Esercizi svolti. delle matrici

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1 Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa l equazione è (, ), quindi si tratta dello spazio vettoriale nullo.. Si dica se l insieme delle coppie complesse (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di C No. Basta osservare ad esempio che le coppie (i, ) e (, i) appartengono entrambe a I, la loro somma no.. Si considerino i seguenti insiemi di matrici quadrate di ordine n (reali o complesse):. Matrici antisimmetriche;. Matrici triangolari superiori;. Matrici a scala (con la matrice nulla) ; 4. Matrici invertibili; 5. Matrici con elemento (,) uguale a ; 6. Matrici con elemento (,) uguale a. Si dica quali dei precedenti sono sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale quadrate di ordine n. Tutti gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di occorre verificare per ciascuno di essi le tre condizioni: Il vettore nullo (in questo caso la matrice nulla) appartiene all insieme; M n delle matrici M n. Per verificare se sono anche sottospazi, chiusura rispetto alla somma, cioè che la somma di due elementi comunque presi sia un elemento dell'insieme stesso; chiusura rispetto al prodotto, cioè che il prodotto di un elemento comunque preso per un numero reale qualsiasi sia un elemento dell'insieme stesso. Segue una traccia delle verifiche:. L insieme delle matrici antisimmetriche è uno spazio vettoriale. Infatti la matrice nulla è antisimmetrica. Se t A A e t t t t B B, allora ( A + B ) A+ B ( A + B ): quindi la 6 Politecnico di Torino

2 somma di due matrici antisimmetriche è una matrice antisimmetrica. Analogo per il prodotto per uno scalare.. L insieme delle matrici triangolari superiori è uno spazio vettoriale. Infatti la matrice nulla è triangolare. Se A e B sono triangolari superiori, [ A ] [ B] per i > j, quindi [ A ] i, j i, j + B i, j, da cui la somma di due matrici triangolari superiori è una matrice triangolare superiore. Analogo per il prodotto per uno scalare.. L insieme delle matrici a scala non è uno spazio vettoriale. Una possibile verifica è la seguente: Le due matrici e sono a scala, ma la loro somma non lo è, perchè la riga nulla non è l'ultima. 4. L insieme delle matrici invertibili non è uno spazio vettoriale: è sufficiente osservare che la matrice nulla non è invertibile. 5. L insieme delle matrici con l elemento (,) uguale a è uno spazio vettoriale. Infatti per la matrice nulla l elemento (,) vale, la somma di due matrici in cui l elemento (,) vale è una matrice in cui l elemento (,) vale, il prodotto di una matrice in cui l elemento (,) vale per un numero è una matrice in cui l elemento (,) vale. 6. L insieme delle matrici con l elemento (,) uguale non è uno spazio vettoriale: basta osservare che sommando due matrici del genere si ottiene una matrice in cui l elemento (,) vale. 6 Politecnico di Torino

3 . Sottospazi vettoriali di K n. Sono dati in R i vettori (,,), (,,).. Dire se sono uno combinazione lineare dell altro. Dire se il vettore (,,) è combinazione lineare di e. Dire se il vettore (5/,,7/) è combinazione lineare di e., non sono uno multiplo dell altro in modo evidente.. è combinazione lineare di e se esistono scalari c e c tali che c + c. Questa relazione vettoriale equivale al sistema nelle incognite c e c c+ c c+ c c+ c Tale sistema è impossibile, quindi non è combinazione lineare di e.. è combinazione lineare di e se esistono scalari c e c tali che c + c. Questa relazione vettoriale equivale al sistema nelle incognite c e c 5 c + c c+ c 7 c+ c Tale sistema ha soluzione c, c ½, quindi è combinazione lineare di e, precisamente + ½. ALTERNATIVA Per i casi e si può usare il criterio di dipendenza, cioè considerare una matrice con nelle colonne i vettori dati, e una seconda matrice con nell ultima colonna il vettore di cui si deve decidere se è combinazione dei precedenti. Se le due matrici hanno lo stesso rango la risposta è si, altrimenti è no. Segue l esame dei tre casi.. Per vedere se è combinazione lineare di e si formano le due matrici M (, ) M (,, ) e se ne calcola il rango. La prima ha rango, la seconda ha rango, quindi non è combinazione lineare di e.. Per vedere se è combinazione lineare di e si formano le due matrici 6 Politecnico di Torino

4 5 / M (, ) M (,, ) 7 / e se ne calcola il rango. La prima ha rango, la seconda ha rango, quindi è combinazione lineare di e.. Sono dati in R i vettori (,), (,), (, ). Dire se costituiscono un insieme di generatori di R Basta verificare se un generico vettore di R Quindi si confronta il rango delle matrici a M (,, ) M (,,, ) b Poiché tali matrici hanno rango per ogni a e b, la risposta è sì. (a,b) è combinazione lineare dei vettori dati.. ALTERNATIVA Si può usare il criterio secondo cui certi vettori generano R vettori come colonne è. La matrice M (,, ) ha rango. se il rango della matrice che ha tali 6 Politecnico di Torino 4

5 . Insiemi liberi, basi, dimensione. Sono dati in R i vettori (,,), (,,), (,, ). Dire se formano un insieme libero,, non formano un insieme libero se esistono scalari non tutti nulli c, c,c tali che c + c + c. Questa relazione vettoriale equivale alle relazioni scalari c+ c + c c+ c + c c+ c + c Tale sistema di tre equazioni nelle incognite c, c, c ammette solo la soluzione c c c. Quindi i vettori considerati formano un insieme libero ALTERNATIVA Per verificare se,,, si calcola il rango della matrice M(,, ). Per il Criterio di Indipendenza, l insieme è libero se solo se tale rango è uguale al numero dei vettori, cioè a. Poichè M (,, ) si conclude come in precedenza.. Dai 4 vettori (,,), (,,), (4,4,5), 4 (,,) estrarre, se possibile, una base di R. Se se ne trovano linearmente indipendenti, essi costituiscono la base richiesta. Ad esempio i primi lo sono (verificare).. Dai 4 vettori (,,), (,,), (4,4,4), 4 (,, ) estrarre una base del sottospazio L generato da tali vettori. La matrice 6 Politecnico di Torino 5

6 4 M(,,, 4) 4 4 ha rango (verificare), quindi L ha dimensione. I primi generatori sono linearmente indipendenti (non sono multipli uno dell altro) e quindi sono una base di L..4 Dai vettori (,,), (,,), (,,) estrarre un insieme libero. Basta scartare il secondo (verificare che l insieme rimasto è effettivamente libero)..5 Sono dati in R i vettori (,,), (,,), (,,) Trovare una base per lo spazio L(,, ) e calcolarne la dimensione. Cosa si può dire di tale spazio? Poiché si trova che,, formano un insieme libero, essi una base. Pertanto la dimensione è. L(,, ) è un sottospazio di R con dimensione, quindi coincide con R..6 Sono dati in R i vettori (,,), (,,), (5/,,7/) Trovare una base per lo spazio L(,, ) e calcolarne la dimensione Poiché si trova che,, non formano un insieme libero, per trovare la base richiesta occorre scartarne uno che sia combinazione lineare degli altri. Fatto ciò, se si ottiene un insieme libero, esso è la base, altrimenti si deve continuare a scartare fino ad avere un insieme libero. Nel caso specifico, si verifica, ad esempio, che è combinazione lineare di,, e che questi sono indipendenti. Dunque, forniscono una delle basi richieste, e la dimensione è. In questo caso L(,, ) è un sottospazio proprio di R ALTERNATIVA Si forma la matrice 5/ M (,, ) 7 / e la si trasforma in matrice a scala, ottenendo 5/ M ' 4 6 Politecnico di Torino 6

7 Anzitutto si vede che il rango di M (e quindi di M) è, quindi la dimensione del sottospazio considerato è. Inoltre i pivots sono e 4, contenuti nelle colonne e della matrice M'. Ne segue automaticamente che una base per L(,, ) è fornita dalle colonne e di M, quindi dai vettori, 6 Politecnico di Torino 7

8 .7 Con riferimento all esercizio precedente, dire se L(,, ) è un sottospazio proprio o no di R. Nel secondo caso estendere la base già trovata fino ad avere una base di R. L(,, ) non è un sottospazio proprio di R, perché si è visto che la sua dimensione è e non. La base trovata per L(,, ) è formata,. Per estenderla ad una base di R è sufficiente aggiungere un vettore che non sia combinazione lineare di,. Ad esempio si può scegliere (,,) (verificarlo) ALTERNATIVA Si forma la matrice M (,,, e, e, e) 5/ 7 che contiene nelle colonne i vettori dati più i vettori canonici. La si trasforma in forma diagonale ottenendo M ' 4 5/ Nella matrice ottenuta i pivots occupano le colonne,, 4, quindi si conclude che le colonne,, 4 della matrice M forniscono una base per R..8 Si trovi una base di R che non contenga nessun vettore canonico. Basta prendere due vettori non canonici e linearmente indipendenti, ad esempio (,) e (, ).9 Si trovino le coordinate del vettore (4,) rispetto alla base di R trovata nell esercizio precedente. Dette x e y le coordinate, deve valere (4,) x (,) + y (, ); quindi si tratta di risolvere il sistema x+ y 4 x y e si trova x 7/ y ½ ALTERNATIVA Si usa la formula di cambiamento delle coordinate. Il vettore (4,) ha coordinate 4 e rispetto alla base canonica, e la matrice di cambiamento base è M(, ) -. Si ha dunque 6 Politecnico di Torino 8

9 6 Politecnico di Torino 9 ), ( M e quindi ), ( M Quindi ), ( M y x

10 4. Sottospazi associati a matrici e forma implicita 4. Si consideri il sottospazio L di R generato da (,,) e (,,). Se ne trovi una forma implicita, cioè un sistema di equazioni omogenee in x, y, z tale che lo spazio della sua soluzione coincida con L. Posto ( x, y, z ), si tratta di imporre che le matrici M M(, ) e M' M(,, ) abbiano lo stesso rango. Si ha x M M ' y z Con il consueto procedimento si trasforma M' in matrice a scala, ottenendo la matrice x y x x y + z da cui si vede immediatamente che il rango di M vale, e il rango di M' ha lo stesso valore se e solo se x y + z che è il richiesto sistema di equazioni. 4. Si consideri il sottospazio L di R formato dai vettori ( x, y, z ) che soddisfano all equazione x y + z Si determinino una forma esplicita e una base di L. Il primo passo consiste nel trovare le soluzioni dell equazione proposta. Si ha: x y z con le variabili y e z indipendenti. In forma vettoriale si ha la soluzione: x y z y y y + z z z Quindi una base è formata dai vettori (,, ) e (,,) 4. Si consideri il sottospazio L di R 4 generato da (,,,4), (,,,) e (,,4,5). 6 Politecnico di Torino

11 . Se ne trovi una forma implicita, cioè un sistema omogeneo il cui spazio delle soluzioni coincida con L.. Si determini la dimensione di L e se ne trovi una base.. Si esegua il procedimento inverso, partendo dal sistema trovato e costruendo una rappresentazione esplicita di L. Posto (x, y, z, t), si riduce la matrice M (,,, ) 4 ottenendo 4 5 x y z t x y. x y + z x y + t Quindi:. Il sistema è x y+ z x y + t. La dimensione di L è, e una base è la coppia (, ). Risolvendo il sistema trovato nel punto., si ha x z x+ y y cioè + t x + y z t z t Quindi abbiamo un altra base di L : Y,,,), Y (,,, ). ( 4.4 Sono dati i seguenti vettori di R : (,, ), (-,, ), (,, k), 4 (-, k, 5), 5 (-,, ). Trovare una base di L(,, 5 ), al variare di k. Per k 4,,, sono linearmente indipendenti in quanto D ( M (,, )) : quindi L R e i tre vettori si possono scegliere come base. Per k4 una base è (, ): infatti 6 Politecnico di Torino

12 r ( M (,, 4, 5)) e, sono linearmente indipendenti in quanto uno non è multiplo dell altro. 6 Politecnico di Torino