Raggiungibilità e osservabilità

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1 Raggiungibilità e osservabilità January 5, 2 La raggiungibilità e l osservabilità sono due proprietà che caratterizzano lo spazio di stato associato ad un sistema. Raggiungibilità Uno stato x è raggiungibile al tempo t a partire dallo stato x se esiste t < t e un ingresso u(t che porta allo stato x al tempo t. Nei sistemi lineari si prende come x il vettore nullo, origine dello spazio di stato, e da lì si cerca l insieme degli stati raggiungibili. Esso sarà l immagine dell operatore di evoluzione forzata x(t t W (t τu(τdτ al variare di t e di u in [t,t]. Lo stesso per i sistemi discreti. Teorema: lo stato x è raggiungibile a partire da x se e solo se x appartiene ad R, sottospazio dello spazio di stato che contiene tutti gli stati raggiungibili, così definito: R Im [ B : AB... A n B ] In pratica la matrice B va concatenata con la serie di prodotti successivi AB, dove n è la dimensione del sistema. L immagine di questa matrice definisce un sottospazio dello spazio di stato generato dai vettori colonna linearmente indipendenti della matrice. Esempio: ( 2 A B 2 ( ( 3 R Im [B : AB] Im 3 {( } gen < > in quanto l altra colonna è proporzionale alla prima. L insieme quindi degli stati raggiungibili è proporzionale al vettore base del sottospazio.

2 La matrice R di raggiungibilità (quella di cui calcoliamo l immagine ha dimensione nx(np (in questo caso p,n2, come si deduce dalle dimensioni di A e B. Questo perché tutte le matrici hanno n righe, e vi sono n blocchi (da B a A n B con p colonne. Dimostrazione: prendiamo un sistema discreto x(k+ax(k+bu(k. Se cerchiamo R(k, x(k- ovvero l insieme degli stati raggiungibili al tempo k con lo stato x preso al tempo k- che è iniziale, otteniamo x(k Ax(k-+Bu(k-. La prima parte è zero per definizione. Il variare della seconda parte mi dà tutti gli stati possibili. Quindi R(k, x(k- Im(B. Cerchiamo R(k, x(k-2. x(k Ax(k +Bu(k A [Ax(k 2 + Bu(k 2]+ Bu(k A 2 x(k 2 + ABu(k 2 + Bu(k dove nel secondo passaggio abbiamo sostituito l espressione di x(k-. La prima parte è di nuovo nulla. Al variare di tutti i possibili ingressi al tempo k-2 o k-, ciò che raggiungo è proprio l immagine di B:AB. Andando avanti fino ad n si ottiene proprio l espressione cercata. Notiamo che andare avanti oltre n- nella potenza di matrice non avrebbe senso. Il teorema di Cayley-Hamilton ci dice che ogni matrice è annullante del proprio polinomio caratteristico: A n + a n A n a quindi A n B a B a AB... a n A n B. A n B è quindi combinazione lineare della matrice già vista secondo i coefficienti a, e non cambierebbe il sottospazio R. Lo stesso è dimostrabile per n+, n+2, ecc... Da ciò si deriva che se lo stato k è raggiungibile, lo è al più in n passi: ciò non dipende dal singolo k. La stessa proprietà (detta differenziale è valida per i sistemi a tempo continuo. Scomposizione del sistema Poniamo il rango della matrice di raggiungibilità R(t m < n. Il sistema può essere spostato nelle coordinate ztx, ottenendo come nuove matrici ( A T AT A A 2 A 22 T B ( B CT ( c c 2 Dove il blocco A ha dimensione mxm, B dimensione mxp e c dimensione qxm. Gli altri hanno dimensione opportuna per raggiungere quelle originarie del sistema. ( z Esprimiamo le nuove coordinate z come vettore con z di dimensione z 2 m e z2 di dimensione n-m. Il sistema diventa: ( ( ( ( z A A 2 z B + u A 22 z 2 z 2 2

3 y ( c c 2 ( z z 2 Dividendo le due componenti e svolgendo i calcoli: z A z + A 2 z 2 + B u z 2 A 22 z 2 y c z + c 2 z 2 Otteniamo che l evoluzione è suddivisa in quella di z (le prime m variabili e z2. Consideriamo quindi il sistema diviso in due sottosistemi S e S2, dove S ha dimensione m (AA e S2 ha dimensione (n-m; solo il primo è condizionato dagli ingressi, come si può vedere, e interagisce col secondo tramite la matrice A2. L uscita caratterizza entrambi. A questo punto si vede che nessuno stato di S2 è raggiungibile in quanto non è mai condizionato dall ingresso; S invece contiene tutti e soli gli stati raggiungibili, infatti: rk ( B : A B... A m B ( B A rk B... A m B... m Il rango della matrice di raggiungibilità è pari alla dimensione del sistema (cioè alla dimensione di A in questo caso, e questo ci dice che il sottospazio degli stati raggiungibili coincide con lo spazio di stato, dato che hanno la stessa dimensione..2 Matrice di trasformazione Vediamo come scegliere la matrice di trasformazione T per il cambiamento di coordinate da x a z. T dev essere tale che la sua matrice inversa dev essere essere formata da due parti: la prima parte è una base di R, di dimensione quindi nxm. La seconda di dimensione nx(n-m è un completamento casuale tale da rendere la matrice invertibile. Le dimensioni si deducono dal fatto che il numero di righe e colonne totale dev essere n (altrimenti non potremmo moltiplicarla per A e ottenere una seconda matrice A della stessa dimensione della prima, insomma si avrebbe un sistema non equivalente al precedente e quindi prendiamo m vettori colonna che formano la base di R, più n-m altri vettori che riempiono lo spazio. Il determinante finale dev essere diverso da per poter invertire la matrice nella trasformazione. Esempio: prendendo le matrici A e B dall esempio precedente, possiamo scegliere ad esempio: ( T 3

4 .3 La risposta impulsiva Teorema: la risposta impulsiva coincide con quella del sottosistema raggiungibile. Ricordiamo che nelle coordinate classiche x la risposta impulsiva è W (t Ce At B. Nelle coordinate ztx diventa CT e T AT t T B. Svolgiamo i calcoli W (t ( A A 2 A c c 2 e 22 t ( B ( ( t k A A c c 2 2 k! A 22 k ( B ( ( t k A k c c qualcosa 2 k! A k 22 ( B ( c c 2 t k k! ( A k B c t k k! Ak B c e At B W (t dove W è proprio la risposta impulsiva del sottosistema S. Il qualcosa è una parte della potenza di matrice più complessa che non ci interessa, in quanto con la moltiplicazione per la matrice B scompare..4 I modi naturali S contiene tutti e soli i modi eccitabili del sistema. Intanto il cambiamento di coordinate non influisce sui modi: gli autovalori restano gli stessi. ( H(t e At e A t B B... le leggi sono proprio quelle del blocco A. 2 Controllabilità Uno stato x è controllabile al tempo T se esiste un ingresso che al tempo T porta da x allo stato zero. T e At x c + e A(T τ Bu(τdτ Nei sistemi continui è equivalente alla raggiungibilità. Nei sistemi discreti lo è solo se A è invertibile. 4

5 3 Osservabilità (e sua mancanza In generale, l osservabilità di un sistema delinea la possibilità di ricostruire il comportamento interno (le evoluzioni interne osservando l uscita. In realtà molto spesso si mette in evidenza una caratteristica che rappresenta un ostacolo a questa possibilità, ovvero l esistenza di stati cosiddetti indistinguibili. Definizione: x è indistinguibile da x2 al tempo t se le evoluzioni in uscita associate sono le stesse per ogni ingresso. Questo non impedisce che le evoluzioni interne a partire da quei due stati siano molto diverse. Nei sistemi lineari possiamo porre: t t Ce A(t t x + W (t τu(τdτ Ce A(t t x b + t W (t τu(τdτ t L integrale è sempre uguale, quindi: Ce A(t t x Ce A(t t x 2 Ce A(t t (x x 2 y L (t Due stati sono quindi indistinguibili quando l evoluzione libera in uscita a partire da x-x2 è nulla. Lo stato x-x2 per cui si verifica questa proprietà è detto inosservabile. Notiamo che lo stato è sempre inosservabile. Possiamo quindi modificare la definizione diciamo che x è indistinguibile da x2 se e solo se (x-x2 è indistinguibile da x. Definiamo ora l insieme degli stati inosservabili I. È immediato sapere che, una volta conosciuto questo insieme, possiamo verificare l inosservabilità di uno stato qualsiasi verificando la sua appartenenza a questo insieme. Di nuovo, I è un sottospazio dello spazio di stato. I ker C... CA. CA n Dove i 3 puntini orizzontali indicano la concatenazione di C con quell altra matrice. La matrice di osservabilità (quella di cui dobbiamo calcolare il nucleo ha dimensione (qxnxn. Esempio: ( 2 A 2 C ( 5

6 ( I ker 3 3 ( gen < > In questo caso la dimensione di I è. Se fosse stata pari a n, avremmo un sistema totalmente inosservabile, mentre se fosse stata avremo un sistema completamente osservabile. 3. Scomposizione Di nuovo, ponendo dimin-m creiamo T invertibile ed esprimiamo il sistema nelle coordinate ztx. ( T AT A A 2 A 22 ( B T B B 2 CT ( C Dove il blocco A ha dimensione mxm, B mxp e C qxm. Di nuovo scomponiamo in due sottosistemi secondo le nuove coordinate z. Con esattamente gli stessi calcoli arriviamo a: { z A z + B u z 2 A 2 z + A 22 z 2 + B 2 u Entrambi i sottosistemi sono condizionati dall ingresso, mentre solo il primo influenza e l uscita, e il secondo influenza il primo tramite il blocco A2. Calcolando I in queste nuove coordinate: ker C C A. C A n ker C C A.. C A n la nuova matrice di osservabilità ha rango m (di nuovo la dimensione di A e quindi si deduce che S è tutto osservabile, e in più è caratterizzato da tutti e soli i modi osservabili. La forma della T da scegliere è quasi identica alla precedente: T ( complemento base di I Dove il complemento ha dimensione m, e la base n-m. La risposta impulsiva coincide con quella del sottosistema osservabile. 6

7 3.2 Altre proprietà S è tutto raggiungibile se e( solo se rk(a λi : B n per tutti gli autovalori. A λi S è tutto osservabile se rk n per ogni autovalore. C La realizzazione controllabile è interamente raggiungibile. La realizzazione osservabile è (ovviamente osservabile. La realizzazione di Gilbert è sia raggiungibile sia osservabile. 4 Scomposizione di Kalman Dati i due sottospazi R e I, creiamo altri quattro sottospazi dello spazio di stato in questo modo: X R I X X 2 R X X 3 I X X 2 X 3 X 4 R n Abbiamo che X contiene tutti gli stati raggiungibili e inosservabili (per definizione, X2 tutti gli stati raggiungibili e osservabili, X3 quelli inosservabili e non raggiungibili, e X4 osservabili e non raggiungibili. I vari sottospazi di completamento delle somme dirette sono scelti in modo da essere i più piccoli possibili. Vediamo come creare T a partire da questa nuova scomposizione, con la convenzione che n i dim X i e n + n 2 + n 3 + n 4 n T ( basex basex 2 basex 3 basex 4 T AT A A 2 A 3 A 4 A 22 A 24 A 33 A 34 A 44 T B B B 2 CT ( C 2 C 4 Se scomponiamo z in un vettore nx con z, z2, z3 e z4 (ognuno con un numero di righe pari alla dimensione del sottospazio relativo abbiamo la seguente suddivisione in sottosistemi: z A z + A 2 z 2 + A 4 z 4 + B u z 2 A 22 z 2 + A 24 z 4 + B 2 u z 3 A 33 z 3 + A 34 z 4 z 4 A 44 z 4 y C 2 z 2 + C 4 z 4 7

8 che si ricava direttamente dalle proprietà dei sottospazi. S2 è l unico sottosistema che è sia raggiungibile sia osservabile, quindi la risposta impulsiva di S coinciderà con quella relativa a questo sottosistema, in quanto è l unico ad avere un legame ingresso e uscita. Infatti gli altri o non sono collegati all ingresso in nessun modo, o non lo sono all uscita (o nessuna delle due, nel caso di S3. 8