dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?

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1 Esercizi Esercizi. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente indipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 2. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v che generano lo spazio (cioè, span{v, v 2, v } = V ). Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 4. Dimostrare direttamente (=verificando la definizione, senza appellarsi al teorema che dice cosa [ ] succede[ riducendo ] a scala la matrice che li ha per colonne) che v =, v 2 = è una base di R Qual è la dimensione di V = span{ 2,, }? 2 6. Dimostrare che, è una base di V. 7. Trovare un equazione lineare soddisfatta da tutti i vettori di V 8. Trovare una matrice A tale che V = ker A Mostrare che,, 9 sono una base di R. Quali sono le componenti del vettore t in questa base? [ ] x + y x. Considera l applicazione lineare f : R 2 R data da f( ) =. y 2x + 2y Qual è la matrice associata a f nelle basi canoniche di R 2 e R?

2 Esercizi 2. Qual è la matrice associata a f nelle basi,, (base di R )? {[ ] [ ]}, (base di R 2 ) e 2. Qual è l immagine di f?. Qual è il nucleo di f? 4. Sapresti scrivere un applicazione lineare da R 2 a R che ha come immagine span( 2 ) e come nucleo span( )? Scrivi la sua matrice associata [ ] rispetto alle basi canoniche dei due spazi. 5. Sapresti scrivere un applicazione lineare da R 4 a R che ha come immagine span( 2, 2 ) e come nucleo span(, )? Scrivi la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche dei due spazi. 6. Considera l applicazione lineare dallo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 R[x] 2 in sé definita da f(ax 2 + bx + c) = (a b)x 2 + (b c)x + (c a). Scrivi la sua matrice associata rispetto alla base x 2, x,. 7. Qual è il suo nucleo? Qual è la sua immagine? Considera i vettori 2,, (Z 5 ) (aritmetica modulo 5!). Sono linearmente indipendenti? 9. Quanti elementi ha (Z 5 )? Quanti elementi ha span{ 2,, } (Z 5 )

3 2 Soluzioni 2 Soluzioni. Che dim V. Infatti è sempre possibile completare v, v 2, v a una base, che quindi ha almeno tre vettori. 2. Niente! Per esempio v, v 2, v potrebbero essere tutti multipli dello stesso vettore, o anche tutti uguali al vettore nullo.. Che dim V. Infatti da v, v 2, v è sempre possibile estrarre una base. 4. Dobbiamo verificare che x v + x 2 v 2 = solo quando x = x 2 =, cioè che il sistema x + x 2 = x x 2 = ha solo la soluzione. E poi anche che il sistema x + x 2 = a x x 2 = b ha soluzione per ogni scelta di a, b R. 5. Dimensione 2, si vede riducento a scala la matrice che ha quei tre vettori per colonne Basta ridurre a scala la matrice 2 : la sua immagine 2 contiene V ed ha dimensione 2, quindi coincide con V, e le prime due colonne ne formano una base perché i pivot stanno nelle prime due colonne. 7. Bisogna trovare tutti i vettori che si scrivono come combinazione lineare di e. Scriviamo y e riduciamo a scala, ottenendo x z

4 2 Soluzioni 4 x x y. Quindi i vettori y che non sono linearmente indipendenti da e sono quelli per cui x z =. z x z 8. Scrivendo l equazione del punto prima come prodotto matrice-vettore otteniamo A = [ ] Risolvendo il sistema 9 x = t troviamo le componenti di t base x = 6t. 5 t span( ). 2 [ ]. span( ). 4. Un applicazione lineare è univocamente determinata dal suo comportamento su una base, per esempio quella canonica. Dobbiamo avere [ ] f( ) = per la seconda condizione. Per soddisfare la prima, possiamo scegliere f( ) come un multiplo a nostro piacere di 2, per [ ]

5 2 Soluzioni 5 [ ] 2 esempio f( ) = 4. La matrice associata a questa applicazione 6 2 lineare quindi è 4. (perché?) 6 5. Questa volta la condizione sul nucleo è più complicata. Per semplificarla, scegliamo una base di R 4 che contenga v = e v 2 =. Per fare questo, estraiamo una base dall insieme di generatori formato dalle colonne di A = riducendo a scala questa matrice. La base è formata da v, v 2 e i primi due vettori della base canonica, che chiameremo v e v 4. Ora, dobbiamo avere f(v ) = f(v 2 ) =, e dobbiamo scegliere f(v ) e f(v 4 ) in modo che span{f(v ), f(v 4 )} = span{ 2, 2 }. Il modo più semplice è proprio f(v ) = 2, f(v 4 ) = 2. Quindi la nostra applicazione lineare è definita come quell unica funzione tale che f(v ) = f(v 2 ) =, f(v ) = 2, f(v 4 ) = 2 (perché è unica?). Le colonne della sua matrice associata sono le immagini dei quattro vettori della base canonica.

6 2 Soluzioni 6 I primi due sono proprio v e v 4, quindi è facile dire che le prime due colonne sono 2 2. Per trovare le altre due colonne, dobbiamo scrivere = x v + x 2 v 2 + x v + x 4 v 4, = y v + y 2 v 2 + y v + y 4 v 4 : y i coefficienti vengono, y 2 y =. Quindi x x 2 x = x 4 y 4 f( ) = f(x v + x 2 v 2 + x v + x 4 v 4 ) = x f(v ) + x 2 f(v 2 ) + x f(v ) + x 4 f(v 4 ) = = = 2, e analogamente f( ) = 2. Quindi la matrice associata a f è formata dalle immagini dei quattro elementi della base canonica: A =

7 2 Soluzioni ker f = span{x 2 + x + }, Im f = span{x 2, x x 2 } (di dimensione 2). 8. No! Riducendo a scala si trova un pivot uguale a 5, e I suoi elementi sono vettori di lunghezza ; ogni elemento può essere scelto tra i soli,, 2,, 4, quindi in 5 modi diversi; in totale abbiamo 5 = 25 elementi Una base di questo sottospazio è v = 2, v 2 =. Ogni elemento si scrive in modo unico come x v + x 2 v 2 per qualche x, x 2 Z 5. Scelte diverse danno vettori diversi. Quindi il numero di vettori è pari al numero di scelte possibili per x e x 2, cioè 5 2 = 25.