Caso di A non regolare

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1 Caso di A non regolare December 2, 2 Una matrice A è regolare quando è quadrata e in corrispondenza di ogni autovalore di molteplicità algebrica m si ha una caduta di rango pari proprio a m Ovvero: rk (A λ i I) = n m dove n è la dimensione della matrice Ricade in questo caso il caso di A con tutti autovalori distinti, ma anche quando in corrispondenza di un autovalore con m=2 (esempio) ho due autovettori, quindi molteplicità geometrica pari a 2 Infatti in questo caso i calcoli visti non cambiano, tranne che otteniamo due modi naturali coincidenti In generale, A non è regolare quando per almeno un autovalore ho che la sua molteplicità geometrica è strettamente minore della sua molteplicità algebrica In questo sfortunato caso, purtroppo, non esiste una forma equivalente di A diagonale Calcoleremo dunque la cosiddetta forma di Jordan della matrice A con p autovalori distinti Prendiamo un autovalore generico λ i, con molteplicità geometrica g(i) Risolvendo il classico sistema troviamo q autovettori x i, x i2,, x iq linearmente indipendenti Prendiamo il primo e iniziamo a porre (A λ i I)t i = x i (A λ i I)t i2 = t i e così via fino a trovare k vettori non nulli che formeranno una catena di autovettori generalizzati Ci fermiamo ovviamente quando è impossibile risolvere il sistema o quando il risultato è il vettore nullo Ripetiamo la stessa cosa per gli altri autovettori di partenza Queste catene sono formate tutte da vettori linearmente indipendenti e quindi formano ciascuna un sottospazio di dimensione k Trovando un numero opportuno di autovettori generalizzati associati a tutti i p autovalori distinti di A Insomma abbiamo che con gli autovettori di partenza + questi nuovi delle catene, dobbiamo proprio raggiungere n autovettori!

2 Tali autovettori saranno le colonne di una matrice invertibile T, e risulterà: A = T JT dove J è la forma canonica di Jordan di A Ma non c è bisogno di fare tutte queste moltiplicazioni e inversioni Come la matrice diagonale D, anche J ha una forma particolare È infatti diagonale a blocchi: J = J J p Ricordiamo che p era il numero di autovalori distinti di A Ciascun blocco è a sua volta diagonale a miniblocchi: J i J i = J gi Il numero di miniblocchi è pari alla molteplicità geometrica, e sono formati così: λ i J ij = λ i parliamo dopo della dimensione di questi miniblocchi Il numero di sulla sopradiagonale è pari ad n meno la somma di tutte le molteplicità geometriche Nel caso di autovalori ( complessi, ) si avranno sulla diagonale blocchetti 2x2 α ω nella solita forma ω α Esempio: A = 2 3 C è un solo autovalore, 2, di molteplicità algebrica pari a 3 La soluzione del sistema è del tipo: t s s Due possibili soluzioni sono: u = 2

3 u 2 = Per arrivare a 3 abbiamo bisogno di un autovettore generalizzato (A 2I)u 2 = t s s Di nuovo otteniamo come sottospazio delle soluzioni uno di dimensione 2 Scegliamo un autovettore qualsiasi di questo sottospazio in modo che sia linearmente indipendente da quelli che abbiamo già u 2 = La forma di Jordan è semplice Abbiamo due miniblocchi, uno di dimensione 2 (relativo ai due autovettori già esistenti) e poi un secondo di dimensione per il solo autovettore generalizzato J = Anche il numero di corrisponde a 3-2 Un altro paio di considerazioni: parlando di catene, possiamo parlare di ordine o rango di un autovettore Il rango è uguale alla posizione dell autovettore nella catena Il primo sarà di rango, il secondo di rango 2ecc fino a k Per ciascun autovalore ho quindi un numero di catene pari alla molteplicità geometrica! Lasciando perdere tutti questi discorsi teorici, vediamo come queste nuove conoscenze ci possono aiutare nello studio dei modi Per prima cosa infatti vediamo come si calcola l esponenziale di una matrice in forma di Jordan e Jit = e Λjt t k e Λit k! eλit Dove Λ i = λ i per autovalori reali, e al solito blocco 2x2 per i complessi Notiamo quindi che sulla prima riga e colonna di ogni blocco di Jordan si dispone una sorta di sviluppo di Taylor L esponenziale dei blocchetti lo sappiamo già fare! 3

4 L evoluzione libera si presenta come una combinazione lineare di modi naturali multipli Per prima cosa decomponiamo lo stato iniziale x come combinazione di componenti, ognuna presa da un autospazio Nel caso precedente, quindi, esprimiamo x come proporzione di un autovettore qualsiasi fra quelli generalizzati o meno (è sempre un autospazio solo!) Chiamiamo c(i) tale autovettore scelto (la costante non è interessante) ( ) modo = e λit I + t(a λ i I) + + tk k (A λ it) k c i k è l ordine di c(i) come autovettore generalizzato La legge temporale del modo è sempre di tipo esponenziale ma con coefficiente polinomiale nel tempo A ciascun autovalore è quindi possibile associare più modi detti coincidenti, se hanno molteplicità geometrica maggiore di Per un sistema a tempo discreto: x L (t) = t ( t h h= Esempio pratico A = ) (A λ i I) h c i λ t h i Autovalori: - con molteplicità algebrica 3 e con ma pari a u 2 = 2 u = Abbiamo bisogno di altri due autovettori generalizzati nella catena (a partire da u() ovviamente) per arrivare a 4 u 2 = 4

5 u 3 = Gli esponenti indicano l ordine o rango Notiamo che lo spazio di stato R^4 si decompone come somma diretta di due autospazi, uno associato alla prima catena e uno associato al 2 autovettore Proprio per le proprietà della somma diretta, x può essere scomposto come la combinazione lineare di due autovettori, uno per ciascun autospazio x = 3 x = x + x 2 = u u 2 x L (t) = e t u + e t u 2 Entrambi sono infatti di ordine x = 3 2 x = 4u 3 u 2 [I + t(a + I) + t22 (A + I)2 ] x L (t) = e t u 2 + e t u 3 Tanto per perdere tempo, calcoliamo anche la forma di Jordan: J = e Jt = e t te t t2 2 e t e t te t e t e t 5