DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

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1 DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE DOCENTI: S. MATTAREI (TITOLARE), G. VIGNA SURIA, D. FRAPPORTI Prima settimana. Lezione di martedí 23 febbraio 2010 Introduzione al corso: applicazioni dell algebra lineare. Sistemi lineari e matrici associate. I tre tipi di operazioni elementari sulle equazioni (e quindi sulle righe della matrice completa del sistema). Il metodo di eliminazione di Gauss: riduzione di un sistema a forma triangolare superiore; risoluzione di quest ultimo. Lezione di giovedí 25 febbraio 2010 Conclusione del metodo di eliminazione di Gauss: un sistema quadrato in froma triangolare ha un unica soluzione se e solo se tutti i coefficienti sulla diagonale principale sono non nulli. Definizioni ed esempi di gruppi, campi, spazi vettoriali. Lo spazio R n. Lo spazio dei vettori geometrici del piano. Seconda settimana. Lezione di martedí 2 marzo 2010 Il piano affine A 2. L insieme VO 2 dei vettori del piano applicati nel punto O è uno spazio vettoriale. Basi di VO 2. Isomorfismi di spazi vettoriali. Ad ogni base di VO 2 è associato un isomorfismo con R2. Sistemi di riferimento nel piano. Sottospazi di uno spazio vettoriale: definizione ed esempi. Lezione di giovedí 4 marzo 2010 Esempi di sottospazi, e di sottoinsiemi che non sono sottospazi. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Terza settimana. Lezione di martedí 9 marzo 2010 Metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari, matrice associata, operazioni elementari sulle righe, matrice a gradini, proposizione sull esistenza delle soluzioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. 1

2 2 DOCENTI: S. MATTAREI (TITOLARE), G. VIGNA SURIA, D. FRAPPORTI Lezione di giovedí 11 marzo 2010 Modi per verificare l indipendenza lineare di un insieme di vettori. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Teorema del completamento (o di Steinitz). Invarianza della cardinalità di una base, e definizione di dimensione. Quarta settimana. Lezione di martedí 16 marzo 2010 Esercizi su: lo spazio vettoriale dei polinomi di grado finito, spazi/sottospazi vettoriali e matrici a scala. Lezione di giovedí 18 marzo 2010 Somma e intersezione di sottospazi. La formula di Grassmann. Quinta settimana. Lezione di martedí 23 marzo 2010 Sottospazi vettoriali, equazioni parametriche e cartesiane, somma ed intersezione di sottospazi. Lezione di giovedí 25 marzo 2010 Applicazioni lineari. Esempi. Prodotto di una matrice per un vettore colonna. Teorema di struttura per i sistemi lineari. Nucleo e immagine di un applicazione lineare. Sesta settimana. Lezione di martedí 30 marzo 2010 Nucleo e immagine di un applicazione lineare, teorema della dimensione e conseguenze, teorema di Rouchè-Capelli. Somma ed intersezione di sottospazi. Teorema della dimensione. Teorema di Rouché-Capelli. Somma e intersezione di sottospazi. Settima settimana. Lezione di giovedí 8 aprile 2010 (tenuta da Vigna Suria, tre ore) Traslazioni di uno spazio vettoriale. Composizione e proprietà delle traslazioni. Sottospazi affini di spazi vettoriali: definizione e verifica dell indipendenza del vettore di traslazione. Esempi. Dimensione di un sottospazio affine definita come la dimensione della sua giacitura.

3 DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 3 Ottava settimana. Lezione di martedí 13 aprile 2010 (tenuta da Vigna Suria, due ore) Sistemi lineari. Loro soluzioni. Struttura di sottospazio affine dell insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Equazioni parametriche di un sottospazio affine. Lezione di giovedí 15 aprile 2010 (tenuta da Vigna Suria, tre ore) Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine di R n. Come passare dalle une alle altre e viceversa. Esercizi numerici sull argomento, anche in dimensioni non graficamente visualizzabili. Decima settimana. Lezione di martedí 27 aprile 2010 Applicazioni lineari, nucleo ed immagine, teorema della dimensione, teorema di Rouchè-Capelli. Lezione di giovedí 29 aprile 2010 Matrici e applicazioni lineari. Prodotto di matrici. Inversa di una matrice: quando esiste; come calcolarla. Undicesima settimana. Lezione di martedí 4 maggio 2010 Proprietà del determinante, interpretazione geometrica, sviluppo di Laplace, teorema di Binet. Lezione di giovedí 6 maggio 2010 Cambiamenti di base. Matrici di un applicazione lineare. Esempio: matrici delle rotazioni nel piano. Come cambia la matrice di un applicazione lineare cambiando le basi. Dodicesima settimana. Lezione di martedí 11 maggio 2010 Formula di Cramer, teorema degli orlati. Prodotti scalari, norma, distanza, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, angolo fra vettori.

4 4 DOCENTI: S. MATTAREI (TITOLARE), G. VIGNA SURIA, D. FRAPPORTI Lezione di giovedí 13 maggio 2010 Matrici simili. Autovettori e autovalori. Autovettori corrispondenti ad autovalori tutti distinti sono linearmente indipendenti (dimostrato solo per due vettori). Il polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Esempio di matrice non diagonalizzabile. Dodicesima settimana. Lezione di martedí 18 maggio 2010 Basi ortogonali ed ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram- Schmidt. Geometria metrica: prodotto vettoriale, angoli. (La lezione di Giovedí 20 maggio 2010 non ha avuto luogo) Tredicesima settimana. Lezione di martedí 25 maggio 2010 Ripasso autovettori e autovalori. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico. Indipendenza del polinomio caratteristico dalla base scelta. Molteplicità algebrica e geometrica. Una matrice è diagonalizzabile su un campo (per noi quello reale o quello complesso) se e solo se il campo contiene tutte le radici del polinomio caratteristico, e la molteplicità geometrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità algebrica. Esercizio: diagonalizzazione di una matrice 3 per 3. Matrici simmetriche. Loro autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Il teorema spettrale (le matrici simmetriche sono ortogonalmente diagonalizzabili). Lezione di giovedí 27 maggio 2010 Le coniche. Equazioni canoniche di ellisse ed iperbole; i loro elementi geometrici fondamentali (assi, vertici, fuochi, asintoti dell iperbole). L equazione cartesiana generale di una conica. La matrice associata B, e la sua sottomatrice A. Se det(b) = 0 la conica è degenere (una coppia di rette, un punto); esempi. Se det(b) 0 la conica è non degenere: è un ellisse (eventualmente immaginaria), un iperbole o una parabola a seconda che det(a) sia positivo, negativo o nullo. Le prime due sono coniche a centro: come si trova il centro. Le direzioni degli assi sono date dagli autovettori di A. Esercizio: data l equazione di una conica (in questo caso un ellisse), ricavare la sua equazione canonica, e il cambiamento di coordinate che conduce all equazione canonica.

5 DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 5 Quattordicesima settimana. Lezione di martedí 1 giugno 2010 Distanze tra punti, rette e piani. Diagonalizzazione di matrici. Quindicesima settimana. Lezione di martedí 3 giugno 2010 La parabola: equazione canonica, elementi geometrici fondamentali (asse, vertice, fuoco, direttrice). Esercizi sulle coniche.