Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 4: soluzioni

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1 Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Esercizio. Sono dati i seguenti sistemi lineari omogenei nelle incognite x, y, z: { x + y z = x + y z = x + y z = S : x y + z =, S :, S 3 : x 3y =, S : x 3y = x 3y = x 7y + z = x + y = Determinare, in ciascun caso, una base del sottospazio di R 3 formato dalle soluzioni del sistema. 3 Soluzione. Base di Sol(S ) =,. Base di Sol(S ) =. Base di Sol(S 3 ) = 3. Sol(S ) = {O}. Esercizio. Sono dati i seguenti sistemi lineari omogenei nelle incognite x, x, x 3, x : { x x + x = S : x x + x =, S : x + x + x 3 =. Determinare, in ciascun caso, una base e la dimensione del sottospazio di R formato dalle soluzioni del sistema. Soluzione. Sol(S ) ha dimensione 3, una sua base è, ad esempio:,,. Sol(S ) ha dimensione e una sua base è costituita da due soluzioni linearmente indipendenti.

2 Esercizio 3. Sono dati i vettori v =, v =, v 3 = k dello spazio R 3. a) Per quali valori di k i tre vettori formano una base di R 3? b) Calcolare la dimensione del sottospazio E = L[v, v, v 3 ] al variare di k. c) Calcolare la dimensione del sottospazio F = L[v, v 3 ] al variare di k. Soluzione. Matrice delle coordinate A = k. Si ha det A = se e solo se k = 6. Dunque si ha una base se e solo se k 6. b) La dimensione di E vale 3 per k 6 e per k = 6. c) I generatori di F sono linearmente indipendenti per ogni valore di k. Dunque F ha dimensione per ogni valore di k. Esercizio. Sia E il sottospazio di R formato dalle soluzioni dell equazione x +x +x 3 +x =, e sia F il sottospazio di R generato dai vettori,,. 3 a) Calcolare la dimensione di E e la dimensione di F. b) c) È vero che F E? È vero che F = E? Soluzione. a) Si vede subito che la dimensione di E vale 3. I tre vettori generatori di F sono linearmente indipendenti, perche il rango della matrice 3 è uguale a 3. Dunque anche F ha dimensione 3. b) È vero. Ciascuno dei tre generatori di F è soluzione dell equazione che definisce E: dunque E contiene tutti i generatori di F e quindi contiene anche F. c) È vero. Infatti, F è un sottospazio di E, e ha la stessa dimensione di E. Ne segue che necessariamente F = E. Esercizio 5. Sia W il sottoinsieme di R costituito da tutti i vettori tali che:

3 a) la seconda entrata è il doppio della prima; b) la quarta entrata è la somma di tutte le altre. Dimostrare che W è un sottospazio di R e trovare una sua base. Soluzione. Le richieste sul vettore generico (x, x, x 3, x ) t sono: { x = x x = x + x + x 3. t Questo è un sistema omogeneo con soluzioni: t s. Dunque il sottospazio W ha dimensione con base 3t + s,. 3 Esercizio 6. Siano v = 3, v =, v 3 = e v =. Calcolare la dimensione del sottospazio W di R 3 generato da tali vettori e trovare una base di W. Soluzione. Il rango della matrice delle coordinate è, dunque la dimensione di W è anch essa. Una base è (v, v ). Potevamo anche osservare che v 3 = v, v = v + v e v, v sono linearmente indipendenti. Esercizio 7. Siano W e W i seguenti sottospazi di R 3 : W = L,, W = L, 7 a) È vero che 3 W? b) È vero che W? 3

4 c) Esistono vettori non nulli comuni a W e W? Soluzione. a) 7 3 = 3 ; dunque la risposta è affermativa. b) No. c) Equazione di W : x y + z =. Equazione di W : x + z =. Dunque le equazioni dell intersezione W W sono: { x y + z = x + z = che ammette soluzioni, con base : dunque la risposta è affermativa. Si poteva anche osservare che dim W = dim W = e dim(w + W ) = 3. Dalla formula di Grassmann, dim(w W ) = e quindi W W contiene vettori non nulli. Esercizio 8. Stabilire se i vettori (riga) v = (,,, ), v = (,,, ) e v 3 = (,,, ) di R sono linearmente indipendenti o no. È vero che (v, v, v 3 ) è una base di R? È possibile trovare un vettore v tale che (v, v, v 3, v ) risulti una base di R? Soluzione. I vettori v, v, v 3 sono linearmente indipendenti ma non formano una base di R, poiché una base di R deve essere formata da quattro vettori. Basta prendere v = e (primo vettore della base canonica). Esercizio 9. Determinare tutti i valori del parametro k R per i quali l insieme di vettori (riga) {(,, k), (k,, ), (,, )} è una base di R 3. k Soluzione. Consideriamo la matrice A =. Si ha det A = k k + che si annulla k per k = + 3, 3. Dunque i vettori formano una base se e solo se k + 3 e k 3. Esercizio. k Si considerino i vettori k,, di R 3. k a) Per quali valori di k i vettori sono linearmente indipendenti? b) Calcolare, al variare di k, la dimensione del sottospazio E di R 3 generato dai tre vettori.

5 c) Per quali valori di k il vettore k appartiene a E? k k Soluzione. b) La dimensione di E è uguale al rango della matrice A = k. Il minore k ( ) k ha determinante non nullo per ogni k. Inoltre det A = k( k ), che si annulla per k =,,. Dunque il rango vale se k =,, e vale 3 altrimenti. In conclusione {, se k {,, } dim E = 3, se k / {,, } In particolare, i tre vettori sono linearmente indipendenti se e solo se k / {,, }. c) Il vettore k appartiene a E se e solo se k che si verifica se e solo se k. Esercizio. k il vettore k k k rk k = rk k k, k k k Sia E il sottospazio di R generato dai vettori,. Per quali valori di appartiene a E? Soluzione. k = 3. Infatti i due generatori sono linearmente indipendenti; il vettore dato appartiene a E se e solo se rk k =, 5

6 che si verifica se e solo se k = 3 (applicare il teorema degli orlati). Esercizio. Sono dati i vettori v, v = E = L[v, v ]. a) Spiegare perche E R. dello spazio R, e il sottospazio b) Trovare due vettori w, w, scelti opportunamente fra i vettori della base canonica di R, in modo tale che v, v, w, w formino una base di R. Soluzione. a) La dimensione di E vale, dunque E R. b) Possiamo prendere w = e, w = e. Verificare che in effetti v, v, e, e sono linearmente indipendenti, dunque formano una base di R. Esercizio 3. Nello spazio R sono dati: il sottospazio E, generato dai vettori,,, e il sottospazio F, di equazione x + x + x 3 x =. a) Trovare una base e la dimensione di E. b) Trovare una base e la dimensione di F. c) Trovare una base e la dimensione di E F. d) Dimostrare che E + F = R. Soluzione. dim E =, dim F = 3, dim(e F ) =, con base. Dalla formula di Grassmann otteniamo che dim(e + F ) =, dunque E + F = R. Esercizio. Sia A = k dove k è un parametro reale. k a) Per quali valori di k le righe di A sono linearmente indipendenti? b) Per quali valori di k l ultima colonna è una combinazione lineare delle colonne precedenti? 6

7 k c) Per quali valori di k il vettore 5k è una combinazione lineare delle colonne di A? 8 Soluzione. Il rango di A è uguale a 3 per ogni k. a) Tutti i valori di k. b) Per k. Infatti, il determinante della sottomatrice k è uguale a k ; dunque per k k le prime tre colonne formano una base di R 3 e l ultima colonna sara dunque combinazione lineare delle precedenti. D altra parte si verifica che per k = l ultima colonna non è combinazione lineare delle precedenti, poiché rk = mentre rk = rka = 3. c) Tutti i valori di k, poichè le colonne di A generano R 3 (dato che il rango è di A è sempre 3). Esercizio 5. Sono dati i vettori v, v, w, w, w 3, che assumeremo linearmente indipendenti. Poniamo E = L[v, v ] e F = L[w, w, w 3 ]. a) Calcolare dim E, dim F. b) Dimostrare che E F = {O}. Soluzione. a) Ogni sottoinsieme di un insieme di vettori linearmente indipendenti è formato da vettori linearmente indipendenti. Dunque dim E = e dim F = 3. b) Sappiamo che E + F = L[v, v, w, w, w 3 ]. Poiché i generatori sono linearmente indipendenti per ipotesi abbiamo dim(e + F ) = 5 dunque dalla formula di Grassmann dim(e F ) =, cioè E F = {O}. Con lo stesso argomento, si può dimostrare che, se v,..., v k, w..., w h sono vettori linearmente indipendenti, e se E = L[v,..., v k ], F = [w,..., w h ], allora: dim F = h dim E = k E F = {O}. Esercizio 6. In R 3 sono dati: il sottospazio E, insieme delle soluzioni dell equazione x+y z =, e il sottospazio F, generato dai vettori, 3. 3 a) Determinare una base di E. 7

8 b) Descrivere il sottospazio F con una o piu equazioni. c) Trovare una base del sottospazio E F. d) Trovare una base del sottospazio E + F. Soluzione. a) Una base di E è formata da due soluzioni linearmente indipendenti, ad esempio,. b) Equazione di F : 5x y z =. c) Base. d) Poichè dim(e +F ) = 3 si ha E + F = R 3 e una qualunque base di R 3 (ad esempio, la base canonica) sarà anche una base di E + F. Esercizio 7. Siano v, v, v 3, w, w vettori di uno spazio vettoriale V tali che L[v, v, v 3 ] L[w, w ]. a) È vero che dim L[v, v, v 3 ] = 3? b) È vero che v, v, v 3 sono linearmente dipendenti? c) È vero che il vettore 3v v si puo scrivere come combinazione lineare di w, w? Soluzione. a) No. Infatti, L[v, v, v 3 ] è contenuto nel sottospazio L[w, w ] e ha dunque dimensione minore o uguale a. b) Si : se i tre vettori fossero linearmente indipendenti allora dim L[v, v, v 3 ] = 3 e questo è falso, come già dimostrato in a). c) Si : il vettore 3v v è per definizione nel sottospazio L[v, v, v 3 ], dunque anche in L[w, w ]. Esercizio 8. siano: Siano v, v, v 3 vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V e w = v + v + v 3 w = v v 3 w 3 = v + 6v + 7v 3 a) È vero che i vettori w, w, w 3 sono linearmente indipendenti? b) Calcolare la dimensione del sottospazio di V generato da w, w, w 3. Soluzione. Per definizione, (v, v, v 3 ) formano una base dello spazio vettoriale E = L[v, v, v 3 ]. La matrice delle coordinate dei vettori w, w, w 3 rispetto a tale base è: A = 6. Essa 7 ha rango 3: dunque i tre vettori sono linearmente indipendenti e il sottospazio da essi generato ha dimensione 3. 8