Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A

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1 Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio di una pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Non saranno accettate risposte non giustificate. SOLUZIONI Esercizio 1. Dopo aver verificato che le rette r : { 3x 2y 2z + 1 = y + z 2 = s : { 3x + 3y + z + 3 = 3x + 4y 8z + 4 = sono parallele, determinare l equazione di un piano che le contiene entrambe. Per verificare che le rette sono parallele, basta calcolare un vettore direttore di ciascuna. Lo otteniamo come prodotto vettoriale dei vettori normali ai piani che definisono le rette: v r = (3; 2; 2) (; 1; 1) = ( ( 1); ( 2) 1 3; 3 ( 1) + 2 ) = ( 4; 3; 3) = (4; 3; 3) v s = ( 3; 3; 1) (3; 4; 8) = (3 ( 8) 1 4; ( 8); ) = ( 28; 21; 21) = 7(4; 3; 3) Le rette sono quindi parallele perché dirette dallo stesso vettore v = (4; 3; 3). Attenzione: v r = v v e v s = 7v v. I tre vettori v, v r e v s sono paralleli ma distinti. Osserviamo che le due rette sono parallele quindi sono contenute in uno stesso piano. Tale piano è unico se e solo se le due rette sono distinte (se sono uguali c è un fascio di piani che le contengono). Per trovare tale piano possiamo usare il fascio di piani passante per r e imporre il passaggio per un punto di s. Procediamo in un modo diverso. Cerchiamo un punto in ciascuna delle due rette. Ponendo y = nell equazione di r si trova z = 2 e quindi x = 1. Quindi il punto A(1; ; 2) appartiene ad r. Sommando le due equazioni nel sistema che definisce s si trova 7y 7z + 7 =, cioè y = z 1. Quindi con z = abbiamo y = 1 e quindi 3x =, cioè x =. Quindi B(; 1; ) appartiene alla retta s (Inserire le coordinate di A nel sistema 1

2 che definisce r e le coordinate di B nel sistema che definisce s per verificare i conti). Il piano cercato dovrà contenere i punti A, B ed essere parallelo al vettore v. Sia u = AB. Il piano avrà normale n = u v = ( 1; 1; 2) (4; 3; 3) = ( ; ; ) = (3; 5; 1) Siccome il prodotto vettoriale è diverso dal vettore nullo, il piano che contiene le due rette è unico. Tale piano avrà quindi un equazione della forma cioè 3x 5(y + 1) + z = 3x 5y + z 5 =. È buona norma verificare (in brutta copia) che questa equazione si può ottenere come combinazione sia delle due che definiscono r che delle due che definiscono s. Esercizio 2. Si consideri la matrice M = Determinare gli autovalori e autovettori di M Per determinare gli autovalori di M, calcoliamo il suo polinomio caratteristico. Si tratta del polinomio P(λ) tale che λ P(λ) = det(λi 3 M) = 6 3 λ 14 sottraendo la terza riga alla prima = λ 2 2 λ 6 3 λ λ 14 aggiungendo la prima colonna alla terza 1 18 λ λ 8 λ λ 8 2

3 aggiungendo due volte la seconda riga alla prima λ + 1 2λ λ 8 (λ + 1) λ 8 (λ + 1)(λ 8 + 6) 2 (λ + 1) Gli autovalori di M sono gli zeri di P(λ), cioè λ = 2 (doppio) e λ = 1 (semplice). Sappiamo già che l autovalore λ = 1 è regolare perché è semplice, quindi la matrice M sarà diagonalizzabile se e solo se l autovalore λ = 2 è regolare, cioè se e solo se l autospazio corrispondente è di dimensione 2. Calcoliamo ora gli autovettori di M: λ = 1. Abbiamo M λi 3 = M + I 3 = Gli autovettori per l autovalore λ = 1 saranno le soluzioni non nulle del sistema 3x + 3y + 12z = 18x 6y 36z = 6x + 3y + 15z = Possiamo dividere le equazioni rispettivamente per 3, 6 e 3 e otteniamo il sistema equivalente x y 4z = 3x y 6z = 2x y 5z = Sottraiamo la prima equazione alle altre due e otteniamo il sistema equivalente x y 4z = 2x 2z = x z = in cui la seconda equazione è ovviamente equivalente alla terza. Otteniamo z = x e y = 5x. Quindi gli autovettori sono i multipli non nulli del vettore v 1 = (1; 3; 1). λ = 2. Nello stesso modo M λi 3 = M 2I 3 = Gli autovettori per l autovalore λ = 2 saranno le soluzioni non nulle del sistema (dove abbiamo diviso le equazioni rispettivamente per 3, 9 e 3) 2x y 4z = 2x y 4z = 2x y 4z = 3

4 Le tre equazioni sono le stesse, l autospazio per l autovalore 2 è il piano di equazione 2x y 4z =. Una base dell autospazio è data dai vettori v 2 = (1; 2; ) e v 2 = (; 4; 1). Gli autovettori sono le combinazioni lineari non nulle di questi vettori, cioè gli (x; 2x 4z; z) con (x, z) (, ). Si deve verificare (in brutta copia) che Mv 1 = v 1, Mv 2 = 2v 2 e Mv 2 = 2v 2. Stabilire se la matrice M è diagonalizzabile. La matrice è diagonalizzabile perché tutti i suoi autovalori sono regolari. Esercizio 3. Si consideri la curva x(t) = 2 sint y(t) = 2 sint z(t) = 2cos t e si indichi con γ il suo sostegno. a) Mostrare che γ è una semicirconferenza di raggio 2. t [, π] Poiché x(t) = y(t), il sostegno γ è contenuto nel piano x = y. Inoltre abbiamo che x(t) 2 + y(t) 2 + z(t) 2 = 4, il che significa che i punti di γ appartengono anche alla sfera di centro l origine e raggio 2. Quindi γ è contenuto nell intersezione tra un piano e una sfera, cosicché è un arco di circonferenza. Basta a questo punto osservare che (x(), y(), z()) = (,, 2) (il polo nord ) e (x(π), y(π), z(π)) = (,, 2) (il polo sud ) per concludere che γ è una semicirconferenza di centro l origine e raggio 2. Più precisamente, è il meridiano di longitudine 45 o E rispetto al meridiano fondamentale passante per (1,, ). b) Calcolare l intregrale di linea γ f ds, dove f(x,y,z) = 2y 2 + z 2. Posto r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = ( 2 sint, 2 sin t, 2 cost), abbiamo che r (t) = 2 e quindi π π f ds = f(r(t)) r (t) dt = 2 2 dt = 4π. γ Esercizio 4. Si consideri la funzione f(x,y) = e x y (x 2 2y 2 ). a) Dopo aver verificato che il grafico di f passa per il punto P(1,1, 1), scrivere l equazione del piano tangente in tale punto. Poiché f(1, 1) = 1, il punto P appartiene al grafico di f. Per determinare il piano tangente, calcoliamo L equazione cercata è ossia x 3y z + 1 =. f x = e x y (x 2 2y 2 + 2x), f y = e x y ( x 2 + 2y 2 4y). z = f(1, 1) + f x (1, 1)(x 1) + f y (1, 1)(y 1) 4

5 b) Trovare gli estremi relativi di f. Bisogna anzitutto determinare i punti critici di f, ossia le soluzioni del sistema { x 2 2y 2 + 2x = x 2 + 2y 2 4y = equivalente a { 2x 4y = x 2 + 2y 2 4y = I punti critici di f sono quindi O(, ) e A( 4, 2). Dobbiamo ora studiarne la natura. Le derivate seconde sono La matrice hessiana di f in O, f xx = e x y (x 2 2y 2 + 4x + 2), f xy = e x y ( x 2 + 2y 2 2x 4y), f yy = e x y (x 2 2y 2 + 8y 4). Hf(, ) = ( ) 2 4 è indefinita e quindi O è un punto di sella. Quella in A, ( ) 6 8 Hf( 4, 2) = e 2, 8 12 è definita negativa e quindi A è un punto di massimo relativo. c) Trovare gli estremi assoluti di f. Dobbiamo capire se A è un punto di massimo assoluto. Basta osservare che lim f(x, ) = lim x + x + ex x 2 = + per concludere che non è così. Esercizio 5. Si calcoli T xy dxdy, dove T è il trapezio di vertici A( 1,), B(,1), C(1,1) e D(2,). Dopo aver disegnato T ed aver determinato le equazioni y = x+1 e y = x+2 delle rette che contengono i suoi lati obliqui, risulta chiaro che T = {(x, y) R 2 y 1, y 1 x 2 y}. Quindi l integrale richiesto è dato da ( 2 y ) xy dxdy = xy dx dy = T = y y 1 ] x=2 y [ 1 2 x2 x=y 1 dy = 1 2, ( 2 y ) y x dx dy y 1 y [ (2 y) 2 (y 1) 2] dy =