Prove scritte di Meccanica Razionale (testi e soluzioni)

Transcript

1 Corso di laurea in Matematica SAPIENZA Università di Roma Prove scritte di Meccanica Razionale testi e soluzioni Paolo Buttà & Piero Negrini Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo SAPIENZA Università di Roma

2 Indice 1 Testi 3 11 Compito Compito 3 13 Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito Compito 30 0 Soluzioni 1 1 Soluzione Compito 1 1 Soluzione Compito 4 3 Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito

3 6 Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito 1 63 Soluzione Compito 65 3 Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito Soluzione Compito 30 8

4 1 Testi 11 Compito 1 In un piano verticale una sbarra materiale di massa M, di estremi A, B, lunghezza l, con distribuzione di massa omogenea, è libera di ruotare attorno al suo centro fisso O Sulla sbarra è fissato un punto materiale P di massa m ad una distanza l da B Su una retta immateriale orizzontale passante per O può scorrere senza attrito un punto materiale P 1 di ugual massa m Tra i punti P e P 1 si esercita una forza elastica di costante k, k > 0 Assunta la retta orientata come asse coordinato, sia x la corrispondente ascissa del punto P 1 e θ l angolo che la direzione AB forma con il suddetto asse Si chiede: 1 Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange Individuare le posizioni di equilibrio, al variare del parametro λ = mg kl, studiandone le relative proprietà di stabilità Si determinino quindi le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 3 Si consideri ora lo stesso sistema ma su un piano orizzontale Fissate le condizioni iniziali θ 0 = 0, θ 0 = 0, determinare i corrispondenti moti 1 Compito Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Una sbarretta omogenea AB, di massa M e lunghezza l, giace in tale piano ed ha l estremo A vincolato a scorrere senza attrito lungo l asse delle ascisse L estremo B della sbarretta è richiamato dall origine delle coordinate attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si denoti con x l ascissa del punto A e con θ l angolo che la direzione AB forma con l asse delle ascisse Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità al variare del parametro λ = Mg kl Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 3

5 13 Compito 3 Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Il baricentro G di una sbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza è vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = x / L estremo A della sbarretta è attratto dall asse delle ordinate tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si indichino con x l ascissa del punto G e con θ l angolo che il vettore GA forma con l asse delle ascisse 1 Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile Si modifichi il sistema assumendo che anche l estremo B della sbarretta è attratto dall asse delle ordinate tramite una molla ideale di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si scriva la lagrangiana del problema individuando due integrali primi del moto Quindi si discutano qualitativamente i moti del sistema, con particolare riguardo all esistenza di soluzioni periodiche non banali 14 Compito 4 Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l asse z diretto secondo la verticale ascendente Un punto materiale pesante P 1 di massa m è vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di centro l origine O, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O; x, y} Tale punto è attratto da un secondo punto pesante P, di ugual massa m, tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Il punto P è a sua volta vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di centro l origine O, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O; y, z} Si indichino con ϕ l angolo che il vettore 0P1 forma con l asse delle ascisse x e con θ l angolo che il vettore OP forma con l asse delle ordinate z Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 15 Compito 5 Una guida parabolica immateriale è libera di ruotare attorno l asse verticale u, passante per il punto fisso O Si introduca un sistema di riferimento 4

6 fisso {O; x, y, z}, con origine in O ed asse z diretto coincidente con l asse u e diretto come la verticale ascendente Si consideri un sistema di riferimento solidale alla guida {O; ξ, η, ζ}, con piano della guida π assegnato da η = 0, asse ζ coincidente con u e diretto come la verticale ascendente In questo sistema di coordinate la guida è rappresentata da ζ = a ξ, a > 0 Sia infine φ l angolo che π forma col piano fisso y = 0, contato in verso antiorario Sulla guida è libero di scorrere senza attrito un punto materiale P, di massa m Inoltre, fissato sulla guida nel punto di coordinata ξ = L, vi è il punto Q, di massa M 1 Si scrivano le coordinate dei punti P ed Q nel sistema fisso Si scriva di conseguenza la Lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Lagrange Si individui l integrale primo del sistema di Lagrange L corrispondente alla coordinata ciclica, e lo si denoti con P Si consideri poi il sistema lagrangiano ˆL, ad un grado di libertà, ottenuto restringendo l originale sistema sulla superficie assegnata da P = k, k R 3 Si considerino gli equilibri del sistema lagrangiano ˆL al variare del parametro λ =, studiando le relative proprietà di stabilità k ML ga 4 Si disegnino le orbite del sistema ˆL nello spazio delle fasi, nel caso λ > 1 16 Compito 6 Si consideri un cerchio rigido libero di ruotare attorno al suo diametro fissato su un asse verticale u Sia R il raggio del cerchio, O il suo centro, M la sua massa distribuita con densità uniforme µ Si assuma come sistema di riferimento fisso il sistema {O; x, y, z} con asse coordinato z diretto come l asse u contro orientato rispetto all accelerazione di gravità Sia poi φ l angolo che il piano solidale al disco forma con il piano fisso y = 0 Quindi, se indichiamo con {O; ξ, η, z} un sistema ortonormale solidale, l angolo φ è quello che l asse coordinato ξ forma con l asse coordinato x, mentre il piano solidale ha equazione η = 0 Sul cerchio è libero di scorrere senza attrito un punto materiale P di massa m Questo è richiamato dall asse u con una forza f proporzionale alla reciproca 5

7 distanza Precisamente, denotato con Q il piede della perpendicolare da P ad u, detta K una costante positiva la forza che si esercita su P è f = K P Q Infine, si denoti con ψ l angolo che individua la posizione di P sul cerchio Scelte come coordinate lagrangiane φ, ψ si risponda alle seguenti domande 1 Scrivere la lagrangiana del sistema Scrivere il sistema di Lagrange e determinarne gli integrali primi 3 Studiare le soluzioni del sistema di Lagrange in corrispondenza al dato iniziale φ0 = 0 In particolare, usando gli integrali primi, analizzare i moti della cordinata ψ, rappresentando le relative orbite nel piano delle fasi 17 Compito 7 Due punti materiali P 1 e P di uguale massa m sono vincolati agli estremi di un asta immateriale di lunghezza l il cui centro G è vincolato a muoversi su una guida circolare di raggio R R > l, fissa in un piano orizzontale π Si consideri un riferimento fisso ortonormale {O, i, j, k} con origine O nel centro della guida e versore k perpendicolare a π, orientato lungo la verticale ascendente Il punto P 1 è attratto, tramite una molla elastica di costante K, dal punto immateriale Q 1 situato sull asse k alla stessa quota di P 1 Analogamente P è attratto, tramite una molla elastica di uguale costante K, dal punto immateriale Q situato sull asse k alla stessa quota di P Sia θ [0, π l angolo che OG forma con la direzione i e si denoti con ψ l angolo che GP forma con la direzione k Si restringa il dominio di ψ all intervallo aperto 0, π e, detta H la proiezione di P sul piano π, sia infine ϕ [0, π l angolo che GH forma con i Si chiede: 1 Scrivere la lagrangiana Lθ, ϕ, ψ, θ, ϕ, ψ e determinare tre integrali primi del moto Utilizzando i suddetti integrali primi si dimostri che il problema lagrangiano è risolubile per quadrature In particolare si dimostri che si riduce ad un problema unidimensionale nella coordinata ψ 6

8 3 Si denoti con p ϕ l impulso coniugato alla coordinata ϕ Restringendosi al caso p ϕ 0 si discuta il diagramma delle orbite nello spazio delle fasi per il suddetto problema unidimensionale al variare del parametro λ = p ϕ 4Kml 4 4 Si determini una soluzione periodica del sistema lagrangiano completo 18 Compito 8 Sia π una lastra piana rigida, di distribuzione di massa omogenea, di forma quadrata con lato l, massa tootale M Si G il suo baricentro La lastra è vincolata a ruotare attorno ad una sua retta r immateriale orizzontale e parallela ad uno dei lati, passante per G Su un asse verticale passante per G è fissato l estremo Q di una molla elastica di costante K Tale molla si esercita sul punto materiale P di massa m, libero di muoversi senza attrito sulla lastra Si assuma una terna fissa levogira di assi i, j, k e origine il baricentro della lastra Siano X, Y, Z le corrispondenti coordinate Per definitezza si supponga la terna orientata in modo tale che Q 0, 0, Z 0, Z 0 0 Inoltre sia j il versore della retta r Sia c un versore normale a π Si denoti con φ l angolo contato in modo antiorario che c forma con k Siano poi x, y le coordinate del punto P relativamente ad un sistema solidale piano, con secondo asse coincidente con j, origine nel baricentro della lastra 1 Si scriva la lagrangiana del sistema, in funzione delle coordinate lagrangiane φ, x, y Si determini il moto della coordinata y del punto P 3 Si individuino le posizioni di equilibrio del sistema Si consideri in particolare il caso λ := mg KZ 0 0 K e si discuta la stabilità degli equilibri 4 Si consideri il caso λ = 0 e si determini esplicitamente il moto del sistema 7

9 19 Compito 9 Si consideri in un piano verticale Π una guida rettilinea immateriale Tale guida è libera di ruotare attorno ad un suo punto fisso O ed ha fissato su di essa, a distanza l da O, un punto materiale P di massa m Sull asta è poi libero di scorrere senza attrito il centro G di un disco omogeneo, di massa M e raggio R Il disco è libero di ruotare, mantenendosi nel piano Π Tra i punti P e G si esercita una forza elastica di costante K Siano ϕ l angolo che la direzione OP forma con l asse coordinato orizzontale, ψ l angolo di rotazione propria del disco ed s R l ascissa di G lungo la guida Assunti come parametri lagrangiani ϕ, ψ, s, si chiede: 1 Scrivere la lagrangiana del sistema, mostrando che Lϕ, ψ, s, ϕ, ψ, ṡ = L 1 ϕ, s, ϕ, ṡ + L ψ e determinare quindi il moto di ψ Si consideri ora il sistema corrispondente ad L 1 ϕ, s, ϕ, ṡ Se ne determinino gli equilibri e le relative proprietà di stabilità al variare del parametro KlM + m λ = M g nell insieme 0, 1 1, + 3 Si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 110 Compito 10 Sia U un asse verticale fisso, orientato come la verticale ascendente Un piano Π è libero di ruotare attorno ad U il piano è considerato senza massa Su di un asse orizzontale V, fisso in questo piano e passante per il punto O U, è disposto il centro Q di un cerchio C, solidale a Π, di massa anch essa ignorabile, raggio r, con r < OQ := R Infine un punto materiale P, di massa m, è libero di scorrere senza attrito lungo C Su P si esercita una forza di richiamo elastica, di costante elastica k Il centro di applicazione della forza è fissato nel punto D U al di sopra di O; la distanza d := OD è scelta tale che k = mg d 1 Si scriva la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate lagrangiane l angolo θ che identifica P su C e l angolo φ che il piano Π 8

10 forma con il piano Y = 0 di un sistema di coordinate fisso {O; X, Y, Z} l asse Z essendo diretto lungo U Dimostrare che una delle due coordinate è ciclica e scrivere quindi, utilizzando il corrispondente integrale primo, la lagrangiana del sistema ridotto 3 Determinare gli equilibri di tale sistema ridotto al variare dei parametri Discuterne quindi le relative proprietà di stabilità 4 Mostrare che il sistema completo ammette soluzioni periodiche esibendone almeno una 111 Compito 11 Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Due punti materiali pesanti P 1 e P di uguale massa m sono vincolati agli estremi di un asta immateriale di lunghezza Il centro C di tale asta è libero di scorrere senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = x ed è richiamato dal punto Q di coordinate 0, 1 attraverso una molla di costante elastica K > 0 Si indichi con x l ascissa del punto C e con ϕ l angolo che P 1 P forma con l asse delle ascisse Si richiede: 1 Calcolare la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate x, ϕ, mostrando che Lx, ϕ, ẋ, ϕ = L 1 x, ẋ + L ϕ, ϕ Integrare esplicitamente il moto della coordinata ϕ 3 Discutere qualitativamente il moto della variabile x al variare del parametro λ = mg K 4 Si calcoli, nel caso λ = 1, la frequenza delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile relativa alla lagrangiana L 1 x, ẋ 5 Esistono soluzioni non globali delle equazioni del moto nel caso in cui K = 0 ovvero si escluda la molla? 6 Esistono soluzioni periodiche del problema completo t xt, ϕt tali che xt e ϕt siano entrambe funzioni non costanti? 9

11 11 Compito 1 Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano verticale Π, con l asse delle ordinate y diretto secondo la verticale ascendente Un punto materiale P di massa m giace su tale piano ed è vincolato a rimanere a distanza costante l > 0 dal punto materiale Q di uguale massa m, che è libero di scorrere lungo l asse delle ascisse x Il punto P è richiamato dal punto geometrico C di coordinate 0, l attraverso una molla di costante elastica k > 0 Si richiede: 1 Scrivere la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate l ascissa x del punto Q e l angolo θ che il vettore QP forma con la direzione verticale discendente Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del parametro λ = mg kl Discuterne quindi le relative proprietà di stabilità restringendosi al caso λ 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile nel caso λ > 113 Compito 13 Un punto materiale pesante P di massa m è vincolato senza attrito alla superficie di rotazione d asse verticale x 3 ascendente, descritta in coordinate cartesiane dall equazione x 3 = log x 1 + x Si richiede: 1 Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate polari r, ϕ definite da x 1 = r cos ϕ, x = r sin ϕ Determinare due integrali primi del sistema 3 Discutere i moti del punto P utilizzando gli integrali primi e restringendosi al caso di condizioni iniziali tali che ϕ0 0 10

12 4 Determinare almeno una soluzione periodica delle equazioni del moto 5 Discutere i moti del punto P per condizioni iniziali tali che ϕ0 = 0 Esistono in tal caso soluzioni non globali delle equazioni del moto? 114 Compito 14 Su un piano verticale sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Due punti materiali P 1 e P di uguale massa m sono vincolati a scorrere senza attrito lungo una guida curvilinea di equazione y = ax, a 0 I punti sono soggetti alla forza peso ed inoltre si attraggono reciprocamente attraverso una forza di energia potenziale U in x 1, x = k 4 x 1 x 4, k > 0, essendo x 1 ed x le ascisse dei punti P 1 e P rispettivamente Si richiede: 1 Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate lagrangiane x 1, x Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del parametro a 0 e discuterne le relative proprietà di stabilità 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile nel caso a > 0 4 Integrare le equazioni del moto nel caso in cui a = Compito 15 Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Il baricentro C di una sbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza è vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida rettilinea di equazione y = x L estremo A della sbarretta è attratto dal punto d origine O del sistema di riferimento tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla L estremo B della sbarretta è attratto dall asse delle ordinate tramite una molla ideale di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si indichino con x l ascissa del punto C e con θ l angolo che il vettore CA forma con l asse delle ascisse 11

13 1 Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità al variare del parametro λ = mg 4k, limitandosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile Si modifichi il sistema bloccando il baricentro C della sbarretta nella posizione x = 0 Si discutano qualitativamente i moti del sistema, rappresentando le orbite nello spazio delle fasi 116 Compito 16 Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Su tale piano giace una sbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza 1 L estremo A della sbarretta è vincolato a scorrere senza attrito lungo l asse delle ascisse L estremo B è attratto dal punto Q di coordinate 0, 1 tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si indichino con x l ascissa del punto A e con θ l angolo che il vettore AB forma con l asse delle ascisse Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità al variare del parametro λ = 1 mg k, limitandosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 117 Compito 17 Un punto materiale di massa m è libero di muoversi su un piano orizzontale ed è soggetto all azione di una forza di energia potenziale Ux, y = λx + 1 y log1 + x + y, essendo x, y le coordinate del punto in un riferimento ortonormale {O; x, y} nel piano e λ è un parametro positivo 1 Si scriva la lagrangiana del sistema e si individuino le posizioni di equilibrio al variare del parametro λ > 0; se ne discuta la stabilità limitandosi ai casi in cui essa è riconosciuta dalla parte lineare Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 1

14 Si consideri ora il caso λ = 1 Si individuino due integrali primi del moto e si determini almeno una soluzione periodica delle equazioni del moto 118 Compito 18 Sia {O; x, y} un riferimento ortonormale in un piano orizzontale Un punto materiale P di massa m = 1 è vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione ed è soggetto al campo di forza y = x4 x F x, y = x 1 1 Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando come coordinata l ascissa x del punto P Si discuta qualitativamente il moto di P In particolare si disegni il ritratto delle fasi, specificando il numero di orbite su ciascun livello di energia, ed il tipo di moto corrispondente a ciascuna di esse Esistono moti che non sono definiti globalmente nel tempo? 3 Si calcoli la frequenza delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 4 Sia xt la soluzione di dati iniziali x0 = 0, ẋ0 = 1 Calcolare 119 Compito 19 lim ẋt t + Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l asse z diretto secondo la verticale ascendente Un punto materiale pesante P di massa m è vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie cilindrica di equazione x + y = 1 Il punto P è richiamato dall origine O tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Tale punto è inoltre sottoposto alla forza di energia potenziale U α x, y, z = αyz 13

15 con α un parametro positivo Si denoti con z la quota del punto P e con θ l angolo che la direzione OQ forma con l asse delle ascisse, essendo Q la proiezione di P sul piano coordinato orizzontale 1 Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le proprietà di stabilità al variare del parametro λ = mg, limitandosi ai casi in cui esse α sono riconosciute dalla parte lineare 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 4 Posto α = 0, si determini esplicitamente la soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange di dati iniziali 10 Compito 0 z0 = mg k, ż0 = 0, θ0 = 1, θ0 = 1 Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l asse z diretto secondo la verticale ascendente Un punto materiale pesante P di massa m è vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = x y Il punto P è richiamato dall origine O tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla 1 Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange, utilizzando le coordinate cartesiane orizzontali x, y del punto P come coordinate lagrangiane Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le proprietà di stabilità al variare del parametro λ = mg, limitandosi ai casi in cui esse k sono riconosciute dalla parte lineare Facoltativo: studiare anche il caso critico in cui le proprietà di stabilità non sono riconosciute dalla parte lineare 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 14

16 11 Compito 1 Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano orizzontale Due sbarrette omogenee AB ed A B, di uguale massa m e lunghezza l = 3, giacciono su tale piano La sbarretta AB ha gli estremi vincolati a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di raggio r = e centro O = 0, 0 Analogamente, la sbarretta A B ha gli estremi vincolati a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di uguale raggio e centro O = d, 0, essendo d un parametro positivo I baricentri G, G delle sbarrette AB ed A B si attraggono attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si denotino con θ e φ gli angoli che le direzioni OG e O G rispettivamente formano con l asse delle ascisse 1 Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità al variare del parametro d > 0, limitandosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 1 Compito Sia {O; x 1, x, x 3 } un sistema di riferimento ortonormale con l asse x 3 diretto secondo la verticale ascendente Un punto materiale pesante P di massa m è vincolato senza attrito alla superficie di equazione x 3 = x 1 + x 1 log x 1 + x Il punto P è inoltre sottoposto all azione di una forza costante F = f e 1, f R, essendo e 1 il versore dell asse x 1 1 Utilizzando le coordinate cilindriche r, ϕ, x 3, r > 0, ϕ [0, π si scriva la lagrangiana del sistema Nel caso f 0 si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità al variare dei parametri in gioco Si consideri il caso f = 0 Utilizzando gli integrali primi del sistema si discutano qualitativamente i moti del punto P Si determini inoltre una soluzione periodica delle equazioni del moto 15

17 13 Compito 3 Si considerino due sistemi di riferimento ortonormali, levogiri, l uno fisso O, X, Y, Z l altro O, x, y, Z, libero di ruotare attorno all asse coordinato Z Tale asse è orientato come la verticale ascendente Si denoti con φ l angolo che l asse coordinato x forma con l asse coordinato X L angolo è contato positivamente in senso antiorario a partire dall asse X Sul piano x = 0 è posto un cerchio immateriale C, di centro O e raggio di lunghezza 1 Su C si trovano due punti P 1 e P di rispettive masse m 1 ed m Il punto P 1 può scorrere liberamente sul cerchio e la sua posizione è individuata dalla anomalia θ, contata positivamente in senso antiorario a partire dall asse y Il punto P è fisso su C in x, y, Z = 0, 1, 0, ed è sottoposto ad una forza schematizzata come quella di molla di costante elastica k k > 0 e punto di applicazione in X = Z = 0, Y = L, L > 0 1 Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Lagrange Si individuino le soluzioni di equilibrio 3 Si scelga una posizione di equilibrio stabile e in corrispondenza si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni 4 Si determini il moto di φ in corrispondenza alle condizioni iniziali φ 0 = π, φ0 = 0 14 Compito 4 In un piano verticale è posta un asta omogenea di massa M e lunghezza l, libera di ruotare attorno ad un suo estremo fisso Si consideri un sistema di coordinate {O; x, y} con origine O nell estremo fisso, asse orizzontale x ed asse verticale y diretto secondo la verticale ascendente Detto G il baricentro dell asta, si consideri la retta immateriale r, passante per G e perpendicolare all asta stessa Si orienti questa retta in modo tale che il corrispondente versore ˆn si allinei alla direzione OG mediante una rotazione oraria si π/ Sia P un punto materiale di massa m libero di scorrere su r e sia s la sua coordinata su r, precisamente GP = s ˆn Il punto è richiamato da G tramite una molla elastica di costante k Sia infine θ l angolo che l asta forma con l asse verticale, contato in verso antiorario, con θ = 0 corrispondente alla posizione più bassa dell estremo libero dell asta 16

18 1 Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate s, θ Si determinino le posizioni di equilibrio del sistema e le relative proprietà di stabilità al variare del parametro positivo λ = M + m m g kl, limitandosi ai casi in cui tali proprietà sono riconosciute dalla parte lineare 3 Si cambi ora problema abolendo la molla k = 0 Si studino le posizioni di equilibrio e le loro proprietà di stabilità per la corrispondente lagrangiana 15 Compito 5 Si consideri un piano orizzontale Π e su di esso una guida circolare C di centro O e raggio unitario La guida è immateriale Si assuma un sistema di riferimento ortonormale {O; x, y, z}, con asse z orientato lungo la verticale ascendente Su tale asse è libero di scorrere un punto P 1 di massa m 1 Sulla guida circolare C è libero di scorrere un punto P di massa m Infine, sull asse x è libero di scorrere un punto P 3 di massa m 3 Tra il punto P 1 ed il punto P si esercita una forza elastica una molla di costante k, k > 0 Tra il punto P ed il punto P 3 si esercita una forza elastica una molla di costante k, k > 0 Si denoti con θ l anomalia angolare che il raggio vettore di P forma con l asse x Si denoti con z la coordinata di P 1 sull asse verticale, con x la coordinata di P 3 sull asse corrispondente 1 Si scriva la lagrangiana Lx, θ, z, ẋ, θ, ż del sistema, mostrando che si separa in due lagrangiane indipendenti, Lz, θ, x, ż, θ, ẋ = L 1 z, ż + L θ, x, θ, ẋ Si studi per primo il sistema lagrangiano di lagrangiana L 1 z, ż, determinandone la soluzione generale e, in particolare, le soluzioni di equilibrio 3 Si passi quindi allo studio del sistema di lagrangiana L θ, x, θ, ẋ, determinandone le soluzioni di equilibrio ed il loro carattere di stabilità 4 Scelta una soluzione di equilibrio stabile, si determinino le frequenze dei modi normali 17

19 16 Compito 6 Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Una sbarretta omogenea AB, di massa m e lunghezza l, giace in tale piano ed ha gli estremi vincolati a scorrere senza attrito lungo una guida circolare di raggio r = l e centro l origine O Un punto materiale P di uguale massa m è libero di scorrere senza attrito lungo una guida rettilinea immateriale passante per gli estremi A e B della sbarretta I punto P è richiamato dal baricentro G della sbarretta attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Detto e il versore di GB, si denoti con ξ l ascissa del punto materiale P tale che GP = ξ e, e con θ l angolo che la direzione OG forma con l asse delle ascisse 1 Scrivere la lagrangiana del sistema Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità al variare del parametro α = kl, limitandosi ai casi in cui la stabilità è mg riconosciuta dalla parte lineare 3 Si modifichi il problema trascurando la forza peso Individuare due integrali primi del moto e mostrare come, mediante questi, l integrazione delle equazioni del moto si riconduce allo studio di un opportuno problema unidimensionale efficace 17 Compito 7 Su un piano orizzontale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale Su tale piano si muovono due sbarrette omogenee di lunghezza l e massa m di estremi rispettivamente A, B e B, C, incernierate tra loro in B ma libere di ruotare senza attrito Gli estremi A e C sono inoltre vincolati a scorrere senza attrito lungo l asse delle ascisse L estremo A è richiamato dal punto Q 1 di coordinate l, 0 attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Analogamente, l estremo C è richiamato dal punto Q di coordinate l, 0 attraverso una molla di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si scelgano come variabili lagrangiane l ascissa x di B e l angolo θ che la direzione AB forma con l asse delle ascisse 1 Scrivere la lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Eulero- Lagrange Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità 18

20 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 4 Trovare se esistono condizioni iniziali per cui il moto sia armonico non solo per piccole oscillazioni ma anche per oscillazioni finite 18 Compito 8 Una sbarra rigida omogenea pesante OA di lunghezza l e massa M = m è posta in un piano verticale ed è libera di ruotare senza attrito attorno al suo estremo O Per l altro estremo passa una guida rettilinea di massa trascurabile ed ortogonale alla sbarra Lungo tale guida si muove senza attrito un punto materiale pesante P di massa m Tale punto è richiamato dall estremo O attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si scelgano come variabili lagrangiane l angolo θ che la direzione OA forma con la verticale discendente e l ascissa ξ del punto P lungo la guida 1 Scrivere la lagrangiana del sistema Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità al variare del parametro α = kl, limitandosi ai casi in cui la stabilità è mg riconosciuta dalla parte lineare 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 19 Compito 9 Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l asse z diretto secondo la verticale ascendente Un punto materiale pesante P di massa m è vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = xy Il punto P è richiamato dall origine O tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla 1 Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate cartesiane orizzontali x, y del punto P come coordinate lagrangiane Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le proprietà di stabilità al variare del parametro positivo λ = mg, limitandosi ai casi in k cui esse sono riconosciute dalla parte lineare 19

21 3 Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 4 Studiare le proprietà di stabilità delle posizioni di equilibrio nel caso critico, ovvero quando esse non sono riconosciute dalla parte lineare 130 Compito 30 Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Una sbarra omogenea AB, di massa M e lunghezza l, giace in tale piano ed ha l estremo A vincolato a scorrere senza attrito lungo l asse delle ordinate Il baricentro G della sbarra è richiamato dall origine delle coordinate attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla Si denoti con y l ordinata del punto A e con θ l angolo che la direzione AB forma con l asse delle ascisse 1 Si scriva la lagrangiana del sistema Si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilità 3 Si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile 4 Si modifichi ora il problema bloccando l estremo A della sbarra alla quota ȳ = Mg k Si discutano qualitativamente i moti del sistema, rappresentando le orbite nello spazio delle fasi θ, θ 0

22 Soluzioni 1 Soluzione Compito 1 1 Siano e 1 ed e rispettivamente i versori degli assi coordinati orizzontale e verticale ascendente Si ha OP = l cos θ e 1 + l sin θ e, OP 1 = x e 1, cosicché v P = l θ sin θ e 1 + l θ cos θ e, v P1 = ẋ e 1 Poiché il baricentro della sbarra è fissato in O l energia cinetica della sbarra è T sbarra = 1 Iω = Ml θ, 6 essendo I = M l l l dr r = Ml 3 il momento di inerzia della sbarra rispetto al baricentro ed ω = θ la velocità angolare della sbarra Quindi l energia cinetica totale è T = T sbarra + m v P + m v P1 = m Ml ẋ + + ml θ, 6 8 Il punto fisso della sbarra coincide con il suo baricentro e la quota del punto P 1 non varia Quindi l energia potenziale è [ U = mg OP e + k P P 1 = mgl sin θ + k x l ] cos θ + l 4 sin θ, ovvero, a meno di una costante additiva, U = k x lx cos θ + 1 λl sin θ, avendo introdotto il parametro λ = mg kl Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è L = 1 [ ] Ml mẋ + + ml θ k x lx cos θ λl sin θ e le equazioni di Eulero-Lagrange sono mẍ = kx + 1 kl cos θ, Ml + ml4 θ = 1 3 klx sin θ 1 4 kl λ cos θ 1

23 Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 x = kx + 1 kl cos θ = 0, ovvero { L 0 θ = 1 klx sin θ 1 4 kl λ cos θ = 0, x = l cos θ, sin θ + λ cos θ = 0 Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni 0, ± π Se λ 1 si hanno inoltre le soluzioni x ±, θ ± = ± l 1 λ, π π ± arcsin λ Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k 1 Hx, θ = kl sin θ kl sin θ 1 klx cos θ kl λ sin θ 1 Quindi e H 0, π = k 1 kl 1 kl 1 4 kl λ, H 0, π k 1 = kl 1 kl 1 4 kl λ k 1 Hx ±, θ ± = klλ 1 klλ 1 4 kl da cui si ricava che 0, π è instabile, 0, π è stabile se λ > 1 ed instabile se λ < 1, mentre le posizioni x ±, θ ± sono stabili se λ < 1 ovvero quando esistono distinte da 0, π Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione 0, π biforca, la stabilità non è riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo Osserviamo però che in tal caso si ha L 0 = k, x lx cos θ + 1 l sin θ = k x l cos θ + kl 8 gθ, con gθ = cos θ sin θ = 1 + sin θ Poiché gθ possiede un massimo proprio in θ = π, si ricava immediatamente che 0, π è un

24 punto di massimo proprio di L 0 Siamo quindi nelle ipotesi del teorema di Lagrange-Dirichlet, dunque 0, π è stabile anche per λ = 1 Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione 0, π per λ > 1 Sia A la matrice dell energia cinetica calcolata in 0, π, ovvero A = m 0 0 Ml 3 + ml 4 Posto H = H 0, π, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± = µ±, essendo µ ± le radici dell equazione caratteristica k µm 1 deth µa = det kl 1 kl 1 4 kl λ µ Ml 3 + ml 4 ovvero Mm 3 + m 1 l µ + kl 4 4 mλ + M 3 + m µ k l = 0, da cui, ponendo α = m M m 1, 4 k ω ± = αλ + 1 ± αλ + 1 m + 4α = 0 3 Quando il sistema è posto su un piano orizzontale la lagrangiana è Lx, θ, ẋ, θ = 1 [ ] Ml mẋ + + ml θ k 3 4 x 1 klx cos θ e le equazioni di Eulero-Lagrange sono mẍ = kx + 1 kl cos θ, Ml + ml θ = 1 klx sin θ 3 Cerchiamo le soluzioni di dati iniziali x0, ẋ0 = x 0, ẋ 0 e θ0, θ0 = 0, 0 Osserviamo che la seconda equazione è identicamente soddisfatta 3

25 dalla funzione θt 0 che soddisfa le condizioni iniziali Possiamo quindi ricercare la soluzione delle equazioni nella forma xt, θt = xt, 0 Sostituendo si ricava che xt deve essere soluzione dell equazione mẍ = kx + 1 kl, che è un oscillatore armonico nella variabile y = x 1 l Quindi la soluzione del problema è xt = l k + A cos m t + φ, θt = 0, dove le costanti A > 0, φ [0, π sono fissate dalle condizioni iniziali: A cos φ = x 0 l, A k m sin φ = ẋ 0 Soluzione Compito Siano e 1 ed e i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente Si ha OA = x e 1, OB = x + l cos θ e 1 + l sin θ e, e quindi, detto G il baricentro della sbarretta, OG = x + l cos θ e 1 + l sin θ e, cosicché v G = ẋ l θ sin θ e 1 + l θ cos θ e Per il teorema di Koenig, l energia cinetica della sbarretta è T = M v G + 1 Iω, essendo I = M l/ l l/dr r = Ml 1 il momento di inerzia della sbarretta rispetto al baricentro ed ω = θ la velocità angolare della sbarretta Quindi [ T = M ẋ l ] θ sin θ + l 4 θ cos θ + Ml 4 θ, 4

26 da cui T = M [ ] ẋ + l 3 θ l sin θẋ θ L energia potenziale è U = Mg OG e + k OB = Mgl sin θ + k [ x + l cos θ + l sin θ ], ovvero, a meno di una costante additiva, U = k x + klx cos θ + Mgl sin θ Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è Lx, θ, ẋ, θ = M [ ] ẋ + l 3 θ l sin θẋ θ k x klx cos θ kl λ sin θ, avendo introdotto il parametro λ = Mg kl Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = kx kl cos θ = 0, x L 0 θ = klx sin θ kl λ cos θ = 0, ovvero { x = l cos θ, sin θ + λ cos θ = 0 Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni 0, ± π Se λ 1 si hanno inoltre le soluzioni x ±, θ ± = l 1 λ, π π ± arcsin λ Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k kl sin θ Hx, θ = kl sin θ klx cos θ + kl λ sin θ Quindi H 0, π = k kl kl kl λ, H 0, π k kl = kl kl λ 5

27 e Hx ±, θ ± = k klλ klλ kl da cui si ricava che 0, π è instabile, 0, π è stabile se λ > 1 ed instabile se λ < 1, mentre le posizioni x ±, θ ± sono stabili se λ < 1 ovvero quando esistono distinte da 0, π Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione 0, π biforca, la stabilità non è riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo Osserviamo però che in tal caso si ha L 0 = k x klx cos θ kl sin θ = k x + l cos θ + kl gθ, con gθ = cos θ sin θ = 1 + sin θ Poiché gθ possiede un massimo proprio in θ = π, si ricava immediatamente che 0, π è un punto di massimo proprio di L 0 Siamo quindi nelle ipotesi del teorema di Lagrange-Dirichlet, dunque 0, π è stabile anche per λ = 1 Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione 0, π per λ > 1 Sia A la matrice dell energia cinetica calcolata in 0, π, ovvero M Ml A = Ml Ml 3 Posto H = H 0, π, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± = µ±, essendo µ ± le radici dell equazione caratteristica, ovvero da cui k µm kl µ Ml deth µa = det kl µ Ml kl λ µ Ml 3 M l 1 µ + Mkl ω ± = λ µ + k l λ 1 = 0, 3 k 6λ 4 ± 36λ M 60λ + 8 = 0 3 Soluzione Compito 3 1 Siano e 1 ed e i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente Si ha OG = x e 1 + x e, v G = ẋ e 1 + xẋ e 6

28 Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a G è I = m 1 1 ds s = m 3 Quindi l energia cinetica del sistema è T = m v G + 1 I θ = m [1 + x ẋ + 13 ] θ Essendo l energia potenziale è x OA = x + cos θ e sin θ e, U = U molla + U peso = k x + cos θ + mg x, cosicché la lagrangiana L = T U = L + L 0 è Lx, θ, ẋ, θ = m [1 + x ẋ + 13 ] θ k x + cos θ mg x Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = k + mgx k cos θ = 0, x L 0 θ = kx + cos θ sin θ = 0 Per ogni valore dei parametri si hanno le quattro soluzioni x 1, θ 1 = 0, π, x, θ = 0, 3π, x 3, θ 3 = k k k + mg, 0, x 4, θ 4 = k + mg, π Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k mg k sin θ Hx, θ = k sin θ k sin θ + kx + cos θ cos θ Quindi k mg k Hx 1, θ 1 = k k k mg k, Hx, θ = k k, 7

29 k mg 0 Hx 3, θ 3 = Hx 4, θ 4 = 0 k k+mg + k, da cui si ricava che x 1, θ 1 e x, θ sono stabili mentre x 3, θ 3 e x 4, θ 4 sono instabili Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione x 1, θ 1 Sia A la matrice dell energia cinetica calcolata in x 1, θ 1, ovvero A = m 0 0 m 3 Posto H = Hx 1, θ 1, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω ± = µ±, essendo µ ± le radici dell equazione caratteristica ovvero k mg mµ k deth µa = det k k m 3 µ m da cui, posto λ = mg k, 3 µ + m 4k + mgµ + mgk = 0, 3 ω ± = k 4 + λ ± λ 4λ + 16 m = 0 Essendo x OB = x cos θ e 1 + sin θ e, l energia potenziale del sistema con la molla aggiuntiva è U = k x + cos θ + k x cos θ + mg x = cosicché la lagrangiana L = T U è Lx, θ, ẋ, θ = L 1 x, ẋ + L θ, θ k + mg x + k cos θ, con L 1 x, ẋ = m 1 + x ẋ L θ, θ = m 6 θ k cos θ k + mg x 8

30 Il problema è completamente separato nei due problemi unidimensionali di lagrangiane L 1 ed L Sono quindi integrali primi del moto le corrispondenti energie x E 1 E 1 x, ẋ = m 1 + x ẋ + E θ, θ = m 6 θ + k cos θ k + mg x Consideriamo i moti sul livello E 1 x, ẋ = E 1, E θ, θ = E Se E 1 = 0 il moto della coordinata x è stazionario: xt = 0; se E 1 > 0 il moto di x è periodico di periodo x+ E 1 m1 + x T 1 E 1 = dx E 1 k + mgx, x E 1 ±E 1 = k + mg Se E = 0 il moto della coordinata θ è stazionario: θt = π o θt = 3π Se 0 < E < k il moto di θ è periodico attorno a θ = π od a θ = 3π, di uguale periodo θ+ E 1 m T E = dθ 6E k cos θ, θ E ±E 1 = ± arccos k θ E 1 Se E = k il moto di θ è stazionario, θt = 0 o θt = π, oppure lungo un orbita eteroclina che connette tali punti Infine, se E > k, il moto di θ è periodico con rotazioni complete della barretta di periodo π m T E = dθ 6E k cos θ 0 Per avere moti periodici non banali del sistema completo è necessario che le energie E 1 0 ed E 0, E k, siano scelte in modo tale che esistano interi N, M per cui NT 1 E 1 = MT E 4 Soluzione Compito 4 Siano e 1, e ed e 3 i versori degli assi coordinati x, y e z rispettivamente Si ha OP 1 = cos ϕ e 1 + sin ϕ e, OP = sin θ e + cos θ e 3 L energia cinetica del sistema è T = m vp1 + v P = m ϕ + θ, 9

31 mentre l energia potenziale è U = U molla + U peso = k P 1 P + mg OP1 + OP e3 = k sin ϕ sin θ + mg cos θ + costante, cosicché la lagrangiana L = T U = L + L 0 è Lϕ, θ, ϕ, θ = m ϕ + θ + k sin ϕ sin θ mg cos θ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = k cos ϕ sin θ = 0, ϕ L 0 θ = k sin ϕ cos θ + mg sin θ = 0 Per ogni valore dei parametri si hanno le otto soluzioni π ϕ i, θ i = 0, 0, 0, π, π, 0, π, π,, arctan λ, π π, arctan λ,, π arctan λ, π, π + arctan λ, i = 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, avendo posto λ = k mg Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è Si ha λ sin ϕ sin θ λ cos ϕ cos θ Hϕ, θ = mg λ cos ϕ cos θ λ sin ϕ sin θ + cos θ Hϕ i, θ i = mg 0 λ cos ϕ i cos θ i λ cos ϕ i cos θ i 0 λ Hϕ i, θ i = mg cos θ i 0 0 λ + 1 cos θ i, i = 1,, 3, 4,, i = 5, 6, 7, 8 Essendo det Hϕ i, θ i = k per i = 1,, 3, 4 e cos θ i > 0 se i = 5, 6, le prime sei posizioni di equilibrio sono instabili Viceversa, cos θ i < 0 se i = 7, 8, dunque gli equilibri ϕ 7, θ 7 e ϕ 8, θ 8 sono stabili 30

32 Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione ϕ 7, θ 7 = π, π arctan λ La matrice dell energia cinetica è costante m 0 A = 0 m Poiché sia la matrice A che Hϕ 7, θ 7 sono diagonali, le frequenze delle piccole oscillazioni si determinano immediatamente: ω = k gλ λ cos θ 7 = m λ + 1, ω + = λ k gλ + 1 cos θ 7 = + 1, m λ essendo gλ = k m e cos θ 7, sin θ 7 = 1 λ +1, 5 Soluzione Compito 5 λ λ +1 Le coordinate assolute e le coordinate del sistema solidale sono legate da x = ξ cos φ η sin φ y = ξ sin φ + η cos φ z = ζ Quindi OP = ξ cos φ ξ sin φ a ξ, OQ = Ne consegue che l energia cinetica del sistema è e l energia potenziale è T = m 1 + ξ ξ + φ Quindi la lagrangiana si scrive L = m 1 + ξ ξ + φ U = m gaξ L cos φ L sin φ a L mξ + ML, mξ + ML m gaξ 31

33 La ciclicità di φ comporta l esistenza dell integrale primo P = φmξ + ML Si conserva inoltre l energia meccanica E = m 1 + ξ ξ + φ mξ + ML m gaξ Fissato il livello P = k, il sistema ristretto ha quindi lagrangiana ˆL = m 1 + ξ ξ m gaξ Gli equilibri sono assegnati dai punti critici di ovvero le soluzioni di che sono ˆL 0 = m gaξ + ξm k mξ + ML k mξ + ML, k ga + mξ + ML = 0 ξ = 0, ξ ± = ± 1 m k ga ML Ovviamente la soluzione ξ = 0 esiste per ogni valore di k, mentre ξ ± esistono solo se k ga > ML, cioè se λ > 1 Per conoscere la stabilità delle soluzioni di equilibrio esaminiamo la derivata seconda di ˆL0 Si ha d ˆL0 dξ = m k ag + mξ + ML 4 k mξ mξ + ML 3 Quindi ξ = 0 è un massimo propio per λ < 1 e quindi equilibrio stabile, mentre è un minimo proprio per λ > 1, quindi equilibrio instabile Al contrario, quando ξ ± esistono cioè per per λ > 1 sono massimi per ˆL 0 e quindi equilibri stabili Per λ = 1, l equilibrio ξ = 0 è multiplo, quindi la derivata seconda è nulla e l esame della stabilità abbisogna di ulteriori investigazioni Si può facilmente vedere dal grafico dell energia potenziale che in effetti, in questo caso, ξ = 0 è equilibrio stabile 3

34 6 Soluzione Compito 6 La relazione tra coordinate solidali e coordinate fisse è data da x = ξ cos φ η sin φ y = ξ sin φ + η cos φ z = ζ Quindi, il generico punto solidale al cerchio può essere individuato tramite le coordinate x = R cos χ cos φ y = R cos χ sin φ z = R sin χ Al variare di χ tra 0 e π otteniamo tutti i punti del cerchio Le coordinate del punto P, libero di muoversi sul cerchio sono invece x = R cos ψ cos φ y = R cos ψ sin φ z = R sin ψ L energia cinetica del cerchio è puramente rotazionale Si ha T C = φ R3 µ L energia cinetica del punto P è Infine, l energia potenziale è Pertanto π 0 cos χdχ = R 4 M φ T P = R m φ cos ψ + ψ V = mgr sin ψ + K R cos ψ L = R 4 M φ + R m φ cos ψ + ψ mgr sin ψ K R cos ψ Quindi le equazioni di Lagrange sono d dt [R M + m cos φ] = 0 d dt [R m ψ] = R m φ K cos ψ sin ψ mgr cos ψ 33

35 da cui gli integrali primi, [ P = R M ] + m cos ψ φ, E = R 4 M φ + R m φ cos ψ + ψ + mgr sin ψ + K R cos ψ In particolare, eliminando φ dalla prima equazione, equivalentemente otteniamo P φ = R M + m cos ψ, E = R m ψ + mgr sin ψ + K R cos P ψ + R M + m cos ψ Consideriamo ora i moti corrispondenti alla condizione iniziale φ0 = 0 Essi soddisfano allora le condizioni P = 0, E = R m ψ + mgr sin ψ + K R cos ψ, perciò la coordinata ψ è governata dalla stessa legge del moto unidimensionale di lagrangiana ridotta L r = R m ψ mgr sin ψ K R cos ψ Basta quindi, per conoscere il comportamento delle orbite, studiare la funzione V Si ha V = cos ψ[mgr K R sin ψ], quindi abbiamo sempre i due equilibri ψ 1, = ± π Se poi λ := mg KR < 1 si aggiungono gli equilibri Si ha infine ψ 3 = arcsin mg KR, ψ 4 = π arcsin mg KR V = KR {sin ψ[λ sin ψ] cos ψ} Dunque ψ 1 è stabile se λ < 1 instabile se λ > 1, ψ 1 è stabile Nel caso λ < 1 si vede subito che ψ 3,4 sono minimi per V e quindi stabili Il grafico di V nei due casi λ < 1 e λ > 1 permette subito di tracciare i corrispondente grafici delle orbite delle soluzioni nel piano delle fasi 34

36 7 Soluzione Compito 7 1 Si ha OP = OG + GP, OP 1 = OG + GP1 con GP 1 = GP a causa del vincolo Quindi, posto v G = d OG, dt v = d GP, dt l energia cinetica del sistema è T = m v G + v + m v G v = m v G + m v Ma mentre OG = R cos θ i + sin θ j GP = GH + HP = l sin ψ cos ϕ i + sin ϕ j + l cos ψ k da cui L energia potenziale è V = K T = mr θ + ml sin ψ ϕ + ml ψ Q 1 P 1 + Q P + mg z P1 + z P Ma per cui z P1 = z P, V = K Q P = OG + GH, Q 1 P 1 = OG GH OG + GH = K R + l sin ψ Quindi, trascurando la costante additiva KR, la lagrangiana del sistema è L = mr θ + ml sin ψ ϕ + ml ψ Kl sin ψ Le variabili θ e ϕ sono cicliche Abbiamo quindi i tre integrali primi dell energia E e degli impulsi coniugati p θ e p ϕ, E = mr θ + ml sin ψ ϕ + ml ψ + Kl sin ψ p θ = L θ = mr θ, pϕ = L ϕ = ml sin ψ ϕ 35

37 Inserendo gli integrali primi degli impulsi nell integrale dell energia troviamo che, per ogni moto θt, ϕt, ψt, la ψt è soluzione del problema unidimensionale di energia E = ml ψ + p θ 4mR + p ϕ 4ml sin ψ + Kl sin ψ La soluzione completa si ottiene quindi dagli integrali primi degli impulsi: θt = θt 0 + p t θ mr t t p ϕ 0, ϕt = ϕt 0 + ds t 0 ml sin ψs 3 Sia ora p ϕ 0 A meno del termine costante è dato dalla funzione λ V eff ψ = Kl sin ψ + sin ψ p θ 4mR, il potenziale efficace, λ = p ϕ 4Kml 4 > 0, definita sull aperto 0, π e simmetrica rispetto a π Si ha V effψ + per ψ 0 + o ψ π Per λ 1 vi è un minimo in ψ = π, mentre se 0 < λ < 1 si hanno tre punti critici ψ 1 < π < ψ di cui ψ 1, ψ sono di minimo e π è di massimo Quindi per λ 1 tutte le orbite sono chiuse una soluzione stazionaria stabile e moti periodici attorno ad essa, mentre per 0 < λ < 1 si hanno sia orbite aperte corrispondenti ai moti a meta asintotica verso la posizione di equilibrio instabile che orbite chiuse le soluzioni stazionarie ed i moti periodici attorno ad una delle due posizioni di equilibrio stabili oppure attorno ad entrambe 4 Sia ψt = ψ 0 una delle soluzioni stazionarie del moto unidimensionale Allora p θ θt = θt 0 + mr t t 0, ϕt = ϕt 0 + ml sin t t 0, ψt = ψ 0 ψ 0 è soluzione periodica del sistema lagrangiano completo purché il rapporto ω θ /ω ϕ tra le frequenze ω θ = p p θ e ω mr ϕ = ϕ sia razionale p ϕ ml sin ψ 0 36

38 8 Soluzione Compito 8 1 Si ha X = x cos φ Y = y Z = x sin φ Quindi, detto I il momento di inerzia dell asta rispetto ad r I = M 1 L, si ha L = I φ + m x φ + ẋ + ẏ + mgx sin φ K x + y + x sin φz 0 Si vede quindi che si tratta di due problemi disaccoppiati ed L 1 = m ẏ K y L = I φ + m x φ + ẋ + mg KZ 0 x sin φ K x = T + U Il moto di y è quindi assegnato da cioé un oscillatore armonico yt = A cos ωt + B sin ωt, ω = K m, 3 Passiamo allo studio di L Gli equilibri relativi sono assegnati dalle soluzioni del sistema U x = mg KZ 0 sin φ Kx = 0 U φ = mg KZ 0x cos φ = 0 Si ricordi la definizione del parametro λ; λ = mg KZ 0 K 37

39 Per λ 0 si hanno i seguenti equilibri: I : x 1, φ 1 = 0, 0 II : x, φ = 0, π III : x 3, φ 3 = λ, π IV : x 4, φ 4 = λ, π Se λ = 0 gli equilibri sono un continuum: V : 0, φ, φ [0, π Naturalmente gli equilibri del sistema con Lagrangiana totale L sono identificati da quanto sopra scritto e y = 0 Passiamo alla stabilità degli equilibri per λ 0 Ovviamente le parti quadratiche di L 1, L sono disaccoppiate, perciò dobbiamo esaminare solo lo Hessiano di U, 1 +λ cos φ Hx, φ := K +λ cos φ λx sin φ nei vari casi Nei casi I e II si ha det H < 0, dunque I e II sono instabili Nei casi III e IV si ha e quindi III e IV sono stabili det H = K λ, TrH = K1 + λ, 4 Il caso λ = 0 presenta una degenerazione Per λ = 0 la lagrangiana L si riduce a L = I φ + m x φ + ẋ K x e quindi c φ = I + mx essendo c la costante asssegnata dalle condizioni iniziali L evoluzione della coordinata x è assegnata dalla legge di conservazione ẋ = m E Kx 38 + c I + mx

40 essendo E l energia del sistema di lagrangiana L Si ha quindi per I < mc K una doppia buca di potenziale, mentre per I mc K una buca con un solo minimo Si completi tracciando il grafico delle curve integrali nello spazio delle fasi 9 Soluzione Compito 9 1 Fissato un riferimento cartesiano sul piano Π di origine O ed asse verticale ascendente, i punti P e G hanno rispettivamente coordinate l cos ϕ, l sin ϕ ed s cos ϕ, s sin ϕ Quindi, detto I il momento di inerzia del disco rispetto all asse ortogonale al piano Π e passante per il baricentro, la lagrangiana del sistema è L = L 1 + L con L 1 = 1 [ Ms + ml ϕ + Mṡ ] K s l g sin ϕms + ml ed L = I ψ Il moto di ψ è quindi ψt = ψ0 + ω 0 t con ω 0 = ψ0 la velocita angolare iniziale del disco Le posizioni di equilibrio per la lagrangiana L 1 sono le soluzioni del sistema { g cos ϕms + ml = 0, Ks l Mg sin ϕ = 0 Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni π ϕ 1, s 1 =, l Mg, ϕ, s = K 3π, l + Mg K Quando λ 0, 1] si hanno inoltre le soluzioni ϕ 3, s 3 = arcsin λ, ml, ϕ 4, s 4 = π arcsin λ, ml M M se λ = 1 allora ϕ 1, s 1 = ϕ 3, s 3 = ϕ 4, s 4 Studiamone la stabilità; la matrice hessiana del potenziale è g sin ϕms + ml Mg cos ϕ Hϕ, s = Mg cos ϕ K 39

41 Quindi Hϕ 1, s 1 = M g 1 λ K 0, Hϕ, s = M g 1+λ K 0 0 K 0 K 0 Mg cos ϕ Hϕ i, s i = i, i = 3, 4 Mg cos ϕ i K Ricaviamo quindi che ϕ 1, s 1 è stabile se λ 0, 1 ed instabile se λ > 1, ϕ, s è stabile per ogni λ > 0, mentre ϕ i, s i, i = 3, 4, sono instabili per λ 0, 1 3 La matrice dell energia cinetica relativa ad L 1 è Ms Aϕ, s = + ml 0 0 M Consideriamo l equilibrio stabile ϕ 1, s 1, λ 0, 1; le matrici Aϕ 1, s 1 ed Hϕ 1, s 1 sono diagonali e quindi calcoliamo subito le frequenze, ω 1 M 1 = g 1 λ K KMs 1 + ml, ω 1 = M Analogamente, per l equilibrio stabile ϕ, s, λ > 0, otteniamo ω 1 M = g 1 + λ K KMs + ml, ω = M 10 Soluzione Compito 10 1 Sia {O; x, y, z} un sistema solidale a Π, tale che z = Z e l asse delle ascisse x è diretto lungo V Si ha allora X = x cos φ y sin φ Y = x sin φ + y cos φ Z = z Poiché le coordinate di P nel sistema solidale sono x = R + r cos θ, y = 0 e z = r sin θ, ne consegue che le coordinate inerziali di P sono X = R + r cos θ cos φ Y = R + r cos θ sin φ Z = r sin θ 40

42 Di qui si ricava subito che l energia cinetica è T = m [ R + r cos θ φ + r ] θ Il potenziale dovuto alla molla è U molla = krr cos θ + kdr sin θ, mentre quello dovuta alla forza peso è U peso = mgy = mgr sin θ Con le richieste fatte su d kd = mg si ha allora U = U molla + U peso = krr cos θ Quindi la lagrangiana è L = T + U = m [ R + r cos θ φ + r ] θ krr cos θ Si vede che resta conservato l impulso coniugato a φ, p = mr + r cos θ φ, per cui φ è ciclica Sostituendo nell integrale primo dell energia, troviamo E = T U = m [ R + r cos θ φ + r θ ] + krr cos θ, E = m r θ + krr cos θ + da cui ricaviamo che la lagrangiana ridotta è L ridotta = m r θ krr cos θ p mr + r cos θ, p mr + r cos θ 3 Denotando con U eff il potenziale efficace, U eff = krr cos θ p mr + r cos θ, 41

43 si ha du eff dθ = Si hanno sempre i punti critici [ rp ] krr mr + r cos θ 3 sin θ θ 1 = 0, θ = π Gli altri punti critici sono le soluzioni di ovvero θ 3 = arccos cos θ = 1 r [ p mkr che esistono se e solo se A 1 p A dove 1/3 R], [ 1 p 1/3 R ], θ 4 = π θ 3, r mkr r A 1 = mkrr r 3, A = mkrr + r 3 in particolare, se p = A 1 allora θ = θ 3 = θ 4, mentre se p = A allora θ 1 = θ 3 = θ 4 Infine si ha d U eff dθ θ p 1 = kr mr + r 3, e, se A 1 p A, d U eff dθ θ = p mr r 3 kr d U eff dθ θ 3 = d U eff dθ θ 4 = 3r p sin θ 3 mr + r cos θ 3 4 Quindi i se p A 1 allora θ 1 è instabile e θ è stabile ii se p A allora θ 1 è stabile e θ è instabile iii se A 1 < p < A allora θ 1 e θ sono instabili mentre θ 3 e θ 4 sono stabili Si osservi che nel caso critico p = A 1 rispettivamente p = A si ha U eff θ = 0 rispettivamente U eff θ 1 = 0 Possiamo comunque affermare che il punto θ rispettivamente θ 1 è stabile poichè si vede facilmente che è un punto di massimo proprio del potenziale, per cui siamo nelle ipotesi del Teorema di Lagrange-Dirichlet 4

44 4 Ovviamente, in corrispondenza ai punti critici θ i, i = 1,, 3, 4, del potenziale efficace troviamo le soluzioni periodiche θ i, φ i t del sistema completo con p φ i t = mr + r cos θ i t + φ 0 11 Soluzione Compito 11 1 Siano e 1 ed e i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente Si ha OC = xe 1 x e, OP 1 = x+cos ϕe 1 + x +sin ϕe, e quindi L energia cinetica è QC = xe x e, OP = x cos ϕe 1 x +sin ϕe, v P1 = ẋ ϕ sin ϕe 1 + xẋ + ϕ cos ϕe, v P = ẋ + ϕ sin ϕe 1 xẋ + ϕ cos ϕe T = m L energia potenziale dovuta alla molla è vp1 + v P = m [ 1 + 4x ẋ + ϕ ] U molla = K QC = K [ x x ], mentre quella dovuta alla forza peso è U peso = mg y P1 + y P = mg x + sin ϕ x sin ϕ = mgx, Quindi, a meno di una costante additiva, l energia potenziale totale U = U molla + U peso è U = Ux = K [ 3 4λx + x 4] La lagrangiana L = T U si decompone come richiesto essendo L 1 x, ẋ = m1 + 4x ẋ Ux, L ϕ, ϕ = m ϕ L equazione di Lagrange per ϕ è quella di un moto libero ϕ = 0, da cui ϕt = ϕ0 + ϕ0t 43

45 3 Il moto della variabile x si determina qualitativamente utilizzando l integrale primo dell energia generalizzata Ex, ẋ = ẋ L1 ẋ x, ẋ L1 x, ẋ = m1 + 4x ẋ + Ux Osserviamo che Ux + se x +, cosicchè tutti i moti sono limitati Distinguiamo due casi: i λ 3/4 L energia potenziale U possiede un unico punto di minimo in x = 0 Esiste quindi un unico insieme di livello critico, quello di energia E 0 = U0 = 0, costituito dal singolo punto 0, 0, che rappresenta la curva di fase della soluzione stazionaria xt 0 Ogni insieme di livello di energia E > E 0 è costituito da una curva di fase chiusa che corrisponde ad un moto periodico ii λ > 3/4 L energia potenziale U possiede un punto di massimo relativo in x = 0 e due punti di minimo assoluto in 4λ 3 x ± = ± Si hanno due insiemi di livello critici di energia E 1 = Ux = Ux + < 0 ed E 0 = U0 = 0 Il primo è costituito dall unione dei punti x, 0 ed x +, 0, curve di fase delle soluzioni stazionarie x t x ed x + t x + rispettivamente Gli insiemi di livello di energia E 1 < E < E 0 sono l unione di due curve di fase chiuse corrispondenti a soluzioni periodiche attorno alle posizioni di equilibrio x ± L insieme di livello critico di energia E = E 0 è invece l unione di tre curve di fase, il punto 0, 0, relativo alla soluzione stazionaria xt 0, e le due curve aperte corrispondenti ai moti a meta asintotica verso x = 0 Infine gli insiemi di livello di energia E > E 0 sono costituiti da un unica curva di fase chiusa, corrispondente ad un moto periodico 4 Se λ = 1 le posizioni di equilibrio stabili sono x ± = ± 1/ Per simmetria la frequenza è la stessa per entrambe; per fissare la notazione consideriamo la posizione x + Posto ξ, ξ = x x +, ẋ, la lagrangiana quadratica attorno a x + è Lξ, ξ = m1 + 4x + ξ 1 U x + ξ = 3m ξ Kξ da cui ω = K 3m 44

46 5 Se si esclude la molla l energia potenziale si riduce ad Ux = mgx, cosicchè, a parte la soluzione stazionaria xt 0, tutti gli altri moti di x sono illimitati il punto C cade lungo la guida Per stabilire se tali moti sono soluzioni globali dobbiamo stimare il tempo necessario per la caduta Restringiamoci al caso in cui una soluzione xt tende a + per la simmetria di U non è limitativo Dopo una prima eventuale fase di moto retrogrado il moto diventa progressivo, e durante tale fase il tempo necessario ad andare da una posizione x a + è + m1 + 4x t x + = dx E + mgx x con E = Ex0, ẋ0 l energia del moto considerato Poichè la funzione integranda converge al valore positivo /g per x +, l integrale improprio diverge Quindi t x + = + e tutte le soluzioni sono globali 6 La risposta è affermativa Consideriamo un qualsiasi moto periodico della variabile x; se x 1 < x, sono i punti di arresto di tale moto allora il periodo è x m1 + 4x T x = dx E Ux, x 1 essendo E = Ux 1 = Ux D altra parte il moto della variabile angolare ϕ è uniforme con periodo T ϕ = π/ ϕ0 È sufficiente quindi scegliere la velocità iniziale ϕ0 tale che il rapporto T x /T ϕ sia razionale perchè la soluzione t xt, ϕt sia periodica 1 Soluzione Compito 1 1 Il punto Q ha coordinate x, 0, mentre il punto P ha coordinate x + l sin θ, l cos θ L energia cinetica è T = m vq + v P = m L energia potenziale dovuta alla molla è ẋ + l cos θ ẋ θ + l θ U molla = k CP = k x + klx sin θ + kl cos θ + kl, mentre quella dovuta alla forza peso è U peso = mgl cos θ 45

47 Quindi a meno di una costante additiva la lagrangiana è L = L + L 0 con L = m ẋ +l cos θ ẋ θ+l θ, L 0 = k x klx sin θ+mgl kl cos θ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = kx kl sin θ = 0 x L 0 θ = klx cos θ mgl kl sin θ = 0 La prima equazione implica x = l sin θ; sostituendo nella seconda e ricordando la definizione di λ troviamo { x = l sin θ cos θ λ + 1 sin θ = 0 Quindi per tutti i valori di λ > 0 si hanno le soluzioni x 1, θ 1 = 0, 0, x, θ = 0, π Inoltre, nel caso in cui 0 < λ si hanno anche le soluzioni x 3, θ 3 = l sin θ λ, θ λ, x 4, θ 4 = l sin θ λ, θ λ, essendo θ λ = arccosλ 1, ovvero l angolo tale che cos θ λ = λ 1, sin θ λ = 1 λ 1 Chiaramente se λ = allora x 1, θ 1 = x 3, θ 3 = x 4, θ 4, ovvero λ = è un punto di biforcazione della soluzione x 1, θ 1 Studiamo la stabilità degli equilibri trovati La matrice hessiana di L 0 è k kl cos θ Hx, θ = kl cos θ klx sin θ mgl kl cos θ Poniamo H i := Hx i, θ i per i = 1,, 3, 4 Quindi { k kl det H1 = kl H 1 = kl mgl kl = λ Tr H 1 = k kl λ 1 da cui ricaviamo che x 1, θ 1 è stabile per λ > ed instabile per 0 < λ < { k kl det H = kl H = kl mgl kl = λ Tr H = k + kl λ 1 46

48 da cui ricaviamo che x, θ è instabile per ogni λ > 0 Infine, per i = 3, 4 si ha { k klλ 1 det Hi = k H i = klλ 1 kl = l [1 λ 1 ] Tr H i = k1 + l da cui ricaviamo che x i, θ i sono stabili per 0 < λ < 3 Se λ > l unica posizione di equilibrio stabile è x 1, θ 1 = 0, 0 Sia A la matrice dell energia cinetica Ax, θ calcolata in 0, 0, ovvero m ml A = ml ml Detto H = H0, 0 l hessiano di L 0 in 0, 0, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω ± = µ ±, essendo µ ± le radici dell equazione caratteristica k mµ kl mlµ deth µa = det kl mlµ mgl kl ml = 0, µ ovvero, ricordando la definizione di λ, m µ + mkλ 3µ + k λ = 0, da cui ω ± = λ 3 ± 4λ 16λ + 17 k m 13 Soluzione Compito 13 1 Nelle coordinate polari r, ϕ, r > 0, ϕ [0, π], l equazione della superficie è x 3 = log r Siano inoltre e r = cos ϕ e1 + sin ϕ e, e ϕ = sin ϕ e1 + cos ϕ e essendo { e 1, e, e 3 } i versori degli assi coordinati Si ha allora OP = r e r + log r e 3, v P = ṙ e r + r ϕ e ϕ + ṙ r e 3 da cui ricaviamo che l energia cinetica è T = m v P = m [1 + 1r ] ṙ + r ϕ, 47

49 mentre l energia potenziale è V = mgx 3 = mg log r Concludiamo che la lagrangiana è L = m [1 + 1r ] ṙ + r ϕ mg log r La lagrangiana è indipendente dal tempo ed inoltre la variabile ϕ è ciclica Sussistono quindi gli integrali primi E = m [1 + 1r ] ṙ + r ϕ + mg log r, P ϕ = L ϕ = mr ϕ 3 Le equazioni del moto si riducono a quadratura mediante gli integrali primi Più precisamente si ha ϕt = ϕ0 + t 0 ds P ϕ mrs, con t rt soluzione due volte differenziabile di E = m 1 + 1r ṙ + V eff r, avendo posto V eff r = P ϕ + mg log r mr Osserviamo che ϕ0 0 se e solo se P ϕ 0 Consideriamo allora il potenziale efficace V eff per P ϕ 0: essendo V eff r = P ϕ/mr 3 + mg/r, il potenziale possiede un unico punto critico in r 0 = P ϕ / m g; inoltre V eff r + per r 0 + oppure r + Posto allora E 0 = V eff r 0 ed osservato che [ E V eff r ] r ṙ = ± m1 + r, concludiamo che tutti i moti possibili t rt sono limitati l insieme {r : V eff r E} è un intervallo chiuso e limitato per ogni E E 0 In 48

50 particolare l insieme di livello critico E = E 0 si compone del singolo punto {r 0, 0}, che è l orbita nello spazio delle fasi della soluzione stazionaria rt r 0 Se invece E > E 0 l insieme di livello è costituito da una curva regolare chiusa, orbita nello spazio delle fasi di un moto periodico t rt 4 Una soluzione periodica per il moto complessivo t rt, ϕt è rt = r 0, ϕt = ϕ0 + P ϕ mr0 t quindi si ottengono infinite soluzioni periodiche variando il parametro P ϕ 0 5 Se ϕ0 = 0 allora P ϕ = 0, cosicchè ϕt ϕ0 mentre t rt è soluzione due volte differenziabile di E = m 1 + 1r ṙ + mg log r, ovvero ṙ = ± E mg log rr m1 + r Quindi per ogni valore di E R si hanno cadute nel centro se ṙ0 > 0 la caduta nel centro è preceduta da una fase di moto progressivo fino al punto di arresto r E = exp[ E/mg] Infine il tempo necessario alla caduta è r m1 + r tr 0 = dr E mg log rr = +, per cui tutte le soluzioni sono globali 14 Soluzione Compito Le coordinate cartesiane di P 1 [risp P ] sono x 1, ax 1 [risp x, ax ] Quindi le velocità di P 1 e P hanno componenti ẋ 1, ax 1 ẋ 1 e ẋ, ax ẋ rispettivamente L energia cinetica è dunque T = m L energia potenziale è invece [ 1 + 4a x 1 ẋ a x ẋ ] U = U in + U peso = k 4 x 1 x 4 + mgax 1 + x 49

51 Quindi la lagrangiana è L = T U = m [ 1+4a x 1 ẋ 1+1+4a x ẋ ] k 4 x 1 x 4 mgax 1+x Le posizioni di equilibrio del sistema sono i punti critici di L 0 = U, ovvero le soluzioni del sistema L 0 = kx 1 x 3 mga x 1 = 0 x 1 L 0 x = kx 1 x 3 mga x = 0 da cui { x1 + x = 0 x mga 4k x 1 = 0 Concludiamo che per ogni a 0 esiste la posizione di equilibrio x 1, x = 0, 0, mentre se a < 0 si hanno inoltre le posizioni mg a x 1, x = A, A, x 1, x = A, A, essendo A = 4k Calcoliamo l hessiano di L 0 3kx1 x Hx 1, x = mga 3kx 1 x 3kx 1 x 3kx 1 x mga Quindi H0, 0 = mga 1 0, 0 1 cosicché la posizione 0, 0 è stabile se a > 0 ed instabile se a < 0 Se a < 0 si ha inoltre 1kA H±A, A = mga 1kA 1 3 1kA 1kA = mg a, mga 3 1 cosicché le soluzioni ±A, A sono instabili l ultima matrice possiede autovalori λ 1 = 4, λ = 3Se a > 0 abbiamo l unica posizione di equilibrio stabile è x 1, x = 0, 0 La matrice dell energia cinetica è 1 + 4a Ax 1, x = m x a x, 50

52 cosicché A = A0, 0 = m Abbiamo già calcolato l hessiano H = H0, 0, anch esso proporzionale alla matrice identità Le frequenze sono quindi ω 1 = ω = ga 4 Se a = 0 l equazione del vincolo diventa y = 0, ovvero i due punti sono vincolati a scorrere lungo l asse coordinato orizzontale La lagrangiana del sistema è allora x 1 + ẋ k 4 x 1 x 4 L = m Poichè l interazione dipende solo dalla differenza delle coordinate dei due punti, conviene utilizzare le coordinate del loro centro di massa e della loro posizione relativa, ovvero x 1 + x x G =, x = x 1 x In tali coordinate la lagrangiana si scrive L = mẋ G + m 4 ẋ k 4 x4 Osserviamo che essa non dipende esplicitamente dal tempo e che la variabile x G è ciclica Quindi si conservano l energia meccanica ed il momento associato a x G : E = mẋ G + m 4 ẋ + k 4 x4, P = mẋ G Dalla conservazione di P ricaviamo che il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme: x G t = x G t 0 + P m t t 0 Sostituendo ẋ G = P/m nell integrale primo dell energia possiamo infine determinare i moti della variabile x quali soluzioni due volte differenziabili dell equazione Ē = m 4 ẋ + k 4 x4, essendo Ē = E P /4m l energia meccanica dei due punti in un riferimento inerziale solidale al baricentro Chiaramente il livello di energia Ē = 0 si compone del singolo punto x, ẋ = 0, 0 che corrisponde alla soluzione stazionaria xt 0 I livelli di energia Ē > 0 sono invece delle curve regolari chiuse che corrispondono a moti periodici di x 51

53 15 Soluzione Compito 15 1 Siano e 1 ed e i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente Si ha OC = x e 1 x e, v C = ẋ e 1 ẋ e Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a C è I = m Quindi l energia cinetica del sistema è T = m v C + 1 I θ = m ẋ + 13 θ 1 1 ds s = m 3 Essendo OA = x + cos θ e 1 + x + sin θ e, OB = x cos θ e 1 + x sin θ e, l energia potenziale è U = U molle + U peso = k ovvero, a meno di una costante additiva, U = k [ x + cos θ + x + sin θ + x cos θ ] mgx, 3x x sin θ + cos θ 8λx, λ = mg 4k La lagrangiana L = T U = L + L 0 è dunque Lx, θ, ẋ, θ = m ẋ + 13 θ k 3x x sin θ + cos θ 8λx Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 x = k 3x sin θ 4λ = 0, L 0 θ = k x + sin θ cos θ = 0 Per ogni valore dei parametri si hanno le due soluzioni 4λ + 1 x 1, θ 1 =, π 4λ 1, x, θ =, 3π 3 3 Se λ 0, 1 si hanno le altre due soluzioni x 3, θ 3 = λ, arcsin λ, x 4, θ 4 = λ, π + arcsin λ 5

54 Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è 3 cos θ Hx, θ = k cos θ x sin θ + cosθ Quindi Hx 1, θ 1 = k λ+1 3 Hx 3, θ 3 = k Hx 4, θ 4 = k 3 0, Hx, θ = k λ 1 λ 1 λ, 3 1 λ 1 λ 1 λ 4λ 1 3 Chiaramente x 1, θ 1 è stabile per ogni valore del parametro λ > 0 mentre x, θ è stabile per λ 0, 1 ed instabile per λ > 1 Infine, essendo det Hx 3, θ 3 = det Hx 4, θ 4 = 41 λ, le posizioni x 3, θ 3 ed x 4, θ 4 sono instabili per λ 0, 1, ovvero quando esistono distinte da x, θ Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione stabile x 1, θ 1 La matrice dell energia cinetica in x 1, θ 1 è m 0 A = m 0 3 Essendo diagonale anche la matrice hessiana Hx 1, θ 1, le frequenze delle piccole oscillazioni si calcolano immediatamente, 3k 4λ + 1k ω 1 = m, ω = m, Con l ulteriore vincolo x = 0 si giunge al problema unidimensionale di lagrangiana Lx, ẋ = m 6 θ k cos θ che si integra mediante l integrale primo dell energia, Hθ, θ = m 6 θ + k cos θ 53

55 Il livello critico E = 0 si compone delle orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie θ, θ = π, 0, 3π, 0 I livelli 0 < E < k si compongono delle orbite corrispondenti ai moti periodici attorno alle posizioni di equilibrio θ = π, 3π Il livello critico E = k si compone delle orbite corrispondenti alle soluzioni stazionarie θ, θ = 0, 0, π, 0 ed ai relativi moti a meta asintotica Infine i livelli E > k si compongono di moti progressivi o retrogradi corrispondenti a rotazioni complete della sbarretta attorno al suo baricentro 16 Soluzione Compito 16 Siano e 1 ed e i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente ed indichiamo con G il baricentro della sbarretta Si ha OQ = e, OA = x e 1, OB = x + cos θ e 1 + sin θ e, OG = x + 1 cos θ e sin θ e, v G = ẋ 1 θ sin θ e θ cos θ e Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a G è I = m 1/ 1/ ds s = m 6 Quindi l energia cinetica del sistema è T = m v G + 1 I θ = m ẋ + 3 θ sin θ ẋ θ L energia potenziale è U = U peso +U molla = mgy G + k QB k = x +k x cos θ +mg k sin θ +k La lagrangiana L = L + L 0 è dunque Lx, θ, ẋ, θ = m ẋ + 3 θ sin θ ẋ θ k x k x cos θ mg k sin θ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = kx k cos θ = 0, x L 0 θ = kx sin θ mg k cos θ = 0 Per ogni valore dei parametri si hanno le due soluzioni x 1, θ 1 = 0, π, x, θ = 0, 3π 54

56 Se λ < 1 si hanno le altre due soluzioni x 3, θ 3 = 1 λ, arcsin λ, x 4, θ 4 = 1 λ, π arcsin λ Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è 1 sin θ Hx, θ = k sin θ x cos θ λ sin θ Quindi Hx 1, θ 1 = k λ 1 1, Hx, θ = k 1 λ 1 λ Hx 3, θ 3 = Hx 4, θ 4 = k λ 1 Chiaramente x 1, θ 1 è instabile per ogni valore del parametro λ < 1 mentre x, θ è stabile per λ < 1 ed instabile per λ < 1 Infine, le posizioni x 3, θ 3 ed x 4, θ 4 sono stabili per λ < 1, ovvero quando esistono distinte da x, θ Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione stabile x, θ per λ < 1 La matrice dell energia cinetica in x 1, θ 1 è m m A = m m 3 Posto H = Hx, θ, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω ± = µ±, essendo µ ± le radici dell equazione caratteristica deth µa = det, k mµ k mµ k mµ kλ m 3 µ = 0,, ovvero da cui m 3 µ mk 3 + 3λµ k λ + 1 = 0, ω ± = k 3λ ± 9λ m + 15λ

57 17 Soluzione Compito 17 1 La lagrangiana L = L + L 0 è Lx, y, ẋ, ẏ = m ẋ + ẏ λx 1 y + log1 + x + y Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 x = λx + x 1 + x + y = 0, L 0 y = y + y 1 + x + y = 0, ovvero del sistema x x + y 1 λ = 0, λ y x + y 1 = 0 Per ogni valore di λ 1 si hanno le soluzioni 0, 0 e 0, ±1 Se λ 0, 1 1 λ si hanno le ulteriori soluzioni ± λ, 0 Infine, se λ = 1 si ha un continuo di soluzioni, precisamente tutti i punti sulla circonferenza unitaria Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è λ + 1 x + y xy 1 + x + y 1 + x + y Hx, y = xy 1 + x + y x y 1 + x + y Quindi H0, 0 = 1 λ λ H ± λ, 0 = 1 λ 0, H 0, ±1 = 0 1 4λλ λ 1 Si deduce che l equilibrio 0, 0 è instabile, gli equilibri 0, ±1 sono stabili se λ > 1 0, ed instabili se λ 1 1 λ, gli equilibri ± λ, 0 sono stabili se, 56

58 λ 0, 1 ed instabili se λ 1, 1 Le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle posizioni 0, ±1 per λ > 1 sono ω 1 = λ 1 m, ω = 1 m Se λ = 1 il campo di forze è centrale, ovvero l energia potenziale è funzione della sola distanza del punto dall origine O delle coordinate In tale caso, oltre all integrale primo dell energia meccanica, Hx, y, ẋ, ẏ = mẋ + ẏ + 1 x + y log1 + x + y, è integrale primo del moto anche il momento della quantità di moto rispetto al centro O, ovvero la grandezza P x, y, ẋ, ẏ = mxẏ ẋy Per determinare una soluzione periodica conviene utilizzare le coordinate polari r, θ, nelle quali gli integrali primi si scrivono Hr, θ, ṙ, θ = m ṙ + r θ + r log1 + r, P r, θ, ṙ, θ = mr θ Quindi, fissati i livelli E ed M di tali integrali, il moto della variabile angolare è t M θt = θ0 + ds mrs, dove rt è una soluzione due volte differenziabile del problema del prim ordine m ṙ + U M r = E, dove U M r := r log1 + r + M mr Possiamo facilmente determinare diverse soluzioni periodiche Una prima classe di queste è costituita dai moti circolari uniformi che si ottengono fissando M 0 e scegliendo rt = rm, con r M un punto critico della funzione U M r, che esiste sicuramente poiché, se M 0, lim U Mr = lim U Mr = + r 0 + r + 0 È facile determinare anche un altra classe di soluzioni periodiche Infatti se M = 0 la funzione U M r ha un minimo in r = 1 Quindi, fissando M = 0 ed indicando con rt un qualsiasi moto periodico attorno alla posizione r = 1, la coppia rt, θt = rt, θ0 fornisce una soluzione periodica del sistema 57

59 18 Soluzione Compito 18 1 Il punto P ha coordinate x, 1 x4 x e quindi velocità v P di componenti ẋ, xx 1 ẋ Poiché Ux, y := x y è l energia potenziale associata al campo di forza F x, y la lagrangiana del sistema si scrive Lx, ẋ = 1 v P U x, 1 x4 x = [ x x 1 ] ẋ + 1 x4 x L analisi qualitativa si realizza utilizzando l integrale primo dell energia generalizzata Hx, ẋ = ẋ L ẋ x, ẋ Lx, ẋ = 1 [ 1 + 4x x 1 ] ẋ 1 x4 x L insieme di livello E dell energia è l unione dei grafici delle funzioni ẋ = ±f E x con E + x f E x = ± 4 x 1 + 4x x 1 I livelli critici dell energia sono E = 0 ed E = 1 8 Su ogni livello E < 0 si hanno due moti illimitati, ciascuno con un punto di inversione del moto; sul livello E = 0 si hanno due moti illimitati, ciascuno con un punto di inversione del moto, e la soluzione stazionaria corrispondente all equilibrio x = 0; su ogni livello 0 < E < 1 8 si hanno due moti illimitati, ciascuno con un punto di inversione del moto, ed un moto periodico attorno ad x = 0; sul livello E = 1 8 si hanno le due soluzioni stazionarie corrispondenti agli 1 equilibri x = ±, due moti a meta asintotica, uno progressivo ed uno retrogrado, che connettono tali equilibri tra loro, e quattro moti a meta asintotica, due progressivi e due retrogradi, che connettono gli stessi equilibri a ± rispettivamente; sul ogni livello E > 1 8 si hanno due moti illimitati, uno progressivo ed uno retrogrado, che connettono a + Asseriamo infine che tutti moti sono definiti globalmente nel tempo Infatti, essendo f E x 0 per x ±, si ha in particolare che tutti i moti illimitati raggiungono l infinito in un tempo infinito 3 L unica posizione di equilibrio stabile è x = 0 La parte quadratica dello sviluppo della lagrangiana attorno a 0, 0 è Lx, ẋ = 1 ẋ 1 x, che descrive un moto armonico di frequenza ω = 1 4 L energia corrispondente ai dati iniziali x0, ẋ0 = 0, 1 è E 0 = 1 > 1 8, quindi il moto xt è progressivo illimitato Pertanto lim ẋt = lim f E t + x + 0 x = 0 58

60 19 Soluzione Compito 19 1 Il punto P ha coordinate cos θ, sin θ, z, da cui L energia potenziale è θ sin θ v P = θ cos θ, T = m v P = mż + θ ż U = k OP + U peso + U α ovvero, a meno di una costante additiva, U = k z + mgz αz sin θ Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è L = m ż + θ k z mgz + αz sin θ e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono m z = kz mg + α sin θ, m θ = αz cos θ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = kz mg + α sin θ = 0, z L 0 θ = αz cos θ = 0, ovvero le soluzioni di almeno uno dei sistemi { kz mg + α sin θ = 0, cos θ = 0, { kz mg + α sin θ = 0, z = 0 Ricordando che λ = mg α, il primo ha soluzioni z 1, θ 1 = α k 1 λ, π, z, θ = α k λ + 1, π 59

61 Il secondo ammette soluzioni solo per λ 1, precisamente z 3, θ 3 = 0, arcsin λ, z 4, θ 4 = 0, π arcsin λ Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k α cos θ Hz, θ = α cos θ αz sin θ Quindi k 0 Hz 1, θ 1 = α 0 k λ 1 Hz 3, θ 3 = Hz 4, θ 4 = k 0, Hz, θ = k α 1 λ α 1 λ 0 k α 1 λ α 1 λ 0 0 α k λ + 1 da cui si ricava che z 1, θ 1 è stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, z, θ è sempre stabile, mentre le posizioni z 3, θ 3, z 4, θ 4 sono instabili se λ < 1 ovvero quando esistono distinte da z 1, θ 1 Il caso λ = 1, in cui la soluzione z 1, θ 1 biforca, è critico, ovvero la stabilità non viene riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo 3 Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione stabile z, θ La matrice dell energia cinetica è costante e diagonale, m 0 A = 0 m Essendo diagonale anche Hz, θ le frequenze delle piccole oscillazioni si deducono immediatamente, k α ω 1 = m, ω = λ + 1 km 3 Se α = 0 le equazioni di Eulero-Lagrange diventano m z = kz mg, m θ = 0 60,,,

62 La prima descrive un oscillatore armonico nella variabile ζ = z + mg k, la seconda un moto uniforme della variabile angolare θ I dati iniziali per la variabile z corrispondono alla soluzione stazionaria dell oscillatore, pertanto 0 Soluzione Compito 0 zt = mg, θt = 1 + t k 1 Il punto P ha coordinate x, y, x y, da cui ẋ v P = ẏ, T = m v P = m [ ẋ y ẏ + 4yẋẏ ] ẋ yẏ L energia potenziale è U = k OP + U peso ovvero U = k [ x + y + x + y ] mgx + y Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è L = m [ ẋ y ẏ + 4yẋẏ ] k y4 1 k mgy kxy kx +mgx e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono mẍ + myÿ = mẏ ky kx + mg, myẍ + m1 + 4y ÿ = mẋẏ 8myẏ ky 3 k mgy kxy, che possono successivamente essere poste in forma normale Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 x = ky kx + mg = 0, L 0 y = ky3 k mgy kxy = 0, ovvero le soluzioni di almeno uno dei sistemi { ky { kx + mg = 0, ky kx + mg = 0, y = 0, ky k + mg kx = 0 61

63 Ricordando che λ = mg k, il primo ha soluzione λ x 1, y 1 =, 0 Il secondo ammette soluzioni solo per λ 1, precisamente 1 x, y =, 1 λ 1, x 3, y 3 =, λ 1 Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k ky Hx, y = ky 6ky k + mg kx Quindi Hx 1, y 1 = k 0 0 kλ 1, k k λ 1 Hx, y = k λ 1 4k1 λ k k λ 1 Hx 3, y 3 = k λ 1 4k1 λ da cui si ricava che x 1, y 1 è stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, mentre le posizioni x, y, x 3, y 3 sono stabili se λ > 1 ovvero quando esistono distinte da x 1, y 1 Il caso λ = 1, in cui i tre equilibri coincidono con il punto 1, 0, è critico, ovvero la stabilità non viene riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo D altra parte, in tal caso si ha 1 L 0 x, y L 0, 0 = k [ x + y + x + y x + y ] k 4 [ = k x + y 1 + x 1 ], che è una quantità negativa per ogni x, y 1, 0 Quindi L 0 possiede un massimo proprio in 1, 0 e pertanto tale equilibrio è stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet,, 6

64 3 Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile x 1, y 1 per λ < 1 La matrice dell energia cinetica è m my Ax, y = my m1 + 4y, pertanto Ax 1, y 1 = m 0 0 m Essendo diagonale anche Hx 1, y 1 le frequenze delle piccole oscillazioni si deducono immediatamente, k k ω 1 = m, ω = 1 λ m 1 Soluzione Compito 1 1 I baricentri G e G hanno coordinate cos θ, sin θ e d + cos φ, sin φ rispettivamente Pertanto le velocità di tali punti sono v G = θ sin θ, v cos θ G = φ sin φ cos φ L angolo che la direzione AB forma con l asse delle ascisse è pari a θ π, pertanto la velocità angolare della sbarretta AB è ω 1 = θ Analogamente la velocità angolare della sbarretta A B è ω = φ Essendo I = ml 1 = m il momento di inerzia di ciascuna sbarretta rispetto al proprio baricentro, concludiamo che l energia cinetica totale è T = m L energia potenziale è vg + v G 1 + I ω1 + ω = m θ + φ U = k GG = k [ d + cos φ cos θ + sin φ sin θ ], ovvero, a meno di una costante additiva, U = k cosθ φ kdcos θ cos φ Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è L = m θ + φ + k cosθ φ + kdcos θ cos φ 63

65 e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono m θ = k sinθ φ kd sin θ, m φ = k sinθ φ + kd sin φ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = k sinθ φ kd sin θ = 0, θ L 0 φ = k sinθ φ + kd sin φ = 0 ovvero { sin θ = sin φ, sinθ φ = d sin φ La prima equazione implica φ = θ oppure φ = π θ Pertanto le posizioni di equilibrio sono le soluzioni di almeno uno dei due sistemi { φ = θ, sin θ = 0, { φ = π θ, sinθ = d sin θ Il primo ha soluzioni θ, φ = 0, 0, π, π Per ogni valore del parametro d > 0 il secondo ha soluzioni θ, φ = 0, π, π, 0 Se d < 1 esso ammette inoltre le soluzioni θ ±, φ ± = ± arccos d, π arccos d Chiaramente θ +, φ + = θ, φ = 0, π se d = 1 Studiamo la stabilità di tali equilibri; la matrice hessiana di L 0 è k cosθ φ kd cos θ k cosθ φ Hθ, φ = k cosθ φ k cosθ φ + kd cos φ Quindi k kd k H0, 0 =, k k + kd k + kd k Hπ, π =, k k kd k kd k k + kd k H0, π =, Hπ, 0 = k k kd k k + kd, 64

66 Hθ ±, φ ± = k k1 d k1 d k da cui si ricava che 0, 0, π, π, π, 0 sono instabili, 0, π è stabile se d > 1 ed instabile se d < 1, mentre le posizioni θ ±, φ ± sono stabili se d < 1 ovvero quando esistono distinte da 0, π Il caso d = 1, in cui la soluzione 0, π biforca, è critico, ovvero la stabilità non viene riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore nullo 3 Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione stabile 0, π per d > 1 La matrice dell energia cinetica è costante e diagonale, A = m 0 0 m Posto H = H0, π, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω ± = µ ±, essendo µ ± le radici dell equazione caratteristica, k kd mµ k deth µa = det = 0, k k kd mµ ovvero da cui ω + = Soluzione Compito k kd mµ = k, k k m d, ω = d 1 m 1 Nelle coordinate cilindriche r, ϕ, x 3, r > 0, ϕ [0, π, l equazione della superficie è x 3 = r log r Siano inoltre, e r = cos ϕ e1 + sin ϕ e, e ϕ = sin ϕ e1 + cos ϕ e, essendo { e 1, e, e 3 } i versori degli assi coordinati Si ha allora r OP = r e r + log r e 3, v P = ṙ e r + r ϕ e ϕ + r 1 ṙ e 3, r 65

67 da cui ricaviamo l energia cinetica T = m v P = m [r + 1r ] 1 ṙ + r ϕ, mentre l energia potenziale è r U = U peso + U F = mgx 3 fx 1 = mg log r fr cos ϕ, cosicché la lagrangiana L = T U = T + L 0 si scrive L = m [r + 1r ] r 1 ṙ + r ϕ mg log r + fr cos ϕ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema, L 0 r = mg r 1 + f cos ϕ = 0, r L 0 ϕ = fr sin ϕ = 0 Posto λ = f mg, se il parametro f è non nullo si hanno le due soluzioni r 1, ϕ 1 = λ + λ + 1, 0, r, ϕ = λ + λ + 1, π Se invece f = 0 si ha l insieme continuo di soluzioni {1, ϕ ; ϕ [0, π} Studiamone la stabilità nel caso f 0; la matrice hessiana di L 0 si scrive mg 1 + r f sin ϕ Hr, ϕ = f sin ϕ fr cos ϕ Quindi mg 1 + r Hr 1, ϕ 1 = 1 0, 0 fr 1 mg 1 + r Hr, ϕ = 0 0 fr da cui si ricava che r 1, ϕ 1 è stabile [risp instabile] se f > 0 [risp f < 0] mentre r, ϕ è instabile [risp stabile] se f > 0 [risp f < 0] 66

68 Nel caso f = 0 la lagrangiana è indipendente dal tempo ed inoltre la variabile ϕ è ciclica Sussistono quindi gli integrali primi E = m [r + 1r ] r 1 ṙ + r ϕ + mg log r, P ϕ = L ϕ = mr ϕ Le equazioni del moto si riducono a quadratura mediante gli integrali primi Più precisamente si ha ϕt = ϕ0 + t 0 ds P ϕ mrs, con t rt soluzione due volte differenziabile di E = m r + 1r 1 ṙ + U eff r, avendo posto U eff r = P ϕ r mr + mg log r Osserviamo che ϕ0 0 se e solo se P ϕ 0 Consideriamo il potenziale efficace U eff : essendo U eff r = P ϕ/mr 3 + mgr mg/r, esso possiede un unico punto critico in r 0 = P ϕ m g ; inoltre U eff r + per r 0 + e per r + Posto allora E 0 = U eff r 0 ed osservato che [ E U eff r ] r ṙ = ± mr r, concludiamo che tutti i moti possibili t rt sono limitati l insieme {r : U eff r E} è un intervallo chiuso e limitato per ogni E E 0 In particolare l insieme di livello critico E = E 0 si compone del singolo punto {r 0, 0}, che è l orbita nello spazio delle fasi della soluzione stazionaria rt r 0 Se invece E > E 0 l insieme di livello è costituito da una curva regolare chiusa, orbita nello spazio delle fasi di un moto periodico t rt 67

69 Una soluzione periodica per il moto complessivo t rt, ϕt è rt = r 0, ϕt = ϕ0 + P ϕ mr0 t si ottengono pertanto infinite soluzioni periodiche variando il parametro P ϕ 0 3 Soluzione Compito 3 Le coordinate solidali e le coordinate assolute sono correlate nel seguente modo: X cos φ sin φ 0 x Y = sin φ cos φ 0 y Z Z Le coordinate solidali di P 1 sono: x 1 = 0, y 1 = cos θ, Z 1 = sin θ Pertanto le coordinate di P 1 e P nel sistema assoluto sono: P 1 sin φ cos θ, cos φ cos θ, sin θ, P sin φ, cos φ, 0 I corrispondenti vettori velocità: v P1 φ cos φ cos θ, sin φ cos θ, 0 + θsin φ sin θ, cos φ sin θ, cos θ, v P φcos φ, sin φ, 0 L energia potenziale U: La lagrangiana è quindi: U = kl cos φ + m 1 g sin θ L = 1 m + m 1 cos θ φ + m 1 θ + kl cos φ m 1 g sin θ Le equazioni di Lagrange sono: d dt [m + m 1 cos θ φ] = kl sin φ θ = m 1 sin θ φ + m 1 g cos θ 1 68

70 I punti stazionari dell energia potenziale sono individuati da: Si hanno gli equilibri: U φ U θ = kl sin φ = 0, = m 1 g cos θ = 0 1 : φ 1, θ 1 = 0, π : φ, θ = 0, π 3 : φ 3, θ 3 = π, π 4 : φ 4, θ 4 = π, π La matrice hessiana di U in una generica posizione è: kl cos φ 0 Hφ, θ = 0 m 1 g sin θ Si vede quindi che l unica posizione di equilibrio stabile è la La matrice dell energia cinetica corrispondente è: m 0 A := 0 m 1 Gli zeri del polinomio caratteristico: sono: detµa + H0, π = 0 µ 1 = kl m, µ = g Infine dalle 1 si vede che alle condizioni iniziali φ 0 = π, φ 0 = 0 corrisponde il moto φt π, mentre la variabile θ è governata dall equazione: θ = m 1 g cos θ 69

71 4 Soluzione Compito 4 1 Le coordinate del baricentro G sono x G = l sin θ, y G = l cos θ Il versore ˆn ha componenti cos θ, sin θ, pertanto le coordinate del punto P sono x P = l sin θ + s cos θ, y P = l cos θ + s sin θ Essendo I = Ml /3 il momento d inerzia dell asta rispetto al suo estremo fisso, l energia cinetica dell asta è T asta = Ml 6 Il punto P ha velocità di componenti ẋ P = ṡ + l θ cos θ s θ sin θ, ẏ P = pertanto la sua energia cinetica è T P = m [ ṡ + lṡ θ l s L energia potenziale del sistema è θ ṡ + l θ sin θ + s θ cos θ, θ ] U = U molla + U peso = k GP + mg yp + Mg y G, dunque U = k s + mg s sin θ l cos θ Mg l cos θ La lagrangiana è L = T U = T asta + T P U, dunque L = L + L 0 con L = 1 { [ mṡ + mlṡ θ M m ] } l + ms θ, 4 L 0 = k s mgs sin θ + M + mg l cos θ 70

72 Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema, L 0 = ks mg sin θ = 0, s L 0 θ = mgs cos θ M + mg l sin θ = 0 Esplicitando la variabile s nella prima equazione e sostituendo nella seconda si ricava subito che per ogni λ > 0 si hanno le soluzioni s 1, θ 1 = 0, 0, s, θ = 0, π, e che, se λ < 1, si hanno le due ulteriori soluzioni s ±, θ ± = mg 1 λ k, ± arccos λ coincidenti con s 1, θ 1 per λ = 1 Studiamone la stabilità nel caso non critico λ 1 La matrice hessiana di L 0 si scrive k mg cos θ Hs, θ = mg cos θ mgs sin θ M + mg l cos θ Quindi k mg k mg Hs 1, θ 1 = mg M + mg l, Hs, θ = mg M + mg l Poiché Hs 1, θ 1 ha traccia negativa e determinante positivo [risp negativo] se λ > 1 [risp λ < 1], deduciamo che s 1, θ 1 è stabile se λ > 1 ed instabile se λ < 1; invece, poiché Hs, θ ha determinante sempre negativo, s, θ è instabile per ogni λ > 0 Infine, se λ < 1, si ha k mgλ Hs ±, θ ± = mgλ m g k 1 λ M + mg l λ k mgλ = mgλ m g k Poiché Hs ±, θ ± ha traccia negativa e determinante positivo, deduciamo che s ±, θ ± sono stabili se λ < 1, ovvero quando esistono distinti da s 1, θ 1 3 Il sistema senza molla ha lagrangiana L = L + L 0 con L 0 = mgs sin θ + M + mg l cos θ 71

73 Gli equilibri sono assegnati dalle soluzioni del sistema L 0 = mg sin θ = 0, s L 0 θ = mgs cos θ M + mg l sin θ = 0 Quindi essi sono solo s 1, θ 1 = 0, 0 e s, θ = 0, π Le rispettive matrici jacobiane, 0 mg 0 mg Hs 1, θ 1 = mg M + mg l, Hs, θ = mg M + mg l, sono a determinante negativo Quindi entrambi gli equilibri sono instabili 5 Soluzione Compito 5 1 Le coordinate dei tre punti materiali sono rispettivamente, P 1 = 0, 0, z, P = cos θ, sin θ, 0, P 3 = x, 0, 0 L energia cinetica è pertanto mentre, essendo potenziale è T = m 1 ż + m θ + m 3 ẋ, P 1 P = 1 + z e P P 3 = x x cos θ + 1, l energia U = U molle + U peso = k z + k x x cos θ + m 1 gz Pertanto la lagrangiana è L = T U = L 1 + L con L 1 z, ż = m 1 ż k z m 1 gz, L θ, x, θ, ẋ = m θ + m 3 ẋ + k x cos θ x La lagrangiana L 1 z, ż è quella di un oscillatore armonico con posizione a riposo in z = m 1 g/k e frequenza ω 1 = k/m 1 Quindi la soluzione generale del problema è zt = z + A cosω 1 t + B sinω 1 t con A, B costanti fissate dalle condizioni iniziali, e la posizione di equilibrio unica è z = z 7

74 3 Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema, L θ θ, x, 0, 0 = k x sin θ = 0, L x θ, x, 0, 0 = k cos θ k x = 0 Si hanno quindi le seguenti quattro posizioni di equilibrio, π 3π θ 1, x 1 =, 0, θ, x =, 0, θ 3, x 3 = 0, 1, θ 4, x 4 = π, 1 La matrice hessiana di L θ, x, 0, 0 è k Hθ, x = x cos θ k sin θ k sin θ k, da cui si deduce immediatamente che θ i, x i, i = 1,, sono instabili e θ i, x i, i = 3, 4, sono stabili 4 Essendo Hθ 3, x 3 = Hθ 4, x 4 = k 0 0 k, le posizioni di equilibrio stabile θ i, x i, i = 3, 4, hanno uguali frequenze dei modi normali, ω = k /m e ω 3 = k /m 3 6 Soluzione Compito 6 1 Siano e 1 ed e i versori degli assi coordinati orizzontale e verticale ascendente L angolo che la direzione AB forma con l asse delle ascisse è uguale a θ π, pertanto e = sin θ e 1 cos θ e Si ha allora OG = l cos θ e 1 + l sin θ e, OP = OG + ξ e = l cos θ + ξ sin θ e1 + l sin θ ξ cos θ e Pertanto le velocità di tali punti sono v G = l θ sin θ, v cos θ P = ξ θ cos θ + sin θ ξ l θ sin θ cos θ 73

75 Essendo I = ml = ml il momento di inerzia della sbarretta rispetto 1 3 al baricentro ed ω = θ la velocità angolare della sbarretta, concludiamo che l energia cinetica di quest ultima è T sbarretta = m L energia cinetica totale è quindi vg + 1 Iω = m l θ + m 6 l θ = m 3 l θ T = m v P + T sbarretta = m [ ξ θ + ξ l θ ] + m 3 l θ = m [ ] 7l ξ ξ θ l ξ θ L energia potenziale è invece U = k GP + mg y G + y P = k ξ + mg l sin θ ξ cos θ Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è L = m [ ] 7l ξ ξ θ l ξ θ k ξ + mgξ cos θ mgl sin θ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = kξ + mg cos θ = 0, ξ ovvero L 0 θ = mgξ sin θ mgl cos θ = 0, ξ = mg cos θ, k mg k sin θ + l cos θ = 0 Per ogni valore del parametro α = kl > 0 si hanno le soluzioni mg ξ 1, θ 1 = 0, π, ξ, θ = 0, π 74

76 Nel caso α 0, 1 si hanno le due ulteriori soluzioni, mg ξ 3, θ 3 = 1 α k, arcsin α, ξ 4, θ 4 = mg 1 α k, π + arcsin α Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k mg sin θ Hy, θ = mg sin θ mgξ cos θ + mgl sin θ Quindi k mg Hξ 1, θ 1 = mg mgl k mgα Hξ 3, θ 3 = Hξ 4, θ 4 = mgα k mg, Hξ, θ = mg mgl mg 1 α + mglα k da cui si ricava che ξ 1, θ 1 è sempre instabile, ξ, θ è stabile se α > 1 ed instabile se α 0, 1, mentre le posizioni ξ 3, θ 3, ξ 4, θ 4 sono stabili se α 0, 1 ovvero quando esistono distinte da ξ, θ Il caso α = 1, in cui la soluzione ξ, θ biforca, è critico, ovvero la stabilità non viene riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore nullo 3 In assenza di forza peso, ovvero ponendo l accelerazione di gravità g = 0, la lagrangiana si riduce a L = m [ ] 7l ξ ξ θ l ξ θ k ξ Oltre all energia si conserva anche il momento cinetico associato alla variabile ciclica θ, pertanto sono costanti del moto E = m [ ] 7l ξ ξ θ l ξ θ + k ξ, P = L 7l θ = m 3 + ξ θ ml ξ Dalla seconda relazione di ricava 3 P θ = 3ξ + 7l m + l ξ, 75,,

77 da cui, sostituendo nella prima relazione, E = m 3l 1 ξ 3ξ + 7l + k 3P ξ + m 3ξ + 7l Quindi, sul livello P del momento cinetico della variabile θ, i moti della variabile ξ sono governati dalla lagrangiana efficace L P ξ, ξ = m 3l 1 ξ 3ξ + 7l k 3P ξ m 3ξ + 7l 7 Soluzione Compito 7 1 I baricentri G e G delle sbarrette AB e BC hanno coordinate G = x l cos θ, l sin θ, G = x + l cos θ, l sin θ, da cui v G = ẋ + l θ sin θ l θ, cos θ v G = ẋ l θ sin θ l θ cos θ L angolo che la direzione CB forma con l asse delle ascisse è uguale a π θ, pertanto le velocità angolari delle sbarrette AB e BC sono rispettivamente ω = θ ed ω = ω Essendo I = ml 1 = ml 3 il momento di inerzia di ciascuna sbarretta rispetto al proprio baricentro, concludiamo che l energia cinetica del sistema è T = m [ vg + vg ] + 1 I [ ω + ω ] = m = m ] [ẋ + 8l 3 θ [ẋ + l θ ] + ml 3 θ Essendo A = x l cos θ, 0 e C = x + l cos θ, 0, l energia potenziale è U = k [ Q 1 A + Q C ] = k [ x + l + 8l cos θ 8l cos θ ] Concludiamo che la lagrangiana L = L + L 0 è L = m ] [ẋ + 8l 3 θ kx 4kl cos θ + 4kl cos θ, 76

78 da cui le equazioni del moto, mẍ = kx, 8ml θ = 4kl sin θ cos θ 1 3 Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = kx = 0, x L 0 θ = 4kl sin θ cos θ 1 = 0 Esistono pertanto quattro posizioni di equilibrio, x 1, θ 1 = 0, 0, x, θ = 0, π, x ±, θ ± = Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k 0 Hx, θ = 0 4kl [4 cos θ cos θ] Quindi Hx 1, θ 1 = k 0 0 4kl Hx ±, θ ± = 0, ± π 3 k 0, Hx, θ = 0 1kl k 0 0 6kl da cui si ricava che x 1, θ 1 e x, θ sono instabili, mentre le posizioni x ±, θ ± sono stabili 3 Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle posizioni x ±, θ ± La matrice dell energia cinetica è costante, precisamente A = m 0 0 8ml /3 Posto H = Hx ±, θ ±, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω i = λ i, essendo λ i, i = 1,, le radici dell equazione caratteristica deth λa =,, 77

79 0 Poiché in questo caso entrambe le matrici sono diagonali, ricaviamo immediatamente k 9k ω 1 = m, ω = 4m 4 Dalle equazioni di Eulero-Lagrange si vede che il moto della variabile x è quello di un oscillatore armonico di frequenza k/m Per ottenere un moto armonico è pertanto sufficiente scegliere i dati iniziali in modo tale che la variabile θ rimanga in quiete, ovvero x0 = x 0, ẋ0 = ẋ 0, θ0 = θ, θ0 = 0, con x 0, ẋ 0 qualsiasi e θ = 0, π, ±π/3 8 Soluzione Compito 8 1 Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l asse y diretto secondo la verticale ascendente Il baricentro G della sbarra ed il punto P hanno coordinate l G = sin θ, l cos θ, P = l sin θ + ξ cos θ, l cos θ + ξ sin θ, da cui v G = l θ cos θ, sin θ v P = l θ + ξ cos θ + ξ sin θ θ sin θ cos θ Essendo I = Ml 3 = ml 3 il momento di inerzia della sbarra rispetto all estremo fisso O ed ω = θ la sua velocità angolare, concludiamo che l energia cinetica del sistema è T = m = m vp + 1 L energia potenziale è invece Iω = m [ ξ + l ξ θ + ξ + 5 ] 3 l θ [l θ + ξ + ξ θ ] + ml 3 θ U = k OP + Mgy G + mgy P = k ξ + l + mgξ sin θ l cos θ 78

80 Concludiamo che la lagrangiana L = L + L 0 è L = m [ ξ + l ξ θ + ξ l θ ] k ξ mgξ sin θ l cos θ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = kξ mg sin θ = 0, ξ ovvero L 0 θ = mgξ cos θ mgl sin θ = 0, ξ = mg sin θ, k l mg k cos θ sin θ = 0 Per ogni valore del parametro α = kl mg > 0 si hanno le soluzioni ξ 1, θ 1 = 0, 0, ξ, θ = 0, π Nel caso α 0, 1 si hanno le due ulteriori soluzioni, ξ ±, θ ± = mg 1 α k, ± arccos α Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è k mg cos θ Hξ, θ = mg cos θ mgξ sin θ mgl cos θ Quindi k mg Hξ 1, θ 1 = mg mgl k mgα Hξ ±, θ ± = mgα k mg, Hξ, θ = mg mgl mg 1 α mglα k da cui si ricava che ξ, θ è sempre instabile, ξ 1, θ 1 è stabile se α > 1 ed instabile se α 0, 1, mentre le posizioni ξ ±, θ ± sono stabili se α 0, 1 ovvero quando esistono distinte da ξ 1, θ 1 79,,

81 Il caso α = 1, in cui la soluzione ξ 1, θ 1 biforca, è critico, ovvero la stabilità non viene riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore nullo 3 Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione ξ 1, θ 1 nel caso α > 1 La matrice dell energia cinetica valutata in ξ 1, θ 1 è m ml A = ml 5ml /3 Posto H = Hξ 1, θ 1, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω ± = λ±, essendo λ ± le radici dell equazione caratteristica k λm mg λml deth λa = det mg λml mgl λ5ml = 0 /3 Svolgendo i conti si trova λ ± = [ ] 5 5 ± 4 6α 1 k α m, dunque ω ± = 5 5 ± 4 6α 1 k α m 9 Soluzione Compito 9 1 Il punto P ha coordinate x, y, xy, da cui ẋ v P = ẏ, T = m v P = m [ 1 + y ẋ x ẏ + xyẋẏ ] yẋ + xẏ L energia potenziale è U = k OP + U peso ovvero U = k x + y + x y + mgxy Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è L = m [ 1 + y ẋ x ẏ + xyẋẏ ] k x + y + x y mgxy 80

82 Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 x = kx kxy mgy = 0, ovvero, essendo λ = mg k, L 0 y = ky kx y mgx = 0, x = λy 1 + y, y [1 + λ y ] 1 + y λ 1 + y = 0, Per ogni λ > 0 si ha la soluzione x 1, y 1 = 0, 0 Nel caso λ > 1 sussistono le due ulteriori soluzioni, λ x, y = 1, λ 1, x 3, y 3 = λ 1, λ 1 Studiamone la stabilità; la matrice hessiana di L 0 è 1 + y xy + λ Hx, y = k xy + λ 1 + x Quindi 1 λ Hx 1, y 1 = k λ 1, λ λ Hx, y = Hx 3, y 3 = k λ λ da cui si ricava che x 1, y 1 è stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, mentre le posizioni x, y, x 3, y 3 sono stabili se λ > 1 ovvero quando esistono distinte da x 1, y 1 3 Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile x 1, y 1 per λ < 1 La matrice dell energia cinetica è m1 + y Ax, y = mxy mxy m1 + x,, 81

83 pertanto A = Ax 1, y 1 = m 0 0 m Posto H = Hx 1, y 1, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω ± = µ±, essendo µ ± le radici dell equazione caratteristica k µm kλ deth µa = det kλ k µm = 0 Pertanto ω ± = k 1 ± λ m 4 Il caso critico è λ = 1, in cui i tre equilibri coincidono con il punto 0, 0 e la stabilità non viene riconosciuta dalla parte lineare la matrice hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo Osserviamo però che in tal caso, poiché k = mg, si ha L 0 x, y L 0 0, 0 = k x + y + x y + xy = k [ x + y + x y ], che è una quantità negativa per ogni x, y 0, 0 Quindi L 0 possiede un massimo proprio in 0, 0 e pertanto tale equilibrio è stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet 30 Soluzione Compito 30 1 Siano e 1 ed e rispettivamente i versori degli assi coordinati orizzontale e verticale ascendente Si ha e quindi cosicché OA = y e, OB = l cos θ e 1 + y + l sin θ e, OG = l cos θ e 1 + y + l sin θ e, v G = l θ sin θ e 1 + ẏ + l θ cos θ e Per il teorema di Koenig, l energia cinetica della sbarra è T = M v G + 1 Iω, 8

84 essendo I = M l l l r dr = Ml 3 il momento di inerzia della sbarra rispetto al baricentro ed ω = θ la velocità angolare della sbarra Quindi da cui T = M L energia potenziale è [ l θ sin θ + ẏ + l θ cos θ ] + Ml 6 T = M [ẏ + 4l 3 θ + l cos θ ẏ θ ] U = Mg OG e + k OG = Mgy + l sin θ + k [ l cos θ + y + l sin θ ], ovvero, a meno di una costante additiva, U = k y + kly sin θ + Mgy + Mgl sin θ Concludiamo che la lagrangiana L = T U = L + L 0 è θ, Ly, θ, ẏ, θ = M [ẏ + 4l 3 θ +l cos θ ẏ θ ] k y kly sin θ Mgy Mgl sin θ Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema L 0 = ky Mg kl sin θ = 0, y L 0 θ = kly + Mgl cos θ = 0 Si ricavano le seguenti quattro posizioni di equilibrio: y 0, θ 0 = Mg k, 0, y 1, θ 1 = Mg k, π, y ±, θ ± = Mg k l, ±π Studiamone la stabilità La matrice hessiana di L 0 è k kl cos θ Hy, θ = kl cos θ kly + Mgl sin θ 83

85 Quindi Hy 0, θ 0 = k kl kl 0 Hy ±, θ ± =, Hy 1, θ 1 = k 0 0 kl k kl kl 0 da cui si ricava che y 0, θ 0 e y 1, θ 1 sono instabili poiché il determinante è negativo, mentre le posizioni y ±, θ ± sono stabili 3 Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione stabile y +, θ + La matrice Ay, θ dell energia cinetica è pari a M Ml cos θ Ay, θ = Ml cos θ 4Ml, /3 cosicché A = Ay +, θ + = M 0 0 4Ml /3 Posto H = Hy + θ +, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω ± = λ±, essendo λ ± le radici dell equazione caratteristica k Mλ 0 deth λa = det 0 kl 4Ml /3λ,, = 0 Dunque ω + = k 3k M, ω = 4M 4 Il problema modificato ha lagrangiana Lθ, θ = 4Ml 6 θ Mgl sin θ, che, a meno dei parametri, è la lagrangiana di un pendolo matematico piano in cui l angolo viene contato in senso antiorario partendo dalle ascisse La discussione dettagliata è lasciata al lettore 84