DINAMICA E STATICA RELATIVA

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1 DINAMICA E STATICA RELATIVA Equazioni di Lagrange in forma non conservativa La trattazione della dinamica fin qui svolta è valida per un osservatore inerziale. Consideriamo, ora un osservatore non inerziale. Per un osservatore inerziale vale la legge di Newton m a = F. (1) Utilizziamo il risultato del Teorema di Coriolis che lega gli osservatori inerziali e quelli non inerziali a ass. = a S + a rel + a C () e sostituiamolo nella legge di Newton Quest ultima può essere riscritta nella forma m ( a S + a rel + a C )= F. (3) m a rel = F m ( a S + a C )= F + F S + F C, (4) 5 dove abbiamo definito F S = m a S F C = m a C (Forza di trascinamento) (Forza di Coriolis). (5) F S e F C sono dette forze apparenti in quanto, a differenza di F non traducono l azione di altri corpi sul punto P, ma sono dovute al moto dell osservatore non inerziale rispetto a quello inerziale. Sono apparenti poichè appaiono solo all osservatore non inerziale. La forza F, in questo contesto, viene anche denominata F eff. eindica la risultante delle forze effettive sul punto P preso in esame. Generalizziamo ora, sia le equazioni cardinali, sia il teorema dell energia cinetica dq rel. /dt = R eff. + R S + R C d Γ rel. (0) /dt + v 0 Q rel. = M eff. (0) + M (0) S + M (0) C. (6) dt rel. /dt = Π est.,int. eff. + Π S + Π C Proposizione 1 La potenza legata alla forza di Coriolis è nulla. Dimostrazione. Dalla formula dell accelerazione di Coriolis relativa al punto P, si ottiene a C = v P,rel = a C v P,rel = F C = m a C v P,rel = Π C = F C v P,rel =0. (7) Ci si può chiedere se, nel riferimento relativo (non inerziale) in presenza di forze effettive conservative, vale la conservazione dell energia. La risposta è legata alle forze di trscinamento che non sempre si comportano come conservative.

2 6 Teorema 1 Il risultante delle forze di trascinamento e il risultante delle forze di Coriolis agenti su un sistema materiale si possono calcolare supponendo tutta la massa concentrata nel baricentro, ovvero R S = F S (G) = m a S (G), (8) e R C = F C (G) = m a C (G). (9) Dimostrazione. Dimostriamo la (8). Scriviamo l accelerazione di trascinamento per il generico punto i-esimo del sistema a S,i = a (O)+ ω h i P i O + P i O, (10) dove abbiamo indicato con O, l origine della terna mobile e con ω il vettore velocità angolare della terna mobile rispetto alla terna inerziale. Sostituendo la definizione di centro di massa in (10), si ottiene R S = m i a S,i = m G O = m i n a (O)+ ω = m a (O) ω m i P i O " m i P i O h P i O + # m i P i O (11) io P i O = m a (O) ω h i m G O ω m G O = m a (G) = F S (G). (1) Dimostriamo la (9). Dall espressione dell accelerazione di Coriolis scritta per il generico punto i-esimo, ricaviamo R C = m i a C,i = a C,i = v i,rel, (13) m i [ v i,rel ]= m i v i,rel = m v rel (G). (14) Osservazione 1 Abbiamo trovato il risultante delle forze di trascinamento e di Coriolis nel caso non inerziale. In generale, questi due sistemi di forze NON sono equipollenti al risultante delle forze applicato al baricentro. Caso 1 (Osservatore relativo traslante) Consideriamo il moto di un sistema materiale rispetto ad un osservatore che si muove di moto traslatorio rispetto ad

3 un osservatore inerziale. In generale, il moto è non rettilineo e uniforme. Allora, dalla formula (10) ω =0, ω =0 = as,i = a (O). (15) Le forze di trascinamento relative all equazione 8 diventano F S,i = m i a S,i = R S = 7 m i a (O). (16) In questo caso, le forze di trascinamento costituiscono un sistema di forze parallele, di intensità proporzionale alla massa di ciascun punto e quindi al suo peso. Il centro di talesistema di forze parallele è il baricentro stesso. Il sistema è quindi equipollente al risultante applicato nel baricentro. Caso (Osservatore relativo ruotante uniformemente) Per iniziare, consideriamo il caso di un sistema formato da un punto materiale di massa m. Siaz l asse di rotazione fisso nello spazio e sia ω = costante, il vettore velocità angolare dell osservatore relativo (non inerziale) rispetto all osservatore fisso (inerziale). In questo caso la forza di trascinamento si chiama forza centrifuga. Sia O un punto appartenente all asse di rotazione. Poichè l origine è fissa, a (O) =0e, poichè la velocità angolare è costante ω =0.Segueche F S = m n h P O io. (17) Prendiamo il punto P, proiezione ortogonale di P sull asse z e scriviamo P O = P P + P O. (18) Calcoliamo h = i n h P O = P P + n h io n P P + Il primo termine diventa h i P P = doppio prodotto vettore Ma ω P P io P O h io P O. (19) h i ω P P ω [ ω ω] P P. = ω (0) P P =0. (1) Quindi h i P P = ω P P. () Il secondo termine vale n h io P O =0, (3)

4 8 poichè P asse z, il che implica ω k P O. Quindi F S = mω P P. (4) Dato un sistema di punti, il risultante delle forze centrifughe diventa R S = mω G G. (5) Proposizione Le forze centrifughe sono conservative Dimostrazione. Per semplicità, consideriamo ancora il caso del punto materiale di massa m. Calcoliamo il lavoro virtuale per uno spostamento virtuale δ P del punto P (ρ, θ, z), doveρ = P P.Siottiene δ P (ρ, θ, z) = P ρ δρ u ρ + P θ δθ u θ + P z δz u z (6) e il lavoro virtuale diventa δ L = F S δ P = mω P P δ P = mω ρδρ = δ µ 1 mω ρ. (7) Si noti che P P = ρ u ρ,dove u ρ è il versore diretto perpendicolarmente rispetto all asse z e ha come verso il verso che si allontana da z. Il potenziale delle forze centrifughe per il punto materiale si esprime come U S = 1 mω ρ = 1 I ωω, (8) dove I ω è il momento d inerzia rispetto all asse z. La generalizzazione a un sistema di N punti o a un corpo continuo è immediata. Esempio 1 Un asta omogenea di massa M e lunghezza l è incernierata nel suo estremo O ed è posta in un piano uniformemente ruotante con velocità angolare ω attorno all asse verticale per O. All estremo dell asta, viene fissata una massa puntiforme di valore m. Determinare le posizioni di equilibrio relativo dell asta.

5 Poichè il sistema è non inerziale, il risultante delle forze centrifughe, contrariamente a quanto uno si aspetti, non viene applicato nel baricentro. Questo effetto è dovuto alla dipendenza delle forze centrifughe dalla distanza dell asse di rotazione. E necessario calcolare il vero centro di applicazione delle forze centrifughe. Applichiamo la definizione e iniziamo con l asse y y C = R l 0 df sy R l 0 df s = R l M 0 l ω s sin θ (s cos θ) ds R l M ω s sin θds 0 l = M l 9 ω sin θ cos θ R l 0 [s ] ds M ω sin θ R l sds = cos θl3 /3 l / l 0 (9) Analogamente, troviamo per x C = l sin θ/. Calcoliamo il momento dell asta rispetto al polo O (equazione pura) M O = Mg l sin θ+mgl sin θ µ Mω l sin θ µ 3 l cos θ mω l sin θ (l cos θ) =0. Ricaviamo che ha soluzioni e la quale ha validità solo per 1 cos θ = 3 ω l (30) µ µ M M + m gl sin θ = 3 + m ω l sin θ cos θ (31) sin θ =0 = θ =0,π (3) 3 ω l µ M +m g =cosθ, (33) M +3m µ M +m g = ω l (M +3m) 3(M +m) g. (34) M +3m Un altro modo di risolvere il problema è dato dall uso della stazionarietà del potenziale U (θ) =Mg l cos θ + mgl cos θ + 1 I ωω + 1 ml sin θ ω = Mg l cos θ + mgl cos θ + 1 µ M l 3 sin θ ω + 1 ml sin θ ω. (35) Derivando otteniamo U 0 (θ) = Mg l sin θ mgl sin θ + Mω l 3 sin θ cos θ + ml sin θ cos θ ω =0 equivalente alla 30. Esempio Un anellino di massa m scorre senza attrito su una guida circolare di raggio R che ruota con velocità angolare ω. Al tempo t =0, l anellino è nella posizione θ =0con velocità nulla. Determinare il valore di ω, affinché l anellino raggiunga la posizione θ = π/ con velocità nulla. Si determini, inoltre, la potenza = l cos θ. 3

6 10 del motore in funzione della posizione. L unica forza attiva è la forza peso. All istante iniziale θ (0) = θ (0) = 0. (36) Poichè non ci sono attriti e le forze centrifughe ammettono potenziale, possiamo usare la conservazione dell energia meccanica T U = E. Scriviamo T U T U = 1 ³R θ m 1 m (R sin θω) mgr cos θ. (37) termine centrifugo L energia totale iniziale è Vogliamo che E = mgr. (38) ³ π θ =0, (39) quindi 1 r g m (Rω) = mgr = ω = R. (40) Per calcolare la potenza del motore, usiamo il teorema dell energia cinetica dt = Π. (41) dt L energia cinetica è data dall energia cinetica dell anellino sommata all energia cinetica dovuta alla velocità di trascinamento: T = 1 ³ m R θ +(Rsin θω). (4)

7 La potenza Π èdatadallasommadellapotenzadelmotorepiùlapotenzadella forza peso ³ Π = Π motore + Π peso = Π motore + mgr θ sin θ, (43) 11 quindi h³ i Π motore = m R θ θ + R cos θ sin θω θ + mgr θ sin θ. (44) Dalla conservazione dell energia, ricaviamo θ θ g (cos θ 1) = R Derivando rispetto al tempo t, otteniamo +(sinθω). (45) g sin θ θ θ θ = +sinθcos θ R θω = θ = g sin θ R +sinθcos θω. (46) Sostituendo θ e θ in Π motore,siottiene " r # g (cos θ 1) Π motore = m R cos θ sin θω +(sinθω). (47) R