazione

4 Le due velocità, 'lagrangiana' e ed 'euleriana', sono evidentemente numericamente uguali (nel senso che se un certo elemento di fluido ad un istante t si trova in un punto x con velocità (lagrangiana) v(t), questo stesso valore coincide con la velocità (euleriana) del fluido nel punto x all'istante t : v(x,t), ma le due rappresentazioni hanno una dipendenza funzionale diversa. Nelle equazioni del moto dei fluidi, si presenta la necessita di dover esprimere l accelerazione degli elementi del fluido, avendo a disposizione la velocità euleriana e non quella lagrangiana. Possiamo valutare questa accelerazione in base al limite per t -> 0 del rapporto incrementale delle velocità fra gli istanti t e t + dt degli elementi di fluido che all'istante t si trovano in r e all'istante t+ dt si sono spostati nel punto x+v dt: a 1 lim [ v( x + v t, t + t) v( x, t)] t 0 t = Eseguendo il differenziale totale si riconosce che questo limite dà la derivata totale della velocità euleriana rispetto al tempo (2.2 ) dv = [ + ( v )] v dt t con la ragione intuitiva di questo fatto è che per eseguire correttamente questa operazione di derivata occorre seguire l'elemento di fluido nel suo moto (2.3)

5 I concetti espressi a proposito della velocità lagrangiana ed euleriana, valgono per qualsiasi altra funzione scalare o vettoriale dello spazio e del tempo Q(x,t)., di cui vogliamo calcolare la variazione nel tempo in un punto fisso dello spazio oppure i un punto mobile col fluido. La derivata lagrangiana definita come: sviluppando Q(x + uδt, t+δt) in serie di Taylor al prim ordine: 2.4) definisce il legame tra i due tipi di derivata: 2.5) Consideriamo per esempio la densità di massa ρ(x,t). La derivata parziale rispetto al tempo ρ/ t esprime la variazione di densità di elementi di fluido che in istanti successivi transitano per il punto x. La derivata totale : ' dρ ρ = + u ρ dt t indica la variazione di densità di un ben individuato elemento di fluido, seguito nel suo moto. 2.6) 2.7)

6 Cinematica dei fluidi L adozione del punto di vista euleriano, richiede una ridefinizione dei parametri cinematici usati, che viene brevemente descritti in questo capitolo. Nella descrizione euleriana, viene definito nello spazio un campo di velocità ossia viene assegnato il valore del vettore velocità v di un elemento fluido in ogni punto dello spazio e in ogni istante di tempo, rispetto ad un sistema di riferimento (cartesiano ortogonale) fisso (fig. 5.1): v(x; t) = u(x; t)i + v(x; t)j + w(x; t)k (2.8) dove x = (x; y; z) rappresenta il vettore posizione. Il vettore velocità è definito in un riferimento cartesiano come Ognuna di queste componenti ha una sua variazione spaziale. Pertanto occorrono quindi 9 quantità per definire la variazione spaziale di v. L entità che ne risulta è un tensore di 9 componenti scalari : Possiamo descrivere la variazione spaziale di V anche da un altro punto di vista, osservando che V può variare secondo le 3 componenti cartesiane. Figura 5.1: Sistema di riferimento cartesiano per l analisi cinematica

7 che, utilizzando la notazione di Einstein e ridefinendo x = (x 1 ; x 2 ; x 3 ) e V = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) si puo anche Si puo dimostrare che il tensore s ij, con cui rappresentiamo la variazione spaziale di V, puo essere sempre scomposto nella somma di un tensore simmetrico e ij e di un tensore antisimmetrico r ij : in cui abbiamo definito: (2.9) (2.10) (2.11)

8 Parametri cinematici Traiettoria, linea di flusso, traccia La traiettoria di un elemento fluido in un intervallo di tempo, tra il tempo t 1 e il tempo t 2. è il luogo dei punti occupati dal suo baricentro nell intervallo di tempo t 1 < t < t 2 Una linea di flusso, o linea di corrente, al generico istante t, è ogni linea che in ogni punto è tangente al vettore velocità considerato a quell istante, V (x; t) La linea di flusso istantanea `e quindi una linea integrale del campo (2.12) In condizioni stazionarie, in cui il campo di velocità è indipendente dal tempo, traiettoria e linea di flusso coincidono. La traccia, all istante t 2, è il luogo delle particelle fluide che, nell intervallo di tempo t 1 < t < t 2, sono transitate dallo stesso punto x o (fig. 5.4). Nel caso stazionario, la traccia coincide anch essa con la traiettoria e la linea di flusso. Traiettoria Linea di flusso Traccia

9 Possibili moti di un fluido I possibili tipi di moto sono: traslazione, rotazione, dilatazione e deformazione angolare. Considerato un elemento di fluido di geometria cubica e volume Ω, la traslazione é un moto rigido in cui non varia né la forma né il volume dell elemento, associato a un campo di moto uniforme. E facile verificare che, se la velocità è spazialmente uniforme, tutti i vertici dell elemento quadrato in figura subiscono lo stesso spostamento nell intervallo di tempo dt La dilatazione `e una variazione di volume dell elemento senza deformazione (fig. 5.6). Questo tipo di moto corrisponde ad un campo di velocità tale che: (2.12) Infatti, indicando con dx e dy la lunghezza dei lati dell elemento abbiamo: (2.13) (2.14)

10 Considerando piccolo l elemento di fluido e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore La variazione di volume nell intervallo di tempo dt vale quindi: (2.15) : (2.16) Se consideriamo tale variazione in termini relativi, riferita al volume iniziale Ω(t) = Ω (2.17) da cui e per un flusso tridimensionale (2.18) (2.19) Che permette di interpretare fisicamente la divergenza del vettore velocità come una variazione di volume per unità di volume e unità di tempo.

11 La rotazione rigida dell elemento fluido `e definita come la velocità angolare media di due superfici dell elemento perpendicolari tra loro. Nel nostro esempio, definendo con dθ 1 e dθ 2 le variazioni angolari dei lati dx e dy coincidenti con gli assi (fig. 5.7), otteniamo: y u dx = d dt y il cui valor medio risulta: ; (2.20) (2.21) dθ 2 d d dθ 1 dθ 1 v dy = d dt x x che corrisponde alla parte antisimmetrica del tensore sij per questo campo di moto bidimensionale ed esprime una rotazione rigida con velocità angolare Ωz attorno all asse perpendicolare al piano del moto. Se il campo di moto `e tale per cui l elemento fluido non ha rotazione, il moto si dice irrotazionale. Per un flusso fluido tridimensionale tale espressione si generalizza in: (2.22) che fornisce la definizione fisica del rotore di V

12 Deformazione angolare L altro tipo di moto possibile con il campo di velocità che abbiamo preso in considerazione é quello di deformazione angolare. definita come la media della differenza delle velocità angolari di due superfici dell elemento perpendicolari tra loro. Ricordando la (2.20), nel nostro esempio questa differenza risulta in: 2.23) Espressioni analoghe si ottengono se il moto di scorrimento avviene negli altri piani coordinati: esse costituiscono le componenti non diagonali del tensore simmetrico (2.9) che permette di descrivere in modo unitario, come vedremo nel seguito, sia la dilatazione che la deformazione.

13 Da un punto di vista più generale. consideriamo un generico punto Q di coordinate dx i nell intorno di primo ordine del punto P, in cui abbiamo collocato l origine del sistema di riferimento. La velocità in Q é data da: in cui V é la velocità in P e abbiamo utilizzato una notazione tensoriale nota come notazione einsteniana, che implica la sommatoria degli indici ripetuti, ovvero 2.24) La componente di V Q lungo il generico asse x i é quindi data da: Ricordando la (5.2.2) e la scomposizione s ij = e ij + r ij risulta in cui: -u i rappresenta la traslazione -r ij dx j = 1/2ω x PQ rappresenta la rotazione rigida - - e ij dx j rappresenta l insieme di deformazione e dilatazione Il tensore doppio e ij, definito dalla (5.2.3) prende il nome di tensore velocità di deformazione e in componenti cartesiane si scrive come: la cui traccia (sommatoria degli elementi diagonali) rappresenta r V. 2.25) 2.26) 2.27) 2.28)

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