Esame di geometria e algebra

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1 Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia I COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (2, h, 0), u 2 = (1, 0, h), u 3 = (h, 1, 2). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2, u 3 } sia una base di R 3. Posto h = 2 determinare una base del sottospazio U =< S >. Determinare inoltre il vettore di componenti ( 2, 3) rispetto alla base fissata di U. 2 Nello spazio vettoriale euclideo R 3 munito del prodotto scalare standard, sia data la base B = {(1, 2, 3), ( 1, 1, 3), (0, 1, 1)}. Mediante il procedimento di Gram Schmidt trasformare B in una base ortornormale di R 3. 3 Discutere e quando possibile risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y, in cui m è un parametro reale 2x +y = m x +3y = 0 x +my = 1 x +2my = m Sia S = una matrice ad elementi reali. Determinare autovalori e autospazi di S e stabilire se S é diagonalizzabile. (a) Scrivere le equazioni della retta s passante per A(0, 1, 0), parallela al piano x 2y + z 1 = 0 e ortogonale alla retta { x y = 1 t : y z = 0. (b) Determinare la distanza del punto B(2, 1, 1) dalla retta t. Si dimostri che l intersezione di due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V è un sottospazio vettoriale di V. Si dia la definizione di riferimento affine e di coordinate affini di un punto in uno spazio affine. Sia dia la definizione di distanza tra due piani di uno spazio euclideo tridimensionale. Traccia I 1

2 Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia II COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (h, 3, 0), u 2 = (3, 1, h), u 3 = (3, h, 0). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2, u 3 } sia una base di R 3. Posto h = 3 determinare una base del sottospazio U =< S >. Determinare inoltre il vettore di componenti (2, 3) rispetto alla base fissata di U. 2 Nello spazio vettoriale euclideo R 3 munito del prodotto scalare standard, sia data la base B = {(0, 2, 3), (1, 0, 4), (1, 2, 0)}. Mediante il procedimento di Gram Schmidt trasformare B in una base ortornormale di R 3. 3 Discutere e, quando possibile, risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale: 3x +y = m 1 x +3y = 0 2x +2my = 1 2x +2y = m Sia S = una matrice ad elementi reali. Determinare autovalori e autospazi di S e stabilire se S é diagonalizzabile. Date le rette s e t di equazioni { { x 2y = 1 x 3y = 1 s :, t :. y z = 0 y z = 1 Verificare che s e t sono sghembe e determinare le equazioni della retta ortogonale ed incidente entrambe le rette. Si dia la definizione di sistema lineare omogeneo e se ne enuncino alcune proprietà. Si diano le definizioni di autovalore, di autovettore e di autospazio di una matrice quadrata. Si diano le definizioni di distanza tra due punti di uno spazio euclideo e di sfera. Si ricavi l equazione di una sfera in uno spazio euclideo tridimensionale. Traccia II 1

3 Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia III COG 1 In R 3 è assegnato il sottoinsieme: K = {(x, y, z) x + z = h 2 1}. Si stabilisca per quali valori del parametro reale h il sottoinsieme K è un sottospazio vettoriale di R 3. Scelto un valore di h per cui K è un sottospazio vettoriale, determinare una base B di K e determinare il vettore di componenti (2, 3) rispetto alla base B di K fissata. 2 Nello spazio vettoriale euclideo R 3 munito del prodotto scalare standard, sia data la base B = {(2, 3, 1), (0, 1, 4), (2, 1, 0)}. Mediante il procedimento di Gram Schmidt trasformare B in una base ortornormale di R 3. 3 Discutere e, quando possibile, risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y in cui m è un parametro reale: x y = m + 1 x +2y = m mx 2y = 1 2x +y = m Sia S = una matrice ad elementi reali. Determinare autovalori e autospazi di S e stabilire se S é diagonalizzabile. (a) Scrivere le equazioni della retta s passante per A(1, 1, 0) e incidente ortogonalmente la retta { x y = 1 t : y z = 0. (b) Determinare la distanza della retta t dal piano x z = 2. Sia V uno spazio vettoriale e sia A un sottoinsieme finito di vettori di V. Si dia la definizione di sottospazio vettoriale generato da A e se ne enuncino alcune proprietà. Si diano le definizioni di segmento e di punto medio di un segmento in uno spazio affine. Si mostri come calcolare le coordinate del punto medio di un segmento noti gli estremi del segmento stesso. Si descrivano i diversi modi di rappresentare un piano in uno spazio affine tridimensionale. Traccia III 1

4 Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia IV COG ( ) a + b 2a b 1 In M(2, 2; R) si consideri il sottoinsieme H = { a, b R}. 0 a sottospazio vettoriale e, in caso affermativo, calcolarne la dimensione e una base. Stabilire se H è un 2 Sia f : R 3 R 3 l applicazione così definita f(x, y, z) = (x + 2z, x z, y + z), (x, y, z) R 3. (a) Mostrare che f è un applicazione lineare. (b) Determinare la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di R 3. (c) Stabilire se A è invertibile e, nel caso, determinarne l inversa. 3 Discutere e, quando possibile, risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y, z in cui m è un parametro reale x +my z = 2 2x y +mz = m. x (m + 1)y +(1 + m)z = Sia S = una matrice ad elementi reali. Determinare autovalori ed autospazi di S e stabilire se essa è diagonalizzabile. (a) Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per il punto P (2, 3, 4) e parallela alla retta { x y + z = 0 q :. x + y 3 = 0 (b) Determinare l equazione del piano contenente la retta r e il punto Q(1, 1, 0). Si dia la definizione di relazione di equivalenza, classe di equivalenza ed insieme quoziente. forniscano alcuni esempi. Si Si dia la definizione di prodotto vettoriale di due vettori di uno spazio vettoriale euclideo reale e se ne enuncino alcune proprietà. Si mostri come calcolare la distanza di due rette sghembe nello spazio euclideo reale E 3 (R) mediante un esempio. Traccia IV 1

5 Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia V COG 1 In R 3 si consideri il sottoinsieme H = {(3a b, a + b, a) a, b, R}. Stabilire se H è un sottospazio vettoriale e, in caso affermativo, calcolarne la dimensione e una base. 2 Sia f : R 3 R 3 l applicazione così definita f(x, y, z) = (x z, x + 2y z, y), (x, y, z) R 3. (a) Mostrare che f è un applicazione lineare. (b) Determinare la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di R 3. (c) Stabilire se A è invertibile e in caso affermativo determinarne l inversa. 3 Discutere e, quando possibile, risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y, z in cui m è un parametro reale mx +z = 1 + m x +y +mz = 0. 2y +3mz = 3m Sia S = una matrice ad elementi reali. Determinare autovalori e autospazi di S e stabilire se essa è diagonalizzabile. (a) Scrivere l equazione del piano π per il punto P (3, 1, 1) e parallelo al piano 2x + y z + 3 = 0; (b) Scrivere le equazioni cartesiane della retta passante per P e per il punto di intersezione di π con la retta y = z = 0. Si dia la definizione di gruppo, se ne enuncino le principali proprietà e si forniscano alcuni esempi. Si diano le definizioni di prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale e di vettori ortogonali. Si dimostri che m vettori non nulli a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Si diano le definizioni di sottospazio affine e di sottospazi affini paralleli, sottospazi affini incidenti e sottospazi affini sghembi. Traccia V 1

6 Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia VI COG ( ) a a 2b 1 In M(2, 2; R) si consideri il sottoinsieme H = { a, b R}. a + b 0 sottospazio vettoriale e, in caso affermativo, calcolarne la dimensione e una base. Stabilire se H è un 2 Sia f : R 3 R 3 l applicazione così definita f(x, y, z) = (x z, x + 2y z, x), (x, y, z) R 3. (a) Mostrare che f è un applicazione lineare. (b) Determinare la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di R 3. (c) Stabilire se A è invertibile e, nel caso, determinarne l inversa. 3 Discutere e, quando possibile, risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y, z in cui m è un parametro reale. mx y +z = 7m + 1 x +my +3z = m 1 (m + 1)x +y +z = 1 m Sia S = una matrice ad elementi reali. Determinare autovalori ed autospazi di S e stabilire se essa è diagonalizzabile. (a) Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per il punto P (2, 3, 4) e parallela al vettore u(1, 0, 1). (b) Determinare la posizione reciproca della retta r e della retta { x y + z = 0 s :. x + y 3 = 0 Si dia la definizione di rango di una matrice; si enunci il teorema degli orlati e se ne fornisca un esempio di applicazione. Si dia la definizione di matrici simili e si dimostri che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Si discuta la posizione reciproca di due piani in uno spazio euclideo reale. Traccia VI 1