ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017. Ottimizzazione libera

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1 ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA A.A. 2016/2017 Ottimizzazione libera Esercizio 1. Si determinino, se esistono, gli estremi delle seguenti funzioni sui loro domini naturali (da indicare) e le loro quote e specificare eventualmente se si tratti estremi globali: (i) f(x, y) = 4 x 2 (y + 2) 2 ; (ii) f(x, y) = x 3 + xy 2 2x 2 + 4xy; (iii) f(x, y, z) = 3x 2 + y 2 + z 2 6x 2z Soluzione. (i) D = R 2, A = (0, 2) max, con f(a) = 4, globale perché f é strettamente concava; (ii) D = R 2, A = ( 2/3, 2) max locale, B = (2, 2) min locale, f(a) = 40/27, f(b) = 8; (iii) D = R 3, A = (1, 0, 1) min, f(a) = 4, globale perché f é strettamente convessa. Esercizio 2. Si determinino gli estremi della funzione f : R 2 R definita con la f(x, y) = x 3 y (x y)2 x + y. Soluzione. I punti stazionari sono ( ( P 1 =, ); P 2 = 1, 1 ); P 3 = ( 1, 1); P 4 = (1/3, 1/3) Si trova con l Hessiana che gli unici estremi sono P 3 e P 4, rispettivamente massimo locale e minimo locale. Esercizio 3. Si determinino gli estremi della funzione f : R 2 R definita con la f(x, y) = x 4 + y 4 + 8xy 4x 2 4y 2. 1

2 2 ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA Soluzione. I punti stazionari sono P 1 = (0, 0); P 2 = (2, 2); P 3 = ( 2, 2). Si trova con l Hessiana che P 2 e P 3 sono punti di minimo locale, ma nulla si puó dire, con tale metodo, sul punto P 1, perché in tale punto la matrice Hessiana é semidefinita. Se peró osservo che f(p 1 ) = 0, si ha che f(p 1 ) := f(x, y) f(0, 0) = f(x, y). Se consideriamo il primo caso particolare con x = y, ricavo che f(p 1 ) = 2x 4 > 0 per ogni x 0, mentre nel secondo caso, se scelgo y = 0, trovo che f(p 1 ) = x 4 4x 2 = x 2 (x 2 4) < 0 per ogni x 0 sufficientemente piccolo. Pertanto, siccome trovo valori in ogni intorno di P 1 per cui si ha contemporaneamente che f(p 1 ) > 0 e f(p 1 ) < 0, si conclude che necessariamente P 1 é di sella. Esercizio 4. Si determinino gli estremi della funzione f : R 2 R definita con la f(x, y) = (2 x)(2 y)(x + y 2), motivando in modo preciso il fatto che non si tratta comunque di estremi globali. Soluzione. A = (4/3, 4/3) max locale. Esercizio 5. Determinare gli estremi della funzione f : R 2 R definita con la f(x, y) = xy e 2x, motivando in modo preciso se si tratti di estremi locali o globali. Esercizio 6. Determinare gli estremi della funzione f : R 2 R definita con la f(x, y) = 2(x 2 + y 2 + 1) (x 4 + y 4 ). Soluzione. Si ha che (0, 0) é minimo locale, (0, ±1); (±1, 0) sono punti sella, mentre (1, ±1), ( 1 ± 1) sono massimi locali. Esercizio 7. Mostrare che la funzione f(x, y) = x x + y 1 non ammette estremi sul suo dominio naturale D da determinarsi.

3 ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA 3 Soluzione. D = R 2 \ {(x, y) R 2 : y = 1 x}; l unico punto stazionario non sta in D. Esercizio 8. (Difficile) Dimostrare che la funzione f : D R, ove data da D = {(x, y, z) R 3 : x > 0, y > 0, z > 0}, f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2 z ammette un solo punto di minimo. Soluzione. A = (1/2, 1, 1). Esercizio 9. (Difficile) Dimostrare che la funzione f : R 3 R, data da f(x, y, z) = x 2 (y 2) 2 (z + 1) 2, ammette infiniti punti di minimo globale del tipo (0, y, z) oppure (x, 2, z) oppure (x, y, 1). Soluzione. I punti dati sono tutti stazionari. Non conviene qui calcolarsi la matrice Hessiana perché é facile vedere che in tutti i punti stazionari é semidefinita. Se peró si considera f(x, y, z) f(0, y, z) = f(x, y, z), si trova facilmente che f(x, y, z) 0 per ogni (x, y, z) R 3, perché é un prodotto di quantitá positive, quindi ogni punto del tipo (0, y, z) é di minimo globale e lo stesso si puó dire per i punti del secondo e terzo tipo. Esercizio 10. Si determini l unico estremo della funzione f : R 2 R definita con la f(x, y) = x 2 + y(y 1) 2, mostrando che non puó essere globale su tutto il dominio. Trovare poi un sottodominio C R 2 tale che se la f é ristretta a tale sottodominio, allora l estremo trovato è globale.

4 4 ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA Soluzione. L unico estremo è A = (0, 1), con f(a) = 0, min locale rispetto al dominio naturale, perché, ad esempio, f(0, 1) = 4. La funzione è convessa sul sottodominio (che è un semipiano del piano cartesiano) C = {(x, y) R 2 : y 2 3, x R} e se considero f : C R, allora A è minimo globale. Esercizio 11. Si determini l unico estremo della funzione f : R 2 R definita con la f(x, y) = x 2 + y(y 1) 2. mostrando che non puó essere globale su tutto il dominio. Trovare poi un sottodominio C R 2 tale che se la f é ristretta a tale sottodominio, allora l estremo trovato è globale. Soluzione. L unico estremo è B = (0, 1/3), con f(b) = 4/27, max locale rispetto al dominio naturale, perché, ad esempio, f(0, 2) = 2. La funzione è concava sul sottodominio (che è un semipiano del piano cartesiano) C = {(x, y) R 2 : y 2 3, x R} e se considero f : C R, allora A è massimo globale. Esercizio 12. Si determini per quali α R la funzione f : R 2 R definita con la ammette estremi globali. f(x, y) = x 2 + αxy + y 2 4 Soluzione. Per α [ 2, 2] la funzione data é convessa, quindi i suoi punti stazionari, che sono dati dal solo punto O = (0, 0) nel caso α ] 2, 2[ e da tutti i punti del tipo {(x, x) : x R}, se α = 2 oppure da tutti i punti del tipo {(x, x) : x R}, se α = 2, sono minimi globali, cosa che non succede se α < 2 oppure α > 2. In tali casi, infatti, l unico punto stazionario, ossia l origine, é punto sella.

5 Esercizio 13. Data la funzione ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA 5 f(x, y) = (x y)(x 2 + y 2 1) determinare sul suo dominio naturale tutti gli estremi, dimostrando che nessuno di essi é assoluto. Soluzione. Il dominio naturale é ovviamente R 2. Le derivate parziali prime sono rispettivamente f x (x, y) = x 2 + y x(x y) e f y (x, y) = x 2 y y(x y). Passando alla ricerca dei punti stazionari, ossia al sistema { x 2 + y x(x y) = 0 x 2 y y(x y) = 0, sommate la prima equazione con la seconda. In tal modo si ottiene l equazione (x + y)(x y) = 0, che ha come soluzione x = y oppure x = y. Nel primo caso, tornando ad esempio alla prima equazione del suddetto sistema, si trova 2x 2 1 = 0, che porta a x = ± 1/ 2, quindi i primi due punti stazionari sono A = ( 1 2, 1 2 ), B = ( 1 2, 1 2 ). Nel secondo caso, muovendovi analogamente, troverete i punti stazionari ( 1 C = 6, 1 ( ), D = 1 1, ) Ora calcolate le derivate seconde, ossia f xx = 6x 2y, f xy = 2y 2x, f yy = 6y+2x, quindi il determinante della matrice hessiana, in un punto del tipo (x, x), come A e B, é H(x, x) = 16 x 2, pertanto sia A che B sono punti sella. Invece, per i punti del tipo (x, x), come C e D, si ha che H(x, x) = 48 x 2, mentre il primo minore di NW é 8x, pertanto si ricava che nel caso di C la matrice Hessiana é definita positiva, ossia C é minimo locale e allo stesso modo si conclude che D é massimo locale. Tuttavia, notando che f(x, 0) = x(x 2 1), é facile vedere che f(x, 0) per x, mentre f(x, 0) per x, dal che se ne deduce che nessuno degli estremi trovati é globale.

6 6 ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA Esercizio 14. Data la funzione f(x, y) = x 4 + y 4 + 2(x y) determinare sul suo dominio naturale gli estremi, precisando se siano locali o globali. Soluzione. Il dominio naturale é ovviamente R 2. Le derivate parziali prime sono rispettivamente f x (x, y) = 4x 3 + 4(x y) e f y (x, y) = 4y 3 4(x y). Passando alla ricerca dei punti stazionari, ossia al sistema { x 3 + x y = 0 y 3 x + y = 0, sommate la prima equazione con la seconda. In tal modo si ottiene l equazione x 3 + y 3 = 0, che ha come soluzione y = x. Ora, tornando ad esempio alla prima equazione del suddetto sistema, si trova x 3 + 2x = 0, che porta a x(x 2 + 2) = 0 che ha come unica soluzione x = 0. Pertanto, l unico punto stazionario trovato é l origine O = (0, 0). Ora calcolate le derivate seconde, ossia f xx = 12x 2 + 4, f xy = 4, f yy = 12y 2 + 4, quindi se voi voleste calcolare la matrice Hessiana direttamente nell origine trovereste la matrice [ ] 4 4 H(0, 0) = 4 4 che é evidentemente semidefinita positiva e pertanto non avreste alcuna risposta da questo metodo. Tuttavia, se calcolate il determinante della matrice Hessiana in un arbitrario punto (x, y) del piano cartesiano, si ottiene, dopo qualche elementare calcolo, H(x, x) = 144x 2 y x y 2, che é ovviamente sempre maggiore o uguale a zero, visto che é somma di quantitá non negative. Se oltre a ció osserviamo che NW 1 (H(x, y)) = 12x > 0, possiamo concludere che l Hessiana é definita (o tutt al piú semidefinita) positiva su tutto il piano, quindi f é convessa e allora l origine é un punto di minimo globale (unico).

7 Esercizio 15. Data la funzione ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L ECONOMIA 7 f(x, y, z) = 1 2 x2 1 2 x2 z 2 + y 2 + z determinare se sul suo dominio naturale ammetta estremi, precisando eventualmente se siano locali o globali. Soluzione. Il dominio naturale é ovviamente R 3. Le derivate parziali prime sono rispettivamente f x (x, y, z) = x xz 2, f y (x, y, z) = 2y 2, f z (x, y, z) = x 2 z + 1 = 0. I punti stazionari sono A = ( 1, 0, 1) e B = (1, 0, 1) (basta partire dalla prima equazione riscritta nella forma x(1 z 2 ) = 0), mentre le derivate seconde sono f xx = 1 z 2, f xy = 0, f xz = 2xz, f yy = 2, f yz = 0, f zz = x 2. Pertanto, la matrice Hessiana é H(x, y, z) = 1 z2 0 2xz xz 0 x 2 Mostriamo che A non é un estremo e lo stesso ragionamento dimostra che anche B é un punto sella. L Hessiana in A é H( 1, 0, 1) = quindi é immediato vedere che NW 1 (H(A)) = {0, 2, 1}, pertanto ho minori principali di primo ordine (dispari) sia positivi che negativi, dal che se ne conclude che tale matrice é necessariamente indefinita.