ESERCIZI 121. P 1 z 1 y x. a) P 2. Figura 12.25: Sistema discusso nell esercizio 41.

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1 ESERCIZI 121 Esercizio 41 Un sistema meccanico è costituito da 3 punti 0, 1 e 2 di massa m vincolati a muoversi sulla superficie di un cilindro circolare retto di raggio r = 1. Si scelga un sistema di riferimento Oxyz, in cui l asse z sia diretto lungo l asse del cilindro: il punto 0 è fisso e si trova a uota z = 1, il punto 2 si muove lungo la circonferenza posta a uota z = 1, mentre il punto 1 non ha ulteriori vincoli cfr. la figura 12.25a. Due molle di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla collegano il punto 1 ai due punti 0 e 2. I punti sono inoltre sottoposti alla forza di gravità, diretta verso il basso lungo l asse z; sia g l accelerazione di gravità. 1 Si scriva la lagrangiana del sistema, usando come coordinate lagrangiane la coordinata z 1 di 1 lungo l asse z e gli angoli θ 1 e θ 2 che i punti 1 e 2 formano rispetto al punto 0 cfr. la figura 12.25a. 2 Si scrivano le corrispondenti euazioni di Eulero-Lagrange. 3 Si determinino le configurazioni di euilibrio in funzione dei parametri positivi m, g e k. 4 Se ne discuta la stabilià al variare dei parametri. 5 Si verifichi che, se il punto 2 viene fissato nella configurazione θ 2 = 0, il sistema si disaccoppia in due sistemi unidimensionali e si discutano ualitativamente i due moti. 6 Si supponga infine, sempre fissando il punto 2 nella configurazione θ 2 = 0, che il punto 1 sia libero di muoversi nel piano che contiene l asse z e i due punti 0 e 2 cfr. la figura 12.25b, e che il cilindro ruoti intorno al proprio asse con velocità angolare costante ω: si determinino le configurazioni di euilibrio relativo del sistema nel piano rotante e se ne discuta la stabilità. z z z 1 θ 1 y x x a θ 2 2 b 2 Figura 12.25: Sistema discusso nell esercizio 41. [Suggerimento. In termini delle coordinate suggerite, i tre punti hanno coordinate 0 = 1, 0, 1, 1 = cos θ 1, sin θ 1, z 1 e 2 = cos θ 2, sin θ 2, 1. La lagrangiana è L = T V, dove l energia cinetica T e l energia potenziale V sono, rispettivamente, T = 1 2 m θ2 1 + θ ż 2 1, V = mgz1 + k z 2 1 cos θ 1 cosθ 1 cos θ 2, dove si è tenuto conto che l energia elastica delle due molle è data da U el = 1 2 k 1 cos θ sin 2 θ 1 + z cos θ 2 cos θ sin θ 2 sin θ z

2 122 CAITOLO 12. STUDIO DI SISTEMI LAGRANGIANI e si è utilizzata l identità trigonometrica cos θ 1 cos θ 2 + sin θ 1 sin θ 2 = cosθ 1 θ 2. Le euazioni di Eulero-Lagrange sono m θ 1 = k sin θ 1 k sinθ 1 θ 2, m θ 2 = k sinθ 1 θ 2, m z 1 = mg 2kz 1. Le configurazioni di euilibrio corrispondono ai valori θ 1, θ 2, z 1 tali che V θ 1 = k sin θ 1 + sinθ 1 θ 2 = 0, V θ 2 = k sinθ 1 θ 2 = 0, V z 1 = mg + 2kz 1 = 0 Dalla differenza delle prime due euazioni si ricava sin θ 1 = 0, che implica θ 1 = 0 oppure θ 1 = π. Inserendo tali valori nella seconda euazione si trova θ 1 = 0 = sin θ 2 = 0 = θ 2 = 0 oppure θ 2 = π, θ 1 = π = sinπ θ 2 = sin θ 2 = 0 = θ 2 = 0 oppure θ 2 = π, mentre dalla terza euazione si ottiene direttamente z = z 0, dove z 0 := mg/2k. In conclusione, si hanno le uattro configurazioni di euilibrio Q 1 θ 1 = 0, θ 2 = 0, z 1 = z 0, Q 2 θ 1 = 0, θ 2 = π, z 1 = z 0, Q 3 θ 1 = π, θ 2 = 0, z 1 = z 0, Q 4 θ 1 = π, θ 2 = π, z 1 = z 0. Notando che l energia potenziale si scrive nella forma V = V 1 + V 2, V 1 = V 1 θ 1, θ 2 = k cos θ 1 k cosθ 1 cos θ 2, V 2 = V 2 z 1 = mgz 1 + k z 2 1, si possono studiare le due funzioni V 1 e V 2 separatamente. La matrice hessiana di V 1 è k cos θ1 + k cosθ Hθ 1, θ 2 = 1 θ 2 k cosθ 1 θ 2 k cosθ 1 θ 2 k cosθ 1 θ 2 così che si trova 2k k 0 k 2k k 0 k H0, 0 =, H0, π =, Hπ, 0 =, Hπ, π =. k k k k k k k k oiché det H0, π = det Hπ, π = k 2 < 0, i due punti 0, π e π, π sono punti di sella per V 1 ; poiché det Hπ, 0 = k 2 > 0 e il primo elemento 2k è negativo, il punto π, 0 è un punto di massimo per V 1 ; infine, poiché det H0, 0 = k 2 > 0 e il primo elemento 2k è positivo, il punto 0, 0 è un punto di minimo per V 1. oiché la derivata seconda di V 2 è 2k > 0, z 0 è un punto di minimo per V 2. In conclusione la configurazione di euilibrio Q 1 è stabile, per il teorema di Dirichlet-Lagrange. Al contrario, le altre configurazioni di euilibrio, dal momento che corrispondono a punti di sella per l energia potenziale totale V, sono instabili. Se il punto 2 viene fissato nella configurazione θ 2 = 0, la lagrangiana si semplifica in L = 1 2 m θ2 1 + ż 2 1 mgz1 + k z cos θ 1, da cui si ottengono le euazioni di Eulero-Lagrange m θ 1 = 2k sin θ 1, m z 1 = mg 2kz 1.

3 ESERCIZI 123 Quindi le due euazioni si disaccoppiano e ciascuna di esse descrive un sistema unidimensionale. In termini della variabile z := z 1 + mg/2k, la seconda euazione diventa m z = 2kz, che descrive un oscillatore armonico di freuenza ω := 2k/m, che può essere discusso come nel 7.2. La prima euazione descrive invece un pendolo di lunghezza l := gm/2k cfr. la 24.1, il cui moto può essere discusso come nel 24. Infine, nel caso del punto 6, il moto avviene nel piano xz, che ruota intorno all asse z con velocità angolare costante ω. I punti 0 e 2 sono fissi nelle configurazioni 1 = 1, 1 e 2 = 1, 1, mentre il punto 1 = x 1, z 1 è libero di muoversi nel piano. La lagrangiana del sistema è data da L = T V, con T = 1 2 m ẋ ż 2 1, V = mgz k x z x z mω2 x 2 1, dove l ultimo termine rappresenta il contributo dovuto alla forza centrifuga cfr. l esercizio 7. Il sistema si disaccoppia nuovamente in due sistemi unidimensionali, i uali sono ora descritti dalla lagrangiane L 1 = T 1 V 1, T 1 = 1 2 mẋ2 1, V 1 = k x 2 1 2x mω2 x 2 1, L 2 = T 2 V 2, T 2 = 1 2 mż2 1, V 2 = kz mgz 1, da cui si ricavano le euazioni di Eulero-Lagrange mẍ 1 = 2k mω 2 x 1 + 2k, m z 1 = mg 2kz 1. Se 2k mω 2, si ha l unica configurazione di euilibrio x 1, z 1 = x 0, z 0, con x 0 := 2k/2k mω 2 e z 0 definito come nel caso precedente; poiché la derivata seconda di V 1 vale 2k mω 2, tale configurazione di euilibrio è stabile se 2k > mω 2 e instabile se 2k < mω 2. Se, al contrario, si ha 2k = mω 2, non si hanno configurazioni di euilibrio, dal momento che, tenuto conto che k > 0, il campo vettoriale è sempre diverso da zero in tal caso.] Esercizio 42 Un sistema meccanico è costituito da 2 dischi omogenei di massa m e raggio r = 2, vincolati a rotolare senza strisciare in un piano verticale, il primo lungo la retta y = x e il secondo lungo la retta y = x. I centri C 1 e C 2 dei due dischi sono collegati tra loro da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. Inoltre i due dischi sono sottoposti alla forza di gravità; sia g l accelerazione di gravità. 1 Si scriva la lagrangiana del sistema, usando come coordinate lagrangiane le ascisse x 1 e x 2 dei punti di contatto 1 e 2 dei due dischi con le rispettive guide. [Si ricorda che il momento principale d inerzia di un disco di massa m e raggio r intorno al proprio asse di rotazione è I 3 = mr 2 /2.] 2 Si scrivano le corrispondenti euazioni di Eulero-Lagrange. 3 Si determinino le configurazioni di euilibrio in funzione dei parametri positivi m, g e k. 4 Se ne discuta la stabilità al variare dei parametri. 5 Si determinino le configurazioni di euilibrio relativo se il piano ruota intorno all asse y con velocità angolare costante ω e se ne discuta la stabilità al variare dei parametri m, g, k e ω. 6 Si supponga ora che il primo disco sia fissato lungo la guida in modo tale che il suo centro C 1 si trovi sull asse y; in tal caso si può utilizzare come coordinata lagrangiana la sola variabile x 2. Si calcolino le nuove configurazioni di euilibrio relativo e se ne discuta la stabilità, sempre nel caso in cui il piano ruoti intorno all asse verticale con velocità angolare costante ω. In particolare si studi ualitativamente il moto del sistema unidimensionale corrispondente.

4 302 CAITOLO 17. TRASFORMAZIONI CANONICHE come si verifica immediatamente attraverso la sostituzione t = log, si trova Q2 F 1, Q = + log + cq, 4 log dove cq è una funzione arbitraria della sola Q. Dividendo la prima euazione della trasformazione pert la seconda si trova = Q 2 log = F 1 Q = = Q 2 log + c Q = Q 2 log, che consente di scegliere cq = 0, così da ottenere F 1, Q = Q 2 /4 log + log.] Esercizio 98 Si consideri la trasformazione di coordinate 1 p2 Q = 2, p = 2 p 1 p. 1 Si dimostri che è canonica verificando che si conservano le parentesi di oisson fondamentali. 2 Si trovi una funzione generatrice di seconda specie F,. 3 Si dimostri che 2 p = Q 2. 4 Si utilizzi 3 e l espressione di in termini di e p per esprimere in termini di Q e. 5 Si calcoli la trasformazione inversa, esplicitando anche p in funzione di Q e. 6 Si consideri il sistema hamiltoniano descritto dall hamiltoniana H, p = 2 p 1 p 1 : si determini esplicitamente la soluzione con dati iniziali 0, p0 = 1, 2. [Soluzione. er calcolo esplicito, si trova Q p = 2p1 2 p 21 p2 3, p Q p = 21 p 2 p = = 2p 1 p + 2 p 2 1 p 2, p = 2 1 p + 3 p 1 p 2, 1 p2 2 p 2, così che si ha {Q, } = Q p Q p = 2p1 p 21 p p 3 p 1 p + 3 p 1 p p 1 p2 2p 2 + p 2 p 2 1 p + 2 p 2 1 p 2 = 2 + 2p 21 p p 21 p p p 1 p p Dalla seconda euazione si ottiene 1 p = 2 p = = p + 2 = p = +, = 1.

5 ESERCIZI 303 così che, integrando in e utilizzando la definizione di procedimento di seconda specie, si trova F = p = = F, = d + + = log log + + c 1, dove c 1 è una funzione arbitraria di. Nel calcolare l integrale si è tenuto conto che + = A + B = A = B = 1. + Analogamente, inserendo l espressione di p in termini di e nella prima euazione, si trova 1 2 Q = + + = = +, da cui si deduce, ragionando in modo analogo a prima per calcolare l integrale, F = Q = = F, = d + + = log log + + c 2, dove c 2 è una funzione arbitraria di. Le due espressioni diventano uguali scegliendo c 1 = log e c 2 = log, da cui si ottiene la funzione generatrice di seconda specie F, = log + log log + = log. + Si verifica facilmente che Si ha uindi = Q 2 1 Q 2 da cui si ricava immediatamente Q 2 = 1 p2 2 p 2 p 2 1 p 2 = 2 p. = 1 Q 2 = Q = Q 2 p = Q 2 Q 2 1 Q 1 Q 2 2 = Q 2. Quindi la trasformazione inversa è da da = Q 2 1 Q, p = 1 Q 2 Q 2. = 1 Q = = Q 2 1 Q, Dal momento che la trasformazione è simplettica in uanto canonica e indipendente dal tempo, l hamiltoniana nelle coordinate Q, è semplicemente l hamiltoniana H espressa nelle nuove coordinate: uindi si ha ĤQ, =. Le corrispondenti euazioni di Hamilton sono Q = 1, = 0, che si integrano banalmente e dànno

6 304 CAITOLO 17. TRASFORMAZIONI CANONICHE dove i dati iniziali Q0 e 0 sono dati da Q0 = 1 0 p p0 Qt = Q0 + t, t = 0, = 1 2, 0 = 2 0 p0 1 0 p0 = 2 = Qt = 1 + t, t = 2. 2 In conclusione t = 1 + 2t 1 + 2t + t2, pt = 1 + t 1 + 2t rappresenta la soluzione delle euazioni del moto in termini delle coordinate originali.]