Scritto di Analisi II e Meccanica razionale del

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1 Scritto di Analisi II e Meccanica razionale del Esercizio di meccanica razionale Una terna cartesiana Oxyz ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Nel piano Oxy un asta rettilinea pesante OA di lunghezza a si muove con punto fisso O, confinata fra le due pareti verticali evidenziate in figura. La densità lineare dell asta è data da λ(p = m P O /a 2, P OA, dove m indica una massa caratteristica. Una molla ideale di costante elastica k = mg/a collega l estremo A con il punto fisso B(, a,. Usando l angolo θ [ π/6, π/6] in figura come parametro lagrangiano, e assumendo i vincoli ideali, determinare del sistema: (a gli equilibri ordinari relativi a Oxyz; (b le proprietà di stabilità dei predetti equilibri; (c l energia cinetica relativa a Oxyz; (d le equazioni pure del moto in forma normale del primo ordine; (e gli equilibri di confine. 1

2 Soluzione (a Equilibri ordinari relativi a Oxyz Il sistema è scleronomo, a vincoli unilaterali ideali e soggetto esclusivamente a sollecitazioni posizionali conservative, rappresentate dal peso, dall interazione elastica fra i punti A, B e dalle forze centrifughe. È facile convincersi che le forze di Coriolis, seppur presenti, hanno componente generalizzata nulla in quanto ortogonali al piano vincolare Oxy. Vale infatti, formalmente: Q Cor θ = i 2m i ωê 2 P i P i θ = 2ωê 2 i m i P i P i θ = essendo i vettori P i e P i / θ entrambi paralleli a Oxy. Si procede quindi al calcolo dei potenziali associati alle forze peso, elastiche e centrifughe. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale è dato dalla relazione: U g = Mg ê 2 (G O in cui figurano la massa M e il baricentro G dell asta. La massa si ricava per integrazione diretta della densità, assumendo come parametro d integrazione l ascissa curvilinea misurata da O: m M = a ξ dξ = m a 2 2 a 2 2 = m 2. La posizione del baricentro G lungo l asta è invece individuata dall ascissa curvilinea: ξ G = 1 M ξ λ dξ = 2 m ξ m a 2 ξ dξ = 2 a a 2 = 2 a per cui il vettore posizione di G si scrive: G O = 2 a sin θ ê 1 2 a cos θ ê 2. Il potenziale gravitazionale del sistema diventa pertanto: U g = m 2 g ê 2 ( 2 a sin θ ê 1 2 a cos θ ê 2 = 1 mga cos θ. Potenziale elastico Il potenziale elastico associato alla molla di costante elastica k = mg/a vale: U el = 1 2 mg A B 2 a 2

3 con: e quindi: per cui: A O = a sin θ ê 1 a cos θ ê 2 B O = a ê 2 U el = 1 2 A B = a sin θ ê 1 + a(1 cos θ ê 2 mg a a2 [sin 2 θ + (1 cos θ 2 ] = mga (cos θ 1. Potenziale centrifugo Il potenziale delle forze centrifughe agenti sull asta è dato dalla formula generale: U cf = ω2 2 I Oy dove il momento d inerzia dell asta rispetto all asse di rotazione Oy della terna Oxyz viene calcolato facilmente usando la definizione e parametrizzando l asta per mezzo dell ascissa curvilinea ξ [, a] misurata da O: I Oy = (ξ sin θ 2 m a 2 ξ dξ = m a 2 sin2 θ ξ dξ = m a 2 sin2 θ a = ma2 sin2 θ in modo che risulta: U cf = ma2 ω 2 sin 2 θ. Potenziale del sistema La somma dei potenziali parziali definisce il potenziale del sistema: U(θ = U g + U el + U cf = 1 mga cos θ + mga cos θ + ma2 ω 2 sin 2 θ = = mga cos θ + ma2 ω 2 sin 2 θ, θ [ π/6, π/6], essendosi omesse le costanti additive, irrilevanti. Equilibri ordinari Gli equilibri ordinari sono i punti critici del potenziale compresi all interno dell intervallo di definizione della parametrizzazione del sistema scleronomo. Poichè la derivata prima del potenziale risulta: U (θ = mga sin θ + ma2 ω 2 si tratta quindi di risolvere l equazione trigonometrica: sin θ cos θ, θ [ π/6, π/6], mga sin θ + ma2 ω 2 sin θ cos θ =, θ ( π/6, π/6,

4 che equivale a: ( sin θ cos θ 16g aω 2 Due soluzioni si hanno per sin θ = : =, θ ( π/6, π/6. θ = θ = π ma di esse soltanto la prima è accettabile, in quanto ricompresa nell intervallo ( π/6, π/6. Altre due soluzioni si hanno invece per cos θ 16g/aω 2 = : ( 16g θ = arccos aω 2 ( 16g := θ θ = arccos aω 2 = θ ma sono definite in ( π/6, π/6 e distinte dall equilibrio θ = se e solo se: Posto per brevità: 2 < 16g aω 2 < 1. λ = 16g aω 2, si conclude pertanto che il sistema ammette tre equilibri ordinari: θ = definito incondizionatamente; θ = arccos λ = θ, definito per /2 < λ < 1; θ = θ, definito anch esso per /2 < λ < 1. (b Stabilità degli equilibri Per l analisi di stabilità dell equilibrio si calcola la derivata seconda del potenziale: U (θ = mga cos θ + ma2 ω 2 (cos 2 θ sin 2 θ in ciascun equilibrio ordinario. Configurazione θ = In questa posizione la derivata seconda del potenziale è data dall espressione: U ( = mga + ma2 ω 2 = ma2 ω 2 (1 λ che non ha segno negativo ed obbliga a considerare tre diversi casi. Se λ < 1 risulta U ( > e l equilibrio è instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet;

5 per λ > 1 si ha invece U ( < e l equilibrio viene riconosciuto come un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet; se infine λ = 1 vale invece U ( = e l analisi di stabilità richiede uno studio più accurato. Per esempio si può considerare una approssimazione di Taylor di ordine superiore al secondo nell intorno di θ =. Per λ = 1 il potenziale si riduce a: U(θ = ma2 ω 2 ed ammette le derivate successive: che in θ = assumono i valori: ( λ cos θ sin2 θ = ma2 ω 2 ( cos θ sin2 θ U (θ = ma2 ω 2 ( sin θ sin 2θ U (θ = ma2 ω 2 ( cos θ + cos 2θ U ( (θ = ma2 ω 2 ( sin θ 2 sin 2θ U ( (θ = ma2 ω 2 ( cos θ cos 2θ U ( = U ( = U ( ( = U ( ( = ma2 ω 2. Il potenziale si può quindi approssimare mediante il polinomio di Taylor al quarto ordine: U(θ = ma2 ω 2 ] [1 θ! + o(θ (θ dal quale si deduce che l equilibrio costituisce in effetti un massimo relativo proprio, di cui il teorema di Lagrange-Dirichlet assicura la stabilità. Configurazione θ = θ Nella fattispecie si ha la derivata seconda: che essendo λ = cos θ si riduce a: U (θ = ma2 ω 2 ( λ cos θ + cos 2 θ sin 2 θ U (θ = ma2 ω 2 sin 2 θ e presenta certamente segno negativo in quanto θ (, π/6. Ne deriva che la configurazione costituisce sempre, quando definita, un massimo relativo proprio del potenziale e che la sua stabilità segue dal teorema di Lagrange-Dirichlet. 5

6 Configurazione θ = θ Per analizzare la stabilità di questo equilibrio basta osservare che la derivata seconda del potenziale è una funzione pari dell angolo θ: U (θ = U ( θ θ ( π/6, π/6 per cui essa assume in θ = θ lo stesso valore negativo già calcolato in θ = θ : U ( θ = U (θ = ma2 ω 2 sin 2 θ <, che implica la stabilità dell equilibrio grazie al teorema di Lagrange-Dirichlet. (c Energia cinetica relativa a Oxyz Rispetto alla terna Oxyz l asta OA ruota attorno all asse fisso Oz con velocità angolare θê. L energia cinetica si scrive perciò: T = 1 2 I Oz θ 2 in termini del momento d inerzia relativo all asse fisso Oz: I Oz = ξ 2 m a 2 ξ dξ = m a 2 ξ dξ = m a 2 a = ma2 che porge così: T = ma2 θ 2. (d Equazioni del moto Le equazioni pure del moto si riducono all unica equazione di Lagrange: d dt dove figura la lagrangiana del sistema: ( L θ L θ = L = T + U = ma2 θ 2 + mga cos θ + ma2 ω 2 sin 2 θ. Ne seguono i termini parziali del binomio di Lagrange: d ( L dt θ = ma2 θ che forniscono l equazione del moto richiesta: L θ = mga sin θ + ma2 ω 2 sin θ cos θ ma 2 θ + mga sin θ ma2 ω 2 sin θ cos θ =. 6

7 La forma normale dell equazione si ricava esplicitando la derivata seconda θ: θ = 16g aω 2 sin θ + ω2 sin θ cos θ e basta introdurre la derivata θ come variabile ausiliaria per ridurre il sistema al primo ordine: { θ = v v = 16g aω sin θ + (θ, v ( π/6, π/6 R. 2 ω2 sin θ cos θ (e Equilibri di confine Il sistema presenta due configurazioni di confine, per θ = π/6 e per θ = π/6. Grazie all ipotesi dei vincoli ideali, gli eventuali equilibri di confine sono caratterizzati mediante il teorema dei lavori virtuali. In definitiva, si deve valutare il segno della forza generalizzata: in ciascuna configurazione di confine. U (θ = ma2 ω 2 sin θ (cos θ λ (1 Configurazione θ = π/6 Il teorema dei lavori virtuali prescrive che questa configurazione sia di equilibrio se e soltanto se: U ( π/6 δθ δθ ossia: U ( π/6. Sostituendo l espressione (1 la condizione di equilibrio diventa: ovvero, equivalentemente: ma 2 ω 2 ( 1 ( 2 2 λ λ 2. Configurazione θ = π/6 In questo caso la condizione di equilibrio espressa dal teorema dei lavori virtuali assume la forma: U (π/6 δθ δθ e quindi: U (π/6. In forza della (1, la condizione di equilibrio si scrive: ma 2 ω 2 1 ( 2 2 λ 7

8 ed equivale a: λ 2. Si osservi che la condizione di esistenza è la stessa per entrambi gli equilibri di confine, e che essa corrisponde altresì alla condizione necessaria e sufficiente affinchè gli equilibri simmetrici θ = θ e θ = θ non siano definiti.