Appunti di Geometria - 3

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1 Appunti di Geometria - 3 Samuele Mongodi - smongodi@snsit Cambi di base nel duale Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Supponiamo di avere fissate due basi B = {v,, v n } C = {w,, w n } di V e di sapere che la matrice di cambio di base è A; ovvero, se un vettore v ha coordinate (x,, x n ) rispetto alla base B, allora le sue coordinate rispetto alla base C sono date da A x x n Come già sappiamo, le colonne della matrice A sono le coordinate dei vettori che compongono B rispetto alla base C Consideriamo ora le basi di V date da B = {L,, L n } C = {M,, M n } ovvero le basi duali di B e C; vogliamo individuare una matrice D che porti le coordinate rispetto a B nelle coordinate rispetto a C Come già sappiamo, le coordinate di un elemento L V rispetto a B sono date da (L(v ),, L(v n )) mentre le coordinate rispetto a C sono date da (L(w ),, L(w n )) ovvero dai valori di L sugli elementi delle basi di cui B e C sono duali Quindi, vogliamo una matrice D tale che L(v ) L(w ) D L(v n ) = L(w n ) per ogni L V Sappiamo che v = a w + a 2 w a n w n v 2 = a 2 w + a 22 w a n2 w n

2 con v n = a n w + a 2n w a nn w n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a n a n2 a nn (ovvero, come già detto, le coordinate di v rispetto a {w,, w n } formano la prima colonna di A e così via) Quindi, abbiamo L(v ) = L(a w +a 2 w 2 + +a n w n ) = a L(w )+a 2 L(w 2 )+ +a n L(w n ) L(v 2 ) = L(a 2 w +a 22 w 2 + +a n2 w n ) = a 2 L(w )+a 22 L(w 2 )+ +a n2 L(w n ) L(v n ) = L(a n w +a 2n w 2 + +a nn w n ) = a n L(w )+a 2n L(w 2 )+ +a nn L(w n ) ovvero cioè L(v ) L(v 2 ) L(v n ) (A t ) = At L(v ) L(v 2 ) L(v n ) Quindi la matrice D cercata è (A t ) = L(w ) L(w 2 ) L(w n ) L(w ) L(w 2 ) L(w n ) Osservazione : Per una qualsiasi matrice invertibile, si ha (A t ) = (A ) t, quindi è equivalente computare prima la trasposta o prima l inversa Osservazione 2: Se invece di avere data la matrice A, formata dalle coordinate dei vettori di B rispetto a C, abbiamo la sua inversa, formata dalle coordinate dei vettori di C rispetto a B, il cambio di base da B a C è semplicemente la sua trasposta Esempio Consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione 4 su R e siano B = {w + 2w 3, 2w + w 3, 3w 2 + 2w 4, 3w 4 + 2w 2 }qquadc = {w, w 2, w 3, w 4 } Determinare il cambio di base da B a C Dobbiamo quindi determinare la matrice di cambio di base da B a C e calcolarne l inversa della trasposta Tale matrice è formata dalle coordinate dei vettori di B rispetto a C, quindi 2 A =

3 La sua inversa è 5 A = e dunque la matrice di cambio di base duale cercata è 5 (A t ) = (A ) t = Esempio Consideriamo V = R 3 con la base canonica {e, e 2, e 3 } e sia V il suo duale con la base canonica duale {L, L 2, L 3 } Siano M = L + L 2 /2 M 2 = L + L 3 /3 M 3 = L 2 /2 + L 3 /3 Essi formano una base di V Vogliamo determinare {v, v 2, v 3 }, base di R 3, che induca {M, M 2, M 3 } come base duale Se A è la matrice che ha come colonne le coordinate di v, v 2, v 3 nella base canonica, (A t ) è la matrice che ha come colonne le coordinate di M, M 2, M 3 rispetto alla base canonica duale Dunque (A t ) = /2 /2 /3 /3 ovvero ovvero e dunque v = /2 3/2 A t = A = v 2 = /2 3/2 v 3 = /2 3/2 Esercizio Trovare il cambio di base in (R 3 ) tra le basi duali di B =,, C =,, Esercizio 2 Trovare la base di R 3 che induce la base duale formata dai vettori M = L + L 2 + L 3 M 2 = L + 2L 2 + 3L 3 M 3 = L + L 2 /2 + L 3 /3 dove {L, L 2, L 3 } è la base canonica duale 3

4 2 Annullatori Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Dato un qualsiasi insieme di vettori E V, definiamo Ann(E) = {L V : L(v) = v E} tale insieme si chiama annullatore di E Notiamo subito che, se L, M Ann(E), allora L(v) = e M(v) = v E ma quindi (L + M)(v) = L(v) + M(v) = + = v E ovvero L + M Ann(E) Allo stesso modo, λl Ann(E) per ogni λ K e L Ann(E) Quindi, Ann(E) è un sottospazio vettoriale di V Se poi W è un sottospazio di V, abbiamo che dim W + dim Ann(W ) = n = dim V Infatti, se {w,, w k } è una base di W (con k = dim W ), possiamo costruire una base di V formata da Se ora consideriamo la base duale B = {w,, w k, v,, v n k } B = {L,, L k, M,, M n k } abbiamo che l annullatore di W è generato da M,, M n k, quindi ha dimensione n k Sia ora E un insieme di vettori in V ; definiamo Ann(E ) = {v V : L(v) = L E } tale insieme si chiama annullatore di E Esso è pure un sottospazio vettoriale, ma di V e similmente, se W è un sottospazio di V, vale dim W + dim Ann(W ) = n = dim V Si ha che per ogni E V e similmente Ann(Ann(E)) = Span(E) Ann(Ann(E )) = Span(E ) per ogni E V Infatti, se v E, per ogni L Ann(E), L(v) =, quindi v Ann(Ann(E)) e dunque E Ann(Ann(E)), ovvero Span(E) Ann(Ann(E)) 4

5 D altra parte, se w è un vettore indipendente dai vettori di E, consideriamo una base di Span(E), {v,, v k } e completiamo {v,, v k, w} ad una base {v,, v k, w, u,, u n k } di V Sia poi T tale che T (w) =, T (v i ) = per i =,, k, T (u j ) = per j =,, n k ; allora T Ann(E), visto che T si annulla su una base di Span(E), ma T (w) =, quindi w Ann(Ann(E)) Dunque Ann(Ann(E)) = Span(E) Similmente si dimostra l altra uguaglianza, nel duale Quindi, per un sottoinsieme generico E di V, vale comunque che dim Span(E) + dim Ann(E) = n = dim V e similmente per un sottoinsieme del duale Inoltre, Ann(E) = Ann(Span(E)) Esempio Sia V = R 3 ; siano dim Span(E ) + dim Ann(E ) = n = dim V E = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = } E 2 = {(,, t) : t R} E 3 = {(2, 2, 2)} Vogliamo trovare gli annullatori di questi sottoinsiemi Innanzitutto, nessuno dei tre insiemi è un sottospazio vettoriale Per E 3 è ovvio, in quanto contiene un solo vettore, quindi può essere un sottospazio vettoriale se e solo se tale vettore è quello nullo, ma non è il caso; la somma di due elementi di E 2 è della forma (2,, s), quindi non è più un elemento di E 2 ; il vettore (,, ) sta in E, ma non ci sta nessun altro dei vettori (k,, ) con k R, quindi nemmeno E è un sottospazio Ora, notiamo che (,, ), (,, ) e (,, ) stanno in E, quindi e dunque Span(E ) = R 3 Ann(E ) = Ann(R 3 ) = {} Per quanto riguarda E 2, osserviamo che (,, t) = (,, ) + (,, t) = (,, ) + t(,, ) per ogni t R Quindi ogni vettore di E 2 è combinazione lineare di (,, ) e (,, ) (attenzione: non una qualsiasi combinazione lineare, ma il primo più un multiplo del secondo); questo significa che ogni altro vettore di E 2 è linearmente dipendente da questi due, quindi Span(E 2 ) = Span, = W 5

6 in quanto (,, ) E 2 e (,, ) + (,, ) E 2, quindi (,, ) Span(E 2 ) Dunque Ann(E 2 ) = Ann(W ) A questo punto, consideriamo la base duale della base canonica, {L, L 2, L 3 }; abbiamo, sicuramente, che L 2 = L 2 = quindi L 2 Ann(W ) Del resto, sappiamo che dim Ann(W ) = 3 dim W = 3 2 = e quindi Ann(E 2 ) = Ann(W ) = Span{L 2 } = {λl 2 : λ R} Infine, per E 3, abbiamo che Span(E 3 ) = Span = U e dunque Ann(E 3 ) = Ann(U) ed inoltre dim Ann(U) = 3 dim U = 3 = 2 Per descrivere l annullatore di E 3 ci basta dunque trovare due elementi indipendenti del duale che si annullano su U, ovvero su (2, 2, 2), dopo di che potremo caratterizzare Ann(U) come il sottospazio del duale da loro generato Osserviamo quindi che M = L L 2 N = L L 3 si annullano su (2, 2, 2) e sono linearmente indipendenti in V, quindi Ann(E 3 ) = Span{M, N} Esempio Siano U e U 2 due sottospazi di V ; dimostrare che Ann(U U 2 ) = Ann(U ) Ann(U 2 ) Sia L Ann(U U 2 ), allora, visto che U U U 2, si ha che L(v) = per ogni v U, quindi L Ann(U ); d altra parte, visto che U 2 U U 2, si ha che L(v) = per ogni v U 2, quindi L Ann(U 2 ) Così abbiamo dimostrato che Ann(U U 2 ) Ann(U ) Ann(U 2 ) Del resto, se L Ann(U ) e L Ann(U 2 ), consideriamo w U U 2 Per definizione di somma diretta, possiamo scrivere w = w + w 2 con w U e w 2 U 2 e dunque L(w) = L(w + w 2 ) = L(w ) + L(w 2 ) = + quindi L Ann(U U 2 ) Così abbiamo mostrato che Ann(U U 2 ) Ann(U ) Ann(U 2 ) 6

7 che, unita alla precedente, dà l uguaglianza richiesta Esercizio 3 Per ognuno dei seguenti sottoinsiemi di R 4, dire se è un sottospazio vettoriale, in caso negativo determinare il sottospazio da lui generato e trovare una base per il suo annullatore i E = {(x, y, z, w) : x = y = z = w = } ii E 2 = {(, k, k 2, k 3 ) : k R} iii E 3 = {(,, a, b) : a, b R} iv E 4 = {(,, a, b) : a, b R} v E 5 = {(x, y, z, w) : x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = } vi E 6 = ker A con 2 A = Esercizio 4 Dimostrare che, se U e U 2 sono sottospazi di V, allora Ann(U U 2 ) = Ann(U ) Ann(U 2 ) Esercizio 5 Sia V = R 2 [x] e sia V il suo duale Determinare l annullatore per ognuno dei seguenti sottoinsiemi di V : i E = {M, N } dove M (p(x)) = p() e N (p(x)) = p(x)dx ii E 2 = {L V : L(x 2 ) } iii E 3 = ker T t con T : R 2 [x] R 2 [x] data da T (p(x)) = p (x) Osservazione Solo per completezza, ricordiamo che, data T : V V, si hanno le seguenti uguaglianze Ann(ker T ) = imt t Ann(imT ) = ker T t ker T = Ann(imT t ) imt = Ann(ker T t ) 7