Compito del 14 giugno 2004
|
|
- Artemisia Mele
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Compito del 14 giugno 004 Un disco omogeneo di raggio R e massa m rotola senza strisciare lungo l asse delle ascisse di un piano verticale. Il centro C del disco è collegato da una molla di costante elastica k al punto materiale P di massa M, che è vincolato a muoversi lungo l asse delle ordinate. Sul centro del disco agisce inoltre una forza orizzontale costante F = F e 1. Prendendo come coordinate libere l ascissa x del centro C del disco e l ordinata y del punto P, si chiede di determinare: 1) Le equazioni del moto del sistema. ) Le configurazioni di equilibrio e la loro stabilità. 3) Le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle posizioni di equilibrio. 4) La reazione vincolare che agisce sul punto P. 5) (Facoltativa) Date le condizioni iniziali ẋ(0) = ẏ(0) = 0, x(0) = F k, y(0) = R, la quota minima raggiunta dal punto P. y P y C F k C k1 R x H x 1
2 1) Equazioni del moto del sistema. Per ricavare le equazioni del moto scriviamo innanzitutto la lagrangiana del sistema in esame: L = T V, dove T è l energia cinetica e V l energia potenziale. Il sistema ha due gradi di libertà, corrispondenti alle due coordinate libere x e y, pertanto si hanno due equazioni del moto: dt ẋ dt ẏ L x = 0 L y = 0. L energia cinetica totale è la somma dell energia cinetica T P del punto materiale P di massa M e dell energia cinetica T disco del disco di massa m: T = T P + T disco = 1 Mv P + 1 mv C ω j I C, jh ω h, j,h=1 dove I C è la matrice d inerzia del disco rispetto al suo baricentro C e ω è la velocità angolare. Calcoliamo ora i termini che compaiono nell espressione di T. Il vettore posizione del punto P è x P = P O = y e, pertanto la velocità di P è v P = x P = ẏ e, da cui segue v P = ẏ. Il vettore posizione del punto C, baricentro del disco, è x C = C O = x e 1 + R e, pertanto la velocità di C è v C = x C = ẋ e 1, da cui segue v C = ẋ. La matrice d inerzia del disco, rispetto al suo baricentro C e alla base solidale { k 1, k, k 3 } considerata, è: ( 1 I C = mr diag 4, 1 4, 1 ). L elemento di matrice I C,33 è quindi I C, 33 = mr.
3 La velocità angolare ω, rispetto alla terna solidale { k 1, k, k 3 }, è ω = θ k 3 = ω 1 = ω = 0 e ω 3 = θ. Ricordando la condizione di puro rotolamento si ha quindi θ = ẋ R, ω 3 = ẋ R. Riunendo i risultati trovati si ha che l energia cinetica T è: T = 1 Mẏ + 1 mẋ + 1 ω 3 I C,33 ẋ = 1 Mẏ + 1 mẋ + 1 mr R = 3 4 mẋ + 1 Mẏ. L energia potenziale del sistema è data dalla somma di tre termini: il primo corrispondente alla forza elastica f el = k(c P), il secondo associato alla forza peso f peso = (M + m) g e il terzo dovuto alla forza costante F: V = k (C P) + Mgy P + mgy C F x C. Calcoliamo ora i termini che compaiono nell espressione di V. Per il teorema di Pitagora si ha: (C P) = x + (y R) = x + y Ry + R. Dalle espressioni di x P = y e e x C = x e 1 + R e segue y P = y e y C = R. Ricordando che il prodotto scalare di due vettori è dato dalla somma dei prodotti delle componenti omonime, si ha: F x C = F e 1 (x e 1 + R e ) = Fx. 3
4 Riunendo i risultati trovati si ha: V = k (x + y Ry + R ) + Mgy + mgr Fx. I termini costanti contenuti nell espressione dell energia potenziale possono essere trascurati, in quanto il loro contributo alle equazioni del moto è nullo (si tenga presente che la lagrangiana L = T V compare nelle equazioni del moto solo tramite le sue derivate rispetto alle coordinate libere). L espressione di V si riduce quindi alla forma seguente: La lagrangiana del sistema è V = k (x + y ) + (Mg kr)y Fx. L = T V = 3 4 mẋ + 1 Mẏ k (x + y ) (Mg kr)y + Fx. Per scrivere le equazioni del moto occorre innanzitutto calcolare le seguenti derivate parziali di L: L x = kx + F, L y = ky (Mg kr), L ẋ = 3 mẋ, L ẏ = Mẏ. Le derivate totali rispetto al tempo che compaiono nelle equazioni di Lagrange sono: = 3 dt ẋ mẍ e = Mÿ. dt ẏ Sostituendo le espressioni precedenti nelle equazioni del moto si ha infine: L dt ẋ x = 0 = 3 mẍ + kx F = 0 L = 0 = Mÿ + ky + Mg kr = 0. dt ẏ y ) Configurazioni di equilibrio e stabilità. Le posizioni d equilibrio sono le soluzioni del sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate parziali dell energia potenziale V rispetto alle coordinate libere x, y: V x = kx F = 0 V = ky + Mg kr = 0, y 4
5 da cui segue x = F k y = R Mg k. Per studiare la stabilità della posizione d equilibrio trovata, scriviamo la matrice hessiana H dell energia potenziale V, cioè la matrice formata dalle derivate seconde parziali di V : V x = k, V y = k, V x y = V y x = 0. La matrice hessiana è quindi H = ( k 0 0 k ), e risulta indipendente dai valori delle coordinate libere x, y. Il determinante di H è sempre positivo, in quanto si ha deth = k > 0. Essendo inoltre V xx = k > 0, la posizione d equilibrio trovata (x = F k, y = R Mg k ) è stabile. 3) Frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d equilibrio. Per determinare la frequenza ω delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d equilibrio, risolviamo l equazione secolare det(c λa) = 0, dove C è la matrice hessiana di V, calcolata nella configurazione d equilibrio considerata, λ = ω e A è la matrice formata dai coefficienti (calcolati nella posizione d equilibrio) della forma quadratica che esprime l energia cinetica T, a meno di un fattore 1/. Dalla definizione delle matrici A e C risulta quindi: A = ( 3 m 0 0 M k 0 C = e 0 k ) (, essendo T = 1 3 mẋ + Mẏ + 0ẋẏ ). 5
6 La matrice C λa è dunque ( k 0 3 C λa = mλ 0 0 k 0 Mλ ( k 3 = mλ 0 ). 0 k Mλ ) L equazione secolare det(c λa) = 0 risulta pertanto k 3mλ 0 ( 0 k Mλ = k 3 ) mλ (k Mλ) = 0, da cui segue λ 1 = k 3 m e λ = k M. Le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d equilibrio stabile sono quindi k k ω 1 = 3 m e ω = M. 4) Reazione vincolare su P. Per calcolare la reazione vincolare Φ P che agisce su P, scriviamo la seconda legge del moto di Newton per il punto materiale P, vincolato a muoversi lungo l asse delle ordinate: F + Φ P = M a P. Il risultante F delle forze attive che agiscono su P è F = M g k(p C). Posto si ha g = g e e P C = x e 1 + (y R) e, F = Mg e k [ x e 1 + (y R) e ]. L accelerazione di P è la derivata seconda rispetto al tempo del vettore posizione x P = P O = y e : a P = x P = ÿ e. 6
7 Riunendo i risultati precedenti si ha: Mg e + kx e 1 k(y R) e + Φ P = Mÿ e. Risolvendo rispetto a Φ P l equazione ottenuta e riunendo a fattore comune i versori e 1, e della base associata al riferimento cartesiano, si ha: Φ P = kx e 1 + [Mÿ + Mg + k(y R)] e. Dalla seconda equazione del moto trovata al punto 1), Mÿ+ky+Mg kr = 0, segue che la componente di Φ P rispetto a e è nulla, pertanto la reazione vincolare si riduce a: Φ P = kx e 1. 5) Quota minima raggiunta da P. La lagrangiana del sistema non dipende esplicitamente dal tempo t, pertanto l hamiltoniana H = T + V è un integrale primo del moto. L espressione di H in un generico istante t è H = T + V = 3 4 mẋ + 1 Mẏ + k (x + y ) + (Mg kr)y Fx. All istante iniziale t = 0 si ha per ipotesi Il valore corrispondente di H è ẋ(0) = ẏ(0) = 0, x(0) = F k, y(0) = R. H(0) = F k + kr + MgR kr F k = MgR F k kr. Le due equazioni del moto trovate al punto 1) sono disaccoppiate, nel senso che ciascuna di esse contiene solo una coordinata lagrangiana: o la variabile x, che individua la posizione del disco, o la variabile y, che individua la posizione del punto P. Da tale osservazione segue che il disco, inizialmente fermo nella posizione x(0) = F/k (coincidente con il valore della coordinata x all equilibrio), persiste in tale posizione anche negli istanti di tempo successivi, cioè vale la condizione x(t) = F k e ẋ(t) = 0 t > 0. 7
8 Ciò è possibile anche se il valore iniziale della variabile y non coincide con quello all equilibrio e quindi il punto P non rimane fermo nella posizione iniziale ma oscilla lungo l asse y. L espressione di H in un generico istante t diventa quindi H = 1 Mẏ + k F k + y + (Mg kr)y F k = 1 Mẏ + k y + (Mg kr)y F k. P oscilla tra i punti d arresto y min e y max, in cui la velocità del punto materiale è nulla, cioè ẏ = 0. Le posizioni limite tra cui oscilla P possono essere determinate imponendo la condizione ẏ = 0 e uguagliando l espressione di H in un generico istante t a quella per t = 0: H(t) = H(0) = k y + (Mg kr)y F da cui segue k y + (Mg kr)y che può essere scritta nella forma k = MgR F ) (MgR kr = 0, ky + (Mg kr)y (MgR kr ) = 0. Le soluzioni dell equazione precedente sono: y 1, = 1 k k kr, { (Mg kr) ± } (Mg kr) + k(mgr kr ). Semplificando l espressione trovata, le soluzioni risultano y min = R Mg k e y max = R, e rappresentano la quota minima e massima raggiunta da P. 8
Esercitazioni di Meccanica Razionale
Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Dinamica dei sistemi materiali Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica
DettagliCompito di Meccanica Razionale
Compito di Meccanica Razionale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale 10 Gennaio 2017 (usare fogli diversi per esercizi diversi) Primo Esercizio Si consideri il sistema di riferimento Oxy. L estremo
DettagliPROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (9 gennaio 2015) (C.d.L. Ing. Civile [L-Z] e C.d.L. Ing. Edile/Architettura Prof. A.
PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (9 gennaio 2015) In un piano verticale, un disco D omogeneo (massa m, raggio r), rotola senza strisciare sull asse ; al suo centro è incernierata un asta omogenea (massa m,
DettagliCompito di Meccanica Razionale
Compito di Meccanica Razionale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale 30 Gennaio 27 (usare fogli diversi per esercizi diversi) Primo Esercizio Si fissi in un piano un sistema di riferimento Oxy. In
DettagliFisica 1 Anno Accademico 2011/2012
Matteo Luca Ruggiero DISAT@Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 (7 Maggio - 11 Maggio 2012) Sintesi Abbiamo introdotto riformulato il teorema dell energia cinetica in presenza di forze non conservative,
Dettagli1) Per quale valore minimo della velocità angolare iniziale il cilindro riesce a compiere un giro completo.
Esame di Fisica per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni (Parte I): 04-02-2016 Problema 1. Un punto materiale si muove nel piano su una guida descritta dall equazione y = sin kx [ = 12m, k
DettagliCompito di Meccanica Razionale M-Z
Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura
DettagliDEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA
DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA Sia dato un sistema con vincoli lisci, bilaterali e FISSI. Ricaviamo, dall equazione simbolica della dinamica, il teorema
DettagliEsame di Meccanica Razionale (Dinamica) Allievi Ing. Edile II Anno Prova intermedia del 23 novembre 2012 durata della prova: 2h
Prova intermedia del 23 novembre 2012 durata della prova: 2h CINEMTIC E CLCL DI QUNTITÀ MECCNICHE Nelsistemadifiguraildiscodicentro ruoy ta intorno al suo centro; il secondo disco rotola senza strisciare
Dettaglia2 Semidischi e asta sono disposti come illustrato in figura. Determinare del sistema:
Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del 5.6.1 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna Oxyz si considera il sistema costituito da due semidischi omogenei uguali, D 1 e D, di massa µ, raggio
Dettagli(trascurare la massa delle razze della ruota, e schematizzarla come un anello; momento d inerzia dell anello I A = MR 2 )
1 Esercizio Una ruota di raggio R e di massa M può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ 2, ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di massa m, che a sua volta
DettagliCompito di Fisica 1 Ingegneria elettrica e gestionale Soluzioni fila A
Compito di Fisica 1 Ingegneria elettrica e gestionale Soluzioni fila A Massimo Vassalli 1 Dicembre 007 NB: dal momento che i dati numerici degli esercizi non sono comuni a tutti i compiti, i risultati
DettagliUniversità degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà d Ingegneria Meccanica Razionale A.A. 2005/ Appello del 04/07/2006
Facoltà d Ingegneria Meccanica Razionale A.A. 2005/2006 - Appello del 04/07/2006 In un piano verticale Oxy, un sistema materiale è costituito da un disco omogeneo, di centro Q, raggio R e massa 2m, e da
DettagliEsercitazioni di Meccanica Razionale
Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Meccanica analitica I parte Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica
DettagliGrandezze angolari. Lineare Angolare Relazione x θ x = rθ. m I I = mr 2 F N N = rf sin θ 1 2 mv2 1
Grandezze angolari Lineare Angolare Relazione x θ x = rθ v ω v = ωr a α a = αr m I I = mr 2 F N N = rf sin θ 1 2 mv2 1 2 Iω 2 Energia cinetica In forma vettoriale: v = ω r questa collega la velocità angolare
DettagliEsame di Meccanica Razionale. Allievi Ing. MAT Appello del 6 luglio 2007
Esame di Meccanica Razionale. Allievi Ing. MAT Appello del 6 luglio 2007 y Nel sistema di figura posto in un piano verticale il carrello A scorre con vinco- q, R M lo liscio lungo l asse verticale. Il
Dettagliẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
DettagliESERCIZIO SOLUZIONE. 13 Aprile 2011
ESERCIZIO Un corpo di massa m è lasciato cadere da un altezza h sull estremo libero di una molla di costante elastica in modo da provocarne la compressione. Determinare: ) la velocità del corpo all impatto
Dettagli1. Considerare il seguente sistema di vettori applicati:
1 Università di Pavia Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Correzione prova scritta Esame di Fisica Matematica febbraio 011 1. Considerare il seguente sistema di vettori applicati:
DettagliQUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO
QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO Quantità di Moto Definizione 1 Per un punto P dotato di massa m e velocità v, sidefinisce quantità di moto il seguente vettore Q := m v. (1) Definizione
DettagliIndice slides. 1 Oscillatore semplice 5. 2 Equazione caratteristica 6. 3 Radici complesse 7. 4 Integrale generale 8. 5 Forza Peso 9.
Moto di Oscillatori Pietro Pantano Dipartimento di Matematica Università della Calabria Slides 1 di 27 Slides 2 di 27 1 Oscillatore semplice 5 2 Equazione caratteristica 6 3 Radici complesse 7 4 Integrale
DettagliTeorema dell energia cinetica
Teorema dell energia cinetica L. P. 23 Marzo 2010 Il teorema dell energia cinetica Il teorema dell energia cinetica è una relazione molto importante in Meccanica. L enunceremo nel caso semplice di un punto
DettagliEsercizio 2 In una terna cartesiana ortogonale destra Oxyz = Oê 1 ê 2 ê 3 si considera il sistema S di vettori applicati:
Prova in itinere di Fondamenti di meccanica razionale e Meccanica razionale del 7.4.16 Esercizio 1 In una terna ortogonale Oxyz Oê 1 ê ê un sistema è composto da un anello circolare omogeneo γ, di massa
DettagliEsercizio 1 Meccanica del Punto
Esercizio 1 Meccanica del Punto Una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo L 0 è appesa al soffitto di una stanza di altezza H. All altra estremità della molla è attaccata una pallina di massa
DettagliEsercitazioni di Meccanica Razionale
Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Cinematica Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a.
DettagliDINAMICA E STATICA RELATIVA
DINAMICA E STATICA RELATIVA Equazioni di Lagrange in forma non conservativa La trattazione della dinamica fin qui svolta è valida per un osservatore inerziale. Consideriamo, ora un osservatore non inerziale.
DettagliOscillazioni. Si produce un oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto a una posizione di equilibrio stabile
Oscillazioni Si produce un oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto a una posizione di equilibrio stabile Caratteristica più evidente del moto oscillatorio è di essere un moto periodico,
Dettagli1 Cinematica del punto Componenti intrinseche di velocità e accelerazione Moto piano in coordinate polari... 5
Indice 1 Cinematica del punto... 1 1.1 Componenti intrinseche di velocità e accelerazione... 3 1.2 Moto piano in coordinate polari... 5 2 Cinematica del corpo rigido... 9 2.1 Configurazioni rigide......
DettagliESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI.
ESERCIZI SULL DINMIC DI CRPI RIIDI. Risoluzione mediante equazioni di Lagrange, equilibrio relativo (forze aarenti), stazionarietà del otenziale U; stabilità dell equilibrio e analisi delle iccole oscillazioni.
DettagliESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI.
ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI. Risoluzione mediante le equazioni cardinali della dinamica, teorema di conservazione dell energia meccanica e teorema dell energia cinetica. Esercizio n.13 Un disco
DettagliEsercitazione 2. Soluzione
Esercitazione 2 Esercizio 1 - Resistenza dell aria Un blocchetto di massa m = 0.01 Kg (10 grammi) viene appoggiato delicatamente con velocità iniziale zero su un piano inclinato rispetto all orizziontale
DettagliFondamenti di Meccanica Esame del
Politecnico di Milano Fondamenti di Meccanica Esame del 0.02.2009. In un piano verticale un asta omogenea AB, di lunghezza l e massa m, ha l estremo A vincolato a scorrere senza attrito su una guida verticale.
DettagliErrata Corrige. Quesiti di Fisica Generale
1 Errata Corrige a cura di Giovanni Romanelli Quesiti di Fisica Generale per i C.d.S. delle Facoltà di Scienze di Prof. Carla Andreani Dr. Giulia Festa Dr. Andrea Lapi Dr. Roberto Senesi 2 Copyright@2010
DettagliEsercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2)
Esercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2) Un disco di massa m D = 2.4 Kg e raggio R = 6 cm ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω = 0 s. ll istante
DettagliApplicazioni delle leggi della meccanica: moto armnico
Applicazioni delle leggi della meccanica: moto armnico Discutiamo le caratteristiche del moto armonico utilizzando l esempio di una molla di costante k e massa trascurabile a cui è fissato un oggetto di
DettagliUnità didattica 2. Seconda unità didattica (Fisica) 1. Corso integrato di Matematica e Fisica per il Corso di Farmacia
Unità didattica 2 Dinamica Leggi di Newton.. 2 Le forze 3 Composizione delle forze 4 Esempio di forza applicata...5 Esempio: il piano inclinato.. 6 Il moto del pendolo.. 7 La forza gravitazionale 9 Lavoro
Dettaglib) DIAGRAMMA DELLE FORZE
DELLO SCRITTO DELL SETTEMBRE 5 - ESERCIZIO - Un corpo di massa m = 9 g e dimensioni trascurabili è appeso ad uno dei capi di una molla di costante elastica k = 5 N/m e lunghezza a riposo L = cm. L'altro
Dettagli1 Sistemi di riferimento
Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena Esercitazioni del corso di Fisica Generale L-A Anno accademico 2006-2007 1 Sistemi di riferimento Le grandezze usate
DettagliProblema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2)
Problema (tratto dal 7.4 del azzoldi Un disco di massa m D e raggio R ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω. ll istante t 0 viene delicatamente appoggiata
Dettaglim h M θ Esercizio (tratto dal problema 7.42 del Mazzoldi 2)
1 Esercizio (tratto dal problema 7.42 del Mazzoldi 2) Un disco di massa M = 8Kg e raggio R è posto sopra un piano, inclinato di un angolo θ = 30 o rispetto all orizzontale; all asse del disco è collegato
DettagliUniversità degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà d Ingegneria Meccanica Razionale Anno Accademico 2010/2011 Appello del 9/02/2011
Anno Accademico 2010/2011 Appello del 9/02/2011 La prova consta di 4 Quesiti a risposta chiusa e 4 Quesiti a risposta aperta; la durata della prova è di 2 ore e 30 minuti. Non è permesso consultare testi
DettagliOSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE
OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE Un oscillatore è costituito da una particella che si muove periodicamente attorno ad una posizione di equilibrio. Compiono moti oscillatori: il pendolo, un peso attaccato
DettagliUNIVERSITA DEL SANNIO CORSO DI FISICA 1
UNIVESITA DEL SANNIO COSO DI FISICA 1 ESECIZI Dinamica dei corpi rigidi 1 La molecola di ossigeno ha una massa di 5,3 1-6 Kg ed un momento di inerzia di 1,94 1-46 Kg m rispetto ad un asse passante per
DettagliUniversità del Sannio
Università del Sannio Corso di Fisica 1 Lezione 6 Dinamica del punto materiale II Prof.ssa Stefania Petracca 1 Lavoro, energia cinetica, energie potenziali Le equazioni della dinamica permettono di determinare
DettagliEsercizio (tratto dal Problema 4.24 del Mazzoldi 2)
1 Esercizio (tratto dal Problema 4.4 del Mazzoldi ) Due masse uguali, collegate da un filo, sono disposte come in figura. L angolo vale 30 o, l altezza vale 1 m, il coefficiente di attrito massa-piano
DettagliTEMI RISOLTI DI MECCANICA ANALITICA. Riccardo Riganti
TEMI RISOLTI DI MECCANICA ANALITICA Riccardo Riganti PROVA SCRITTA DI MECCANICA ANALITICA Corso Ing. Aerospaziale 14/11/00 PROBLEMA 1 Nel sistema di figura, che è disposto in un piano verticale, la sbarretta
DettagliDinamica Rotazionale
Dinamica Rotazionale Richiamo: cinematica rotazionale, velocità e accelerazione angolare Energia cinetica rotazionale: momento d inerzia Equazione del moto rotatorio: momento delle forze Leggi di conservazione
Dettagli15/04/2014. Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8. Generalizziamo, considerando due particelle interagenti.
Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8 Esempio arciere su una superficie ghiacciata che scocca la freccia: l arciere (60 kg) esercita una forza sulla freccia 0.5 kg (che parte in avanti con
DettagliDinamica del punto materiale
Dinamica del punto materiale Formule fondamentali L. P. 5 Aprile 2010 N.B.: Le relazioni riportate sono valide in un sistema di riferimento inerziale. Princìpi della dinamica Secondo principio della dinamica
DettagliCompito di Fisica Generale (Meccanica) 13/01/2014
Compito di Fisica Generale (Meccanica) 13/01/2014 1) Un punto materiale inizialmente in moto rettilineo uniforme è soggetto alla sola forza di Coriolis. Supponendo che il punto si trovi inizialmente nella
DettagliProva Scritta di di Meccanica Analitica. 12 Gennaio 2017
Prova Scritta di di Meccanica Analitica 1 Gennaio 017 Problema 1 Si studi il sistema meccanico costituito da un punto materiale di massa unitaria soggetto al potenziale V x) = a lnx) x > 0 x a) Scrivere
DettagliCompito di Fisica Generale (Meccanica) 25/01/2011
Compito di Fisica Generale (Meccanica) 25/01/2011 1) Un punto materiale di massa m è vincolato a muoversi su di una guida orizzontale. Il punto è attaccato ad una molla di costante elastica k. La guida
DettagliLAVORO ED ENERGIA. Dott.ssa Silvia Rainò
1 LAVORO ED ENERGIA Dott.ssa Silvia Rainò Lavoro ed Energia 2 Consideriamo il moto di un oggetto vincolato a muoversi su una traiettoria prestabilita, ad esempio: Un treno vincolato a muoversi sui binari.
Dettagliapprofondimento Lavoro ed energia
approfondimento Lavoro ed energia Lavoro compiuto da una forza costante W = F. d = F d cosθ dimensioni [W] = [ML T - ] Unità di misura del lavoro N m (Joule) in MKS dine cm (erg) in cgs N.B. Quando la
DettagliIntroduzione alla Fisica Moderna - a.a
Introduzione alla Fisica Moderna - a.a. 015-16 7/9/016 Nome Cognome Matricola: 1) Si consideri il sistema di equazioni del primo ordine ẋ = y, ẏ = η y sin x, determinando i punti di equilibrio, il loro
DettagliMOMENTI DI INERZIA PER CORPI CONTINUI
MOMENTI D INERZIA E PENDOLO COMPOSTO PROF. FRANCESCO DE PALMA Indice 1 INTRODUZIONE -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 MOMENTI
DettagliFisica Generale per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti) A.A. 2010/2011 Prova in itinere del 4/3/2011.
Cognome Nome Numero di matricola Fisica Generale per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti) A.A. 00/0 Prova in itinere del 4/3/0. Tempo a disposizione: h30 Modalità di risposta: scrivere la formula
DettagliFisica 1 Anno Accademico 2011/2012
Matteo Luca Ruggiero DISAT@Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 (16 Aprile - 20 Aprile 2012) 1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE Sintesi Abbiamo studiato le equazioni che determinano il moto
DettagliCompito di Fisica Generale (Meccanica) 16/01/2015
Compito di Fisica Generale (Meccanica) 16/01/2015 1) Un cannone spara un proiettile di massa m con un alzo pari a. Si calcoli in funzione dell angolo ed in presenza dell attrito dell aria ( schematizzato
DettagliUniversità degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà d Ingegneria Meccanica Razionale Anno Accademico 2008/2009 Appello del 07/07/2009
Anno Accademico 2008/2009 Appello del 07/07/2009 La prova consta di 4 Quesiti a risposta chiusa e 4 Quesiti a risposta aperta; la durata della prova è di 2 ore e 30 minuti. Non è permesso consultare testi
DettagliProblemi di dinamica del punto materiale
Problemi di dinamica del punto materiale 1. Un corpo di massa M = 200 kg viene lanciato con velocità v 0 = 36 km/ora su un piano inclinato di un angolo θ = 30 o rispetto all orizzontale. Nel salire, il
DettagliEnergia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo
Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione
DettagliPRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Velocità possibili e velocità virtuali Ciponiamoilproblemadideterminareequazionipuredimoto,ovveroequazioni che non introducono incognite di reazioni. Consideriamo il seguente
DettagliLezione XVI Impulso, forze impulsive e urti
Lezione XVI Impulso, forze impulsive e urti 1 Impulso di una forza Sempre nell ambito della dinamica del punto materiale, dimostriamo il semplice teorema dell impulso, che discende immediatamente dalla
DettagliIl vettore velocità angolare (avendo scelto θ come in Figura) si scrive come:
9 Moti rigidi notevoli In questo capitolo consideriamo alcuni esempi particolarmente significativi di moto di un sistema rigido. Quelle che seguono sono applicazioni delle equazioni cardinali di un sistema
DettagliFisica Generale I, A. A , 28 Agosto Esercizi di meccanica relativi al primo modulo del corso
Fisica Generale I, A. A. 013-014, 8 Agosto 014 Esercizi di meccanica relativi al primo modulo del corso Esercizio I.1 Una lastra di massa M = 10 kg poggia su un piano orizzontale su cui può scivolare senza
DettagliDinamica del punto materiale: problemi con gli oscillatori.
Dinamica del punto materiale: problemi con gli oscillatori. Problema: Una molla ideale di costante elastica k = 300 Nm 1 e lunghezza a riposo l 0 = 1 m pende verticalmente avendo un estremità fissata ad
DettagliRobotica industriale. Richiami di statica del corpo rigido. Prof. Paolo Rocco
Robotica industriale Richiami di statica del corpo rigido Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.it) Sistemi di forze P 1 P 2 F 1 F 2 F 3 F n Consideriamo un sistema di forze agenti su un corpo rigido.
DettagliSoluzioni I anno FisMat
Soluzioni I anno FisMat ) La velocitá delle formiche puó essere separata in una componente tangenziale, v t e una radiale, v r Poiché ad ogni istante le formiche sono poste sul vertice del N-gono, esse
DettagliEsame scritto del corso di Fisica 2 del Corso di laurea in Informatica A.A (Prof. Anna Sgarlata)
Esame scritto del corso di Fisica 2 del 2.09.20 Corso di laurea in Informatica A.A. 200-20 (Prof. Anna Sgarlata) COMPITO A Problema n. Un asta pesante di massa m = 6 kg e lunga L= m e incernierata nel
DettagliMeccanica razionale e statica
Università degli Studi eampus Facoltà di Ingegneria Meccanica razionale e statica Novedrate, 15 giugno 011 Teoria Rispondere in modo esauriente ad una sola domanda a scelta. 1. alcolo dell energia cinetica
DettagliFisica 2C. 2 a Prova Parziale 9 Gennaio 2008
Fisica C a Prova Parziale 9 Gennaio 008 ˆ Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quanto viene chiesto; se vi sono dei dati numerici ció implica che la(o le)risposta dev essere
Dettaglie una frequenza = 0 /2 =1/T (misurata in Hertz). Infine è la fase, cioè un numero (radianti) che dipende dalla definizione dell istante t=0.
8. Oscillazioni Definizione di oscillatore armonico libero Si tratta di un sistema soggetto ad un moto descrivibile secondo una funzione armonica (seno o coseno) del tipo x(t) = Acos( 0 t + ) A è l ampiezza
DettagliFisica Generale I A.A , 16 Giugno Esercizi di meccanica relativi al primo modulo del corso
Fisica Generale I A.A. 2013-2014, 16 Giugno 2014 Esercizi di meccanica relativi al primo modulo del corso Esercizio I.1 m 1 m 2 θ Due corpi di massa m 1 = 14 Kg ed m 2 = 2 Kg sono collegati da un filo
DettagliAlcuni problemi di meccanica
Alcuni problemi di meccanica Giuseppe Dalba Sommario Questi appunti contengono cinque problemi risolti di statica e dinamica del punto materiale e dei corpi rigidi. Gli ultimi quattro problemi sono stati
DettagliTutorato di Fisica 1 - AA 2014/15
Tutorato di Fisica - AA 04/5 Emanuele Fabbiani 8 febbraio 05 Quantità di moto e urti. Esercizio Un carrello di massa M = 0 kg è fermo sulle rotaie. Un uomo di massa m = 60 kg corre alla velocità v i =
DettagliDINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI
DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame 06 febbraio 01 D Esercizio 1. Nel meccanismo in figura la manovella AB (lunghezza L) ruota a velocità angolare α = costante. Alla sua estremità B un pattino
DettagliProva scritta del corso di Fisica e Fisica 1 con soluzioni
Prova scritta del corso di Fisica e Fisica 1 con soluzioni Prof. F. Ricci-Tersenghi 17/02/2014 Quesiti 1. Un frutto si stacca da un albero e cade dentro una piscina. Sapendo che il ramo da cui si è staccato
DettagliFacoltà di Farmacia - Anno Accademico A 18 febbraio 2010 primo esonero
Facoltà di Farmacia - Anno Accademico 2009-2010 A 18 febbraio 2010 primo esonero Corso di Laurea: Laurea Specialistica in FARMACIA Nome: Cognome: Matricola Aula: Canale: Docente: Riportare sul presente
DettagliEsame di Fisica per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni (Parte I):
Esame di Fisica per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Parte I: 06-07-06 Problema. Un punto si muove nel piano xy con equazioni xt = t 4t, yt = t 3t +. si calcolino le leggi orarie per le
DettagliSvolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 2013-2014 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a
DettagliCapitolo 12. Moto oscillatorio
Moto oscillatorio INTRODUZIONE Quando la forza che agisce su un corpo è proporzionale al suo spostamento dalla posizione di equilibrio ne risulta un particolare tipo di moto. Se la forza agisce sempre
DettagliMOTO DI UNA PARTICELLA IN UN CAMPO ELETTRICO
MOTO DI UNA PARTICELLA IN UN CAMPO ELETTRICO Sappiamo che mettendo una carica positiva q chiamata carica di prova o carica esploratrice in un punto vicino all oggetto carico si manifesta un vettore campo
DettagliEsercitazione VI - Leggi della dinamica III
Esercitazione VI - Leggi della dinamica III Esercizio 1 I corpi 1, 2 e 3 rispettivamente di massa m 1 = 2kg, m 2 = 3kg ed m 3 = 4kg sono collegati come in figura tramite un filo inestensibile. Trascurando
DettagliFisica Generale A 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione
Fisica Generale A 8. Esercizi sui Princìpi di Conservazione http://campus.cib.unibo.it/2462/ May 29, 2015 Esercizio 1 Un punto materiale di massa m = 0.1 kg è appoggiato su di un cuneo liscio, di massa
DettagliEsercitazione 3. Soluzione. F y dy = 0 al 2 dy = 0.06 J
Esercitazione 3 Esercizio 1 - Lavoro Una particella è sottoposta ad una forza F = axy û x ax 2 û y, dove û x e û y sono i versori degli assi x e y e a = 6 N/m 2. Si calcoli il lavoro compiuto dalla forza
DettagliUniversità del Sannio
Università del Sannio Corso di Fisica 1 Lezione 9 Prof.ssa Stefania Petracca 1 Considerazioni relative al significato del momento angolare I Il momento angolare L di un sistema materiale ammette un interpretazione
DettagliSoluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013
Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. / Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi June, Problema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che Quindi f (x) = cos x +. f (π) = cos π +
DettagliProblemi di Fisica per l ammissione alla Scuola Galileana Problema 1
Problemi di Fisica per l ammissione alla Scuola Galileana 014-015 Problema 1 Nella regione di spazio interna alla sfera S 1, centrata in O 1 e di raggio R 1, è presente una densità di carica di volume
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI
Indice 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 3 1.1 Equazioni fisicamente significative...................... 3 1.1.1 A cosa servono?............................. 3 1.1.2 Legge di Newton............................
DettagliProve scritte di Meccanica Razionale (testi e soluzioni)
Corso di laurea in Matematica SAPIENZA Università di Roma Prove scritte di Meccanica Razionale testi e soluzioni Paolo Buttà & Piero Negrini Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo SAPIENZA Università
DettagliSecondo Appello Estivo del corso di Fisica del
Secondo Appello Estivo del corso di Fisica del 25.7.2012 Corso di laurea in Informatica A.A. 2011-2012 (Prof. Paolo Camarri) Cognome: Nome: Matricola: Anno di immatricolazione: Problema n.1 Una semisfera
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Civile Questionario di Fisica Generale A
Corso di Laurea in Ingegneria Civile Questionario di Fisica Generale A I vettori 1) Cosa si intende per grandezza scalare e per grandezza vettoriale? 2) Somma graficamente due vettori A, B. 3) Come è definito
DettagliLa retta nel piano cartesiano
La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle
DettagliCinematica: derivate e integrali che ci servono: appunti
1. Cinematica: derivate e integrali che ci servono: appunti Primo esempio: moto uniforme Iniziamo con le derivate. Supponiamo una legge oraria del tipo: x(t) a+bt, dove a, b sono dei coefficienti costanti.
DettagliEsercitazioni di Fisica 1
Esercitazioni di Fisica 1 Ultima versione: 6 novembre 2013 Paracadutista (attrito viscoso). Filo con massa che pende da un tavolo. 1 Studio del moto di un paracadutista Vogliamo studiare il moto di un
DettagliAnalisi sismica di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dello Spettro di Risposta
Analisi sismica di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dello Spettro di Risposta Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1 Analisi sismica con lo spettro di risposta
DettagliTEMI RISOLTI DI MECCANICA RAZIONALE
TEMI RISOLTI DI MECCANICA RAZIONALE 1 PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE Corsi Meccanici I e II - Corso Aerospaziali, 30/6/1999 La lamina ABC omogenea di figura, triangolare isoscele e di massa M, è
DettagliEsercitazioni di Meccanica Razionale
Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Composizione di stati cinetici Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica
DettagliSistemi dinamici-parte 2 Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
Sistemi dinamici-parte 2 Parentesi di e trasformazioni AM Cherubini 11 Maggio 2007 1 / 25 Analogamente a quanto fatto per i sistemi lagrangiani occorre definire, insieme alla struttura del sistema, anche
Dettagli