Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 10 Febbraio 2017

Transcript

1 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 10 Febbraio 017 Problema 1 Si consideri un punto materiale di massa m soggetto alla forza peso e vincolato ad una curva in un piano verticale y x x Schematizzare lo spazio delle fasi, determinare i punti critici del sistema meccanico, le tangenti alle separatrici e le frequenza delle piccole oscillazioni nel punto stabile. Si consideri l equazione di un rotatore la cui frequenza diminuisca secondo la legge ω(t ω 0 e αt q ω(tp ṗ ω(tq Integrare l equazione con la condizione iniziale q(0 q 0 e p 0. L energia del sistema si scrive E m(1 + (x x ẋ ( x + mg x Abbiamo un punto critico di tipo ellittico per x 0 ed un punto iperbolico per x 1. Sviluppando l energia nell origine al secondo ordine si ottiene E mẋ + mg x da cui le frequenza delle piccole oscillazioni ω g. Sviluppando l energia vicino al punto iperbolico abbiamo E mẋ mg X con X x 1 e E E mg/6. Le tangenti alle separatrici sono Ẋ ± gx Il sistema ammette un integrale del moto nella form I p + q 1

2 e la soluzione generale si scrive nella forma con Abbiamo quindi la soluzione ( q(t p(t Ω(t ( cos(ω(t ( sin Ω(t q0 sin(ω(t cos Ω(t t 0 ω(sds ω 0 α (1 e αt ( ω0 q(t q 0 cos α (1 e αt p 0 Problema Un punto materiale di massa m soggetto alla forza peso lungo z é vincolato su una superficie toroidale di equazioni x (R + a cos θ cos ϕ y (R + a cos θ sin ϕ z a sin θ a Scrivere la Lagrangiana e L Hamiltoniana del sistema e determinare gli integrali primi del moto; b studiare l esistenza di orbite circolari stabili e instabili; c nel limite g 0 calcolare il periodo di dell orbita circolare con θ 0 corretta al primo ordine in g. La Lagrangiana del punto si scrive I momenti generalizzati sono L m (a θ + (R + a cos θ ϕ mga sin θ p θ L θ ma θ p ϕ L ϕ m(r + a cos θ ϕ

3 da cui l Hamiltoniana H(p θ, p ϕ, θ, ϕ p θ ma + p ϕ + mga sin θ m(r + a cos θ Gli integrali primi del moto sono p ϕ e H e possiamo introdurre un potenziale efficace V eff (θ Abbiamo delle orbite circolari se p ϕ + mga sin θ m(r + a cos θ V eff θ ap ϕ sin θ + mga cos θ 0 m(r + a cos θ La prima funzione si annulla per θ 0 e θ π, mentre il cos θ é positivo per θ [ π/, 0] e θ [π, π/], ne segue che avremo una soluzione nel IV quadrante con θ [ π/, 0] ed una nel II quadrante θ [π/, π]. La prima risulta stabile e la seconda é instabile. Il periodo si definisce T π ϕ πm(r + a cos θ p ϕ Dal momento che lo sviluppo del cos θ in θ 0 non contiene termini al primo ordine, per g piccolo il periodo si approssima con T πm(r + a p ϕ Problema Si consideri un disco omogeneo di raggio R e massa m che rotola senza strisciare su una retta inclinata verso il basso di un angolo α rispetto all orizzontale. Inoltre una molla ideale di costante k é agganciata al centro del disco e ad un punto materiale P di massa m vincolato sulla retta verticale. Al punto P é inoltre applicata una forza pari mg diretta verso l alto (opposta alla gravitá. a Scrivere la Lagrangiana del sistema; b determinare la posizione di equilibrio stabile; c determinare la frequenza delle piccole oscillazioni.

4 Introduciamo le coordinate Lagrangiane y, altezza del punto P, e ξ, la posizione del punto di contatto del disco sulla retta inclinata orientata da sinistra a destra. Le coordinate del centro di massa dei disco sono x O ξ cos α + R sin α y O ξ sin α + R cos α Calcoliamo l energia cinetica utilizzando il teorema di König per il disco T m 4 ξ + m ẏ Il potenziale si scrive V (ξ, y mg(y + ξ sin α + k (ξ + y + yξ sin α yr cos α da cui la Lagrangiana che risulta di secondo grado e quindi il problema é lineare. posizione di equilibrio é la soluzione dell equazione La V ξ V y mg sin α + k(ξ + y sin α 0 mg + k(y + ξ sin α R cos α 0 che equivale ad un sistema lineare La soluzione si calcola da ( ξ y da cui k ( 1 sin α sin α 1 1 k cos α ( ( ξ y ( 1 ( sin α sin α 1 ξ Rtgα mg sin α kr cos α + mg mg sin α kr cos α + mg y mg k + R cos α La posizione di equilibrio é stabile. La Lagrangiana delle piccole oscillazioni diventa L m 4 ξ + m ẏ k (ξ + y + yξ sin α e le frequenze delle piccole oscillazioni si calcolano da ( ( mω det / k k sin α m k sin α mω k ω k (mω k k sin α 0 4

5 ovvero con ω 0 k/m ω4 5 ω 0ω + ω 4 0 sin α 0 Problema 4 Sia data una superficie prametrizzata da (u, v R su cui é definita la metrica ds du + sinh u dv Utilizzando l analogia tra geometria e meccanica scivere le equazioni delle geodesiche utilizzando un parametro proporzionale alla lunghezza d arco. Scrivere l equazione delle geodesiche utilizzando v come parametro (suggerimento: utilizzare un principio variazionale. Possiamo associare una Lagrangiana al sistema nella forma dove t é un paramero tale che L 1 ( du + 1 ( dv sinh u ds const. in quanto si conserva l energia cinetica. Ne segue che t coincide con il paramero lunghezza d arco delle geodesiche scegliendo una velocitá iniziale a modulo unitario. Le equazioni delle geodesiche si possono scrivere utilizzando gli integrali primi del moto ( dv p v sinh u ( ( du dv 1 + sinh u Allora l equazione delle geodesiche si scrive nella forma ( du + p v sinh u 1 5

6 con p v parametro. Utilizzando il principio variazionale per le geodesiche B vb δ ds δ A v A possiamo calcolare l equazione di Eulero-Lagrange d dv che é l equazione cercata. du/dv ( du dv + sinh u (du + sinh udv 0 dv sinhu coshu ( du dv + sinh u 0 6