Esercizi proposti di Meccanica Razionale

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1 Esercizi proposti di Meccanica Razionale Docente Alessandro Teta a.a. 2015/16 1 Equazioni differenziali ordinarie Esercizio 1.1. Si consideri il sistema ẋ = ax (1 y) ẏ = cy (1 x) definito in D = {(x, y) R 2 x 0, y 0}, con a, c > 0. 1) Verificare che H(x, y) = cx + ay c log x a log y, con x, y > 0, è un integrale primo. 2) Discutere la stabilità degli equilibri (0, 0) e (1, 1). Esercizio 1.2. Verificare che l origine è un equilibrio asintoticamente stabile per il sistema definito in R 2 ẋ = y x 3 ẏ = x y 3 Esercizio 1.3. Verificare che l origine è un equilibrio asintoticamente stabile per il sistema definito in R 2 e che il bacino di attrazione è R 2. (Suggerimento: calcolare d dt z(t)2 ). ẋ = y a(x 2 + y 2 )x ẏ = x a(x 2 + y 2 )y, a > 0 1

2 Esercizio 1.4. Si consideri il sistema in R 3 ẋ = 3y(z 1) ẏ = x(z 1) ż = (x 2 + 1)z 3 1) Verificare che l origine è un equilibrio stabile. (Suggerimento: considerare come funzione di Lyapunov una funzione della forma W (x, y, z) = ax 2 + by 2 + cz 2, con a, b, c parametri positivi). 2) Dimostrare che il piano xy è invariante, cioè se il dato iniziale è della forma (x 0, y 0, 0) allora la soluzione resta nel piano xy per ogni t. 3) Verificare che l origine non è un equilibrio asintoticamente stabile. 4) Dimostrare che il piano xy è attrattivo, cioè se (x(t), y(t), z(t)) è la soluzione corrispondente al dato iniziale (x 0, y 0, z 0 ), con z 0 0, allora lim t z(t) 2 = 0. Esercizio 1.5. Si consideri l equazione del secondo ordine in R mẍ = V (x) βẋ con V C 2, V (0) = 0, β > 0. Scritta l equazione in forma di sistema del primo ordine, verificare che 1) se V (0) > 0 allora l origine è un equilibrio asintoticamente stabile; 2) se V (0) < 0 allora l origine è un equilibrio instabile. Esercizio 1.6. Si consideri l equazione lineare del secondo ordine in R n A q + Bq = 0 con A, B matrici simmetriche e A definita positiva. Scritta l equazione in forma di sistema del primo ordine, verificare che se B ha un autovalore negativo allora l origine è un equilibrio instabile. (Suggerimento: introdotte le nuove coordinate x = A 1/2 q, l equazione si scrive ẋ = y, ẏ = Dx, con D = A 1/2 BA 1/2. Equivalentemente, se z = (x, y) R 2n, si ha ż = Sz, dove S è una matrice di ordine 2n. Provare che se B ha un autovalore negativo allora D ha un autovalore positivo. Quindi fare vedere che se v è autovettore di D con autovalore λ > 0 allora z = (v, λv) è autovettore di S con autovalore λ). 2

3 Esercizio 1.7. Si consideri il sistema in R 2 ẋ = y e x ẏ = 1 2 y2 e x 1) Verificare che H(x, y) = 1 2 y2 e x è un integrale primo. 2) Determinare gli equilibri e la loro stabilità. 3) Calcolare esplicitamente le soluzioni non stazionarie e determinarne in particolare l intervallo di esistenza. Esercizio 1.8. Si consideri il sistema in R 2 scritto in coordinale polari ṙ = ε r(3 r), θ = 2 r, ε > 0 1) Verificare che per ogni dato iniziale (r 0, θ 0 ) la soluzione si scrive r(t; r 0 ) = 3 r 0 e 3εt 3 r 0 + r 0 e, θ(t; r 0, θ 3εt 0 ) = θ 0 + 2t 1 ε log 3 r 0 + r 0 e 3εt 3 2) Dimostrare che l orbita periodica r = 3, θ(t) = t + θ 0 è un ciclo limite, cioè per ogni (r 0, θ 0 ), con r 0 3, esiste θ 0 tale che (Suggerimento: lim [r(t; r 0) 3] = 0, t dx = 1 α+βx log ). (a+bx)(α+βx) aβ αb a+bx [ lim θ(t; r0, θ 0 ) ( t + θ 0 ) ] = 0 t Esercizio 1.9. Una barca viene spinta a remi attraverso un fiume a rive parallele e di larghezza L. L asse della barca (e quindi la sua direzione di moto) viene tenuto costantemente diretto verso un punto fisso della sponda opposta a quella da cui parte la barca. La barca si muove di velocità di modulo costante u rispetto all acqua e l acqua scorre con velocità costante v parallelamente alle rive. Scrivere le equazioni che determinano il moto della barca e discutere il moto distinguendo i tre casi u > v, u = v, u < v. 3

4 Esercizio (Modello di Lotka-Volterra) In un certo territorio convivono una popolazione di lepri e una popolazione di volpi. Le lepri si cibano di erba e le volpi si cibano di lepri. Per le volpi il tasso di decessi è costante e la velocità di riproduzione è proporzionale al loro numero e alla quantità di cibo (cioè al numero di lepri presenti). Per le lepri il tasso di riproduzione è costante e muoiono proporzionalmente al loro numero e al numero di volpi presenti. Scrivere le equazioni che determinano l evoluzione del sistema di lepri e volpi e descrivere qualitativamente le soluzioni. In particolare, dimostrare le seguenti tre leggi di Volterra (cfr. V. Volterra, Opere Matematiche, ed. Accademia dei Lincei, Roma 1962). 1) Le popolazioni seguono un ciclo periodico per ogni dato iniziale che non sia l equilibrio. 2) Il numero medio di lepri e di volpi su un ciclo non dipende dai dati iniziali e coincide quindi con i valori all equilibrio. 3) Se si introduce una perturbazione che elimina lepri e volpi proporzionalmente al loro numero (per esempio l attività di caccia dell uomo) il numero medio di lepri aumenta e il numero medio di volpi diminuisce. 4

5 2 Sistemi unidimensionali Esercizio 2.1. Si consideri un punto materiale di massa m che si muove lungo l asse delle x soggetto ad una forza di energia potenziale (oscillatore armonico) V (x) = 1 2 kx2, k > 0 Verificare che per ogni valore positivo dell energia il moto è periodico e calcolare il periodo. Esercizio 2.2. Si consideri un punto materiale di massa m che si muove lungo l asse delle x soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = 1 4 x4 Verificare che per ogni valore positivo E dell energia il moto è periodico e calcolare il limite del periodo per E 0 e per E. Esercizio 2.3. Si consideri il sistema unidimensionale (pendolo semplice) θ = g sin θ, θ [ π, π), g, R > 0 R Determinare i valori dell energia per cui si hanno moti asintotici e quelli per cui si hanno moti periodici. Esercizio 2.4. Si consideri un punto materiale di massa m che si muove lungo l asse delle x soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = x 3 Determinare esplicitamente il moto corrispondente a E = 0, x 0 < 0, v 0 > 0. 5

6 Esercizio 2.5. Si consideri un punto materiale di massa m che si muove lungo l asse delle x soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = x 2 + x 4 Determinare esplicitamente il moto corrispondente a x 0 = 1, v 0 = 0. (Suggerimento: 1 dx x x = log 1 x ). 1 x 2 Esercizio 2.6. Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo l asse delle x soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = 1 4 x4 Stimare dal basso e dall alto il periodo del moto T (E), con E > 0. Esercizio 2.7. Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo l asse delle x soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = x 3 + x 2 Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi. Esercizio 2.8. Si consideri il sistema unidimensionale ẍ = g R sin x + Ω2 sin x cos x, g, R > 0 Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi al variare del parametro λ = g RΩ 2. Esercizio 2.9. Si consideri il sistema unidimensionale mẍ = kx + kλ a x, k, a > 0 Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi al variare del parametro λ. 6

7 Esercizio (prova intermedia 13/5/2002) Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo l asse delle x soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = e λx 1 + x 2, λ 0 1) Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita al variare del parametro λ. 2) Posto λ (0, 1), discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi. 3) Posto λ = 3 2, si consideri il moto x(t) corrispondente al dato iniziale x 0 = 2, v 0 = 0 e si stimi il tempo impiegato per andare da x 0 = 2 a x 1 = 3. (Si assuma che V (x) > 0 per x [ 2, 3]). 4) Posto λ = 1, si determini un dato iniziale (x 0, v 0 ) corrispondente ad un moto asintotico. 5) Sempre nel caso λ = 1, si consideri il moto x(t) corrispondente al dato iniziale x 0 = 0, v 0 = 0 e si verifichi che Si dimostri inoltre che esiste finito il limite lim ẋ(t) = 2 t + lim t + ( x(t) 2t ) Esercizio Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo una retta soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = x6 18 x4 3 + x2 2 1) Studiare qualitativamente le orbite nel piano delle fasi. 2) Si consideri il dato iniziale x(0) = 1 3, ẋ(0) = 4 9 2V (1 3 ) 7

8 e si stimi superiormente il tempo impiegato a raggiungere l origine. 3) Discutere la stima quando si prendono i dati iniziali x(0) = 2 3, ẋ(0) = 4 9 2V (2 3 ) 4) Si consideri la posizione iniziale x(0) = 2 e si determinino i valori della velocita iniziale ẋ(0) per cui il punto materiale raggiunge il punto x = 2. Esercizio Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo una retta soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = x2 1 + x 4 1) Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita. 2) Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi. 3) Determinare autovalori e autovettori del sistema linearizzato nell intorno di una posizione di equilibrio instabile. 4) Dare una stima dall alto e dal basso del periodo dell orbita corrispondente al dato iniziale x 0 = 1 4, v 0 = 0. 5) Detta x(t) la soluzione corrispondente ai dati iniziali x 0 = 0, v 0 = 2, dimostrare che esiste una costante c tale che lim x(t) (2t + c) = 0 t Esercizio Si consideri un punto materiale di massa m che si muove lungo una retta soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = (x 2 1)(x + 2) 2 1) Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi. 2) Trovare le equazioni delle tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile. 3) Verificare che per E = 0 esistono moti periodici e stimarne il periodo. 4) Stimare il periodo del moto quando E V ( ). 8

9 Esercizio Si consideri un punto materiale di massa m che si muove lungo una retta soggetto ad una forza di energia potenziale V (x) = a x 2 b x, a, b > 0 1) Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi. Si fissi poi un dato iniziale (x 0, v 0 ), tale che E > 0, con x 0, v 0 > 0, e sia x(t) la soluzione corrispondente. 2) Verificare che esiste c 1 > 0 tale che lim ẋ(t) = c 1, t x(t) lim t c 1 t = 1 3) Dimostrare che esistono due costanti c 2, c 3 tali che dove lim t E(t) = 0. x(t) = c 1 t + c 2 log t + c 3 + E(t) 9

10 3 Forze centrali Esercizio 3.1. Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di energia potenziale V (r) = k r, k > 0 1) Ridurre il problema alle quadrature e discutere qualitativamente il moto. 2) Determinare l equazione intrinseca dell orbita. Esercizio 3.2. Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di energia potenziale V (r) = 1 2 kr2, k > 0 1) Ridurre il problema alle quadrature e discutere qualitativamente il moto. 2) Determinare l equazione intrinseca dell orbita. Esercizio 3.3. Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di energia potenziale V (r) = k r + ɛ r 2, k, ɛ > 0 1) Ridurre il problema alle quadrature e discutere qualitativamente le il moto. 2) Trovare i dati iniziali corrispondenti a moti circolari uniformi. 3) Determinare l equazione intrinseca dell orbita e l angolo di precessione. Esercizio 3.4. Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di energia potenziale V (r) = 1 2 kr2 α r 2, k, α > 0 1) Ridurre il problema alle quadrature e discutere qualitativamente il moto. 10

11 2) Trovare almeno un dato iniziale per cui si ha un moto circolare uniforme. 3) Trovare almeno un dato iniziale per cui il punto P raggiunge il centro di forza con velocita radiale finita. 4) Determinare i dati iniziali per cui il punto P raggiunge il centro di forza con velocita infinita (caduta nel centro). Esercizio 3.5. Si consideri un punto materiale P di massa m soggetto alla forza centrale f = ( r + r 5 )e r, dove r indica la distanza di P dal centro O e e r e il versore radiale. 1) Indicare per quali valori dei dati iniziali il moto avviene in una regione limitata. 2) Mostrare che sono possibili due moti circolari uniformi se il momento angolare L e sufficientemente piccolo; trovare i corrispondenti dati iniziali e determinare il periodo. 3) Determinare le posizioni di equilibrio e studiarne la stabilita. 4) Posto L = 0, discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi del corrispondente problema unidimensionale. 5) Trovare un dato iniziale per cui il punto P raggiunge il centro O. 6) Posto r(0) = 3 1/4, ṙ(0) = 0, θ(0) = 0, stimare dall alto e dal basso il tempo che P impiega a raggiungere l infinito. Esercizio 3.6. (prova intermedia 12/5/2003) Si consideri un punto materiale P di massa m che si muove in un piano soggetto ad una forza centrale di centro O con energia potenziale V (r) = α 4r β 4 3r, α, β > 0 3 dove r indica la distanza di P da O. 1) Verificare che se il momento angolare e sufficientemente grande allora non esistono moti limitati. 2) Trovare i dati iniziali corrispondenti a moti circolari uniformi. 3) Posto uguale a zero il momento angolare, studiare qualitativamente le orbite nel piano delle fasi del corrispondente problema unidimensionale. 11

12 Esercizio 3.7. Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di tipo newtoniano, cioè con energia potenziale V (r) = γ r, γ > 0 1) Dimostrare che il vettore di Runge-Lenz R = ẋ K γ r x dove K è il momento angolare, è una costante del moto e utilizzare questo fatto per determinare l equazione dell orbita. Si consideri poi un dato iniziale r(0) = r 0 > 0, ṙ(0) = 0, θ(0) = 0, θ(0) = 0. 2) Calcolare il tempo t c di caduta nel centro. 3) Dimostrare che t(r) = t c 1 2m 3 γ r3/2 + h(r) con h(r) < c r 5/2. 4) Verificare che con lim t tc α(t) = 0. 5) Verificare che con lim t tc β(t) = 0. r(t) = [ ] 2/3 γ 3 2m (t ( ) c t) 1 + α(t) ( ) 1/3 4γ ( ) ṙ(t) = 1 + β(t) 3m(t c t) 12

13 4 Sistemi lagrangiani Esercizio 4.1. (prova finale 19/6/2002) Sia Oxy un riferimento cartesiano ortogonale in un piano verticale π con asse delle y orientato come la verticale ascendente. Un disco D omogeneo, di raggio R e massa M, e contenuto in π e ha il centro C libero di scorrere sull asse delle x. Un punto materiale P di massa m e fissato in un punto del bordo del disco ed e legato all origine O con una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. 1) Scrivere la lagrangiana del sistema. 2) Posto α mg > 1, trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita. kr 3) (Facoltativo) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ad una posizione di equilibrio stabile per α 1. 4) Posto l ulteriore vincolo OC = R, studiare qualitativamente le orbite nel piano delle fasi del corrispondente sistema unidimensionale. Esercizio 4.2. (prova di recupero 23/7/2002) Sia Oxyz un riferimento cartesiano ortogonale in R 3 con asse z orientato come la verticale ascendente e sia T la superficie di equazioni x = (a + cos φ) sin θ, y = (a + cos φ) cos θ, z = sin φ con a > 1 e φ, θ [0, 2π) (toro bidimensionale ottenuto facendo ruotare intorno all asse z la circonferenza contenuta nel piano yz di raggio uno e centro C = (0, a, 0)). Un punto materiale P di massa m e vincolato a muoversi senza attrito su T ed e soggetto, oltre alla gravita, ad una molla di costante elastica k, lunghezza a riposo nulla e centro A = (0, 0, l), l > 0. 1) Scrivere la lagrangiana del sistema. 2) Verificare che, oltre all energia E, esiste un altra costante del moto I e ridurre il moto alle quadrature. 3) Posto mg = kl, trovare le possibili condizioni iniziali corrispondenti a moti circolari uniformi su circonferenze parallele al piano xy. 4) Posto mg < kl e introdotto l ulteriore vincolo θ = 0, si consideri il sistema unidimensionale risultante. Studiare qualitativamente le orbite nel piano delle fasi e determinare le condizioni iniziali corrispondenti a moti a meta asintotica. 13

14 Esercizio 4.3. (prova di recupero 27/9/2002) Sia Oxy un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in un piano orizzontale e sia C una circonferenza di centro O e raggio R. Su C si muovono senza attrito due punti materiali P 1 e P 2, entrambi di massa m, soggetti ad una stessa forza costante diretta lungo le y negative e di modulo F. Inoltre, i due punti P 1,P 2 interagiscono fra loro con una forza di energia potenziale U = k, P 1 P 2 2 dove k > 0 e P 1 P 2 e la distanza tra P 1 e P 2. 1) Scrivere la lagrangiana del sistema. 2) Nel caso F = 0, verificare che I = mr 2 ( φ 1 + φ 2 ) e una costante del moto e ridurre il sistema alle quadrature. (φ i denota l angolo che OP i forma col semiasse delle x positive). 3) Posto F 0, verificare che il sistema ammette due configurazioni di equilibrio, simmetriche nello scambio tra P 1 e P 2. 4) sempre nel caso F 0, si introduca l ulteriore vincolo P 1 P 2 = R e si studino qualitativamente le orbite nel piano delle fasi del corrispondente sistema unidimensionale. Esercizio 4.4. (III esonero ) Si consideri in un piano verticale un sistema di assi cartesiani Oxy, con asse y diretto lungo la verticale ascendente, e una retta (senza massa) γ di equazione y = (tan α)x, con α (0, π 2 ). Sulla retta γ rotola senza strisciare un disco D omogeneo di massa M, raggio R e centro C. Sull asse delle y e libero di scorrere un punto materiale P di massa m. Il punto P e legato al centro C da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. 1) Verificare che il vincolo di puro rotolamento si riduce ad un vincolo olonomo. 2) Scrivere la lagrangiana del sistema. 3) (Facoltativo) Il sistema si puo ridurre alle quadrature. Perche? Esercizio 4.5. (prova finale 3/7/2000) Si consideri un sistema di coordinate fissi con asse z orientato lungo la verticale ascendente. Un punto materiale P di massa m e vincolato a muoversi senza attrito sul paraboloide di equazione z = a(x 2 + y 2 ), a > 0 Il punto P e soggetto ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla e centro nel punto A di coordinate (0, 0, β), β > 0. Inoltre sul punto agisce una forza costante F (b, 0, 0), b > 0. 1) Scrivere la lagrangiana del sistema. 2) Posto β = 1, trovare le posizioni di equilibrio e studiarne la stabilita. + mg 2a k 14

15 3) Si trovino le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio stabile. Esercizio 4.6. (prova finale 18/7/2000) Si consideri in un piano verticale un sistema di assi cartesiani Oxy, con l asse delle y orientato lungo la verticale ascendente. Lungo l asse delle x rotola senza strisciare un disco D omogeneo, di massa M, di raggio R e centro C. Inoltre un punto materiale P di massa m e libero di scorrere senza attrito lungo la parabola di equazione y = x 2 1. Infine i punti P e C sono legati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. 1) Si scriva la lagrangiana del sistema. 2) Si determinino le posizioni di equilibrio. 3) Si studi la stabilita per almeno una delle posizioni di equilbrio. 4) Si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ad una posizione di equilibrio stabile. Esercizio 4.7. (prova finale 18/12/2000) Sia Oxy un sistema di assi cartesiano ortogonale posto in un piano verticale, con asse y diretto come la verticale ascendente. Nel piano e posto un disco omogeneo di massa m e raggio R, con il centro G vincolato a scorrere lungo l asse y. Un punto P del bordo del disco e legato al punto C di coordinate (a, 0), a > R, da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. Risulta inoltre mg > kr. 1) Si scriva la lagrangiana del sistema. 2) Si verifichi che esistono due posizioni di equilibrio. 3) Si discuta la stabilita delle posizioni di equilibrio. Esercizio 4.8. (prova finale 8/1/2001) Sia Oxy un sistema di assi cartesiano ortogonale in un piano verticale π, con asse y orientato secondo la verticale ascendente. Un punto materiale P 1 di massa m e vincolato a muoversi in π lungo una circonferenza di centro O e raggio R. Un altro punto materiale P 2 di massa m e vincolato a muoversi in π lungo una circonferenza di centro P 1 e raggio r, r < R. 15

16 Infine il punto P 2 e legato all origine O da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. 1) Si scriva la lagrangiana del sistema. 2) Si verifichi che ci sono quattro configurazioni di equilibrio quando i punti O, P 1, P 2 sono allineati. 3) Posto mg > 1+ R, si verifichi che la configurazione in cui le ordinate di P kr r 1 e di P 2 assumono il loro valore minimo e di equilibrio stabile per il sistema e si trovino le corrispondenti frequenze delle piccole oscillazioni. Esercizio 4.9. (prova finale 8/5/2001) Sia Oxy un sistema di assi cartesiani ortogonale posto in un piano verticale π e sia γ una retta in π passante per O e libera di ruotare intorno a O. Sia poi C un punto materiale di massa M fisso su γ a distanza a dal punto O. Il punto C e il centro di una circonferenza di raggio R contenuta in π e su cui e libero di scorrere senza attrito un altro punto materiale P di massa m. Sul punto P agisce la gravita ed inoltre il punto C e collegato all asse y mediante una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. 1) Si scriva la lagrangiana del sistema. 2) Si trovino le posizioni di equilibrio. 3) Si studi la stabilita degli equilibri al variare del parametro α = mg, supponendo α 1. ka 4) Si trovino le frequenze delle piccole oscillazioni intorno alla configurazione di equilibrio (stabile) che si ha quando l ordinata di P e minima e se ne studi il limite per α. 5) Si studi la stabilita degli equilibri per α = 1. Esercizio (prova finale 12/6/2001) Sia Oxy un sistema di assi cartesiano ortogonale posto in un piano verticale con asse y diretto come la verticale ascendente. Si consideri poi un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi senza attrito lungo l ellisse di equazione x = a cos φ, y = b sin φ, φ [0, 2π), a > b e un punto Q di massa M vincolato a muoversi senza attrito lungo l asse y. I punti P e Q sono legati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. 1) Scrivere la lagrangiana del sistema. 2) Trovare le posizioni di equilibrio al variare del parametro α = (m+m)gb. ka 2 3) Discutere la stabilita degli equilibri nel caso a = b. 16