5 Un applicazione: le matrici di rotazione

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1 5 Un applicazione: le matrici di rotazione 51 Rotazioni nel piano di un angolo ϑ Si vuole considerare il caso della rotazione nel piano di un vettore di R di un angolo ϑ assegnato Chiaramente si tratta di un applicazione lineare (si veda la definizione 33), in quanto la rotazione nel piano di un angolo ϑ del vettore somma di due vettori assegnati è equivalente al vettore somma dei due vettori precedentemente ruotati Inoltre, il fatto che il vettore venga dilatato (o contratto) non modifica l angolo di rotazione e quindi è del tutto indifferente farlo prima o dopo In definitiva, essendo la rotazione nel piano di un angolo ϑ un applicazione lineare, essa può essere rappresentata da una matrice, ottenuta nel modo seguente (si faccia riferimento sempre alla sezione 3) Si considera la base canonica e 1 1, T F (e 1 ) cos ϑ, sin ϑ T e, 1 T F (e ) cos(π/ + ϑ), sin(π/ + ϑ) T vettori della base immagini dei vettori della base Ma, poiché vale cos(α + β) cos α cos β sin α sin β e sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β, si ha cos(π/+β) cos π/ cos ϑ sin π/ sin ϑ sin ϑ e sin(π/+ β) sin π/ cos ϑ + cos π/ sin ϑ cos ϑ In definitiva, l applicazione lineare da R a R corrispondente alla rotazione di un angolo ϑ è rappresentata dalla matrice cos ϑ sin ϑ A A ϑ F (e 1 ), F (e ) sin ϑ cos ϑ Per verifica, si consideri un vettore generico v ρ cos α, ρ sin α T, ρ, allora cos ϑ sin ϑ ρ cos α F (v) Av sin ϑ cos ϑ ρ sin α ρ cos α cos ϑ ρ sin α sin ϑ, ρ cos α sin ϑ + ρ sin α cos ϑ T ρ cos(α + ϑ), ρ sin(α + ϑ) T È interessante notare che la matrice A è ortogonale, vale la proprietà A T A AA T I Infatti è A T cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ e quindi e A T A AA T cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ cos ϑ + sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ + cos ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ cos ϑ + sin ϑ cos ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ sin ϑ + cos ϑ

2 Si procede ora al calcolo degli autovalori e autovettori della matrice A Passo 1: Calcolo degli autovalori Vale cos ϑ λ sin ϑ det(a λi) det sin ϑ cos ϑ λ da cui (cos ϑ λ) + sin ϑ cos ϑ + λ cos ϑλ + sin ϑ λ cos ϑλ + 1 λ cos ϑ ± 4 cos ϑ 4 cos ϑ ± i sin ϑ e ±iϑ cos ϑ ± sin ϑ cos ϑ ± i sin ϑ Si noti che λ 1 Questo fatto non è un caso: vale la proprietà che autovalori di matrici ortogonali (e più in generale unitarie) sono di modulo unitario Passo a: sia λ 1 cos ϑ + i sin ϑ, si considera il sistema omogeneo Az 1 λ 1 z 1 cos ϑ (cos ϑ + i sin ϑ) sin ϑ sin ϑ cos ϑ (cos ϑ + i sin ϑ) z 1, i sin ϑ sin ϑ x1, con z sin ϑ i sin ϑ 1 Ora, rango(a λ 1 I) 1 se sin ϑ, ϑ ; π Quindi per ϑ ; π, si considera y 1 x1 y 1 i sin ϑx 1 sin ϑy 1, y 1 ix 1 ; mentre l altra equazione risulterà automaticamente verificata Quindi, posto ad esempio x 1 1 si ha y 1 i e, normalizzando in norma (si veda sezione 61), ( 1, i T ) si ottiene z i Passo b: sia λ cos ϑ i sin ϑ, si considera il sistema Az λ z cos ϑ (cos ϑ i sin ϑ) sin ϑ sin ϑ cos ϑ (cos ϑ i sin ϑ) z, i sin ϑ sin ϑ sin ϑ i sin ϑ x, con z y x y 47

3 Ora, rango(a λ I) 1 se sin ϑ, ϑ ; π Quindi per ϑ ; π, si considera i sin ϑx sin ϑy, y ix ; mentre l altra equazione risulterà automaticamente verificata Quindi, posto ad esempio x 1 si ha y i e normalizzando in norma (si veda sezione 61) ( 1, i T ) si ottiene z 1 1 i Pertanto, per se ϑ ; π la matrice è sicuramente diagonalizzabile, vale con A SΛS 1 Λ diag(λ 1, λ ) S z 1, z i i Si può verificare la seguente proprietà: le matrici normali ( tali che AA H A H A) si diagonalizzano tramite matrici unitarie Infatti, la matrice S z 1, z è unitaria, SS H S H S I, o meglio z 1 è ortogonale, anzi ortonormale, a z, come qui di seguito verificato S H 1 1 i 1 i S H S 1 1 i 1 i SS H i i 1 1 i i 1 i 1 i Quindi si può affermare che e i 1 + i 1 + i 1 i S 1 S H i i i + i i i }{{} i A SΛS H λ1 1 1 i i i λ 1 i I I Si tenga presente che i vettori z 1, z formano una base ortonormale per R : sono in numero di e sono linearmente indipendenti, essendo det S ( 1 ) 1 1 i i 1 (i + i) i Casi particolari: ϑ, π (sin ϑ ) Per ϑ si ha 1 A A 1 48

4 matrice diagonale con autovalori coincidenti λ 1 λ 1 (autovettori e 1, e ) Per ϑ π si ha 1 A A π 1 matrice diagonale con autovalori coincidenti λ 1, 1 (autovettori e 1, e ) In entrambi i casi le matrici sono diagonalizzabili, in quanto già diagonali 5 Rotazioni nello spazio di un angolo ϑ intorno all asse z Si vuole considerare il caso della rotazione nello spazio intorno all asse z di un vettore di R 3 di un angolo ϑ assegnato Come nel caso precedente, si tratta chiaramente di un applicazione lineare, quindi si procede analogamente Si considera la base canonica e 1 1,, T F (e 1 ) cos ϑ, sin ϑ, T e, 1, T F (e ) sin ϑ, cos ϑ, T e 3,, 1 T F (e 1 ),, 1 T vettori della base immagini dei vettori della base In definitiva, tale applicazione lineare da R 3 a R 3 è rappresentata dalla matrice cos ϑ sin ϑ A A ϑ F (e 1 ), F (e ), F (e 3 ) sin ϑ cos ϑ 1 È interessante notare che la matrice A è ortogonale, vale A T A AA T I Infatti è cos ϑ sin ϑ A T sin ϑ cos ϑ 1 e quindi e A T A AA T cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ 1 cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ 1 cos ϑ + sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ + cos ϑ 1 cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ 1 cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ 1 cos ϑ + sin ϑ cos ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ sin ϑ + cos ϑ 1 I I 49

5 Si procede ora al calcolo degli autovalori e autovettori della matrice A Passo 1: Calcolo degli autovalori Vale da cui det(a λi) det cos ϑ λ sin ϑ sin ϑ cos ϑ λ 1 λ (1 λ)((cos ϑ λ) + sin ϑ) (1 λ)(cos ϑ + λ cos ϑλ + sin ϑ) (1 λ)(λ cos ϑλ + 1) λ 1, cos ϑ ± i sin ϑ e ±iϑ, λ 3 1 Si noti che il secondo fattore del polinomio caratteristico è il polinomio caratteristico della matrice di rotazione nel piano di sezione 51 Passo a: sia λ 1 cos ϑ + i sin ϑ, si considera il sistema Aw 1 λ 1 w 1 cos ϑ (cos ϑ + i sin ϑ) sin ϑ sin ϑ cos ϑ (cos ϑ + i sin ϑ) w 1, 1 (cos ϑ + i sin ϑ), posto w 1 x 1, y 1, z 1 T, i sin ϑ sin ϑ sin ϑ i sin ϑ 1 (cos ϑ + i sin ϑ) x 1 y 1 z 1 Ora, rango(a λ 1 I) se sin ϑ e λ 1 1, ϑ ; π Per affermare questo si è considerata la sottomatrice riquadratasi noti tra l altro che ogni altra sottomatrice è singolare Quindi per ϑ ; π, si considera { y1 ix 1 z 1 Si noti che si stanno considerando solo le equazioni relative alla sottomatrice riquadrata: ogni altra equazione risulterà automaticamente verificata dalla soluzione di tali equazioni Quindi, posto ad esempio x 1 1 si ha y 1 i, z 1 e normalizzando in norma (si veda sezione 61) ( 1, i, T ) si ottiene w i 5

6 Si tenga comunque presente che, nel caso esistesse più di una sottomatrice quadrata con determinante diverso da zero, si andrebbe a scegliere quella più semplice (con più zeri o con coefficienti più semplici), in quanto questo semplifica il sistema lineare da risolvere Passo b: sia λ cos ϑ i sin ϑ, si considera il sistema Aw λ w i sin ϑ sin ϑ sin ϑ i sin ϑ 1 (cos ϑ i sin ϑ) x y z, con w x y z Ora, rango(a λ I) se sin ϑ e λ 1, ϑ ; π Per affermare questo si è considerata la sottomatrice riquadrata Quindi per ϑ ; π, si considera { y ix z Quindi, posto ad esempio x 1 si ha y i, z e normalizzando in norma (si veda sezione 61) ( 1, i, T ) si ottiene w 1 1 i Passo c: sia λ 3 1, si considera il sistema Aw 3 λ 3 w 3 cos ϑ 1 sin ϑ sin ϑ cos ϑ 1 x 3 y 3 z 3, con w 3 x 3 y 3 z 3 Ora, rango(a λ 3 I) se ϑ Per affermare questo si è considerata la sottomatrice riquadrata Quindi per ϑ, si ha il sistema omogeneo di due equazioni in due incognite { x3 (cos ϑ 1) sin ϑy 3 sin ϑx 3 + (cos ϑ 1)y 3 con matrice non singolare, che ha come unica soluzione possibile la soluzione banale x 3 y 3 Quindi, posto ad esempio z 3 1 si ha w 3 1 Pertanto, per se ϑ ; π la matrice è sicuramente diagonalizzabile, vale A SΛS 1 51

7 con Λ diag(λ 1, λ, λ 3 ) S w 1, w, w i i 1 Anche in questo caso la matrice S z 1, z è unitaria, SS H S H S I Quindi, si ha S 1 S H, da cui A SΛS H Si tenga presente che i vettori w 1, w, w 3 formano una base ortonormale per R 3 : sono in numero di 3 e sono linearmente indipendenti, essendo det S i Casi particolari ϑ, π Per ϑ si ha A A matrice diagonale con autovalori coincidenti λ 1 λ λ 3 1 e con tre autovettori linearmente indipendenti e 1, e, e 3 Infatti, il numero di autovettori linearmente indipendenti associati all autovalore λ 1 è dato da n rango(a λ 1 I) n 3, essendo rango(a λ 1 I) poiché (A λ 1 I)w 1 (matrice nulla) Per ϑ π si ha A A π matrice diagonale con autovalori λ 1, 1,λ 3 1 Si noti che (A λ 1 I)w 1 w 1 con x 1, y 1 qualsiasi e z 1 Essendo rango(a λ 1 I) 1, si ha che il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a λ 1 è n rango(a λ 1 I) n 1 e, ad esempio, e 1, e sono autovettori Inoltre (A λ 3 I)w 3 w 3 con z 3 qualsiasi e x 3 y 3 Infatti, n rango(a λ 1 I) n 1, essendo rango(a λ 1 I), e, ad esempio, e 3 è autovettore 5