Prova scritta di meccanica razionale del

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1 Esercizio 1 Una piastra quadrata L = OABC di lato a giace nel piano coordinato Oxy di una terna Oxyz = Oê 1 ê ê ad essa solidale, con i lati OA e OC posti lungo gli assi Ox e Oy rispettivamente. La densità della piastra vale: σ(q = µ a 4 Q B Q L, dove µ è una massa caratteristica. Un punto P di massa µ è saldato a L in B. Determinare del sistema: (a la massa e la posizione del baricentro; (b la matrice d inerzia relativa alla terna Oxyz; (c il momento d inerzia rispetto all asse AB; Prova scritta di meccanica razionale del (d il momento angolare in O e l energia cinetica relativi ad una terna inerziale Oξηζ dove O è fisso e la velocità angolare della piastra vale ω = ωê 1 + ωê, con ω costante. (e Determinare inoltre la forza centrifuga che si esercita su P nella terna Oxyz. 1

2 Esercizio Nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz un disco circolare omogeneo D, di centro C, raggio a e massa m, rotola senza strisciare lungo l asse orizzontale Ox. Un punto materiale P di massa m è saldato sul bordo di D, in modo che P possa sovrapporsi ad O durante il moto. Un punto Q di massa m può invece scorrere liberamente su D mantenendosi a distanza a/ dal centro C. Il sistema è pesante e a vincoli ideali. Una molla ideale di costante elastica k collega O a C. Resistenze viscose di costante β sono applicate in C, P e Q. Usare i parametri lagrangiani s, φ R in figura per determinare: (a l energia cinetica del sistema; (b le componenti generalizzate del sistema di resistenze viscose, verificandone la natura sotto il profilo energetico; (c due equilibri del sistema; (d le proprietà di stabilità dei predetti equilibri; (e le equazioni pure del moto; (f le frequenze e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile, nel caso sia β = e k = mg/a.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro Massa della piastra La massa della piastra deve essere determinata per integrazione diretta della densità σ sul dominio L: m L = σ da = dx dy µ [ (x a + (y a ] a 4 L e con il cambiamento di variabili (ξ, η = (a x, a y diventa: m L = µ a 4 dξ ] a dη ( ξ + η = µ a 4 dξ [ξ η + η = µ η= a 4 = µ [ ] ξ a a 4 a + a ξ = µ ( a 4 a 4 + a4 (ξ a + a dξ = = µ. Massa del sistema Sommando la massa µ del punto P a quella della piastra si ottiene la massa totale del sistema: m = µ + m L = µ + µ = 5 µ. Baricentro della piastra È del tutto evidente che la bisettrice y = x nel piano Oxy costituisce un asse di simmetria per la piastra. I punti simmetrici a tale retta, infatti, sono necessariamente ad eguale distanza dal vertice B e presentano perciò lo stesso valore della densità areale, che di tale distanza è funzione. Il vettore posizione che individua il baricentro G L della piastra rispetto alla terna Oxyz assume quindi la forma: e richiede il calcolo diretto della sola ascissa: x L = 1 m L L G L O = x L ê 1 + x L ê x σ da = µ dx dy x µ a 4 [ (x a + (y a ] che con lo stesso cambiamento di variabili (ξ, η = (a x, a y introdotto sopra diventa: x L = a 4 = a 4 dξ dη (a ξ(ξ + η = a 4 dξ (a ξ [ξ η + η ] a η= = a 4 dξ (a ξ dη (ξ + η = dξ (a ξ (aξ + a =

4 = a 4 (a ξ + a4 aξ a ξ dξ = [a ξ a 4 + a4 ξ aξ4 4 a = ( a 5 a 4 + a5 a5 4 a5 6 = Il baricentro della piastra è quindi individuato da: ( a = 8 a. G L O = 8 aê aê. ξ ] a = Baricentro del sistema Il baricentro G del sistema viene determinato per mezzo del teorema distributivo: G O = m L(G L O + µ(p O m che sostituendo i vettori posizione e i valori delle masse porge: G O = [ ( 5µ µ 8 aê 1 + ] 8 aê + µ(aê 1 + aê = = ( a + a 5 4ê1 4 aê + aê 1 + aê = 5 5( 4 aê aê = 4 aê aê. Si osservi che l ascissa e l ordinata di G sono uguali, come si poteva stabilire a priori riconoscendo che l asse y = x nel piano Oxy è di simmetria per l intero sistema la retta passa infatti per P. (b Matrice d inerzia relativa a Oxyz La matrice d inerzia del sistema rispetto alla terna Oxyz viene calcolata come somma delle matrici d inerzia di piasta e punto P, relativamente alla stessa terna. Matrice d inerzia della piastra La piastra giace interamente nel piano coordinato Oxy, per cui risultano nulli i prodotti d inerzia L L xz e L L yz, mentre il momento d inerzia relativo all asse Oz coincide con la somma dei momenti d inerzia relativi agli altri assi coordinati: L L zz = L L xx + L L yy. La presenza dell asse di simmetria y = x nel piano Oxy implica poi che i momenti L L xx e L L yy siano uguali, come si verifica immediatamente mediante il cambiamento di coordinate (x, y (y, x che descrive la simmetria rispetto allo stesso asse e che lascia invariati tanto il dominio di integrazione quanto la densità: L L xx = a dx dy y σ(x, y = dy dx x σ(y, x = 4 dy dx x σ(x, y = L L yy.

5 La matrice d inerzia assume perciò la forma semplificata: L L [L L xx L L xy O] = L L xy L L xx L L xx nella quale ci si aspetta che sia L L xy <, dato il segno non negativo di ascissa ed ordinata per tutti i punti della piastra. Si calcolano quindi, per integrazione diretta e con il solito cambio di variabili, il solo momento d inerzia indipendente: L L xx = L = µ a 4 = µ a 4 = µ a 4 = µ a 4 y σ da = dξ dx dy y µ a 4 [ (x a + (y a ] = dη (η a (ξ + η = µ a 4 dη (η a [ ξ ] a + η ξ ξ= (η aη + a (aη + a = µ a 4 dη = dη (η a dξ (ξ + η = ( a dη (η a + aη = (aη 4 + a η a η a4 η + a η + a5 dη = = µ [ a η5 a a η η4 a 4 = µa ( e l unico prodotto d inerzia non banale: L L xy = L = µ a 4 = µ a 4 = µ a 4 xyσ da = dξ dξ dξ dx a4 η ] a η + a + a5 η = = 1 9 µa dy xy µ a 4 [ (x a + (y a ] = dη (a ξ(a η(ξ + η = dη (a aη aξ + ξη(ξ + η = dη (a ξ aξ η aξ + ξ η + a η aη aξη + ξη = 5

6 = µ a 4 = µ a 4 dξ (a ξ a aξ a aξ a + ξ a ( a ξ a ξ + a5 1 a4 1 ξ dξ = a + a aa4 4 a aξ + ξ a4 = 4 = µ ( a a a 4 a a a5 1 a a4 a = µa ( = µa in modo che la matrice richiesta risulta: 1/9 1/1 [L L O ] = µa 1/1 1/9. 1/45 Matrice d inerzia del punto materiale La matrice d inerzia di P rispetto alla terna Oxyz si ricava immediatamente dalla definizione, facendo uso del vettore posizione: P O = aê 1 + aê e ricordando che la massa del punto materiale vale µ. Si ha così: a a 1 1 [L P O] = µ a a = µa 1 1. a Matrice d inerzia del sistema La matrice d inerzia del sistema è la somma delle matrici d inerzia relative alla piastra ed al punto: 1/9 1/1 [L O ] = [L L O] + [L P O] = µa 1/1 1/9 1/45 + µa ossia: 1/9 1/1 [L O ] = µa 1/1 1/9. 1/45 (c Momento d inerzia rispetto alla retta AB Poichè la retta AB passa per il punto P, per il calcolo del momento d inerzia del sistema relativo ad AB è sufficiente considerare la sola piastra L il contributo di P risultando chiaramente nullo. La retta AB è parallela all asse coordinato Oy, ma non passa per il baricentro G L della piastra. Si rende quindi necessaria una doppia applicazione del teorema di Huygens-Steiner, facendo riferimento all asse baricentrale Gy. Si hanno così le relazioni: I L Oy = I L G L y + m L x L I L AB = I L G L y + m L (a x L 6

7 dalle quali si deduce: e quindi: I L AB = I L Oy m L x L + m L (a x L = I L Oy + m L a(a x L I L AB = 1 9 µa + µ a ( a 8 a essendo I L Oy = LL yy = (1/9µa, m L = (/µ e x L = (/8a. = 1 9 µa µa = µa, (d Momento angolare in O ed energia cinetica relativi alla terna assoluta Rispetto alla terna assoluta Oξηζ il punto O del sistema rigido si mantiene fisso, mentre la velocità angolare è data da ω = ωê 1 + ωê, con ω costante. Momento angolare in O Rappresentando vettori e operatore d inerzia rispetto alla base solidale ê 1 ê ê, nella terna assoluta il momento angolare in O del sistema si scrive: K O = K 1 ê 1 + K ê + K ê con le componenti definite dalla relazione algebrica: K 1 K = [L O ] ω 1 ω K ω dove [L O ] rappresenta la matrice d inerzia del sistema rispetto alla terna solidale e ω 1, ω, ω indicano le componenti di ω rispetto alla stessa terna: Si ha dunque: K 1 K K = µa ω 1 = ω ω = ω = ω. 1/9 1/1 1/1 1/9 1/45 per cui il momento angolare vale: ( 1 K O = µa ω ω ω 9 ê1 1 1ê ê = µa ω 1/9 1/1 1/45 Energia cinetica L energia cinetica relativa a Oξηζ del corpo rigido, che in tale terna ha punto fisso O, è data dalla formula generale: T = 1 K O ω che nella fattispecie si riduce a: T = 1 ( 1 µa ω 9 ê ê = 1 ( 1 µa ω ê. ω(ê 1 + ê = = 1 µa ω 1 = 1 6 µa ω. 7

8 (e Forza centrifuga agente su P Nel sistema di riferimento solidale Oxyz la velocità angolare di trascinamento della terna Oxyz rispetto a Oξηζ è espressa dal vettore costante: ω = ωê 1 + ωê. Ciò significa che la derivata di ω relativa alla terna solidale Oxyz è costantemente uguale a zero, dal momento che costanti sono le componenti di ω relative a tale terna: d r ω dt = dω dt ê1 + dω dt ê = ê 1 + ê =. La derivata assoluta dello stesso vettore relativa cioè alla terna Oξηζ è allora espressa dalla relazione: d ω = d r ω + ω ω = d r ω = dt dt dt e risulta costantemente nulla a propria volta. Se ne conclude che il vettore velocità angolare del corpo rigido è costante anche rispetto alla terna di riferimento assoluta. Data la presenza del punto fisso O, il corpo rigido e la terna Oxyz ad esso solidale si muovono dunque di moto rotatorio uniforme attorno all asse fisso O ω. La terna Oxyz è così sede di forze d inerzia. Sul punto P, di massa µ, agisce in particolare la forza centrifuga: [ ] F cf = µ ω [ ω (P O] = µ ω (P O (P O ω ω che va espressa in termini dei vettori: Si ha allora: ω = ω(ê 1 + ê P O = a(ê 1 + ê. (P O ω = a(ê 1 + ê ω(ê 1 + ê = aω ω = ω per cui: F cf = µ [ ω a(ê 1 + ê aω ω(ê 1 + ê ] = = µaω (ê 1 + ê ê 1 ê = µaω (ê 1 + ê ê. Soluzione dell esercizio (a Energia cinetica L energia cinetica del sistema è data dalla somma delle energie cinetiche del disco e dei punti P e Q, che conviene senz altro determinare separatamente. Energia cinetica del disco Il disco rotola senza strisciare lungo l asse Ox e la sua velocità angolare si scrive perciò: ω D = aṡ a ê = ṡê. 8

9 Data la mancanza di punti fissi, si ricorre al teorema di König: T D = m Ċ + 1 I Cz ω D = m aṡê ma ṡê = ma ṡ + ma 4 ṡ = 4 ma ṡ notando che il baricentro di D coincide con il centro geometrico e di simmetria C, e che il vettore posizione di questo vale C O = asê 1 + aê, con corrispondente velocità Ċ = aṡê 1. Energia cinetica del punto P Siccome per ipotesi i punti P ed O devono potersi sovrapporre lungo il moto, è evidente che quando il disco tocca l asse Ox in O il punto P deve coincidere proprio con O. La condizione di puro rotolamento impone allora che al procedere del moto l arco descritto dal punto materiale P lungo il bordo del disco debba avere lunghezza pari al corrispondente cammino as percorso lungo l asse Ox dal punto di contatto con il disco. L angolo di rotazione del disco, misurato fra il raggio P C e la verticale condotta da C verso il basso, è così uguale ad s, ma orientato in senso orario. La posizione del punto P rispetto alla terna Oxyz è perciò individuata dal vettore: P O = C O + P C = asê 1 +aê a sin s ê 1 a cos s ê = a(s sin sê 1 +a(1 cos sê che derivato in t porge la velocità istantanea: L energia cinetica di P risulta così: P = a(1 cos sṡ ê 1 + a sin sṡ ê. T P = m P = ma [ (1 cos s + sin s ] ṡ = ma (1 cos s + 1ṡ = ma (1 cos sṡ. Energia cinetica del punto Q Il vettore posizione di Q si scrive: Q O = C O + Q C = asê 1 + aê + a sin φ ê 1 a cos φ ê = = a (s + 1 sin φ ê 1 + a (1 1 cos φ e fornisce l espressione della velocità istantanea: da cui si deduce l energia cinetica richiesta: ( Q = a ṡ + 1 cos φ φ ê 1 + a sin φ φ ê T Q = m [ ( Q = ma ṡ cos φ φ + 4 sin φ φ 9 ] = ma ê (ṡ + cos φ ṡ φ φ.

10 Energia cinetica del sistema La somma delle tre energie cinetiche parziali appena calcolate definisce l energia cinetica del sistema: T = T D + T P + T Q = ( 4 ma ṡ + ma (1 cos sṡ + ma ṡ + cos φ ṡ φ φ = [ ( = ma 9 cos s ṡ + cos φ ṡ φ + 1 ]. 4 φ (b Resistenze viscose Le resistenze viscose applicate nei punti P, Q e C sono date rispettivamente da: F P = β P F Q = β Q F C = βċ e le componenti generalizzate di questo sistema di sollecitazioni risultano: Q β s = βp P s β Q Q C βċ s s Q β φ = β P P φ β Q Q C βċ φ φ. Dai vettori posizione P O, Q O, C O si ricavano le derivate parziali: P s = a(1 cos sê 1 + a sin s ê P φ = Q s = a ê C 1 s = a ê 1 Q φ = a ( C cos φ ê1 + sin φ ê φ = mentre le velocità istantanee dei punti valgono, come già discusso in precedenza: P = aṡ [(1 cos s ê 1 + sin s ê ] [ ( Q = a ṡ + 1 cos φ φ ê ] sin φ φ ê Ċ = aṡ ê 1. Si hanno così i prodotti scalari: P P s = aṡ [(1 cos s ê 1 + sin s ê ] a [ ] (1 cos sê 1 + sin s ê = = a ṡ [ (1 cos s + sin s ] = a ṡ( cos s = a (1 cos sṡ Q Q s = a [ ( ṡ + 1 cos φ φ ê ] sin φ φ ê a ê 1 = a (ṡ + 1 cos φ φ Ċ C s = aṡ ê 1 a ê 1 = a ṡ 1

11 e: P P φ = Q Q φ = a P = [ ( ṡ + 1 = a Ċ C φ = Ċ = cos φ φ ê ] sin φ φ ê ( ṡ cos φ + 1 cos φ φ + 1 sin φ φ a ( cos φ ê1 + sin φ ê = ( = a ṡ cos φ + 1 φ dai quali seguono le componenti generalizzate del sistema di forze viscose: Q β s = βa [(4 cos sṡ + 1 ] cos φ φ ( Q β φ = βa ṡ cos φ + 1 φ. Ci si aspetta che dette sollecitazioni abbiano natura dissipativa. In effetti la potenza corrispondente si scrive come forma quadratica delle velocità generalizzate: π β = Q β s ṡ + Q β φ φ = [ = βa (4 cos sṡ + 1 cos φ ṡ φ + 1 cos φ ṡ φ + 1 ] ( 4 φ = βa (ṡ φ Λ(s, φ ṡ φ in termini della matrice ausiliaria: Λ(s, φ = 4 cos s 1 cos φ 1 cos φ 1 4 che per ogni (s, φ R è reale, simmetrica e definita positiva per il criterio di Jacobi, risultando positivi tutti i minori fondamentali nord-ovest: Λ(s, φ 11 = 4 cos s > detλ(s, φ = 1 1 cos s 1 4 cos φ 1 4 >. Ne deriva che: e che: π β (s, φ, ṡ, φ (s, φ, ṡ, φ R 4 π β (s, φ, ṡ, φ = (ṡ, φ = (,, per cui la sollecitazione ha, in effetti, carattere completamente dissipativo. 11

12 (c Equilibri Le sollecitazioni dissipative hanno componenti generalizzate nulle per (ṡ, φ = (, e possono quindi essere ignorate nello studio della statica. Le altre sollecitazioni attive agenti sul sistema sono di tipo posizionale conservativo: il peso e l interazione elastica fra C ed O. Potenziale delle forze peso Il peso agisce sul disco D, sul punto P e sul punto Q, tutti di massa m. Ribadito che il baricentro del disco si identifica con il suo centro C, il potenziale delle forze peso è la somma dei potenziali gravitazionali dei tre corpi costituenti il sistema: U g = mg ê (C O mg ê (P O mg ê (Q O = = mga mga(1 cos s mga (1 1 cos φ = mga ( + cos s + 1 cos φ. Potenziale elastico Il potenziale associato alla molla ideale tesa fra C ed O risulta: U el = k C O = k (a s + a = ka (s + 1. Potenziale del sistema La somma dei potenziali gravitazionale ed elastico fornisce il potenziale del sistema: U(s, φ = mga (cos s + 1 cos φ ka s, (s, φ R, espressione nella quale si sono omesse le costanti additive. Equilibri Il sistema è scleronomo e a vincoli bilaterali; di conseguenza, gli equilibri risultano tutti ordinari e vanno identificati con i punti critici del potenziale U. Si calcolano dunque le derivate parziali prime: U s (s, φ = mga sin s ka s U φ (s, φ = 1 mga sin φ e se ne impone il simultaneo annullarsi nella stessa configurazione: mga sin s ka s = 1 mga sin φ =. La seconda equazione di equilibrio ammette due sole soluzioni fisicamente distinte: φ = φ = π 1

13 mentre un ovvia soluzione della prima si ha per s =. Due equilibri sono pertanto: (s, φ = (, (s, φ = (, π. Altri equilibri potrebbero ricavarsi per s riesprimendo l equazione in s nella forma: sin s s = ka mg dove la ben nota funzione a primo membro ha il grafico illustrato nella figura seguente: È evidente che ulteriori valori di equilibrio per la variabile s sono definiti per ka/mg > sufficientemente vicino a zero, vale a dire per: ka mg min sin s s R s = Poichè inoltre lim s ± sin s/s =, appare chiaro che il numero di equilibri addizionali cresce al diminuire di ka/mg, cioè all indebolirsi delle forze elastiche rispetto al peso. In ogni caso il numero di equilibri è finito, per cui si tratta certamente di equilibri isolati. (d Stabilità degli equilibri La compresenza di sollecitazioni posizionali conservative e completamente dissipative, l indipendenza dei vincoli dal tempo e il carattere isolato di tutti gli equilibri, autorizzano ad analizzare le proprietà di stabilità dell equilibrio usando la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbasin-Krasovskii. Si determinano le derivate parziali seconde del potenziale: U (s, φ = mga cos s ka s U (s, φ = s φ U (s, φ = φ s U φ (s, φ = 1 mga cos φ e la matrice hessiana corrispondente: ( mga cos s ka H U (s, φ = 1 mga cos φ 1

14 in ciascuna configurazione di equilibrio. Configurazione (s, φ = (, In questo caso la matrice hessiana del potenziale diventa: ( mga ka H U (, = 1 mga e risulta chiaramente definita negativa, individuando l equilibrio come un massimo relativo proprio del potenziale. Il teorema forte di Lagrange-Dirichlet assicura quindi la stabilità asintotica dell equilibrio. Configurazione (s, φ = (, π Nella fattispecie si ha la matrice indefinita: ( mga ka H U (, π = 1 mga che esclude il ricorrere in (s, φ = (, π di un massimo relativo proprio del potenziale in effetti si tratta di un punto di sella. La forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet implica allora l instabilità dell equilibrio. (e Equazioni pure del moto Le equazioni pure del moto sono quelle di Lagrange: d ( L L dt ṡ s = d ( L Qβ s dt φ L φ = Qβ φ in cui figura la lagrangiana L = T + U definita da: L = ma [ ( 9 cos s ṡ + cos φ ṡ φ + 1 ] 4 φ + mga (cos s + 1 cos φ ka s. I termini parziali dei binomi di Lagrange a primo membro sono dati da: L ṡ = ma [ (9 4 cos sṡ + cos φ φ] d ( L = ma [ (9 4 cos s s + cos φ φ + 4 sin s ṡ sin φ φ ] dt ṡ L s = ma sin s ṡ mga sin s ka s L ( ma = cos φ ṡ + 1 φ φ d ( L ( dt φ = ma cos φ s + 1 φ sin φ φṡ L φ = ma sin φ ṡ φ 1 mga sin φ 14

15 per cui le equazioni del moto diventano: ma [ (9 4 cos s s + cos φ φ + sin s ṡ sin φ φ ] + mga sin s + ka s = = βa [ (4 cos sṡ + 1 ] cos φ φ ma ( cos φ s + 1 φ + 1 ( βa mga sin φ = ṡ cos φ + 1 φ. (f Modi normali delle piccole oscillazioni per β = e k = mg/a Per β = il massimo relativo proprio del potenziale (s, φ = (, risulta comunque stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet, sebbene venga meno l attrattività. Per contro, l hessiana del potenziale nella configurazione (s, φ = (, π presenta un autovalore positivo, circostanza che ne assicura l instabilità in forza del teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Degli equilibri esaminati, quindi, soltanto il primo è stabile, ed è solo nell intorno di questo che ha senso studiare le piccole oscillazioni. L analisi richiede il calcolo in (s, φ = (, della matrice rappresentativa dell energia cinetica e della matrice hessiana del potenziale. Matrice dell energia cinetica L energia cinetica del sistema è una forma quadratica definita positiva delle velocità generalizzate: [ ( T = ma 9 cos s ṡ + cos φ ṡ φ + 1 ] 4 φ = 1 ( (ṡ φ A(s, φ ṡ φ secondo la matrice di rappresentazione: che in (s, φ = (, si riduce a: 9 A(s, φ = ma cos s 1 cos φ 1 cos φ 1 4 ( A(, = ma 5/ 1/. 1/ 1/4 Matrice hessiana del potenziale La matrice hessiana del potenziale nella configurazione di equilibrio stabile è già stata ricavata in precedenza. Per k = mg/a essa diventa: ( H U (, = mga. 1/ 15

16 Equazione caratteristica e frequenze normali Le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni sono le soluzioni positive in ω dell equazione caratteristica: det [ ω A(, + H U (, ] = che nella fattispecie assume la forma: [ ( ( ] det ω ma 5/ 1/ + mga = 1/ 1/4 1/ ovvero: [ ( ( ] aω det + = g 1 1/ 1 e con la sostituzione µ = aω /g diventa: ( 5µ 4 µ det =. µ µ/ 1 Calcolando il determinante si ottiene l equazione di secondo grado: ( µ (5µ 4 1 µ = che semplificata si riduce alla forma trinomia: dalla quale seguono le radici reali positive: µ 7µ + 4 = = µ = 7 ± 49 4 = 7 ± 5 = 4 / Posto µ 1 = / e µ = 4, le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni sono quindi date da: ω 1 = g g µ 1 a = ω = g g µ a a = a e le relative frequenze normali diventano: f 1 = ω 1 π = 1 g π a f = ω π = 1 g π a corrispondenti ai modi normali basso e alto, rispettivamente notare che ω 1 < ω. 16

17 Modi normali I modi normali delle piccole oscillazioni sono caratterizzati attraverso le pulsazioni normali e i corrispondenti vettori delle ampiezze, che vanno identificati con una qualsiasi soluzione non nulla del sistema lineare omogeneo: ( ( 5µi 4 µ i ai =, µ i µ i / 1 b i ( ai b i. Poichè i valori caratteristici µ 1, µ sono stati calcolati imponendo che la matrice incompleta del sistema precedente sia singolare, la prima e la seconda riga della stessa matrice sono linearmente dipendenti ed è quindi sufficiente considerare la sola equazione ottenuta dal prodotto della seconda riga (ovvero della prima per il vettore colonna delle ampiezze: una cui soluzione non banale è costituita da: ( µi µ i a i + 1 b i = a i = 1 µ i b i = µ i. Si ricorda che altri valori perfettamente accettabili delle ampiezze a i, b i si ottengono moltiplicando i valori precedenti per un qualsiasi fattore di scala non nullo. Modo basso, associato alla pulsazione ω 1 = / g/a Nel caso µ 1 = / le ampiezze risultano uguali fra loro: a 1 = 1 1 = b 1 = e il relativo modo normale di oscillazione si scrive: ( ( δs 1 = A δφ 1 cos(ω 1 1 t + ϕ 1 t R, con A 1 e ϕ 1 costanti reali arbitrarie. Modo alto, associato alla pulsazione ω = g/a Per µ = 4 si ottengono le ampiezze: a = 1 = 1 b = 4 cui corrisponde un modo normale della forma: ( ( δs 1 = A δφ cos(ω 4 t + ϕ t R, con A e ϕ costanti reali assegnate a piacere. 17