Esercizi di Geometria - 1
|
|
- Ilaria Rizzi
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi di Geometria - Samuele Mongodi - smongodi@snsit Di seguito si trovano alcuni esercizi assai simili a quelli che vi troverete ad affrontare nei test e negli scritti dell esame Non è detto che vi sarà un problema per tipo, né che quelli qui presentati coprano tutte le possibili richieste, ma farli certo non sarà controproducente ai fini dell esame La sezione 3 contiene alcuni suggerimenti su come affrontare gli esercizi Test Esercizio Sia V = R 2 [x], munito della base {, x, }, e sia {L, L, L 2 } la base duale di V Determinare in tale base le coordinate del funzionale lineare p(x) p(x)dx Esercizio 2 Sia {e, e 2, e 3, e 4 } la base canonica di R 4 e sia {e, e 2, e 3, e 4} la base duale di (R 4 ) Determinare quanto vale e (2e + e 2 + 3e 3 2e 4 ) Esercizio 3 Sia V = R 3 [x], munito della base {, x,, }, e sia {L, L, L 2, L 3 } la base duale di V Determinare M( + 3x) dove M = L + 2L 3 Esercizio 4 Sia (, 2, 3) t R 3 e sia φ v (R 3 ) l elemento del biduale canonicamente associato a v Se {e, e 2, e 3} è la base duale della base canonica, determinare φ v (e e 2) Esercizio 5 Sia V = R 2 [x], munito della base {, x, }, e sia {L, L, L 2 } la base duale di V Determinare in tale base le coordinate del funzionale lineare p(x) p(2) Esercizio 6 Sia {v, v 2, v 3 } una base di V su K, sia {v, v 2, v 3} la base duale di V ; determinare v 3(v v 2 + 3v 3 ) Esercizio 7 Sia V = R 2 [x], munito della base {, + x, + x + }, e sia {M, M, M 2 } la base duale di V Determinare M (2 + 2x) Esercizio 8 Sia v R 3 e sia φ v (R 3 ) l elemento del biduale canonicamente associato a v; sapendo che {e, e 2, e 3} è la base duale della base canonica e che φ v (e ) =, φ v (e 2) =, φ v (e 3) =, determinare le coordinate di v rispetto alla base canonica ( v ) ( w Esercizio 9 Sia, v 2 scalare su R 2 ; si scriva la matrice di tale prodotto scalare rispetto alla base {( ), ( )} w 2 ) = v w + v w 2 + w v 2 un prodotto
2 Esercizio Sia v v 2 v 3, w w 2 w 3 = v w 2 + w v 2 w v 3 v w 3 + v 3 w 3 un v 3 prodotto scalare su R 3 ; si scriva la matrice di tale prodotto scalare rispetto alla base,, Esercizio Sia b v v 2 = v 2 + v2 2 v v v 3 + 4v 2 v 3 una forma quadratica; si scriva la matrice del prodotto scalare associato a b rispetto alla base,, ( ) v Esercizio 2 Sia b = v v 2 2v2 2 3v v 2 una forma quadratica; si scriva la 2 {( ) ( )} 2 matrice del prodotto scalare associato a b rispetto alla base, 3 Esercizio 3 Dire per quali valori di ( α il prodotto ) scalare su R 2 associato α rispetto alla base canonica alla matrice è indefinito non degenere α Esercizio 4 Dire per quali valori di ( α il prodotto ) scalare su R 2 associato α rispetto alla base canonica alla matrice è definito negativo α Esercizio 5 Dire per quali valori di α il( prodotto scalare) su R 2 associato rispetto alla base canonica alla matrice 2 α α 2 è semidefinito positivo Esercizio 6 Determinare una base del sottospazio di R 3 ortogonale a rispetto al prodotto scalare euclideo 4 Esercizio 7 Determinare una base del sottospazio di R 4 ortogonale ai due vettori e rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 8 Determinare una base del sottospazio di R 3 ortogonale a rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 9 Determinare una base del sottospazio di R 3 ortogonale a rispetto al prodotto scalare x, y = x y + y 2 y
3 Esercizio 2 Determinare la lunghezza del vettore prodotto scalare euclideo Esercizio 2 Determinare la lunghezza del vettore prodotto scalare euclideo Esercizio 22 Determinare la lunghezza del vettore prodotto scalare x, y = x y 2 + y y 3 y Esercizio 23 Determinare l applicazione aggiunta di f rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 24 Determinare l applicazione aggiunta di f rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 25 Determinare l applicazione aggiunta di f rispetto al prodotto scalare euclideo x x Esercizio 26 Determinare l applicazione aggiunta di f in R 3 rispetto al in R4 rispetto al in R 3 rispetto al = = x rispetto al prodotto scalare x, y = x y + x y 3 + y y 2 x = = x + 3 x + 2 x Esercizio 27 Dire se il prodotto scalare su R 3 dato da x, y = x y + 2x y y x y 3 y + y 2 2 y 3 è degenere o non degenere, definito o indefinito Esercizio 28 Dire se il prodotto scalare su R 3 dato da x, y = x y + x y 2 + y 2x y 3 2 y + 2 y 3 è degenere o non degenere, definito o indefinito Esercizio 29 Dire se il prodotto scalare su R 3 dato da x, y = 2x y + x y 2 + y y 3 y 2 +2 y 2 +2 y 3 è degenere o non degenere, definito o indefinito Esercizio 3 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R 3 rispetto al prodotto scalare x, y = x y + x y 3 + y + y 3 Esercizio 3 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R 3 rispetto al prodotto scalare x, y = x y x y 3 y + y 2 + y 3 Esercizio 32 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R 3 rispetto al prodotto scalare x, y = x y + 2x y y + 5 y 2 + y 3 + y 2 + y 3 x 3
4 2 Scritto Esercizio Sia R 2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare p(x), q(x) = p()q() + p()q() p ()q () i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = x 3 Esercizio 2 Sia R 2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare p(x), q(x) = p(x)q(x)dx p ()q () i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = Esercizio 3 Sia R 2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare p(x), q(x) = (pq) () p()q() i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 + x Esercizio 4 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {e x, e x, x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x) = (fg) () f ()g () 4
5 i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {e x, e x, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 4e x 3 Esercizio 5 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {e x, e x, x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x) = f()g() + f(x)g(x)dx i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {e x, e x, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2e x 2e x + x Esercizio 6 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x), = f(x)g(x)dx i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {sin x, cos x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 cos x + Esercizio 7 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x), = f()g(π) + f(π)g() i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {sin x, cos x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo 5
6 iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 sin x + Esercizio 8 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x), = f()g () + f ()g() i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {sin x, cos x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 cos x + sin x Esercizio 9 Sia data su R 3 la matrice simmetrica 3 6 A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x ii Sia f = + x + un applicazione lineare; si determini la matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio Sia data su R 3 la matrice simmetrica A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale ii Sia f x = x 2 + un applicazione lineare; si determini la x matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio Sia data su R 3 la matrice simmetrica 3 A =
7 i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x + ii Sia f = 2 3 x + 2 un applicazione lineare; si determini la matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio 2 Sia data su R 3 la matrice simmetrica A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x ii Sia f = 4 x un applicazione lineare; si determini la matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio 3 Sia data su R 4 la matrice simmetrica 2 A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x x 4 ii Sia f = 2 un applicazione lineare; si determini la x 4 x 4 + matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio 4 Sia data su R 4 la matrice simmetrica 2 A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x ii Sia f = 2 2 x 4 un applicazione lineare; si determini la x 4 x + 3x 4 matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente 7
8 2 Possibili varianti Gli esercizi dello scritto saranno, probabilmente, del tipo riportato sopra, ma potrebbero comparire alcune varianti Ad esempio, una domanda possibile negli esercizi del primo tipo potrebbe essere: Si trovi un piano iperbolico, se esiste Trovare un piano iperbolico equivale a trovare due vettori isotropi che non siano tra loro ortogonali; due tali vettori vanno cercati ovviamente fuori dal radicale Un piccolo trucco: se sulla diagonale della matrice associata al prodotto scalare si trovano due zeri (il che vuol dire due vettori isotropi) e se agli altri due vertici del rettangolo individuato da quelle due caselle si trova un numero non nullo, i due vettori della base corrispondenti ai due zeri generano un piano iperbolico Ad esempio, nella matrice possiamo trovare subito i due piani iperbolici Span{e, e 3 } e Span{e 3, e 4 }, mentre non possiamo prendere e, e 4 in quanto gli elementi sulla diagonale sono sì zero, ma lo sono anche gli altri due vertici del rettangolo (le posizioni (, 4) e (4, )) Ancora, nel primo esercizio, potrebbe comparire la domanda: Determinare lo spazio radicale del prodotto scalare Questo è anche un esercizio da test, ma potrebbe comunque comparire nello scritto Ovviamente, vanno bene sia una base dello spazio radicale che una parametrizzazione Una possibile variante del secondo esercizio, invece, potrebbe essere: Si trovi la matrice associata all aggiunta di f nella base canonica rispetto al prodotto scalare indotto dalla matrice A In questo caso, questa è una semplificazione notevole: invece di dover calcolare l aggiunta nella base diagonalizzante, si deve svolgere tutto nella base canonica Quindi è simile agli esercizi del test che chiedono di trovare l aggiunta di una certa applicazione rispetto ad un certo prodotto scalare In particolare, se f è associata alla matrice B rispetto alla base canonica, allora la sua aggiunta sarà associata alla matrice A B t A, dove A è la matrice del prodotto scalare, sempre rispetto alla base canonica (quindi, per intenderci, non diagonale) Non ho inserito altri esercizi con queste richieste, in quanto basta che rifacciate i precedenti quattordici esercizi inserendo anche queste domande 8
9 3 Brevi richiami In questa sezione non vi sono soluzioni di esercizi specifici, ma vengono presentati i metodi risolutivi da usare 3 Duale Data una base di V composta dai vettori {v,, v n }, la base duale {v,, vn} di V è definita come { vi se i j (v j ) = se i = j Quindi v i (a v + + a n v n ) = a i ; se inoltre M è un generico elemento di V, e i coefficienti λ i sono dati da M = λ v + + λ n v n λ i = M(v i ) In particolare, se v = a v + + a n v n e M = λ v + + λ n v n, allora M(v) = a λ + + a n λ n L isomorfismo canonico tra V e V è dato da v φ v dove φ v è un elemento del biduale (ovvero un applicazione lineare dal duale al campo base) tale che φ v (M) = M(v) M V In particolare, se v = a v + + a n v n e M = λ v + + λ n v n, si ha φ v (M) = a λ + + a n λ n 32 Cambi di base del prodotto scalare Dato un prodotto scalare, sullo spazio vettoriale V, la sua matrice nella base {v,, v n } è data da v, v v, v 2 v, v n v 2, v v 2, v 2 v 2, v n v n, v v n, v 2 v n, v n ovvero, alla i esima riga e j esima colonna si trova il numero v i, v j 9
10 33 Forme quadratiche e prodotti scalari Ad ogni prodotto scalare è associata la forma quadratica b(v) = v, v ; avendo solo tale forma si può ricostruire il prodotto scalare: v, w = (b(v + w) b(v w))/4 Inoltre, dalla forma quadratica si può ricavare direttamente la matrice del prodotto scalare rispetto alla base canonica: supponiamo di essere in R 3 per semplicità e che sia data la forma quadratica b(v) = av 2 + bv cv dv v 2 + ev v 3 + fv 2 v 3 Allora la matrice associata al prodotto scalare indotto da b rispetto alla base canonica è a d/2 e/2 d/2 b f/2 e/2 f/2 c (attenzione ai diviso 2 fuori dalla diagonale!!) 34 Segnatura Un prodotto scalare è degenere se e solo se il radicale dello spazio (V ) è diverso da {}; in pratica, ciò significa che un prodotto scalare è degenere se e solo se il determinante della matrice associata in una qualche base è nullo e la dimensione dello spazio radicale è la dimensione del nucleo Inoltre, un prodotto scalare è indefinito se esiste un vettore isotropo (ovvero tale che v, v = ) che non stia in V ; in pratica, è indefinito se la matrice associata in una qualche base ha due autovalori di segno diverso Viceversa, è definito positivo o negativo (e questo ha senso solo su R o più in generale su un campo ordinato) se e solo se per ogni vettore non nullo si ha v, v > (nel caso di positivo) o v, v < (nel caso di negativo); in pratica vuol dire che tutti gli autovalori sono positivi o negativi Infine è semidefinito positivo (o negativo) se è degenere e per ogni vettore non nullo si ha v, v (o v, v ); in pratica vuol dire che gli autovalori sono tutti nulli o positivi (o negativi) Trucchi: Se sulla diagonale c è uno, il prodotto è sicuramente indefinito (quello è un vettore isotropo); se sulla diagonale ci sono un numero positivo e uno negativo, il prodotto è sicuramente indefinito (corrispondono a due vettori uno con prodotto scalare con se stesso positivo, l altro con prodotto scalare con se stesso negativo) 35 Sottospazio ortogonale Il sottospazio ortogonale ad un vettore v = v v n rispetto al prodotto scalare, è l insieme delle soluzioni del sistema lineare (ad una equazione ed n incognite) v v n, x x n =
11 In particolare, se il prodotto scalare è quello euclideo (o canonico) si ha v x + + v n x n = Il sottospazio ortogonale al sottospazio generato dai due vettori v e w è l insieme delle soluzioni del sistema lineare (a due equazioni e n incognite { v, x = w, x = e se il prodotto scalare è quello euclideo (o canonico) si ha { v x + + v n x n = w x + + w n x n = E così via per gli ortogonali a sottospazi generati da più vettori 36 Lunghezze e angoli La lunghezza di un vettore v rispetto al prodotto scalare, esiste solo se questo è definito positivo ed è v = v, v Nel caso del prodotto scalare canonico, v = v v2 n se v,, v n sono le coordinate di v rispetto alla base canonica (o più in generale rispetto ad una base ortonormale) Similmente, l angolo θ tra i due vettori v, w, sempre per un prodotto definito positivo, si definisce come ( ) v, w θ = arccos v w Ovvero, più usualmente si dice che cos θ = v, w v w Quindi, rispetto al prodotto scalare euclideo cos θ = v w + + v n w n v v n w w 2 n 37 Applicazione aggiunta L applicazione aggiunta di f : V V rispetto al prodotto scalare, è l applicazione a f : V V tale che f(v), w = v, a f(w)
12 per ogni v, w V Se il prodotto scalare è quello euclideo, la matrice di a f rispetto alla base canonica non è altro che la trasposta della matrice di f rispetto alla base canonica Se invece il prodotto scalare è associato, rispetto alla base canonica, alla matrice simmetrica A e f è associata alla matrice B, allora a f è associata alla matrice A B t A Se infine abbiamo ottenuto una matrice ortogonale M tale che M t AM = à è diagonale, nella base formata dalle colonne di M l aggiunta di f è associata alla matrice à M t B t Mà 38 Basi ortogonali Per trovare una base ortogonale per un prodotto scalare si applica il metodo di Lagrange a partire da una base qualsiasi (di solito quella canonica) In breve, il metodo si compone di tre mosse: se v, v, si sostituisce ogni vettore v i con v i v,vi v i,v i ; 2 se v, v = ma c è un v i tale che v i, v i =, si scambiano v e v i e si torna al passo ; 3 se per ogni i si ha v i, v i =, ma esistono i, j tali che v i, v j, si mette v i + v j al posto di v e si mette v al posto di v i (o di v j ), a meno che v non sia già uno dei due vettori, allora si mette v i + v j al posto di v e basta Dopo aver applicato il primo passo, si ottiene una nuova base e si ricomincia, escludendo il primo vettore e considerando solo dal secondo in poi; dopo il secondo passo si considereranno i vettori dal terzo in poi e così via Se non si può applicare nessuna delle tre mosse, la matrice che rimane è tutta nulla, quindi la base è già ortogonale Nel caso il prodotto scalare sia definito positivo, si applicherà sempre la prima mossa e, una volta terminato il processo, dividendo ogni vettore della base per la propria norma (ovvero per v, v ), si otterrà una base ortonormale 39 Diagonalizzazione tramite matrici ortogonali Per diagonalizzare una matrice simmetrica A tramite matrici ortogonali si procede come segue: si trova una base di autovettori di A, data da {v,, v n } e si applica il procedimento di Grahm- Schmidt (oppure Lagrange più la normalizzazione finale) rispetto al prodotto scalare euclideo a tale base Si noti che, per il teorema spettrale, gli autovettori relativi ad autovalori diversi sono già ortogonali, quindi basta applicare l ortodiagonalizzazione solo ai gruppi di autovettori dello stesso autovalore E importante ricordarsi sempre di normalizzare i vettori (rispetto al prodotto scalare euclideo), ovvero di dividere per v v2 n, per ottenere alla fine una base di vettori di norma I vettori così trovati formano le colonne di una matrice M tale che M t = M, quindi M AM = M t AM è una matrice diagonale e la base trovata è contemporaneamente ortogonale per A e ortonormale per il prodotto scalare euclideo 2
13 3 Vettori isotropi Se il prodotto scalare è degenere, un vettore isotropo non nullo è semplicemente un elemento del nucleo della matrice associata; oppure, se nella matrice c è uno zero sulla diagonale, diciamo in posizione (i, i), allora vuol dire che v i, v i =, con v i l i esimo elemento della base, quindi quello è un vettore isotropo Se invece il prodotto scalare è non degenere e definito (positivo o negativo) il vettore isotropo non esiste Se infine il prodotto scalare è indefinito e non degenere (e non vi sono sulla diagonale), si può procedere come segue: si scrive un vettore incognito x = x x n e si calcola x x n, x x n = x t Ax che sarà un polinomio nelle variabili x i di grado 2 Si vuole trovare dei numeri x,, x n che annullano questa espressione; un metodo possibile è assegnare valori a n di queste variabili (valori facili, ad esempio, o ) e cercare di ricavare l ultima variabile di modo che tutto faccia Attenzione, questo metodo non funziona sempre al primo colpo, perché l equazione è di grado 2 e non è detto che si possa risolvere per ogni valore messo a caso nelle prime variabili, quindi eventualmente si può provare a cambiare i valori assegnati 4 Risposte numeriche per i test /2 / ( ) 3 3
14 ( 4 ) {/2 < α < /2 + 5/2} {α < /2 5/2} 4 nessun α 5 α =, 2, 2 4 6, 7 8 9, 2, 3, a f 24 a f 25 a f 26 a f x x x x = = = = x + 2 3x + x + x x + + x x + 4
15 27 non degenere, indefinito 28 non degenere, indefinito 29 non degenere definito positivo
Esercizi di Geometria - 2
Esercizi di Geometria - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E consigliabile, nel
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
DettagliFormulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010
Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v 1,..., v d. Le variabili m,
DettagliAppunti di Geometria - 5
Appunti di Geometria - 5 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it Segnatura di un prodotto scalare Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n; sia, : V V R un prodotto scalare. Data una base
DettagliCompiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004
Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l
Dettagli(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.
1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).
DettagliSpazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari
Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche R. Notari 14 Aprile 2006 1 1. Proprietà del prodotto scalare. Sia V = R n lo spazio vettoriale delle n-uple su R. Il prodotto scalare euclideo
DettagliAutovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)
Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)
DettagliAppunti di Geometria - 3
Appunti di Geometria - 3 Samuele Mongodi - smongodi@snsit Cambi di base nel duale Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Supponiamo di avere fissate due basi
DettagliMATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE
DIAGONALIZZAZIONE 1 MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE Matrici ortogonali e loro proprietà. Autovalori ed autospazi di matrici simmetriche reali. Diagonalizzazione mediante matrici
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti
. Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliRichiami di algebra delle matrici a valori reali
Richiami di algebra delle matrici a valori reali Vettore v n = v 1 v 2. v n Vettore trasposto v n = (v 1, v 2,..., v n ) v n = (v 1, v 2,..., v n ) A. Pollice - Statistica Multivariata Vettore nullo o
DettagliParte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale
Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,
DettagliSimilitudine (ortogonale) e congruenza (ortogonale) di matrici.
Lezione del 4 giugno. Il riferimento principale di questa lezione e costituito da parti di: 2 Forme bilineari, quadratiche e matrici simmetriche associate, 3 Congruenza di matrici simmetriche, 5 Forme
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliEsercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria
Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo
DettagliPer le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.
COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda
DettagliDIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE
DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE DOCENTI: S. MATTAREI (TITOLARE), G. VIGNA SURIA, D. FRAPPORTI Prima settimana. Lezione di martedí 23 febbraio 2010 Introduzione al corso: applicazioni dell
DettagliEsercizi svolti. delle matrici
Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa
DettagliForme bilineari simmetriche
Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R Definizione 1 Sia V uno spazio vettoriale Una forma bilineare su V è una funzione b: V V R tale che v 1, v 2, v 3 V b(v 1 + v 2, v 3
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire
DettagliCORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento)
CORSO D LAUREA in ngegneria nformatica (Vecchio Ordinamento) Prova scritta di Geometria assegnata il 19/3/2002 Sia f : R 3 R 4 l applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche
DettagliSoluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente
1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F
DettagliSpazi vettoriali euclidei.
Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
- - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle
Dettagli(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.
5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliTutoraggio di Algebra Lineare e Geometria. Correzione del tema d'esame del 28/2/2006
Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria Correzione del tema d'esame del 8//6 Esercizio. Si considerino in R 4 i vettori : v =, v =, v = / / a) si dica se tali vettori sono linearemente indipendenti e
Dettagli(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.
Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) D1 Nello spazio vettoriale R 2,2 si consideri l insieme { V = X R 2,2 XA = AX, A = ( 1 1 1 2 )} delle matrici che commutano con A. Verifiare che V = L(I 2, A). Verificare
DettagliSapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.
Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si
DettagliI VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007
A I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007 ESERCIZIO 1. Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari x + y + 2z = 1 2x + ky + 4z = h 2x 2y + kz = 0 (a) Determinare,
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
DettagliAUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI
AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
DettagliMatrici simili. Matrici diagonalizzabili.
Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Definizione (Matrici simili) Due matrici quadrate A, B si dicono simili se esiste una matrice invertibile P tale che B = P A P. () interpretazione: cambio di base.
DettagliUniversita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliREGISTRO DELLE LEZIONI
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007
Dettagli15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono
Dettagli5 Un applicazione: le matrici di rotazione
5 Un applicazione: le matrici di rotazione 51 Rotazioni nel piano di un angolo ϑ Si vuole considerare il caso della rotazione nel piano di un vettore di R di un angolo ϑ assegnato Chiaramente si tratta
DettagliGAAL: Capitolo dei prodotti scalari
GAAL: Capitolo dei prodotti scalari Teorema di Rappresentazione rappresentabile Aggiunto Autoaggiunto Unitariamente diagonalizzabile Teorema spettrale reale Accoppiamento Canonico Forme bilineari Prodotti
DettagliLEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =
LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono
DettagliEndomorfismi e matrici simmetriche
CAPITOLO Endomorfismi e matrici simmetriche Esercizio.. [Esercizio 5) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Calcolare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori
Dettagli1 Il polinomio minimo.
Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene
DettagliPunti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali
Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali Dati f : A R n R ed X 0 A, X 0 si dice : punto di minimo assoluto se X A, f ( x ) f ( X 0 ) punto di massimo assoluto se X A, f ( x ) f (
Dettagli2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.
Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1
DettagliAutovettori e autovalori
Autovettori e autovalori Definizione 1 Sia A Mat(n, n), matrice a coefficienti reali. Si dice autovalore di A un numero λ R tale che v 0 R n Av = λv. Ogni vettore non nullo v che soddisfa questa relazione
DettagliESERCIZI sui VETTORI
ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5
pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x
DettagliA.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare
A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare Stampato integrale delle lezioni Massimo Gobbino Indice Lezione 01: Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero,
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si
DettagliComplemento ortogonale e proiezioni
Complemento ortogonale e proiezioni Dicembre 9 Complemento ortogonale di un sottospazio Sie E un sottospazio di R n Definiamo il complemento ortogonale di E come l insieme dei vettori di R n ortogonali
DettagliProdotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali
CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5
DettagliEsercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3
Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare
DettagliFondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A
Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Secondo Appello - luglio TEMA A Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta.
DettagliSPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A =
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo
DettagliSoluzione facsimile 2 d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a ISTRUZIONI
Soluzione facsimile d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 00-004 COGNOME......................................... NOME......................................... N. MATRICOLA................
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliAlcuni esercizi sulla diagonalizzazione di matrici. campo dei reali. Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A.
Alcuni esercii sulla diagonaliaione di matrici Eserciio Dire se la matrice A 4 8 è diagonaliabile sul 3 3 campo dei reali Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A Svolgimento
DettagliUniversita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)
Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007
ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala
DettagliEsame di geometria e algebra
Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia I COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (2, h, 0), u 2 = (1, 0, h), u 3 = (h, 1, 2). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2,
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di
Dettagli16 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
16 gennaio 017 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 016-017 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.
Dettagli22 Coniche proiettive
Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu-06 95 22 Coniche proiettive (22.1) Definizione. Sia K[x 0, x 1,..., x n ] l anello dei polinomi nelle indeterminate (variabili) x 0, x 1,..., x n. Un polinomio di
DettagliVolumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014
Volumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014 1 Definizioni In uno spazio euclideo reale V di dimensione n siano dati k n vettori linearmente indipendenti e sia Π := Π(v 1 v 2... v k ) il parallelepipedo generato
Dettagli0.1 Condizione sufficiente di diagonalizzabilità
0.1. CONDIZIONE SUFFICIENTE DI DIAGONALIZZABILITÀ 1 0.1 Condizione sufficiente di diagonalizzabilità È naturale porsi il problema di sapere se ogni matrice sia o meno diagonalizzabile. Abbiamo due potenziali
Dettagli4 Autovettori e autovalori
4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliParte 7. Autovettori e autovalori
Parte 7. Autovettori e autovalori A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Endomorfismi, 2 Cambiamento di base, 3 3 Matrici simili, 6 4 Endomorfismi diagonalizzabili, 7 5 Autovettori
DettagliEsercizi per il corso di Algebra e Geometria L.
Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo
DettagliSi consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite
3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x
Dettagli2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.
Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 2015 VERSIONE A
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 015 VERSIONE A DOCENTE: MATTEO LONGO 1. Domande. Esercizi Esercizio 1 (8 punti). Al variare del parametro a R, considerare
DettagliPolinomio di Taylor del secondo ordine per funzioni di due variabili
Esercitazioni del 15 aprile 2013 Polinomio di Taylor del secondo ordine per funzioni di due variabili Sia f : A R 2 R una funzione di classe C 2. Fissato un p unto (x 0, y 0 A consideriamo il seguente
DettagliMatematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica)
Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Docente: Alessandro Berarducci Anno accademico 2016-2017, versione 14 Marzo 2017 Tipiche domande d esame La seguente lista di domande non intende
DettagliAlgebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008
Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =
DettagliApplicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base.
pplicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base. Esercizio. Data la seguente applicazione lineare f : R R : f(x, y, z) = (x z, x + y, y + z), scrivere la matrice B, rappresentativa di f rispetto
DettagliDefinizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im
APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo
DettagliSOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n
SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,
Dettaglia + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d
SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliAppendice 3. Rotazioni
Appendice 3. Rotazioni Indice 1 Tensori ortogonali 2 2 Rotazioni e simmetrie in uno spazio di dimensione 2 2 3 Tensori ortogonali in uno spazio di dimensione 3 4 4 Rotazioni in uno spazio di dimensione
DettagliAppendice 1. Spazi vettoriali
Appendice. Spazi vettoriali Indice Spazi vettoriali 2 2 Dipendenza lineare 2 3 Basi 3 4 Prodotto scalare 3 5 Applicazioni lineari 4 6 Applicazione lineare trasposta 5 7 Tensori 5 8 Decomposizione spettrale
DettagliAutovalori, Autovettori, Diagonalizzazione.
Autovalori Autovettori Diagonalizzazione Autovalori e Autovettori Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K = R o C e sia T : V V un endomorfismo Un vettore non nullo v V \ {O} si dice autovettore
DettagliClassificazione delle coniche.
Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto
DettagliCorso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali
.. Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali F. Baldassarri 8 ottobre 2013 Definizione di spazio vettoriale Uno spazio vettoriale su un campo C (ad es. Q,R,C,{0, 1}) è un insieme V dotato di due
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale
DettagliCapitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliEsercizi Applicazioni Lineari
Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le
DettagliEsercizi 1 Spazi vettoriali. { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 2, 2) } ;
Esercizi 1 Spazi vettoriali Esercizio. Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali su R: { (x y z R 3 x y z Z } ; { (x y z R 3 x y z Q } ; { (x y z R 3 (x y z (2 2 2 } ; {
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
DettagliCorso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A
Prova scritta del 23.02.2009 Compito A Esercizio 1. Sia Oxyz un sistema di riferimento ortonormale in uno spazio euclideo di dimensione 3. Siano inoltre P 1, P 2 e Q i punti di coordinate rispettivamente
Dettagli10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI
Dettagli