Sistemi Rigidi. --> la posizione del CM rimane invariata rispetto a quella dei punti materiali

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1 Sistemi Rigidi Sistema rigido --> corpo indeformabile (distanze costanti tra le coppie dei punti materiali costituenti) qualsiasi siano le forze esterne agenti su di esso --> in realtà tutti corpi sottoposti a forze si deformano e quindiquella del corpo rigido è un'utile schematizzazione che ne permette lo studio del moto --> la posizione del rimane invariata rispetto a quella dei punti materiali --> ha 6 gradi di libertà: una terna di assi cartesiani ortogonali S' solidale con esso sarebbe individuata, rispetto ad un sistema di riferimento fisso S, da - 3 coordinate dell'origine - 9 coseni direttori ma solo 3 indipendenti per le condizioni di ortonormalità --> il moto del sistema può essere ricondotto a quello del moto di una terna cartesiana rispetto all'altra

2 Cinematica dei Sistemi Rigidi Per la velocità di un punto P del sistema rigido avremo v(p) = v'(p) + v t dove v t è la velocità di trascinamento (velocità in S del punto solidale con S' coincidente ad ogni istante con il punto P). Ma in S' le velocità dei punti materiali sono tutte nulle! Quindi v(p) = v t = V(t) + ω(t) x [ r(t) R(t) ] dove V(t) = (dr/dt) S, r(t) vettore posizione di P in S R(t) vettore posizione dell'origine di S' in S ω(t) velocità angolare di S' rispetto a S Per due punti A e B del sistema rigido avremo ed in generale v(b) = v(a) + ω(t) x [r(b) r(a)] v = v + ω(t) x [ r r ] dove v e r si riferiscono al centro di massa. l moto di un qualsiasi punto del sistema rigido può essere ricondotto ad una combinazione di una traslazione e di una rotazione attorno ad un asse.

3 Traslazione dei Sistemi Rigidi n tal caso valgono le seguenti relazioni v = v Q = M v (valida sempre) e per la dinamica P C (r i - r ) x q i (r i - r ) x v i = (r i - r ) x v = ( r i - r ) x v = 0 P Ω = P C + (r - r Ω ) x Q = (r - r Ω ) x Q F (e) = dq /dt =M a M C (e) = dp C /dt = 0 M Ω (e) = dp /dt = d[(r - r Ω Ω ) x Q] /dt = = (dr /dt) x Q - (dr /dt) x Q + (r - r ) x dq/dt Ω Ω = v x Q - v Ω x Q + (r - r Ω) x dq/dt = (r - r ) x dq/dt = (r - r ) x M a Ω Ω

4 Rotazione con asse fisso dei Sistemi Rigidi Scegliamo i i due sistemi S e S' con gli assi z e z' z' coincidenti con l'asse di di rotazione ed inoltre O = O'. Con tale scelta V(t) = 0 e R = 0 e quindi per ogni punto materiale costituente il il sistema v = ω(t) x r i i i i punti del sistema rigido (( e quindi anche il il ), immobili in in S', descrivono in in S traiettorie circolari con il il centro sull'asse di di rotazione. n n tal caso valgono le le seguenti relazioni Q = M v 0 se non sta su asse fisso P = Σ r x q = Σ r x m [[ ω x r ]] i i i i i i i i i i i i Potremo scomporre il il vettore r i i in in un componente lungo l'asse (z (z i i u z) z) e in in uno perpendicolare all'asse (ρ ) ) e avere P = Σ (z (z u + ρ )) x m [[ ω x (z (z u + ρ ))] ] =... i i i i z z i i i i z z = -- Σ i i i 2 i z i ω ρ + Σ m ρ 2 i i i ω i n n generale P non è quindi parallelo parallelo a ω e a può ω e essere può essere scomposto in scomposto due componenti: in due componenti: P = Σ m ρ 2 2 // // i i i ω i = ω con i 2 i ρ 2 momento di di inerzia (assiale) P = -- Σ i i i z i i ω ρ Se asse rotazione = asse di di simmetria --> P = 0 n n caso contario: Sistema rigido --> --> ρ ruotano intorno ad asse fisso con velocità angolare ω --> P ruota con vel. angolare ω (precessione intorno all'asse)

5 Rotazione con asse variabile dei Sistemi Rigidi Esempio: Rotolamento di una ruota Come SdR S' scegliamo un SdR con origine nel della ruota e assi che si mantengono paralleli a sé stessi. n S' tutti punti della ruota si muovono con vel. angolare ω. Ma S' si muove con velocità v e quindi avremo v i =v + ω x (r i - r ) Rotolamento puro: la velocità del punto di contatto (istantaneo) P* fra la ruota e la superficie di appoggio è nulla. n tal caso avremo che 0 = v +ω x (r* - r ) --> v = ω x (r - r* ) --> v i = ω x (r i - r* ) ovvero l'espressione di un moto rotatorio, attorno ad un asse // a ω e passante per P*. Tale asse viene detto asse istantaneo di rotazione. Anche in questo caso varranno le relazioni: Q = M v P = ω + P purché P sia calcolato rispetto ad un polo giacente sull'asse di rotazione (ovvero P*)

6 Momento d'inerzia Definizione: ρ 2 --> Grandezza Scalare Estensiva Per un sistema continuo = ρ 2 dm l momento di inerzia ha nelle rotazioni lo stesso ruolo della massa inerziale nelle traslazioni Teorema di Huygens-Steiner l momento di inerzia di un corpo di massa M rispetto ad un asse è dato dalla somma di quello rispetto ad un asse parallelo e passante per il centro di massa e del termine Md 2 con d distanza tra gli assi 2 = + M d nfatti, preso un SdR cartesiano ortogonale con asse z diretto lungo l'asse rispetto al quale si vuol deteminare e asse x passante per il (di coordinata d) e indicando con X,Y e Z le coordinate dei punti in un SdR con origine nel avremo ρ 2 2 (x +y 2 ) [(X + d)2 +Y 2 ]= 2 (X +Y 2 ) + Σ i d d Σ i X = + M d Nella tabella sono riportati momenti d'inerzia rispetto al in alcune geometrie semplici, Corpo Dimensione Asse Momento nerzia Disco raggio R al Disco (½) M R 2 Disco raggio R Diametro (¼) M R 2 Cilindro retto raggio R Asse Cilindro (½) M R 2 Cilindro retto cavo raggi Ri e Re Asse Cilindro (½) M (Ri 2 +Re 2 ) Sfera raggio R Diametro (2/5) M R 2 Asta lunghezza L ad Asta (1/12) M L 2 Asta rettangolare lati a, b ad Asta (1/12) M (a 2 +b 2 )