Meccanica. 11. Terzo Principio della Dinamica. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

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1 Meccanica 11. Terzo Principio della Dinamica Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 22 febbraio 2017

2 Traccia 1. Terzo Principio della Dinamica 2. Centro di Massa 3. Momento Angolare dei Corpi Rigidi 4. Momento d Inerzia di un Corpo Rigido 5. Dinamica del Corpo Rigido 2

3 Principio di Azione e Reazione Principio di azione e reazione o terzo principio della dinamica. Ogni volta che il corpo A esercita una forza sul corpo B, il corpo B esercita una forza sul corpo A: Vettorialmente opposta: Stessa intensità (modulo); Stessa direzione; Verso opposto. Avente la medesima retta d azione. Esempi Rinculo di una pistola; Barca a remi (si muove spingendo indietro l acqua con i remi); Autoveicoli (si muovono spingendo indietro la strada mediante la forza di attrito); Aerei (si muovono spingendo indietro l aria). 3

4 Principio di Azione e Reazione (II) Le forze tra i corpi sono interazioni che si presentano sempre a coppie: Non esistono forze unidirezionali. Due forze accoppiate per il III principio ( azione e reazione ): Sono sempre forze dello stesso tipo; Sono entrambe forze gravitazionali, oppure entrambe forze di attrito, ecc. Si esercitano sempre su corpi diversi; Per questo motivo non si equilibrano l una con l altra: Si possono equilibrare tra loro soltanto due forze applicate allo stesso corpo. Se l azione è la forza di gravità che la Terra esercita sul pallone, la reazione è la forza di gravità che il pallone esercita sulla Terra: Non la forza che la mano esercita sul pallone! 4

5 Principio di Azione e Reazione (III) Sebbene azione e reazione abbiano la stessa intensità non è detto che le 2 accelerazioni siano uguali in modulo: Il corpo di massa maggiore ha un accelerazione minore, per il II principio. L accelerazione di un pallone in caduta libera verso la Terra è assai maggiore dell accelerazione della Terra verso il pallone. Anche se la forza che il pallone esercita sulla Terra ha esattamente la stessa intensità della forza che la Terra esercita sul pallone. Il III principio non vale per le pseudo-forze: Verso quale corpo dovrebbe essere esercitata la reazione? 5

6 Forze Interne Forze interne: forze di interazione esercitate da una parte del sistema meccanico in studio su di un altra parte dello stesso sistema. Per il principio di azione e reazione esse sono a due a due opposte, con la medesima retta d azione. Costituiscono, a due a due, coppie di braccio nullo. Segue che: R (i) = 0 M (O) (III Principio della Dinamica) (i) = 0, O Questa è una formulazione del III principio della dinamica alternativa al principio di azione e reazione. 6

7 Forze Esterne Sistemi Meccanici Isolati Quanto detto non vale per le forze esterne: Tra le forze esterne si includono le forze che corpi esterni esercitano sul sistema assegnato ( azioni ): Non le forze che il sistema assegnato esercita sui corpi esterni ( reazioni ). Alcune forze esterne possono essere pseudo-forze. Se la risultante e il momento risultante delle forze esterne di un sistema meccanico sono entrambi nulli, si dice che il sistema è isolato: R (e) = 0 M (O) sistema isolato (e) = 0, O Non sempre, tuttavia, i sistemi meccanici sono isolati. 7

8 Equazioni Cardinali della Dinamica Partendo dalla definizione di Quantità di Moto Q e di Momento Angolare (o Momento della Quantità di Moto) K (O) : Q = m i v i Quantità di Moto K (O) = r OPi m i v i Momento Angolare derivando rispetto al tempo si ottiene: (entra nel foglio) Q = m i a i χ θ K (O) = ( v i v O ) m i v i + r OPi m i a i dove v O è la velocità del centro di riduzione O. 8

9 Equazioni Cardinali della Dinamica (II) Sfruttando il II principio della dinamica si ottiene: Q = m i a i = F i = R K (O) = ( v i v O ) m i v i + r OPi m i a i = = v i m i v }{{} i v O m i v i + r OPi F i = 0 = v O m i v i + r OPi F i = = v O Q + M (O) 9

10 Equazioni Cardinali della Dinamica (III) Separando le forze esterne dalle forze interne: Q = R = R (i) + R (e) }{{} 0 0 {}}{ K (O) = v O Q + M (O) = v O Q + M (O) (i) + M (O) (e) otteniamo: Q = R (e) K (O) = v O Q + M (O) (e) (Equazioni Cardinali della Dinamica) Scelto un centro di riduzione O fisso oppure in moto con velocità v O parallela a Q, la seconda diviene: K (O) = M (O) (e), se v O = 0 oppure v O Q 10

11 Principi di Conservazione della Quantità di Moto e del Momento Angolare Se la risultante delle forze esterne di un sistema meccanico è nulla, allora la quantità di moto del sistema meccanico si conserva (cioè rimane costante nel tempo): R (e) = 0 Q cost. (Principio di Conservazione della Quantità di Moto) Se il momento risultante delle forze esterne di un sistema meccanico è nullo rispetto a un centro di riduzione O (fisso o in moto con v O Q), allora il momento angolare del sistema meccanico si conserva: M (O) (e) = 0 K (O) cost. (Principio di Conservazione del Momento Angolare) Se un sistema meccanico è isolato allora si conservano sia la quantità di moto, sia il momento angolare del sistema meccanico: R (e) = 0 Q cost. M (O) (e) = 0 K (O) cost. 11

12 Centro di Massa Dato un sistema meccanico costituito da n punti materiali di vettore posizionale r OPi e massa m i, si chiama Centro di Massa del sistema il punto G individuato dal vettore posizionale r OG, definito dalla relazione: r OG = 1 m i r OPi, M = m i M Se il sistema è un continuo C, di massa totale M, volume V e densità puntuale ρ ( r OP ), funzione della posizione r OP, la posizione r OG del centro di massa si scrive, essendo dm = ρ dv : r OG = 1 dm r OP = 1 r OP ρ ( r OP ) dv M M C C M = dm = ρ ( r OP ) dv C C 12

13 Centro di Massa (II) Scelta una terna ortogonale di riferimento con l origine nel centro di riduzione O, posto: { ropi = x i î + y i ĵ + z i ˆk r OG = x G î + y G ĵ + z G ˆk possiamo anche scrivere, nella base cartesiana: x G = 1 m i x i, y G = 1 m i y i, z G = 1 M M M con: M = m i m i z i Il centro di massa è la media pesata delle coordinate dei punti, dove la massa svolge il ruolo di peso statistico. 13

14 Centro di Massa (III) Analogamente, nel caso del continuo C : x G = 1 x ρ (x, y, z) dx dy dz M y G = 1 M z G = 1 M C C C C y ρ (x, y, z) dx dy dz z ρ (x, y, z) dz dy dz con: M = ρ (x, y, z) dx dy dz Il centro di massa è la media pesata delle coordinate dei punti, dove la densità svolge il ruolo di peso statistico. 14

15 Centro di Massa e Centro di Gravità Se il sistema non è spazialmente troppo esteso ( g è uniforme su tutto il sistema), allora il centro di massa coincide con il centro di gravità (o baricentro). Infatti il centro di gravità B è il punto di applicazione della risultante delle forze di gravità agenti sulle parti del sistema e, se esse sono parallele, si ha, essendo F i = m i g e R = M g: r OB = 1 R F i ropi = 1 m i g r OPi = M g = 1 M g g n m i r OPi = 1 M m i r OPi = r OG 15

16 Proprietà del Centro di Massa Centro di Massa e Quantità di Moto Dalla definizione di centro di massa: r OG = 1 m i r OPi, M derivando rispetto al tempo, con il centro di riduzione O fissato, si ottiene: v G = 1 Q m i v i = M M quindi: Q = M v G La quantità di moto Q di un sistema meccanico qualsiasi è sempre uguale alla moltiplicazione scalare della massa totale M per la velocità v G del centro di massa. 16

17 Proprietà del Centro di Massa Centro di Massa come Centro di Riduzione Scegliendo il centro di massa come centro di riduzione, poiché: Q = M v G v G Q v G Q = 0 la seconda equazione cardinale della dinamica si scrive: K (G) = v G Q + (e) = M (G) M (G) (e) Nei problemi di dinamica, se non c è un asse di rotazione fisso (vincolo) spesso conviene valutare i momenti rispetto al centro di massa G. 17

18 Proprietà del Centro di Massa Teorema del Moto del Centro di Massa Dal precedente risultato: Q = M v G derivando rispetto al tempo, si ottiene: Q = M a G Per la I equazione cardinale della dinamica si ha anche: Q = R (e) in conclusione otteniamo: R (e) = M a G (Teorema del Moto del Centro di Massa) Il centro di massa di un sistema meccanico si muove come se fosse un punto materiale con la massa dell intero sistema, sottoposto a tutte le forze esterne che agiscono sul sistema. 18

19 Proprietà del Centro di Massa Teorema del Moto del Centro di Massa (II) Il concetto di punto materiale è applicabile a qualunque corpo, purché ci si limiti a studiare il moto del centro di massa. Nella studio della dinamica dei sistemi, le considerazioni nuove riguardano la II equazione cardinale: Per la I equazione cardinale si possono ripetere le considerazioni fatte per il punto materiale, per esempio: R(e) = 0 v G cost. Le sole forze interne possono modificare lo stato di moto di tutto il sistema meccanico ma non del suo centro di massa. 19

20 Conseguenze delle Equazioni Cardinali della Dinamica Esempio: Quantità di moto di un pianeta In un SdR inerziale e trascurando l effetto della presenza degli altri pianeti, la quantità di moto Q P di un pianeta non si conserva nel moto del pianeta attorno al Sole: Q P cost. Infatti QP è la quantità di moto totale di un sistema meccanico costituito dal solo pianeta. Per tale sistema la forza di gravità esercitata dal Sole è la sola forza esterna. Sistema meccanico costituito dal solo pianeta Per la I equazione cardinale: Q P = R (e) = F g 0 Q P cost. Forza di gravità esercitata dal Sole sul pianeta (esterna) 20

21 Conseguenze delle Equazioni Cardinali della Dinamica (II) Esempio: Quantità di moto del sistema {Sole, pianeta} In un SdR inerziale e trascurando l effetto della presenza degli altri pianeti, la somma delle quantità di moto di un pianeta e del Sole si conserva nel moto del pianeta attorno al Sole: Q P + Q S cost. Infatti QP + Q S è la quantità totale di moto del sistema {Sole, pianeta}. Per tale sistema la forza di gravità esercitata dal Sole è una forza interna, mentre sono assenti Forza di gravità esercitata dal pianeta sul Sole (interna) forze esterne: Sistema meccanico Perché il SdR è inerziale e l effetto della {Sole, pianeta} presenza degli altri pianeti è trascurata. Per la I equazione cardinale della dinamica: Q P + QS = R (e) = 0 Q P + Q S cost. Forza di gravità esercitata dal Sole sul pianeta (interna) 21

22 Conseguenze delle Equazioni Cardinali della Dinamica (III) Esempio: Moto del Sole Dai 2 risultati precedenti si ottiene: Q P + Q S } cost. Q P Q S cost. cost. La quantità di moto del Sole non è costante, dunque il Sole si muove, con accelerazione non nulla in un SdR inerziale. Come si muove dunque il Sole? Per il teorema del moto del centro di massa, R(e) = M a G. Se il SdR è inerziale e l effetto della presenza degli altri pianeti è trascurato, allora sono assenti forze esterne ( R (e) = 0), dunque a G = 0 e il centro di massa G del sistema {pianeta, Sole} o è in quiete oppure si muove di moto rettilineo uniforme. Se scegliamo il SdR inerziale in cui G è in quiete, il Sole percorre una piccola traiettoria ellittica con un fuoco in G. 22

23 Conseguenze delle Equazioni Cardinali della Dinamica (IV) Esempio: Momento Angolare di un Pianeta In un SdR inerziale e trascurando l effetto della presenza degli altri pianeti, il momento angolare di un pianeta P rispetto a un centro di riduzione arbitrario O non si conserva nel moto del pianeta attorno al Sole; In un SdR inerziale e trascurando l effetto della presenza degli altri pianeti, il momento angolare di un pianeta P rispetto al centro del Sole S si conserva nel moto del pianeta attorno al Sole: { K (O) P K (S) P cost. cost. Sistema meccanico costituito dal solo pianeta Forza di gravità esercitata dal Sole sul pianeta (esterna) 23

24 Conseguenze delle Equazioni Cardinali della Dinamica (V) Esempio: Momento Angolare di un Pianeta Infatti K (O) P e K (S) P sono i momenti angolari totali di un sistema meccanico costituito dal solo pianeta. In un SdR inerziale e trascurando l effetto della presenza degli altri pianeti la sola forza esterna è l attrazione gravitazionale del Sole. La II equazione cardinale della dinamica si scrive: K (O) P = v O Q P + M (O) K (S) P = v S Q P + (e) M (S) (e) Sistema meccanico costituito dal solo pianeta Forza di gravità esercitata dal Sole sul pianeta (esterna) 24

25 Conseguenze delle Equazioni Cardinali della Dinamica (VI) Esempio: Momento Angolare di un Pianeta Nel SdR inerziale con origine nel centro di massa G del sistema {Sole, pianeta}, si ha (si veda diapositiva 22): 0 Q P + Q S = Q {}}{ tot = M tot v G = (m P + m S ) v G = 0 Q P = Q S Q P = Q S = m S v S v S Q P v S Q P = 0 Inoltre, essendo r SP F g, si ha: r SP F g = 0 dunque: K (O) P = v O Q P + M (O) (e) = v O Q P + r OP F g 0 K (O) P cost. P = v S Q P + M (S) (e) = v S Q }{{ P + r } SP F g = 0 K }{{} (S) P cost. 0 0 K (S) 25

26 Conseguenze delle Equazioni Cardinali della Dinamica (VII) Esempio: II Legge di Keplero Per definizione di velocità areolare e di momento angolare, si ha: A (S) P K (S) P quindi: K (S) P = 1 2 r SP v P = r SP m P v P cost. A (S) P cost. A (S) P = 1 K 2m (S) P la II legge di Keplero è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Le orbite dei pianeti giacciono su di un piano. Infatti: K (S) P = r SP m P v P cost. segue che vettore posizionale r SP e velocità v P si trovano sempre su di un piano perpendicolare al vettore momento angolare K (S) P che è costante. 26

27 Momento Angolare dei Corpi Rigidi Corpo che Ruota attorno a un Asse Fisso Scegliendo il centro di riduzione O sull asse di rotazione u (per cui v O = 0), e detti r OPi il vettore posizionale del punto P i e v i la velocità del punto P i, la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi si scrive: v i = v O + ω r OPi = ω r OPi per cui, posto ω = ω û, il momento angolare del corpo rigido si scrive: K (O) = r OPi m i v i = r OPi m i ( ω r OPi ) = = = ω m i r OPi ( ω r OPi ) = m i r OPi (û r OPi ) 27

28 Momento Angolare dei Corpi Rigidi Corpo che Ruota attorno a un Asse Fisso (II) Il momento angolare assiale del corpo rigido si scrive, ricordando la proprietà a b c = a b c del doppio prodotto misto: K (u) = K (O) û = ω û m i r OPi (û r OPi ) = = ω m i û r OPi (û r OPi ) = ω m i û r OPi (û r OPi ) = = ω m i (û r OPi ) 2 Definito il Momento di Inerzia I u rispetto all asse u: I u = m i (û r OPi ) 2 = m i ri 2 dove r i è la distanza di P i dalla retta u, si ottiene: K (u) = I u ω 28

29 Momento Angolare dei Corpi Rigidi Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso Scegliendo il centro di massa G come centro di riduzione, e detti r GPi il vettore posizionale del punto P i e v i la velocità del punto P i, la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi si scrive: v i = v G + ω r GPi per cui il momento angolare del corpo rigido si scrive: K (G) = r GPi m i v i = r GPi m i ( v G + ω r GPi ) = = = m i r GPi ( v G + ω r GPi ) = m i r GPi v G + + m i r GPi ( ω r GPi ) 29

30 Momento Angolare dei Corpi Rigidi Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso (II) Per la definizione di centro di massa G, si ha: m i r OPi r OG = m i r OPi = r OG m i n m i In particolare, scegliendo O G (centro di riduzione coincidente con centro di massa), si ottiene: 0 {}}{ n m i r GPi = m i = 0 r GG Il momento angolare K (G) si scrive pertanto: [ n ] K (G) = m i r GPi v G + m i r GPi ( ω r GPi ) = = m i r GPi ( ω r GPi ) 30

31 Momento Angolare dei Corpi Rigidi Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso (III) Posto ω = ω û si può anche scrivere: K (G) = m i r GPi ( ω r GPi ) = ω m i r GPi (û r GPi ) Il momento angolare assiale del corpo rigido rispetto a un asse u passante per il centro di massa G e parallelo a ω si scrive, ricordando la proprietà a b c = a b c del doppio prodotto misto: K (u) = K (G) û = ω û m i r GPi (û r GPi ) = = ω m i û r GPi (û r GPi ) = = ω m i û r GPi (û r GPi ) = ω m i (û r GPi ) 2 31

32 Momento Angolare dei Corpi Rigidi Corpo che Rototrasla con Asse Parallelo a Se Stesso (IV) Definito il Momento di Inerzia I u rispetto all asse u: I u = m i (û r GPi ) 2 = m i ri 2 dove r i è la distanza di P i dalla retta u, si ottiene: K (u) = I u ω Si osservi che il momento angolare assiale di un corpo rigido che rototrasla con asse parallelo a se stesso, rispetto a un asse u passante per il centro di massa G non dipende da v G ma soltanto da ω: La parte traslatoria del moto non ha influenza sul momento angolare. 32

33 Momento Angolare dei Corpi Rigidi Sommario In entrambi i casi considerati: Corpo che ruota attorno a un asse fisso, Corpo rigido che rototrasla con asse parallelo a se stesso, risulta: K (u) = I u ω Il momento angolare assiale è il prodotto del momento di inerzia per il modulo della velocità angolare. Si tratta di un equazione scalare avente la stessa forma dell equazione del moto del centro di massa: Q = M v G Il ruolo del momento di inerzia per le rotazioni è analogo a quello della massa per le traslazioni. 33

34 Momento di Inerzia Nel caso di un sistema discreto di punti materiali, abbiamo visto che il momento d inerzia si scrive: I u = m i (û r OPi ) 2 = m i ri 2, r i = d (P i, u) dove r i è la distanza del punto P i dalla retta u. Nel caso di un sistema continuo si sostituisce un integrale alla sommatoria: I u = r 2 ρ (r) dv = r 2 ρ (x, y, z) dx dy dz C dove r è la distanza del punto P dalla retta u. r = d (P, u) C 34

35 Momento di Inerzia di Corpi Omogenei Sbarra (rispetto a un asse baricentrico perpendicolare ad essa): I u = 1 12 M L2 Cilindro (rispetto all asse di simmetria): I u = 1 2 M r2 Sfera (rispetto a un asse passante per il centro): I u = 2 5 M r2 35

36 Teorema di Huygens-Steiner Per un corpo qualsiasi, il momento di inerzia rispetto a una qualsiasi retta r è uguale al momento di inerzia rispetto alla retta g, parallela a r e passante per il centro di massa G, aumentato del prodotto tra la massa totale del corpo e il quadrato della distanza d tra le due rette (Teorema di Huygens-Steiner): I r = I g + M d 2 d 36

37 Teorema di Huygens-Steiner (II) Il teorema si prova facilmente, poiché: Ä I g = m i x 2 i + y 2 ä x G = 1 M i î I r = m i (xi d) 2 + yi 2 ó n î = m i x 2 i 2x i d + d 2 + yi 2 ó = Ä = m i x 2 i + yi 2 ä + d 2 m i 2d m i x i = I g + M d 2 }{{}}{{} d M M x G =0 m i x i 37

38 Dinamica del Corpo Rigido La dinamica del corpo rigido può essere affrontata mediante le equazioni cardinali della dinamica. La I equazione cardinale della dinamica (o il conseguente teorema del moto del centro di massa) definisce il moto del centro di massa. Consideriamo ora la II equazione cardinale della dinamica in 2 casi: Moto rotatorio attorno a un asse fisso u (vincolo): Prendendo come centro di riduzione (fisso) un punto O u. Moto rototraslatorio con l asse di rotazione u che rimane parallelo a se stesso: Prendendo come centro di riduzione (mobile) il centro di massa O G u. 38

39 Dinamica del Corpo Rigido (II) In questi due casi risulta, come abbiamo visto: K (O) û = K (u) = I u ω, O u Derivando rispetto al tempo, essendo û costante, otteniamo: K (O) û = I u ω, O u Ricordando la II equazione cardinale della dinamica, che si scrive, sia per O fisso, sia per O G: K (O) = si ottiene: M (O) (e) M (O) (e) û = I u ω, O u M (u) (e) = I u ω 39

40 Dinamica del Corpo Rigido (III) La II equazione cardinale, nei due casi considerati, conduce all equazione: M (u) (e) = I u ω [ ] Il momento assiale risultante delle forze esterne M (u) (e) è uguale al momento di inerzia I u moltiplicato per il modulo dell accelerazione angolare ω. Questa espressione ha la stessa forma del teorema del moto del centro di massa: R (e) = M a G [ ] Tuttavia la [ ] è scalare mentre la [ ] è vettoriale. Inoltre la [ ] ha validità generale, mentre la [ ] vale soltanto nei moti in cui l asse di rotazione rimane parallelo a se stesso. Il ruolo del momento di inerzia per le rotazioni è analogo a quello della massa per le traslazioni. 40

41 Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia domenico.galli@unibo.it